1.2.3 直线与平面的夹角
分层练习
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中， P 是C1D1的中点，则异面直线 AP 与BA1所成
角的余弦值为（ ）
1 2
A 2 B 3． ． C． D．
6 6 3 3
【答案】A
【详解】法一：设正方体的棱长为 2，取CC1 的中点Q，连接 PQ， AD1, AC ，
∵ P 是C1D1的中点，
∴ PQ / /CD1 / / A1B，
故 APQ就是 AP 与BA1夹角或其补角，
由勾股定理得： AP = AQ = 8 +1 = 3，PQ = 2 ，
2 2 2
由余弦定理得： cos APQ
AP + PQ - AQ 9 + 2 - 9 2
= = = ，
2AP × PQ 2 3 2 6
2
故异面直线 AP 与BA1所成角的余弦值为 ；
6
法二：设正方体的棱长为 2，以DA，DC ，DD1分别为 x ， y ， z 轴建立空间直角坐标系，
A 2,0,0 ，P 0,1,2 ， A1 2,0,2 ，B 2,2,0 ，
uuur uuur
AP = -2,1,2 ，BA1 = 0, -2,2 ，
uuur uuur
uuur uuur AP × BA1 -2,1,2 × 0, -2,2
cos AP, BA uuur uuur 21 = = = ，
AP × BA1 4 +1+ 4 4 + 4 6
故异面直线 AP 与BA 21所成角的余弦值为 ；
6
故选：A.
ur r
2．（2022 秋·高二课时练习）若平面a 的法向量为 m ，直线 l 的方向向量为 v，直线 l 与平面a 的夹角为q ，
则下列关系式成立的是（ ）
ur r ur r ur r ur r
cosq umr ×vr cosq |umr ×vr| sinq umr ×vA． = B． = C． = r sinq
|umr ×vr|D． =
| m || v | | m || v | | m || v∣ | m || v |
【答案】D
ur r
【详解】由题意得 sinq
|umr ×vr|= ，
| m || v |
故选：D
3．（2021 秋·四川巴中·高二南江中学校考阶段练习）如图所示的三棱锥P - ABC 中，D是棱 PB的中点，已
知PA ^底面 ABC ，PA = BC = 2， AB = 4 ， AB ^ BC ，则异面直线PC ， AD 所成角的正弦值为（ ）
A 30 B 30． ． C 6 70． D．
6 10 6 10
【答案】D
【详解】因为 PA⊥平面 ABC，所以 PA⊥AB，PA⊥BC．过点 A 作 AE∥CB，又 CB⊥AB，则 AP，AB，AE 两两
垂直．如图，以 A 为坐标原点，分别以 AB，AE，AP 所在直线为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，
则 A(0，0，0)，P(0，0，2)，B(4，0，0)，C(4， 2，0)．因为 D 为 PB 的中点，所以 D(2，0，1)．
uuur uuur
uuur uuur uuur uuur uAuuDr ×CuuPur -6故CP =( 4，2，2)， AD =(2，0，1)．所以 cos〈 AD ，CP〉= AD × CP 5 2 6
= 30 .
10
uuuv uuuv 30
设异面直线 PC，AD 所成的角为 θ，则 cos θ=|cos〈 AD ，CP〉|= ，
10
30 70
异面直线PC ， AD 所成角的正弦值为 1- ÷÷ = .
è 10 10
故选：D
4．（2021·高二课时练习）已知长方体 ABCD - A1B1C1D1 的底面 ABCD 是边长为 4 的正方形，长方体的高为
AA1 = 3，则BC1与对角面 BB1D1D夹角的正弦值等于（ ）．
4 3
A B 2 2 3 2． ． C． D．
5 5 5 5
【答案】C
【详解】连接 A1C1，建立如图所示的空间直角坐标系．
∵底面是边长为 4 的正方形， AA1 = 3，
∴ A1 4,0,0 ，B 4,4,3 ，C1 0,4,0 ，
因为 A1C1 ^ B1D1 , A1C1 ^ B1B ，且B1B B1D1 = B1 ，所以 A1C1 ^ 平面 BB1D1D，
uuuur uuuur
∴ BC1 = -4,0, -3 ，平面 BB1D1D的法向量 A1C1 = -4,4,0 ，
∴ BC1与对角面 BB1D1D所成角的正弦值为
uuuur uuuur -4,0, -3 × -4,4,0
cos BC , AC 16 2 21 1 1 = = = ．16 + 9 16 +16 5 4 2 5
故选：C.
二、多选题
5．（2022 秋·江苏无锡·高二统考期末）正四棱锥P- ABCD所有棱长均为 2，O为正方形 ABCD的中心， E, F
分别为侧棱 PA, PB 的中点，则（ ）
A．OF //AP
B．直线 BE 与PD 3夹角的余弦值为
6
C．平面OEF // 平面PDC
D．直线PD 3与平面PBC 所成角的余弦值为
3
【答案】BCD
【详解】对于 A，因为OF //PD， PD I PA = P ，
所以OF 不会平行于 AP ，故 A 错误；
对于 B，以O为坐标原点，OA为 x 轴，OB为 y 轴，OP为 z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O- xyz，
则B 0, 2,0 ， A 2,0,0 ，P 0,0, 2 E 2， ,0,
2
2 2 ÷÷
，D 0, - 2,0 ，
è
uuur 2 2 uuurBE = , - 2, ÷÷，PD = 0, - 2, - 2 ，
è 2 2
uuur uuur uuur uuur
所以直线 BE 与PD夹角的余弦值为： | cos BE, PD |
|uuBurE × PuDuur| 1 3= = = ，故 B 正确；
| BE | × | PD | 3 × 4 6
对于 C，由题意得EF //AB//CD，
因为EF 平面OEF ，CD 平面OEF ，
所以CD// 平面OEF ，
同理可得PD// 平面OEF ，
又因为CD, PD 平面PDC ，CD I PD = D
所以平面OEF // 平面PDC ，故 C 正确；
uur uuur uuur
对于 D，由已知得PB = 0, 2, - 2 ，PC = - 2,0, - 2 ，PD = 0, - 2, - 2
r
设平面PBC 的一个法向量 n = x, y, z ，
v uuuvì n × PB = 2y - 2z = 0 r
则 í
nv
uuuv ，取 x =1，得 n = 1, -1, -1 ，
× PC = - 2x - 2z = 0
p
设直线PD与平面PBC 所成角为q ，由图可知q 0, 2 ÷，è
uuur r
则 sinq
|
= uuPurD × nr| 2 2 6= = ，
| PD | × | n | 2 3 3
所以直线PD与平面PBC 6 3所成角的余弦值为 cosq = 1- ( )2 ＝ ，故 D 正确．
3 3
故选：BCD．
三、填空题
ur r
6．（2023 春·江苏·高二校联考阶段练习）已知向量m, n分别是直线 l 和平面 α 的方向向量和法向量，若
ur r
cos m, n 1= ，则直线 l 与平面 α 所成角的大小为 .
2
【答案】30°
ur r 1 ur r ur r
【详解】由于 cos m, n = ，0° m, n 180°，所以 m, n = 60°，
2
所以直线 l 与 α 所成的角为30° .
故答案为：30° .
7．（2023 秋·高二课时练面的一条斜线段长是它在平面内射影长的 2倍，则斜线与平面所成角的大小
为 ．
p
【答案】60° /
3
【详解】由题意，画出如下的草图，
因为斜线段 AB 的长度是它在平面内的射影 AC 长度的 2倍，
连接BC ，由斜线段与其射影，则VABC 是 ACB = 90°的直角三角形，
所以 BAC 是斜线段 AB 与平面所成的角，
在Rt△ABC 中， AB = 2AC ，所以 ABC = 30°，
所以 BAC = 60°，即斜线与平面所成角的大小为60° .
故答案为：60°
8．（2021 秋·吉林白山·高二统考期末）在三棱锥 P-ABC 中，PA，AB，AC 两两垂直，D 为棱 PC 上一动点，
PA = AC = 2 ， AB = 3 .当 BD 与平面 PAC 所成角最大时，AD 与平面 PBC 所成角的正弦值为 .
3 11
【答案】
11
【详解】解：因为 PA，AB，AC 两两垂直，PAI AC = A
所以 AB ^ 平面 PAC，则 BD 与平面 PAC 所成角为 ADB ，
tan ADB AB 3所以 = = ，
AD AD
当 AD 取得最小值时， ADB 取得最大值在等腰Rt△PAC 中，
当 D 为 PC 的中点时，AD 取得最小值，以 A 为坐标原点，
建立如图所示的空间直角坐标系 A-xyz，
则 A(0,0,0) ，B(3,0,0) ，C(0, 2,0)，P(0,0, 2)，D(0,1,1)，
uuur uuur uuur
则 AD = (0,1,1)，PC = (0,2,-2)，BC = (-3,2,0)，
r r uuur r uuur
设平面 PBC 的法向量为 n = (x, y, z)，则 n × PC = n × BC = 0，
ì2y - 2z = 0 nr即 í ，令 y = 3，得 = (2,3,3) .
-3x + 2y = 0
cos nr
uuur
, AD 3+ 3 3 11因为 á = = ，
22 2 11
所以 AD 与平面 PBC 3 11所成角的正弦值为 .
11
3 11
故答案为：
11
四、解答题
9．（2006·浙江·高考真题）如图，在四棱锥P- ABCD中，底面为直角梯形， AD//BC, BAD = 90°，PA ^底
面 ABCD，且PA = AD = AB = 2BC, M , N 分别为PC, PB 的中点．
(1)求证：PB ^ DM ；
(2)求CD 与平面 ADMN 所成的角．
【答案】(1)答案见解析
(2) arcsin 10
5
【详解】（1）因为在四棱锥P- ABCD中，底面为直角梯形，所以 AD ^ AB，又因为PA ^底面 ABCD， AD
底面 ABCD，所以 AD ^ PA，PAI AB = A， AP 平面PAB ， AB 平面PAB，所以 AD ^ 平面PAB，
因为PB 平面PAB，所以 AD ^ PB ，
因为 N 为 PB的中点，且PA = AB，所以 AN ^ PB，
AD I AN = A， AN 平面 ADMN ， AD 平面 ADMN ，所以PB ^ 平面 ADMN ，
又因为DM 平面 ADMN ，所以PB ^ DM .
（2）几何法：
取 AD 的中点F ，连接BF , NF ，如图所示：
因为 AD = 2BC, F 为 AD 的中点，BF //CD，
所以CD 与平面 ADMN 所成的角即为 BF 与平面 ADMN 所成的角.
因为PB ^ 平面 ADMN ， BFN 即为 BF 与平面 ADMN 所成的角，
设PA = AD = AB = 2BC = 2，所以PB = 2 2 ，BF = 5 ，
在RtVBFN 中，
sin BFN BN 2 10= = = ，所以 BF 与平面 ADMN 所成的角为 arcsin 10 .
BF 5 5 5
即CD 与平面 ADMN 10所成的角为 arcsin .
5
向量法：
因为在四棱锥P- ABCD中，底面为直角梯形，所以 AD ^ AB，又因为PA ^底面 ABCD，所以以A 为原点
建立空间直角坐标系，如图所示：
设 BC =1 , A(0,0,0), P(0,0, 2), B(2,0,0),C(2,1,0), D(0, 2,0), M (1,
1 ,1) ,
2
uuur uuur
则PB = (2,0, -2) , CD = (-2,1,0) ,
由(1)可知，PB ^ 平面 ADMN ，所以设CD 与平面 ADMN 所成的角为q ，
uuur uuur
uuur uuur PB ×CD
则 sinq = cos PB,CD = uuur uuur
10
= .
PB CD 5
所以CD 与平面 ADMN 所成的角为 arcsin 10 .
5
10．（2023 春·河南·高三校联考阶段练习）在斜三棱柱 ABC - A1B1C1 中，O 为底面正VABC 的中心， A1O ^底
面 ABC ， AC = AA1 = 2．
(1)证明：平面 A1AC ^ 平面 A1BO ；
(2)求 A1C 与平面BCC1B1所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2) 2
2
【详解】（1）证明：因为 A1O ^底面 ABC， AC 平面 ABC，
所以 A1O ^ AC ，
由 O 为底面正VABC 的中心，可知BO ^ AC ，
又 A1O BO = O ，BO 平面 A1BO ， A1O 平面 A1BO ，
所以 AC ^平面 A1BO ，
又 AC 平面 A1AC ，
所以平面 A1AC ^ 平面 A1BO ．
（2）结合（1）中所得，分别以CO，OA1所在直线为 x，z 轴，过点 O 作 AB 的平行线为 y 轴，建立如图所
示的空间直角坐标系O- xyz，
2 6
由 AC = AA1 = 2，VABC 为正三角形，可知O 0,0,0 ， A1 0, 0, 3 ÷÷ ，è
3 B 2 3
,1,0÷÷ ， B1 0, 2,
2 6
÷÷，C - ,0,03 3 3 ÷è ÷
，
è è
uuur 2 3 uuur uuur
所以 A1C = - , 0,
2 6 3 2 6
- BC = - 3, -1,0
3 3 ÷÷ ， ， BB1 = - ,1,3 3 ÷÷ ，è è
r
设平面BCC1B1的法向量为 n = x, y, z ，
r uuurì ìn × BC = 0 - 3x - y = 0
则 í r uuur
，即 í 3 2 6 ，
n × BB1 = 0 - x + y + z = 0 3 3
r
取 x =1，则 n = 1,- 3, 2 ，
设 A1C 与平面BCC1B1所成角为q ，
uuur r
则 sin q = cos A1C , n
2 3 2 6
- 1- 2 2
= 3 3 = ，
2 2
2 3 2 6 2 2 2
- ÷ + 0 + - ÷ 12 + - 3 + 2
è 3 è 3
故 A1C 与平面BCC1B
2
1所成角的正弦值为 ．
2
一、单选题
1．（2022 秋·河南洛阳·高二统考期中）在四面体 A - BCD中，平面 ABC ^ 平面 DBC，且 AB = BC = BD ，
CBA = CBD = 60°，则直线 BC 与平面 ABD 所成角的余弦值为（ ）
A 6． B 3．
3 3
C 15 10． D．
5 5
【答案】D
【详解】因为 AB = BC = BD ，且 CBA = CBD = 60°，所以VABC,VBCD 均为正三角形，因为平面 ABC ^
平面 DBC，平面 ABC 平面DBC = BC ，取BC 的中点O，则 AO ^ BC ，所以 AO ^平面BCD，以O为原
点建立空间直角坐标系，如图所示：
r
设 AB = BC = BD = 2 ，则 A(0,0, 3), B(0,-1,0),C(0,1,0), D( 3,0,0)，设平面 ABD的法向量为 n = (x, y, z) ，
uuur uuur ì-y - 3z = 0 r
AB = (0, -1, - 3)， AD = ( 3,0, - 3)，则 í ，令 x =1, z =1, y = - 3 ， n = 1,- 3,1 ，
3x - 3z = 0
uuur
BC = (0, 2,0) .
r uuur
r uuur n × BC
设直线 BC 与平面 ABD 所成角为q ，则 sinq = cos < n, BC r uuur
15
>= = ，
n , BC 5
10
所以 cosq = 1- sinq 2 = .
5
故选：D
2．（2021 秋·河北沧州·高三统考阶段练习）在正三棱锥 A - BCD中，AB，AC，AD 两两垂直，E，F 分别是
AB，AD 的中点，过 E，F 的平面与棱 AC 交于点 G，且VA-EFG :VEFG-BDC =1: 5（V 表示体积），则 AC 与平面
EFG 所成角的正切值等于（ ）
A 21 B C 4 2 D 3 2． ． 2 ． ．4 3 8
【答案】D
【详解】由条件将正三棱锥 A - BCD补形成正方体，如图
分别以D1B, D1D, D1A1为 x, y, z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为 2
1
由VA-EFG :VEFG-BDC =1: 5，则VA-EFG = V6 A-BDC
1 1 1 1 1
所以 AD AC AB = AF AG AE
6 3 2 3 2
1 1 1 1 1 4
即 2 2 2 = 1 AG 1，则 AG =
6 3 2 3 2 3
所以 A 2,0,2 , C 2,2,2 , E 2,0,1 , F 1,0,2 ,G 2,
4 ,2
3 ÷
è
uuur uuur uuur
AC = 0,2,0 , EF = -1,0,1 , FG 4= 1, ,0÷
è 3
r
设平面EFG 的法向量为 n = x, y, z
uuuv
ì -x + z = 0EF × nv = 0 ì r
则 íuuuv v ,即 í 4 ，取 n = 4,-3,4
FG ×n = 0 x + y = 0 3
uuur r
uuur r AC × n -2 3 3
设 AC 与平面EFG 成角q ，则sinq = cos AC,n = uuur r = =
AC × n 2 42 + -3 2 + 42 41
所以cosq 9 4 2= 1- sin2 q = 1- =
41 41
tanq 3 3 2所以 = =
4 2 8
故选：D
3．（2023·全国·高三专题练习）在正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱） ABC - A1B1C1 中， AB = 2 ， E ，
F 分别为 A1C1和 A1B
1
1 的中点，当 AE 和 BF 所成角的余弦值为 时， AE 与平面BCC4 1
B1所成角的正弦值为
（ ）
A 6 B 6 C 10 D 10． ． ． ．
2 4 4 2
【答案】BC
【详解】
设 AA1 = t ，以 B 为原点，过 B 作BC 的垂线为 x 轴，BC 为 y 轴，BB1为 z 轴，建立空间直角坐标系，则
A 3,1,0 ，B 0,0,0 ， C 0,2,0 ，E 3 3 3 1 , , t ÷÷ ，F , , t2 2 2 2 ÷÷，è è
uuur 3 1 uuur AE = - , , t ÷÷ ，BF
3 1
=
2 2
, , t
2 2 ÷÷，è è
1
因为 AE 和 BF BF 所成角的余弦值为 ，
4
uuur uuur 2 1
uuur uuur AE × BF t - 5
所以 cos AE, BF = uuur uuur 2 1= = ，解得： t =1或 t = ，
AE BF 1+ t 2 1+ t 2 4 5
r
平面BCC1B1的法向量 n = 1,0,0 ，
uuur
当 t =1时，所以 AE
3 1
= - , ,1÷÷，
è 2 2
uuur r 3
此时 AE 与平面BCC1B
AE × n
1所成角的正弦值为 sina = uuur r 2 6= = ；
AE n 2 1 4
5 uuur 3 1 5
当 t = 时，所以 AE =
5
- , , ，
è 2 2 5 ÷
÷
uuur r 3
AE × n 10
此时 AE 2与平面BCC1B1所成角的正弦值为 sina = uuur r = =AE n 30 4
.
1
5
故选：BC.
二、多选题
4．（2022 秋·广东茂名·高二校联考期末）如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，点 E 是线段 CD1
上的动点，则下列判断正确的是（ ）
A．直线 AC1⊥平面 BCD1A1
B．点 B1到平面 BCD1A1的距离是 2
C．无论点 E 在线段 CD1的什么位置，都有 AC1⊥B1E
D．若异面直线 B1E 与 AD
3
所成的角为 θ，则 sinθ 的最小值为
3
【答案】BCD
【详解】如图，建立空间直角坐标系， A 0,0,0 ，C1 2,2,2 ，B 2,0,0 ，C 2,2,0 ，D1 0,2,2 ， A1 0,0,2 ，
B1 2,0,2 ，D 0,2,0
uuuur uuur
A. AC1 = 2,2,2 ，BC = 0,2,0 ，
uuuur uuur
因为 AC1 × BC 0，所以 AC1与BC 不垂直，那么 AC1与平面 BCD1A1 不垂直，故 A 错误；
B.点B1到平面 BCD1A1 的距离即点B1到平面BCD1的距离，设点B1到平面 BCD1A1 的距离为d ，
1 1
因为VB1 -BCD = V1 D1 -B1BC ，即 SVBCD d = SVB BC C D 3 1 3 1 1 1
1 1
得 2 2 2
1 1
d = 2 2 2，解得： d = 2 ，故 B 正确；3 2 3 2
C.因为点E 在线段CD1上，所以E 2 - z, 2, z
uuuur uuur uuuur uuur
AC1 = 2,2,2 ，B1E = -z, 2, z - 2 ， AC1 × B1E = -2z + 4 + 2 z - 2 = 0 ，
所以 AC1 ^ B1E，故 C 正确；
uuur uuur
D. AD = 0,2,0 ，B1E = -z, 2, z - 2 ，
uuur uuur
cosq = cos < AD, B E 4 2 21 > = = = ，
2 z2 + 4 + z - 2 2 2z2 - 4z + 8 2 z -1 2 + 6
因为 sinq = 1- cos2 q ，所以求sinq 的最小值，即求 cosq 的最大值，
当 z =1时， cosq 6 3取得最大值，最大值是 ，此时 sinq = ，故 D 正确.
3 3
故选：BCD
三、填空题
5．（2022·高二课时练习）如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，直线 A1B 和平面 A1DC1所成角的正弦值是 ；
6 1
【答案】 / 6
3 3
【详解】设正方体的边长为1，建立如图所示空间直角坐标系，
则 A1 1,0,1 ,C1 0,1,1 , B 1,1,0 ，
uuur r
A1B = 0,1, -1 ，设平面 A1DC1的法向量为 n = x, y, z ，
uuuuv
ì n
v × uDuuAu1v= x + z = 0
r
则 í v ，故可设 n = -1, -1,1 .
n × DC1 = y + z = 0
设直线 A1B 和平面 A1DC1所成角为q ，
r uuur
n × A B 2 6
则 sinq = r uu1ur = = .
n × A 31B 2 3
6
故选：
3
6．（2023 春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）如图，已知 AE ^ 平面 ABCD，CF / / AE ，
AD / /BC ， AD ^ AB， AB = AD =1，BC = 2 .若 AE = 2，CF =1，则 BF 与平面BDE 所成角的余弦值
为 .
2
【答案】 3
【详解】
uuur uuur uuur
依题意，以A 为坐标原点，分别以 AB ， AD ， AE为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正方向，如图建立空间直角坐标系，
由已知可得 A 0,0,0 ，B 1,0,0 ，D 0,1,0 ，C 1, 2,0 ，E 0,0,2 ，F 1,2,1 ，
uuur uuur uuur
则BD = -1,1,0 ， BE = -1,0,2 ，BF = 0,2,1 .
ur
设m = x, y, z 是平面BDE 的法向量，
uuur
ìBD × m
r
= 0 ì-x + y = 0
则 íuuur r ，即 í
BE × m = 0 -x + 2z 0
，
=
令 x = 2，则 y = 2， z =1，
ur
所以m = 2,2,1 是平面BDE 的一个法向量.
设 BF 与平面BDE 所成的角为q ，0
π
q .
2
uuur ur uuur ur
因为 BF = 5 ， m = 3，BF × m = 5，
uuur ur uuur urB
则 cos BF , m = uu
Fur ×umr 5 5= =
BF m 5 3 3 ，
uuur ur
所以 sinq = cos BF , m 5= .
3
0 q π因为 ，
2
2
所以cosq = 1- sin2 q = ，
3
2
所以 BF 与平面BDE 所成角的余弦值为 .3
2
故答案为： .3
四、解答题
7．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知多面体 ABC - A1B1C1 中， A1A, B1B,C1C 均垂直于平面 ABC ,
ABC =120o ， A1A = 4，C1C =1, AB = BC = B1B = 2 .请用空间向量的方法解答下列问题：求直线 AC1与平面
ABB1 所成的角的正弦值.
39
【答案】
13
【详解】证明：如图，以 AC 的中点O为原点，分别以射线OB,OC 为 x, y轴的正半轴，以过O点平行于CC1
的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系O- xyz .
由题意知 A 0, - 3,0 , B 1,0,0 , A1 0,- 3,4 , B1 1,0,2 ,C1 0, 3,1 .
设直线 AC1与平面 ABB1 所成的角为q ,
uuuur uuur uuur可知 AC1 = 0,2 3,1 , AB = 1, 3,0 , BB1 = 0,0,2 ,
r
设平面 ABB1 的法向量 n = x, y, z ，
r uuurì n × AB = 0, ìx + 3y = 0,
则 í r uuur
即 í
n × BB1 = 0, 2z = 0,
r
令 y =1，则 x = - 3, z = 0，可得平面 ABB1 的一个法向量 n = - 3,1,0 .
uuuur r
uuuur r AC1 × n
\sinq = cos AC1,n = uuuur r
39
= .
AC 131 × n
\ 39直线 AC1与平面 ABB1 所成的角的正弦值是 .
13
8．（2012 春·江西·高三阶段练习）如图，在边长为 4 的菱形 ABCD 中， DAB = 60o．点 E、F 分别在边
CD、CB 上，点 E 与点 C、D 不重合，EF ^ AC，EF AC = O．沿 EF 将△CEF 翻折到△PEF 的位置，使
平面 PEF⊥平面 ABFED．
（1）求证：BD ^平面POA；
uuur uuur
（2）设点 Q 满足 AQ = lQP(l > 0)，试探究：当 PB 取得最小值时，直线 OQ 与平面 PBD 所成角的大小是
p
否一定大于 ？并说明理由．
4
【答案】（1）详见解析；（2）详见解析.
【详解】（1）∵菱形 ABCD的对角线互相垂直，
∴ BD ^ AC ，
∴ BD ^ OC ，又EF ^ AC，EF AC = O，沿 EF 将△CEF 翻折到△PEF 的位置，
∴ PO ^ BD，BD ^ AO 又PO IOA = O，
∴ BD ^平面POA；
（2）如图，以O为原点，建立空间直角坐标系O- xyz．
设 AO I BD = H ，因为 DAB = 60°，所以VBDC 为等边三角形，
故BD = 4，HB = 2, HC = 2 3．
又设PO = x ，则OH = 2 3 - x ，OA = 4 3 - x．
所以O(0,0,0)，P(0,0, x) ，B(2 3 - x, 2,0)，
uuur uuur uuur
故PB = OB - OP = (2 3 - x, 2, -x) ，
uuur
所以 PB = (2 3 - x)2 + 22 + x2 = 2(x - 3)2 +10 ，
当 x = 3 时， PB = 10min ，此时PO = 3 ，
设点Q的坐标为 a,0,c ，则 A(3 3,0,0)，B( 3, 2,0)，D( 3,-2,0)，P(0,0, 3) ．
uuur uuur所以 AQ = a - 3 3,0,c ，QP = -a,0, 3 - c ，
uuur uuur
∵ AQ = lQP，
ìa - 3 3 = -la
∴ í ，
c = 3l - lc
∴ Q( 3 3 ,0, 3l )，
l +1 l +1
uuur
∴ OQ ( 3 3 3l= ,0, )，
l +1 l +1
r r uuur r uuur
设平面 PBD 的法向量为 n = (x, y, z)，则 n × PB = 0, n × BD = 0 ．
uuur uuur
∵ PB = 3,2,- 3 ，BD = 0, -4,0 ，
ì 3x + 2y - 3z = 0 r
∴ í ，取 x =1，可得 n = (1,0,1) ．
-4y = 0
设直线OQ 与平面 PBD 所成的角q ，
uuur r 3 3 3luuur +r OQ ×n l +1 l +1 3+ l∴ sinq = cos OQ,n = uuur r = =OQ × n
2 ( 3 3 3l
2 × 9 + l 2
× )2 + ( )2
l +1 l +1
1 9 + 6l + l 2 1 1 6l= 2 = + ．2 9 + l 2 9 + l 2
又∵ l > 0
∴ sinq 2> ．
2
∵q [0,
p ]，
2
q p∴ > ．
4
因此直线OQ
p
与平面 PBD 所成的角大于 ，即结论成立.
4
一、单选题
1．（2021 秋·江西鹰潭·高二贵溪市第一中学校考阶段练习）如图，在正方体 AC1中，直线BC1与平面 A1BD
所成的角的余弦值是( )
A 2． B 3 2 3． C． D．
2 3 3 2
【答案】B
【详解】∵分别 AC1是正方体，故以DA DC DD1为 x y z 轴建立空间直角坐标系：
设正方体的棱长等于1，
则D 0,0,0 , B 1,1,0 ,C1 0,1,1 , A1 1,0,1 ，
uuuur uuuur uuur
则BC1＝ -1,0,1 , A1D＝ -1,0, -1 , BD＝ -1, -1,0 ，
r uuuuvr
设 n＝
ì
x, y, z n × A是平面 A1BD 的一个法向量，则 í r uu1u
Dv＝- x - z＝0 ，
n × BD＝- x - y＝0
r
取 x＝1，得 y＝z＝-1,\n＝ 1, -1, -1 ，
设直线BC1与平面 A1BD 所成角为q ，
uuuur
uuuur BC1 × n
r
则 sinq＝ cos
r 6
＜BC1, n＞＝ uuuur
BC nr
＝
3
1
\cosq＝ 1- sin2q 3＝ ，
3
3
即直线BC1与平面 A1BD 所成角的余弦值是 .
3
故选：B.
2．（2021·高二课时练习）正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱上(除去棱 AD)到直线 A1B 与CC1的距离相等的点有3
个，记这3个点分别为E, F ,G ，则直线 AC1与平面EFG 所成角的正弦值为
A 26． B 2 26 C 2 78． ． D 4 78．
13 13 39 39
【答案】D
【详解】解：正方体 ABCD﹣A1B1C1D1的棱上到直线 A1B 与 CC1的距离相等的点分别为：
D1，BC 的中点，B1C1的四等分点（靠近 B1），
假设 D1与 G 重合，BC 的中点为 E，B1C1的四等分点（靠近 B1）为 F，
以 D 为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，
3
设 AB＝2，则 E（1，2，0），F（ ，2，2），G（0，0，2），A（2，0，0），C1（0，2，2），2
uuur 1 uuur 3 uuuur
∴EF =（ ，0，2），GF =（ ，2，0）， AC1 =（﹣2，2，2），2 2
r
设平面 EFG 的法向量 n = （x，y，z），
ìnr
uuur ì1
× EF = 0 x + 2z = 0 2 r
则 í r uuur ，即 í3 ，取 x＝
4，得 n = （4，﹣3，﹣1）．
n ×GF = 0 x + 2y = 0
2
设直线 AC1与平面 EFG 所成角为 θ，
r uuuur 4 78
则直线 AC1与平面 EFG 所成角的正弦值为 sinθ＝|cos＜n，AC1＞| = ．39
故选 D．
二、多选题
3．（2023 春·浙江·高二校联考阶段练习）已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为 2，点 E，F，G 分别是线段
BC1，CD1， A1B1 的中点，则（ ）
A．DE ^ BG
B． AF ∥平面BC1G
C 3．直线 AB 与平面BC1G 所成的角的余弦值为
3
D．过点 F 且与直线DE 垂直的平面a ，截该正方体所得截面的周长为3 5 + 2
【答案】ACD
【详解】以 D 为坐标原点，以DA、DC 、DD1分别为 x 、 y 、 z 轴，建立坐标系，如图所示，
D(0,0,0) ，E(1,2,1)，B(2, 2,0) ，G(2,1, 2)， A(2,0,0)，F (0,1,1)，C1(0, 2, 2)，G(2,1, 2)
uuur uuur
\DE = (1, 2,1) ，BG = (0, -1,2)
uuur uuur
Q DE × BG =1 0 + 2 (-1) +1 2 = 0
uuur uuur
\DE ^ BG ，故 A 选项正确；
uuur uuur uuur
BC1 = (-2,0,2)，BG = (0, -1,2)， AF = (-2,1,1)
r
设平面BC1G 的法向量为 n = (x1, y1, z1)，
uuuur
ì BC
r
1 × n = 0 ì-2x1 + 2z1 = 0
则 íuuur r 即 í ，令 z =1，则 x =1， y = 2，
BG ×n = 0 -y1 + 2z1 = 0
1 1 1
r
则 n = (1, 2,1)
uuur r
Q AF × n = (-2) 1+1 2 +1 1 =1 0
\ AF 与平面BC1G 不平行，故 B 选项不正确；
uuur
AB = (0, 2,0)，
设直线 AB 与平面BC1G 所成的角为a ，
则
uuur r
sina | cos(π AB ×n 4 6= -a ) |= uuur r = =
2 | AB || n | 2 6 3
\cosa = 1- sin2 a 3= ，故 C 选项正确；
3
r uuur
Qn = DE
\DE ^平面BC1G
1
取 X 、T 为 A1D1、 AA1的中点，WD1 = CV = AU = ，由几何关系可知，WX ∥VU ，WV ∥TU ，则WXTUV2
组成一个平面， 由BG∥TU ，BC1∥TX ，TU ，TX 均在平面WXTUV 内，
则DE ^ 平面WXTUV ，即过点 F 且与直线DE 垂直的平面a ，截该正方体所得截面如图所示平面WXTUV ，
则截面WXTUV 的周长为
WX + XT +TU +UV +VW
1
= ( )2 +1 + 1 1 (1+ + )2 +1 + 22 +1 + 22 +1
2 2
= 3 5 + 2
故 D 选项正确；
故选：ACD.
4．（2023 秋·浙江绍兴·高二统考期末）如图，在平行六面体 ABCD - A1B1C1D1 中，以顶点 A 为端点的三条棱
长均为 6，且它们彼此的夹角都是60o ，下列说法中正确的是（ ）
A．BD ^平面 ACC1
B．BD1 = 6 3
1
C．直线 AC1与平面 ABCD所成的角的正弦值为 3
D 6．直线BD1与 AC 所成角的余弦值为
6
【答案】ACD
【详解】对于 A 中，由底面 ABCD为菱形，所以 AC ^ BD ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
由题可知 AA1 × AD = AA1 × AB = AD × AB = 6 6 cos 60
o =18，
uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
因为 AC1 × BD = (AB + AD + AA1) × (AD - AB) = 0 ，所以 AC1 ^ BD ，
又因为 AC AC1 = A且 AC, AC1 平面 ACC1 ，所以BD ^平面 ACC1 ，所以 A 正确；
uuuur uuur uuur uuur
对于 B 中，因为BD1 = AA1 + AD - AB ，
uuuur uuur uuur uuur 2 uuur2 uuur2 uuur2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
可得 BD1 = AA1 + AD- AB = AA1 + AD + AB + 2AA1 × AD-2AA1 × AB -2AD× AB
= 62 + 62 + 62 + 2 6 6cos60o - 2 6 6cos60o - 2 6 6cos60o
= 62 + 62 + 62 + 2 6 6cos60o - 2 6 6cos60o - 2 6 6cos60o = 6 2 ，所以 B 不正确；
对于 C 中，因为BD ^平面 ACC1 ，且BD 平面 ABCD，所以平面 ABCD ^平面 ACC1 ，
所以 AC1在平面 ABCD内的射影为 AC ，所以 CAC1 为直线 AC1与平面 ABCD所成的角，
uuur uuur uuur uuur2 uuur2 uuur uuur
又因为 AC = (AB + AD)2 = AB + AD + 2AB × AD = 6 3，
uuuur uuur uuur uuur uuur2 uuur2 uuur2 uuur uuur uuur uuur uuur uuur
AC = (AB+ AD+ AA )21 1 = AB + AD + AA1 +2AB× AD+2AB× AA1 +2AD× AA1 = 6 6，
uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur uuur uuur uuur uuur2 uuur uuur
AC × AC1 = (AB+ AD) ×(AB+ AD+ AA1) = AB + 2AB × AD+ AB × AA1 + AD + AD× AA1 =144，
uuur uuuur
所以 cos CAC u
AC
1 = uur
×uAuCuur1 2 2=
3 ，所以 sin CAC
1
1 = ，所以 CAC AC 正确；1 3
uuuur uuur
对于 D 中，由 B 中知 BD1 = 6 2且 AC = 6 3 ，
uuur uuuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuurAC × BD1 = AB + AD × AA1 + AD - AB = AB × AA1 + AB × AD - AB × AB + AD × AA1
uuur uuur uuur uuur
+AD × AD - AD × AB =18 +18 -18 +18 +18 -18 = 36，
uuur uuuur uuur uuuur
所以 cos AC BD
AC
× 1 = uuur
×uBuDuur1 36 6= =
AC BD 6 2 6 3 6 ，所以
D 正确.
1
故选：ACD.
三、填空题
5．（2022 春·江苏淮安·高二马坝高中校考期中）在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，点O为线段BD的中点.设点 P
在线段BB1（ P 不与 B 重合）上，直线OP与平面 A1BD 所成的角为a ，则 sina 的最大值是 .
2
【答案】
3
【详解】建立如图所示的空间直角坐标第，
uuur uuur
设正方体的棱长为 2，设BP = lBB1, (l (0, 2])，
A1(2,0, 2), D(0,0,0), B1(2, 2, 2),O(1,1,0), P(2, 2,l)，
ur
设平面 A1BD 的法向量为m = (x, y, z)，
uuuur uuur uuur
DA1 = (2,0, 2), DB = (2, 2,0),OP = (1,1,l)，
v uuuuvìm × DA = 0 ì2x + 2z = 0 v
所以有 í v uuuv1 í m = (-1,1,1)
m × DB = 0 2x + 2y 0
，
=
ur uuur
m ×OP l
sina = ur uuur l 1= = =
m × OP (-1)2 +12 +12 12 +12 + l 2 3(2 + l 2 ) 6 ，
2 + 3l
因为l (0, 2]，所以l = 2时， sina 2有最大值，最大值为 ，
3
2
故答案为：
3
四、解答题
6．（2023 春·江苏南京·高二南京市第五高级中学校考期中）如图，在底面为矩形的四棱锥P- ABCD中，平
面PAD ^平面 ABCD .
（1）证明： AB ^ PD ；
（2）若PA = PD = AB， APD = 90°，设Q为 PB中点，求直线 AQ 与平面PBC 所成角的余弦值.
【答案】(1) 3证明见解析；(2)
3
【详解】（1）依题意，面PAD ^面 ABCD， AB ^ AD ，
∵ AB 面 ABCD，面PAD 面 ABCD = AD ，
∴ AB ^ 面PAD .
又PD 面PAD ，
∴ AB ^ PD .
（2）解法一：向量法
在DPAD 中，取 AD 中点O，∵ PA = PD，
∴ PO ^ AD ，∴ PO ^面 ABCD，
以O为坐标原点，分别以OA为 x 轴，过点O且平行于 AB 的直线为 y 轴，OP所在的直线为 z 轴，建立如图
空间直角坐标系，
设PA = 2 ，∵ APD = 90°，∴ AD = 2 2 ，
∴ P 0,0, 2 ，B 2, 2,0 ，C - 2, 2,0 ， A 2,0,0 Q 2， ,1,
2
2 2 ÷÷
，
è
uuur uuur uuur ∴ PB = 2, 2,- 2 ，BC = -2 2,0,0 ， AQ 2 2= , -1, -2 2 ÷÷ .è
r
设面PBC 法向量为 n = x, y, z ，
ìnv
uuuv
× PB = 2x + 2y - 2z = 0 r
则 í
nv
uuuv ，解得 n = 0,1, 2 .
× BC = -2 2x = 0
设直线 AQ 与平面PBC 所成角为q ，
uuur r
uuur r AQ × n
则 sinq = cos AQ, n uuur r
2
< > = = ，
AQ × n 3
p ù 2 3
因为q 0, 2 ú ，
∴ cosq = 1- sin2 q = 1- = .
è 3 3
3
所以直线 AQ 与平面PBC 所成角的余弦值为 .
3
（2）解法二：几何法
过 P 作PO ^ AD 交于点O，则O为 AD 中点，
过A 作PO的平行线，过 P 作 AD 的平行线，交点为E ，连结 BE ，
过A 作 AH ^ BE 交于点 H ，连结QH ，
连结BO，取中点M ，连结QM ， AM ，
四边形 AOPE 为矩形，所以PE ^面 ABE ，所以PE ^ AH ，
又BE ^ AH，所以AH ^面 PBE ，
所以 AQH 为线 AQ 与面PBC 所成的角.
令 AO = a，则 AE = a， AB = 2a，BE = 3a，
6
由同一个三角形面积相等可得 AH = a ，
3
DQAM 为直角三角形，由勾股定理可得 AQ = a，
所以 sin AQH
AH 6
= = ，
AQ 3
AQH cos AQH 3又因为 为锐角，所以 = ，
3
3
所以直线 AQ 与平面PBC 所成角的余弦值为 .
3
7．（2020·高二课时练习）如图所示，在棱长为 a的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中， E, F 分别是 BC, A1D1的中点.
（1）求直线 A1C 与DE 所成角的余弦值;
（2）求直线 AD 与平面B1EDF 所成角的余弦值.
15 3
【答案】（1） ；（2） .
15 3
【详解】以A 为坐标原点，分别以 AB, AD, AA1所在直线为 x 轴、 y 轴、 z 轴，建立空间直角坐标系 A - xyz .
（1） A1(0,0,a),C(a,a,0), D(0,a,0), E
a
a, ,0
÷，
è 2
uuur uuur
∴ A1C = a, a,-a ，DE =
a,
a
- ,0
2 ÷
，
è
uuur uuur
uuur uuur A
∴ cos AC DE = uu1u
Cr ·DuuEur 15=
1 ， AC DE 15 ，1
故直线 A1C DE
15
与 所成角的余弦值为 .
15
（2）由（1）得 A(0,0,0) ，D(0,a,0)，E a,
a ,0 a
2 ÷，
F 0, ,a2 ÷è è
uuur uuur uuur
得DA = 0, -a,0 DE = a， a,- ,0
÷，DF =
0, a- ,a
è 2 è 2 ÷
设平面B1EDF 的法向量为 n
r
= x, y, z ，
uuur r
ìDE ×n = 0 ìy = 2x r
则 íuuur r ，即： íy 2z ，所以
n = 1,2,1
DF × n = 0 =
设线 AD 与平面B1EDF 所成角为q ，
uuur
uuur DA nrr × 6
∴ sinq = cos DA, n = uuur =DA nr 3 ，
é p ù
又直线与平面所成角的范围是 ê0, ， 2 ú
3
所以cos q =
3
故直线 AD 与平面B1EDF
3
所成角的余弦值为 .
3
8．（2022 秋·北京丰台·高三北京丰台二中校考阶段练行四边形 ABCD所在的平面与直角梯形 ABEF 所
在的平面垂直，BE / / AF ， AB = BE
1
= AF =1，且 AB ^ AF ， CBA p= ，
2 4 BC = 2
， P 为DF 的中点.
（1）求证：PE / /平面 ABCD；
（2）求证： AC ^ EF ；
（3）若直线 EF 上存在点 H ，使得CF ，BH 10所成角的余弦值为 ，求BH 与平面 ADF 所成角的大小.
5
p
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析（3）
6
【详解】（1）解法 1：取 AF 的中点Q ,连结 PQ , PE , EQ ,
在直角梯形 ABEF 中, AQ = BE =1, BE / / AQ ,
所以四边形 ABEQ 为平行四边形,
所以 AB / /EQ ,
在DADF 中PF = PD , QF = QA ,
所以PQ / / AD ,
又因为 AM I AB = A ,
所以平面PQE / / 平面 ABCD ,
又PE 平面PQE ,
所以PE / /平面 ABCD .
解法 2：取 AD 中点M ,连结MP , MB ,
在DADF 中, PF = PD , MD = MA ,
1
所以MP / / AF ,且MP = AF ,
2
又 BE
1
= AF , BE / / AF ,
2
所以MP / /BE , MP = BE ,
所以四边形BEPM 为平行四边形,
所以PE / /MB ,
因为PE 平面 ABCD , BM 平面 ABCD ,
所以PE / /平面 ABCD .
（2）在DABC AB 1, CBA p中 = = ,
4 BC = 2
,
所以 AC 2 = AB2 + BC 2 - 2AB BC cos CBA =1 ,
所以 AC 2 + AB2 = BC 2 ,
所以 AB ^ AC ,
又平面 ABCD ^平面 ABEF ,平面 ABCD 平面 ABEF = AB , AC 平面 ABCD ,
所以 AC ^平面 ABEF ,
因为EF 平面 ABEF ,
所以 AC ^ EF .
（3）由（1）（2）以A 为原点,以 AB 、 AF 、 AC 所在直线为 x 、 y 、 z 轴建立空间直角坐标系 A - xyz .
所以B 1,0,0 , C 0,0,1 , D -1,0,1 , E 1,1,0 , F 0,2,0 ,
1
所以P - ,1,
1
,
è 2 2 ÷
uuur uuur uuur
所以CF = 0,2,-1 , EF = -1,1,0 , BE = 0,1,0 ,
uuur uuur
设EH = lEF = -l,l,0 ,
uuur uuur uuur
所以BH = BE + EH = -l,1+ l,0 ,
uuur uuur
BH ×CF 2 1+ l
所以 uuur uuur
10
= = ,
BH CF 5 l 2 + l +1 2 5
2 1+ l 2
所以 =12 ,l + l +1 2
1
所以l = - ,
2
uuur
所以BH
1 1
= , ,0
2 2 ÷
,
è
r
设平面 ADF 的法向量为 n = x, y, z ,
uuuv
ìnv × AD y = 0
所以 í v uuuv
= 0 ì
í ,
n × AF = 0 -x + z = 0
r
所以令 x =1 ,则 n = 1,0,1 ,
如BH 与平面 ADF 成的角为q ,
uuur r 1
BH ×n
所以 sinq = uuur r =
2 1= .
BH n 22 1 12 +
4 4
所以q
p p
= ,即BH 与面 ADF 成的角为 .
6 61.2.3 直线与平面的夹角
分层练习
一、单选题
1．（2023·全国·高三专题练习）在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中， P 是C1D1的中点，则异面直线 AP 与BA1所成
角的余弦值为（ ）
A 2 B 3 1 2． ． C． D．
6 6 3 3
ur r
2．（2022 秋·高二课时练习）若平面a 的法向量为 m ，直线 l 的方向向量为 v，直线 l 与平面a 的夹角为q ，
则下列关系式成立的是（ ）
ur r ur r ur r ur r
A． cosq = u
mr ×vr cosq |umr ×vr| sinq umr ×v | m ×v |B． = C． = r D． sinq = ur r
| m || v | | m || v | | m || v∣ | m || v |
3．（2021 秋·四川巴中·高二南江中学校考阶段练习）如图所示的三棱锥P - ABC 中，D是棱 PB的中点，已
知PA ^底面 ABC ，PA = BC = 2， AB = 4 ， AB ^ BC ，则异面直线PC ， AD 所成角的正弦值为（ ）
A 30． B 30 C 6 70． ． D．
6 10 6 10
4．（2021·高二课时练习）已知长方体 ABCD - A1B1C1D1 的底面 ABCD 是边长为 4 的正方形，长方体的高为
AA1 = 3，则BC1与对角面 BB1D1D夹角的正弦值等于（ ）．
4 3
A． B． C 2 2 D 3 2． ．
5 5 5 5
二、多选题
5．（2022 秋·江苏无锡·高二统考期末）正四棱锥P- ABCD所有棱长均为 2，O为正方形 ABCD的中心， E, F
分别为侧棱 PA, PB 的中点，则（ ）
A．OF //AP
B 3．直线 BE 与PD夹角的余弦值为
6
C．平面OEF // 平面PDC
D．直线PD与平面PBC 3所成角的余弦值为
3
三、填空题
ur r
6．（2023 春·江苏·高二校联考阶段练习）已知向量m, n分别是直线 l 和平面 α 的方向向量和法向量，若
ur r
cos m, n 1= ，则直线 l 与平面 α 所成角的大小为 .
2
7．（2023 秋·高二课时练面的一条斜线段长是它在平面内射影长的 2倍，则斜线与平面所成角的大小
为 ．
8．（2021 秋·吉林白山·高二统考期末）在三棱锥 P-ABC 中，PA，AB，AC 两两垂直，D 为棱 PC 上一动点，
PA = AC = 2 ， AB = 3 .当 BD 与平面 PAC 所成角最大时，AD 与平面 PBC 所成角的正弦值为 .
四、解答题
9．（2006·浙江·高考真题）如图，在四棱锥P- ABCD中，底面为直角梯形， AD//BC, BAD = 90°，PA ^底
面 ABCD，且PA = AD = AB = 2BC, M , N 分别为PC, PB 的中点．
(1)求证：PB ^ DM ；
(2)求CD 与平面 ADMN 所成的角．
10．（2023 春·河南·高三校联考阶段练习）在斜三棱柱 ABC - A1B1C1 中，O 为底面正VABC 的中心， A1O ^底
面 ABC ， AC = AA1 = 2．
(1)证明：平面 A1AC ^ 平面 A1BO ；
(2)求 A1C 与平面BCC1B1所成角的正弦值．
一、单选题
1．（2022 秋·河南洛阳·高二统考期中）在四面体 A - BCD中，平面 ABC ^ 平面 DBC，且 AB = BC = BD ，
CBA = CBD = 60°，则直线 BC 与平面 ABD 所成角的余弦值为（ ）
A 6． B 3．
3 3
C 15． D 10．
5 5
2．（2021 秋·河北沧州·高三统考阶段练习）在正三棱锥 A - BCD中，AB，AC，AD 两两垂直，E，F 分别是
AB，AD 的中点，过 E，F 的平面与棱 AC 交于点 G，且VA-EFG :VEFG-BDC =1: 5（V 表示体积），则 AC 与平面
EFG 所成角的正切值等于（ ）
A 21． B 4 2 3 2． 2 C． D．4 3 8
3．（2023·全国·高三专题练习）在正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱） ABC - A1B1C1 中， AB = 2 ， E ，
1
F 分别为 A1C1和 A1B1 的中点，当 AE 和 BF 所成角的余弦值为 时， AE 与平面BCC1B1所成角的正弦值为4
（ ）
A 6． B 6 C 10． ． D 10．
2 4 4 2
二、多选题
4．（2022 秋·广东茂名·高二校联考期末）如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中，点 E 是线段 CD1
上的动点，则下列判断正确的是（ ）
A．直线 AC1⊥平面 BCD1A1
B．点 B1到平面 BCD1A1的距离是 2
C．无论点 E 在线段 CD1的什么位置，都有 AC1⊥B1E
D 3．若异面直线 B1E 与 AD 所成的角为 θ，则 sinθ 的最小值为
3
三、填空题
5．（2022·高二课时练习）如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，直线 A1B 和平面 A1DC1所成角的正弦值是 ；
6．（2023 春·甘肃金昌·高二永昌县第一高级中学校考期中）如图，已知 AE ^ 平面 ABCD，CF / / AE ，
AD / /BC ， AD ^ AB， AB = AD =1，BC = 2 .若 AE = 2，CF =1，则 BF 与平面BDE 所成角的余弦值
为 .
四、解答题
7．（2023·全国·高三专题练习）如图，已知多面体 ABC - A1B1C1 中， A1A, B1B,C1C 均垂直于平面 ABC ,
ABC =120o ， A1A = 4，C1C =1, AB = BC = B1B = 2 .请用空间向量的方法解答下列问题：求直线 AC1与平面
ABB1 所成的角的正弦值.
8．（2012 春·江西·高三阶段练习）如图，在边长为 4 的菱形 ABCD 中， DAB = 60o．点 E、F 分别在边
CD、CB 上，点 E 与点 C、D 不重合，EF ^ AC，EF AC = O．沿 EF 将△CEF 翻折到△PEF 的位置，使
平面 PEF⊥平面 ABFED．
（1）求证：BD ^平面POA；
uuur uuur
（2）设点 Q 满足 AQ = lQP(l > 0)，试探究：当 PB 取得最小值时，直线 OQ 与平面 PBD 所成角的大小是
p
否一定大于 ？并说明理由．
4
一、单选题
1．（2021 秋·江西鹰潭·高二贵溪市第一中学校考阶段练习）如图，在正方体 AC1中，直线BC1与平面 A1BD
所成的角的余弦值是( )
A 2 B 3 C 2 3． ． ． D．
2 3 3 2
2．（2021·高二课时练习）正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱上(除去棱 AD)到直线 A1B 与CC1的距离相等的点有3
个，记这3个点分别为E, F ,G ，则直线 AC1与平面EFG 所成角的正弦值为
A 26 B 2 26 C 2 78 D 4 78． ． ． ．
13 13 39 39
二、多选题
3．（2023 春·浙江·高二校联考阶段练习）已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为 2，点 E，F，G 分别是线段
BC1，CD1， A1B1 的中点，则（ ）
A．DE ^ BG
B． AF ∥平面BC1G
C 3．直线 AB 与平面BC1G 所成的角的余弦值为
3
D．过点 F 且与直线DE 垂直的平面a ，截该正方体所得截面的周长为3 5 + 2
4．（2023 秋·浙江绍兴·高二统考期末）如图，在平行六面体 ABCD - A1B1C1D1 中，以顶点 A 为端点的三条棱
长均为 6，且它们彼此的夹角都是60o ，下列说法中正确的是（ ）
A．BD ^平面 ACC1
B．BD1 = 6 3
1
C．直线 AC1与平面 ABCD所成的角的正弦值为 3
D．直线BD1与 AC
6
所成角的余弦值为
6
三、填空题
5．（2022 春·江苏淮安·高二马坝高中校考期中）在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，点O为线段BD的中点.设点 P
在线段BB1（ P 不与 B 重合）上，直线OP与平面 A1BD 所成的角为a ，则 sina 的最大值是 .
四、解答题
6．（2023 春·江苏南京·高二南京市第五高级中学校考期中）如图，在底面为矩形的四棱锥P- ABCD中，平
面PAD ^平面 ABCD .
（1）证明： AB ^ PD ；
（2）若PA = PD = AB， APD = 90°，设Q为 PB中点，求直线 AQ 与平面PBC 所成角的余弦值.
7．（2020·高二课时练习）如图所示，在棱长为 a的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中， E, F 分别是 BC, A1D1的中点.
（1）求直线 A1C 与DE 所成角的余弦值;
（2）求直线 AD 与平面B1EDF 所成角的余弦值.
8．（2022 秋·北京丰台·高三北京丰台二中校考阶段练行四边形 ABCD所在的平面与直角梯形 ABEF 所
在的平面垂直，BE / / AF ， AB
1
= BE = AF =1，且 AB ^ AF ， CBA p= ，
2 4 BC = 2
， P 为DF 的中点.
（1）求证：PE / /平面 ABCD；
（2）求证： AC ^ EF ；
（3）若直线 EF 上存在点 H ，使得CF ，BH 10所成角的余弦值为 ，求BH 与平面 ADF 所成角的大小.
5
