1.2.5 空间中的距离
分层练习
一、单选题
r
1．（2021·高二单元测试）已知平面a 的一个法向量为 n = -2, -2,1 ，点 A x,3,0 在平面a 内，且P -2,1,4
10
到平面a 的距离为 ，则 x 的值为（ ）
3
A．1 B．11 C．-1或-11 D．-21
2．（2022 秋·新疆伊犁·高二校考期中）空间中有三点P 1, -2, -2 ，M 2, -3,1 ， N 3, -2,2 ，则点 P 到直线
MN 的距离为（ ）
A． 2 2 B． 2 3 C．3 D． 2 5
3．（2021·全国·高三专题练习）如图所示，正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为1，E 、F 、G 分别为BC 、
CC1 、BB1的中点，则（ ）
A．直线D1D与直线 AF 垂直
B．直线 A1G 与平面 AEF 平行
C．平面 AEF 截正方体所得的截面面积为1
D．点C 和点G 到平面 AEF 的距离相等
4．（2023 春·安徽阜阳·高二安徽省太和中学校考阶段练习）在棱长为 2 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，下列
说法不正确的是（ ）
π
A．直线BC 与平面 ABC1D1所成的角为 3
B． AC1 ^ A1D
C．三棱锥B1 - A1BD 外接球的表面积为12π
D 2 3．平面 A1BD 与平面B1D1C 的距离为
3
二、多选题
5．（2023 春·高二课时练习）已知空间中四个点D 0,2,0 , N 2,1,0 , M 1,0,0 , P 0,1,1 ，则下列结论正确的
是（ ）
uuuur uuur
A．PM PD =0
uuur uuuur π
B．PD与 NM 夹角为 3
r
C．平面 PDM 的一个法向量为 n = 2,1,1
D．点 N 6到平面 PDM 的距离为
2
三、填空题
r
6．（2021 秋·山东枣庄·高二统考期中）已知向量 n = (2,0,1)为平面a 的法向量，点 A(-1,0,1)在a 内，则点
P(1, 2, 2) 到平面a 的距离为 ．
四、解答题
7．（2022 秋·北京·高二对外经济贸易大学附属中学（北京市第九十四中学）校考期中）已知三棱柱
ABC - A1B1C1 的侧棱垂直于底面， BAC = 90°， AB = AC = AA1 = 1，E F 分别是棱C1C BC 的中点.
(1)求证：B1F ^ 平面 AEF ；
(2)求直线 AB1与平面 AEF 所成角的正弦值；
(3)求点F 到平面EAB1的距离.
8．（2022 秋·福建泉州·高二石狮市第一中学校考期中）如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，点M
为线段 AA1的中点.
(1)求点D到平面MCD1 的距离；
(2)求平面 ADD1A1与平面MCD1 夹角的余弦值.
9．（2021秋·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）如图，已知三棱柱 ABC - A1B1C1 ，平面 A1ACC1⊥平面 ABC ，
ABC = 90o ， BAC = 30o ，△A1AC 是边长为 2 的等边三角形.
(1)求二面角 A1 - BC - A的大小的正切值；
(2)求直线 B1C1 到平面 A1BC 的距离.
一、单选题
1．（2022·高二单元测试）如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点 E 是棱 AB 的中
点，则点 E 到平面 ACD1的距离为（ ）
A 1 2
1 1
． 2 B． C． D．2 3 6
2．（2023 秋·江西宜春·高二统考期末）已知 A 1,0,0 , B 0,1,0 ,C 0,0,1 ，则原点到平面 ABC 的距离是（ ）
A 3． B． 3 C． 2 3 D．3 3
3
3．（2021 秋·广东中山·高二中山纪念中学校考期中）若正四棱柱 ABCD - A1B1C1D1 的底边长为 2，
p
B1AB = ，E 是D1D的中点，则 A1C1到平面 EAC 的距离为（3 ）
A． 5 B 2 5 C 2 30 2 30． ． D．
5 3
4．（2022 春·江西赣州·高二校联考期中）如图，已知多面体 ABCDE ，其中 VABC 是边长为 4 的等边三角形，
四边形 ACDE 是矩形， AE = 2，平面 ACDE ^平面 ABC ，则点C 到平面 ABD的距离是（ ）
A 3 B 4 3 C D 3 3 +1． ． ． 3 ．
4 4
二、多选题
5．（2023 春·高二课时练习）已知空间中四个点D 0,2,0 , N 2,1,0 , M 1,0,0 , P 0,1,1 ，则下列结论正确的
是（ ）
uuuur uuur
A．PM PD =0
uuur uuuur π
B．PD与 NM 夹角为 3
r
C．平面 PDM 的一个法向量为 n = 2,1,1
D．点 N 6到平面 PDM 的距离为
2
6．（2023 秋·高二单元测试）下列命题正确的是（ ）
ur ur uuur
A．若 p 是平面a 的一个法向量， A, B是直线b 上不同的两点，则b P a 的充要条件是 p × AB = 0
uuur 2 uuur 1 uuur uuur
B．已知 A, B,C 三点不共线，对于空间中任意一点O，若OP = OA + OB
2
+ OC ，则P, A, B,C 四点共
5 5 5
面
r r r rC．已知 a = -1,1,2 ,b 3= 0,2,3 ，若 kar r+ b 与 2a - b 垂直，则 k = - 4
D．已知VABC 的顶点分别为 A -1,1,2 , B 4,1,4 ,C 3, -2,2 ，则 AC 边上的高BD的长为 13
三、填空题
7．（2023 春·高二课时练习）若两平行平面a 、b 分别经过坐标原点 O 和点 A 2,1,1 ，且两平面的一个法向
r
量为 n = -1,0,1 ，则两平面间的距离是 ．
8．（2021·高二课时练习）如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1中，若 BB1= 2 AB=2 2 ，则点 C 到直线 AB1的距
离为 .
四、解答题
9．（2022 秋·安徽芜湖·高二统考期末）如图，圆锥的底面直径与母线长均为 4，PO 是圆锥的高，点 C 是底
面直径 AB 所对弧的中点，点 D 是母线 PA 的中点．
(1)求圆锥的表面积；
(2)求点 B 到直线 CD 的距离．
10．（2023 春·天津和平·高一天津一中校考期末）如图，在四棱锥P- ABCD中，PA ^平面 ABCD，底面 ABCD
是直角梯形，其中 AD∥BC ， AB ^ AD, PA = 4, AB AD
1
= = BC 1= 2, E 为棱BC 上的点，且BE = BC ．
2 4
(1)求证：DE ^ 平面PAC ；
(2)求平面 APC 与平面PCD夹角的余弦值；
(3)求点E 到平面PCD的距离．
一、单选题
1．（2023 春·高二课时练习）如图，在正三棱柱 ABC - A1B1C1中，若 AB = 2BB1 = 4，则点C 到直线 AB1 的
距离为（ ）
A 2 15 B 2 10 C 2 15 D 2 30． ． ． ．
5 5 3 3
2．（2023·全国·高三专题练习）在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中， AB =1，BC = 2， AA1 = 3，则异面直线 AC
与BC1之间的距离是（ ）
A 5 B 7 6
6
． ． C． D．
5 7 6 7
3．（2022 秋·河南·高二河南省实验中学校考阶段练习）已知正方体 ABCD - EFGH 棱长为 2，M 为棱CG 的
中点， P 为底面EFGH 上的动点，则下列说法正确的有（ ）个
①存在点 P ，使得 AP + PM = 4；
②存在唯一点 P ，使得 AP^PM ；
③当 AM ^ BP ，此时点 P 的轨迹长度为 2 ；
9p
④当 P 为底面EFGH 的中心时，三棱锥P - ABM 的外接球体积为 .
2
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2023 秋·浙江嘉兴·高三统考期末）如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中， E 为棱 A1B1 的中点，
M , N 分别是底面 ABCD与侧面CDD1C1 的中心， P 为该正方体表面上的一个动点，且满足 PM ^ BE ，记点 P
的轨迹所在的平面为a ，则过 N ,C, B1,C1四点的球面被平面a 截得的圆的周长是（ ）
4 8
A 6 5 4 5． p B． p C． p D． p
3 5 3 3
二、多选题
5．（2021 秋·广东广州·高二广州四十七中校考期中）如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中， AB =1，M 为棱
AB 上的动点，下面说法正确的是（ ）
A．D1M 与平面B1AC
6
所成角的正弦值的范围为[ ,1]
3
B．当点M 与点 B 重合时，D1M ^平面B1AC
C．当点M 与点 B 重合时，若平面a //平面B1AC ，则平面a 截该正方体所得截面面积最大值为 3
uuuur uuuur
D．当点M 为 AB 的中点时，若平面B1AC 与D1M 交于点 P ，则D1P = 4PM
6．（2022 秋·福建福州·高三校联考期中）正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，E，F，G 分别为BC ，CC1 ，BB1的中
点，则（ ）
A．直线 B1D1与直线 AF 垂直
B．直线 A1G 与平面 AEF 平行
4
C．直线D1G 与平面 AEF 所成角的余弦值为 9
D．点 C 和点 G 到平面 AEF 的距离相等
三、填空题
r
7．（2022 秋·湖南怀化·高二怀化市第三中学校考期中）已知向量 n = 2,0,1 为平面a 的法向量，点 A -1,2,1
在a 内，点P 1,2,-2 在a 外，则点 P 到平面a 的距离为 ．
8．（2023 秋·浙江台州·高二台州市书生中学校考期末）在直四棱柱 ABCD - A1B1C1D1 中，底面 ABCD为正方
形， AA1 = 2AB = 2．点 P 在侧面BCC1B1内，若 A1C ^平面BDP ，则点 P 到CD 的距离的最小值
为 ．
9．（2023 秋·北京丰台·高二统考期末）棱长为 2 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，点 P 满足
uuur uuur uuur uuur
BP = xBA + yBC + zBB1 ，其中 x，y， z 0,1 ，给出下列四个结论：
①当 x = 0， z =1时，△BPD1可能是等腰三角形；
4
②当 x = 0， y =1时，三棱锥P - BDD1的体积恒为 ；3
③当 z =1，且 x + y =1时，△BPD1的面积的最小值为 2 ；
④当 z =1，且 x + y = 12 时， BPD1可能为直角．
其中所有正确结论的序号是 ．
四、解答题
10．（2022 春·全国·高三校联考开学考试）如图，多面体 ABCD - A1B1C1D1 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的
正方形，上底面 A1B1C1D1为直角梯形，且CC1 = B1C1 = C1D1 = 2A1D1 = 2，BB1∥CC1∥DD1，CC1 ^ 平面ABCD，
F 为棱CC1 上的一个动点，设由点 A1，A，F 构成的平面为 α.
(1)当 F 为CC1 的中点时，在多面体中作出平面 α 截正方体的截面图形，并指明与棱的交点位置；
(2)求当点 D 到平面 α 的距离取得最大值时直线 AD 与平面 α 所成角的正弦值.1.2.5 空间中的距离
分层练习
一、单选题
r
1．（2021·高二单元测试）已知平面a 的一个法向量为 n = -2, -2,1 ，点 A x,3,0 在平面a 内，且P -2,1,4
10
到平面a 的距离为 ，则 x 的值为（ ）
3
A．1 B．11 C．-1或-11 D．-21
【答案】C
uuur r
uuur PA × n 10
【详解】PA = (x + 2,2,-4)，而d = r = 3 ， n
| -2(x + 2) - 4 - 4 | 10
即 = ，
4 + 4 +1 3
解得 x=-1或－11.
故选：C
2．（2022 秋·新疆伊犁·高二校考期中）空间中有三点P 1, -2, -2 ，M 2, -3,1 ， N 3, -2,2 ，则点 P 到直线
MN 的距离为（ ）
A． 2 2 B． 2 3 C．3 D． 2 5
【答案】A
uuuur uuuur r
【详解】因为MN = 1,1,1 3，所以MN 的一个单位方向向量为u = 1,1,1 .
3
uuuur uuuur uuuur r
因为PM = 1,-1,3 ，故 PM = 12 + -1 2 + 32 = 11 ，PM ×u 3= 1-1+ 3 = 3 ,
3
uuuur 2 uuuur r 2所以点 P 到直线MN 的距离为 PM - PM ×u = 11- 3 = 2 2 .
故选：A
3．（2021·全国·高三专题练习）如图所示，正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为1，E 、F 、G 分别为BC 、
CC1 、BB1的中点，则（ ）
A．直线D1D与直线 AF 垂直
B．直线 A1G 与平面 AEF 平行
C．平面 AEF 截正方体所得的截面面积为1
D．点C 和点G 到平面 AEF 的距离相等
【答案】B
【详解】以D点为坐标原点，DA、DC 、DD1为 x ， y ， z 轴建系，
则D(0，0，0)、 A(1，0，0) 、C(0，1，0)、 A1(1，0，1)、D1(0，0，1) 、
E(1 1 0) F (0 1 1) G(11 1，， 、 ，， ， ，， ) ，
2 2 2
uuuur uuur 1 uuuur uuur
则DD1 = 0，0，1 、 AF = -1，1， ÷，则DD AF
1
× = ，
è 2 1 2
∴直线D1D与直线 AF 不垂直，A 错误;
uuuur 1 uuur 1 uuur
则 A1G = 0 1 - AE = - 1 0 AF =
1
，， ÷， ，，÷， -1，1， ÷，
è 2 è 2 è 2
uuur r ì 1r ìAE × n = 0
- x + y = 0
2
设平面 AEF 的法向量为n = (x，y，z)，则 íuuur r í ，
AF × n = 0 -x + y 1+ z = 0
2
令 x = 2，则 y =1， z = 2 ，
v uuuur
则 n = (2，1，2)， A1G × n
r
= 0，∴直线 A1G 与平面 AEF 平行，B 正确;
易知四边形 AEFD1为平面 AEF 截正方体所得的截面，且D1F 、DC 、 AE 共点于 H ，D1H = AH = 5 ，
AD1 = 2 ，
S 1 2 2 3
3 9
∴ S = × S =DAD H = 2 ( 5) - ( ) = ，则 VAD H ，C 错误;1 2 2 2 四边形AEFD1 4 1 8
uuur r
uuur AC ×n
AC = (-1，1，0)，点C 1到平面 AEF 的距离 d1 = v = ，n 3
uuur
uuur 1 AG ×n
r
AG = 0，1， G
2
÷，点 到平面2 AEF
的距离 d2 = r = ，则 d1 d2，D 错误;è n 3
故选:B．
4．（2023 春·安徽阜阳·高二安徽省太和中学校考阶段练习）在棱长为 2 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，下列
说法不正确的是（ ）
A．直线BC 与平面 ABC1D
π
1所成的角为 3
B． AC1 ^ A1D
C．三棱锥B1 - A1BD 外接球的表面积为12π
D．平面 A1BD 与平面B1D1C
2 3
的距离为
3
【答案】A
【详解】
连接B1C ，与BC1相交于O点，因为D1C1 ^平面B1BCC1，且B1C1 平面B1BCC1，
所以D1C1 ^ B1C ，又因为B1C ^ BC1，BC1 D1C1 = C1，所以 B1C ^ 平面B1BCC1，
即直线BC 与平面 ABC1D
π
1所成的角为 CBC1，且 CBC1 = ，故 A 错误；4
连接 AC1, A1D, BD, A1B ，以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系，
则 A 2,0,0 ,C1 0,2,2 , A1 2,0,2 , D 0,0,0 , B 2,2,0 ，
uuuur uuur uuuur
则 AC1 = -2,2,2 , DB = 2,2,0 , DA1 = 2,0,2
r
设平面DA1B 的法向量为 n = x, y, z ，
r uuurì n × DB = 2x + 2y = 0 ìy = -x
则 í r uuuur ，解得 í ，取 x =1，则 y = -1, z = -1
n × DA1 = 2x + 2z = 0 x = -z
r uuuur r
所以 n = 1, -1, -1 ，则 AC1 = -2n ，所以 AC1 ^平面DA1B ，
且 A1D 平面DA1B ，则 AC1 ^ A1D，故 B 正确；
因为三棱锥B1 - A1BD 外接球就是正方体 ABCD - A1B1C1D1 的外接球，
设其外接球的半径为 R ，则 2R = 22 + 22 + 22 ，即 R = 3 ，
所以 S = 4πR2 =12π ，故 C 正确；
因为BD / / B1D1, BD 平面 A1BD, B1D1 平面 A1BD,所以B1D1 / / 平面 A1BD,
同理B1C / / 平面 A1BD, 又B1D1 I B1C = B1, B1D1, B1C 平面B1D1C ,
所以平面 A1BD / / 平面B1D1C ，
r uuuur
由 B 选项可知，平面DA1B 的法向量为 n = 1, -1, -1 ，且D1A1 = 2,0,0 ，
uuuur r
D1A1 ×n 2 2 3
则两平面间的距离 d = r = = ，故 D 正确.故选:A
n 3 3
二、多选题
5．（2023 春·高二课时练习）已知空间中四个点D 0,2,0 , N 2,1,0 , M 1,0,0 , P 0,1,1 ，则下列结论正确的
是（ ）
uuuur uuur
A．PM PD =0
uuur uuuur π
B．PD与 NM 夹角为 3
r
C．平面 PDM 的一个法向量为 n = 2,1,1
D N PDM 6．点 到平面 的距离为
2
【答案】ACD
【详解】由D 0,2,0 , N 2,1,0 , M 1,0,0 , P 0,1,1 ，
uuuur uuur uuuur
uuuur uuur得PM = 1, -1, -1 , PD = 0,1,-1 , NM = -1,-1,0 .所以 PM PD =0 故 A 正确
uuur uuuur uuur uuuur
Qcos PD, NM uPuuDr × NuuMuur -1 1
uuur uuuur
< >= = = - uuur uuuurPD, NM 0, π 2π
PD × NM 2 × 2 2 ，又
，故PD与 NM 夹角为 ，故 B 错误3
r
设平面 PDM 的一个法向量为 n = x, y, z ，
r uuuur
ìn × PM = 0 ìx - y - z = 0 r
由 í r uuur ，得 íy z 0 ，不妨令 z =1，则
n = 2,1,1 .
n × PD = 0 - =
uuuur
NM r×n 6
设点 N 到平面 PDM 的距离为d ，则 d = r = .故 CD 正确，n 2
故选：ACD.
三、填空题
r
6．（2021 秋·山东枣庄·高二统考期中）已知向量 n = (2,0,1)为平面a 的法向量，点 A(-1,0,1)在a 内，则点
P(1, 2, 2) 到平面a 的距离为 ．
【答案】 5
uuur
【详解】因为 A(-1,0,1)，P(1, 2, 2) ，则 PA = -2,-2,-1 ，
r uuur
n × PA
P a | -4 + 0 -1|点 到平面 的距离为 r = = 5 ．
| n | 5
故答案为： 5 .
四、解答题
7．（2022 秋·北京·高二对外经济贸易大学附属中学（北京市第九十四中学）校考期中）已知三棱柱
ABC - A1B1C1 的侧棱垂直于底面， BAC = 90°， AB = AC = AA1 = 1，E F 分别是棱C1C BC 的中点.
(1)求证：B1F ^ 平面 AEF ；
(2)求直线 AB1与平面 AEF 所成角的正弦值；
(3)求点F 到平面EAB1的距离.
【详解】（1）因为 AB = AC ,所以 AF ^ BC,
又因为BB1 ^ 平面 ABC ， AF 平面 ABC ，
所以BB1 ^ AF ,且BC, BB1 平面BCC1B1 ,
所以 AF ^平面BCC1B1 , EF 平面BCC1B1 ,
所以 AF ^ B1F ,
又因为BC = AB2 + AC 2 = 2 , B1F = BF
2 + BB2 61 = ,2
B E B C 2 C E2 31 = 1 1 + 1 = ,2 EF = CF
2 + CE2 3= ,
2
所以 B 21E = B1F
2 + EF 2 ,所以B1F ^ EF ,
且 AF I EF = F , AF , EF 平面 AEF ，
所以B1F ^ 平面 AEF .
（2）
以 AB, AC, AA1分别为 x, y, z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
1 1 1
则 A(0,0,0), B1(1,0,1), E 0,1, , F2 ÷
, ,0÷ ,
è è 2 2
uuuur
AB1 = 1,0,1 ,
ur
设平面 AEF 的法向量为m = (a,b,c)，直线 AB1与平面 AEF 所成角为q ，
uuur uuurAE 0,1, 1 , AF 1= = , 1 ,0 ÷ ,
è 2 è 2 2 ÷
ìmr
uuur
× AE = b
1
+ c = 0
2
所以 í r uuur ，令
a =1,
1 1 则
b = -1,c = 2 ，
m × AF = a + b = 0
2 2
ur
所以m = (1, -1,2) ，
uuur ur
uuur ur AB1 ×m
所以 sinq = cos < AB1, m > = uuur ur
3 3
= = .
AB 21 × m 2 6
uuur
（3）EF =
1 1 1
, - , -
,
è 2 2 2 ÷
r
设平面EAB1的法向量为 n = (x, y, z) ，
uuur uuur
AB1 = (1,0,1), B1E =
-1,1,
1
- ÷ ,
è 2
r uuurìn × AB1 = x + z = 0
所以 í r uuur 1 ，令 x = 2, 则 z = -2, y = 1，
n × B1E = -x + y - z = 0 2
r
所以 n = (2,1,-2)，
uuur r 3
所以点F 到平面EAB1的距离为 EFr × n = 2 1= .
n 3 2
8．（2022 秋·福建泉州·高二石狮市第一中学校考期中）如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，点M
为线段 AA1的中点.
(1)求点D到平面MCD1 的距离；
(2)求平面 ADD1A1与平面MCD1 夹角的余弦值.
【详解】（1）如图建立空间直角坐标系 A - xyz ．
因为正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为 2，M 是 AA1的中点，
所以C 2,2,0 , D 0, 2,0 , M 0,0,1 , D1 0,2,2 ，
uuuur uuuur
由可得MD1 = 0,2,1 , MC = 2,2,-1 ，
r
设平面MCD1 的法向量为 n = x, y, z ，
uuuur
ìn
r
× MD1 = 2y + z = 0 r
则 í
nr
uuuur ，令 y =1，则 z = -2， x = -2，所以 n = -2,1, -2 ，
× MC = 2x + 2y - z = 0
uuuur
因为D1D = 0,0, -2 ，设点D到平面MCD1 的距离为d ，
uuuur r
D1D × n
则 d r
4
= = 4，故点D到平面MCD1 的距离为 ；
n 3 3
r
（2）由（1）可得平面MCD1 的法向量为 n = -2,1, -2 ，
ur
显然平面 ADD1A1的法向量可以为m = 1,0,0 ，
r ur
n ×m
设平面 ADD1A1与平面MCD1 夹角为q ，所以 cosq = r ur
2
= ，
n × m 3
2
所以平面 ADD1A1与平面MCD1 夹角的余弦值为 3 .
9．（2021秋·江西景德镇·高二景德镇一中校考期中）如图，已知三棱柱 ABC - A1B1C1 ，平面 A1ACC1⊥平面 ABC ，
ABC = 90o ， BAC = 30o ，△A1AC 是边长为 2 的等边三角形.
(1)求二面角 A1 - BC - A的大小的正切值；
(2)求直线 B1C1 到平面 A1BC 的距离.
【详解】(1)
Q △A1AC 是边长为 2 的等边三角形
由题意可得 AB = 3, BC =1，
取 AC, BC 的中点 E, F ，连接 A1E, EF , A1F ，
\ A1E ^ AC ，且 A1E = 3
又Q平面 A1ACC1⊥平面 ABC ，且平面 A1ACC1 平面 ABC = AC ，
\ A1E ^ 平面 ABC ，
\ A1E ^ BC
1 3
，又因为EF / / AB，且EF = AB = ，
2 2
ABC = 90o
所以BC ^ EF ，
因为 A1E EF = E ，\BC ^平面 A1EF
所以 A1FE 为二面角 A1 - BC - A的平面角，
在RtVA1EF 中， tan A FE
A
= 1
E
1 = 2 .EF
(2)
在三棱柱 ABC - A1B1C1 中，B1C1 / / BC ，
又因为B1C1 平面 A1BC ，BC / / 平面 A1BC ，
所以B1C1 / / 平面 A1BC ，
所以直线 B1C1 到平面 A1BC 的距离即为点B1到平面 A1BC 的距离，
在底面 ABC 内作 EH ^ AC ，
以E 为坐标原点，以EH , EC, EA 为 x, y, z1 轴，建立空间直角坐标系，
如图：
则 A 0, -1,0 , B 3 ,
1 ,0÷÷ , A1 0,0, 3 ,C 0,1,0 ,
è 2 2
uuur uuuur
B 3 3
由 AB = A1B1 ，可得 1 , , 32 2 ÷÷，è
uuur
BB 0,1, 3 uuur , A B 3 1 uuur , , 3 1 则 1 = 1 = - 3 , BC = - , ,0 ，
è 2 2 ÷
÷
è 2 2 ÷
÷
r
设平面 A1BC 的一个法向量为 n = x, y, z ，
ì
v uuuv 3 1ìn × uA B = 0
x + y - 3z = 0
u1uv 2 2则 í
nv
，即 í ，
× BC = 0 3 x 1 - + y = 0 2 2
令 x =1，则 y = 3, z =1，
r
所以 n = 1, 3,1 ，
所以点B1到平面 A1BC 的距离，
uuur r
d BBr1 ×n 3 + 3 2 3 2 15所以 = = = =
n 5 5 5
一、单选题
1．（2022·高二单元测试）如图，在长方体 ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，点 E 是棱 AB 的中
点，则点 E 到平面 ACD1的距离为（ ）
A 1 2
1 1
． 2 B． C． D．2 3 6
【答案】C
【详解】如图，
uuur uuur uuur
以 D 为坐标原点， DA,DC, DD1 ，分别为 x 轴，y 输、z 轴正方向建立空间直角坐标系，则
uuuur uuur uuuur
D1 0,0,1 , E 1,1,0 , A 1,0,0 ,C 0,2,0 ．从而D1E = 1,1, -1 , AC = (-1,2,0),AD1 = (-1,0,1) .
r v uuuv
ìn × uAuC = 0 ì
-a + 2b = 0 ìa = 2b
设平面 ACD1的法向量为 n = a,b,c ，则 í v uuv ，即 í a c 0 ，得 ía c ， n × AD1 = 0 - + = =
r uuuur r
令 a = 2，则 n = 2,1,2 ，所以点 E 到平面 ACD h | D1Er ×n | 2 +1- 2 11的距离为 = = = ．| n | 3 3
故选：C
2．（2023 秋·江西宜春·高二统考期末）已知 A 1,0,0 , B 0,1,0 ,C 0,0,1 ，则原点到平面 ABC 的距离是（ ）
A 3． B． 3 C． 2 3 D．3 3
3
【答案】A
uuur uuur
【详解】 A 1,0,0 , B 0,1,0 ,C 0,0,1 ,\ AB = -1,1,0 , AC = -1,0,1 ,
uuur r
r ì AB ×n = 0 ì-a + b = 0
r
设其法向量为 n= a,b,c ,\íuur r ,\í ，取 a =1得 n = 1,1,1a c 0 ; Ac × n = 0 - + =
uuur r
uuur OA × n
又OA = 1,0,0 , d r 1 3\ = = = .
n 12 +12 +12 3
故选：A
3．（2021 秋·广东中山·高二中山纪念中学校考期中）若正四棱柱 ABCD - A1B1C1D1 的底边长为 2，
B AB p1 = ，E 是D1D的中点，则 A1C1到平面 EAC 的距离为（3 ）
A． 5 B． 2 5 C 2 30 D 2 30． ．
5 3
【答案】C
【详解】解：由棱柱的几何性质可知， A1C1∥AC，
又 A1C1 平面 EAC，AC 平面 EAC，
则 A1C1∥平面 EAC，
所以点 A1到平面 EAC 的距离即为直线 A1C1到平面 EAC 的距离，
因为正四棱柱 ABCD - A1B1C1D
p
1 的底边长为 2， B1AB = ，3
则 AA1 = 2 3，
以点 A 为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，
则 A（0，0，0）， A1 0,0,2 3 ，C 2,2,0 ，E 0,2, 3 ，
uuur uuur uuur
所以 AE = 0,2, 3 ， AC = 2,2,0 ， AA1 = 0,0,2 3 ，
r
设平面 AEC 的法向量为 n = x, y, z ，
v uuuvìn × AE = 0 ì2y + 3z = 0
则 í uuuv ，即 í ，
n
v × AC = 0 2x + 2y = 0
令 x = 3 ，则 y = - 3 ， z = 2 ，
r
故 n = 3, - 3,2 ，
uuur r
AA1 ×n
所以点 A1到平面 EAC 的距离 d r
4 3 2 30
= = = ，
n 3+ 3 + 4 5
故 AC 2 301 1到平面 EAC 的距离为 ．5
故选：C．
4．（2022 春·江西赣州·高二校联考期中）如图，已知多面体 ABCDE ，其中 VABC 是边长为 4 的等边三角形，
四边形 ACDE 是矩形， AE = 2，平面 ACDE ^平面 ABC ，则点C 到平面 ABD的距离是（ ）
A 3 B 4 3 C D 3 3 +1． ． ． 3 ．
4 4
【答案】C
【详解】取 AC 的中点 O，连接 OB，过 O 在平面 ACDE 面内作OF ^ AC 交 DE 于 F
∵平面 ACDE ^平面 ABC，平面 ACDEI平面 ABC=AC，OF 平面 ACDE，OF ^ AC
∴OF ^平面 ABC
∴OF ^ OB
∵VABC 是边长为 4 的等边三角形，四边形 ACDE 是矩形， AE = 2
∴OB ^ AC
以 O 为原点，OA，OB，OF 分别为 x，y，z 轴，建立如图所示空间直角坐标系
则 A 2,0,0 ，B 0,2 3,0 ，C -2,0,0 ，D -2,0,2
r
设平面 ABD 的单位法向量 n = x0 , y0 , z0
uuur uuur uuurAB = -2,2 3,0 ， AD = -4,0,2 ，CA = 4,0,0
v uuuvì ì 1 n × AuBuuv= -2x0 + 2 3y0 = 0
y0 = x0
由 í 解得 í 3
n
v × AD = -4x0 + 2z0 = 0 z0 = 2x0
r
取 x0 = 3 ，则 n = 3,1,2 3
r uuur
n ×CA 4 3
∴点 C 到平面 ABD 的距离 d = r = = 3 .
n 3+1+12
故选：C
二、多选题
5．（2023 春·高二课时练习）已知空间中四个点D 0,2,0 , N 2,1,0 , M 1,0,0 , P 0,1,1 ，则下列结论正确的
是（ ）
uuuur uuur
A．PM PD =0
uuur uuuur π
B．PD与 NM 夹角为 3
r
C．平面 PDM 的一个法向量为 n = 2,1,1
D．点 N 到平面 PDM 6的距离为
2
【答案】ACD
【详解】由D 0,2,0 , N 2,1,0 , M 1,0,0 , P 0,1,1 ，
uuuur uuur uuuur
uuuur uuur得PM = 1, -1, -1 , PD = 0,1,-1 , NM = -1,-1,0 .所以 PM PD =0 故 A 正确
uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur
Qcos < PD, NM >= uPuuDr × NuuMuur -1 1= = - PD, NM 0, π uuur uuuur 2π
PD NM 2 × 2 2 ，又
，故PD与 NM 夹角为 ，故 B 错误× 3
r
设平面 PDM 的一个法向量为 n = x, y, z ，
r uuuurì n × PM = 0 ìx - y - z = 0 r
由 í r uuur ，得 íy z 0 ，不妨令 z =1，则
n = 2,1,1 .
n × PD = 0 - =
uuuur
NM r×n 6
设点 N 到平面 PDM 的距离为d ，则 d = r = .故 CD 正确，n 2
故选：ACD
6．（2023 秋·高二单元测试）下列命题正确的是（ ）
ur ur uuur
A．若 p 是平面a 的一个法向量， A, B是直线b 上不同的两点，则b P a 的充要条件是 p × AB = 0
uuur 2 uuur 1 uuur 2 uuur
B．已知 A, B,C 三点不共线，对于空间中任意一点O，若OP = OA + OB + OC ，则P, A, B,C 四点共
5 5 5
面
r r r rC．已知 a = -1,1,2 ,b = 0,2,3 r r 3，若 ka + b 与 2a - b 垂直，则 k = - 4
D．已知VABC 的顶点分别为 A -1,1,2 , B 4,1,4 ,C 3, -2,2 ，则 AC 边上的高BD的长为 13
【答案】BCD
r
【详解】若 p 是平面a 的一个法向量，直线b 上有不同的两点A ， B ，当b a 时，
r uuur
即使 p × AB = 0，也不能说明b / /a ，故 A 错误；
uuur 2 uuur 1 uuur 2 uuur uuur uuurOP OA OB OC 2 1
uuur uuur 2 uuur uuur
若 = + + ，则 (OP - OA) = (OB - OP) + (OC - OP)，
5 5 5 5 5 5
uuur 1 uuur uuur
所以 AP = PB + PC ，所以P, A, B,C 四点共面，故 B 正确；
2
r r r
由题意可得 ka + b = r r-k,k r+ 2,2k + 3 , 2a - b = -2,0,1 r r，若 ka + b 与 2a - b 垂直，
r r r r 3
则 ka + b × 2a - b = 2k + 2k + 3 = 0，解得 k = - ，故 C 正确；4
uuur uuur
由题意可得 AB = (5,0, 2), AC = (4,-3,0)，则 AC 边上的高BD的长即为点 B 到直线 AC 的距离
uuur uuur
2
2
2 uuur
BD = AB AB uAuC- × ur ÷ = 25 4 20 + 0 + 0+ - ÷ = 13 ，故 D 正确．
è AC
÷
è 3
2 + 42
故选：BCD.
三、填空题
7．（2023 春·高二课时练习）若两平行平面a 、b 分别经过坐标原点 O 和点 A 2,1,1 ，且两平面的一个法向
r
量为 n = -1,0,1 ，则两平面间的距离是 ．
2
【答案】
2
【详解】依题意，平行平面a , b 间的距离即为点 O 到平面b 的距离，
r uuur
uuur
d | n ×rOA | | -1 2 + 0 1+1 1| 1 2而OA = (2,1,1)，所以平行平面a 、b 间的距离 = = = =| n | .(-1)2 + 02 +12 2 2
2
故答案为：
2
8．（2021·高二课时练习）如图，在正三棱柱 ABC-A1B1C1中，若 BB1= 2 AB=2 2 ，则点 C 到直线 AB1的距
离为 .
33 1
【答案】 / 33
3 3
【详解】取 AC 的中点 D，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 A（0， -1，0），B1（ 3，0，2 2 ），C（0，1，0），
uuur
所以 AB1 =（ 3，1，2 2 ），
uuur
CA =（0，-2，0）.
uuur uuur
∴CA × AB1 = -2 ，
uuuv
uuur uuur CA
uuuv 2 3∴CA在 AB1 上的投影的长度为 = = ，AB1 2 3 3
所以点 C 到直线 AB1的距离
uuuv
d= | CA |2 -( 3 )2 = 4 1 11 33- = = .
3 3 3 3
33
故答案为：
3
四、解答题
9．（2022 秋·安徽芜湖·高二统考期末）如图，圆锥的底面直径与母线长均为 4，PO 是圆锥的高，点 C 是底
面直径 AB 所对弧的中点，点 D 是母线 PA 的中点．
(1)求圆锥的表面积；
(2)求点 B 到直线 CD 的距离．
2 2
【详解】（1） S表面积 = p r +p rl = p × 2 +p × 2 ×4 =12p
（2）如图，建立直角坐标系
B 0,2,0 ，C 2,0,0 ，D 0, -1, 3 ，P 0,0,2 3
uuur uuur
BC = 2,-2,0 ，CD = -2, -1, 3
uuur uuur
BC ×CD 2
∴B 在 CD 上投影的长度 l = uuur =
CD 2
∴B 到 CD 的距离
2
2 2 2 2 2 2 30d = BC - l = - 2 ÷÷ = ．è 2
解法 2：设直线 CD 上一点 E 满足BE ^ CD．
uuur uuur
令CE = lCD ，则E 2 - 2l, -l, 3l
uuur uuur uuur
∴BE = 2 - 2l, -l - 2, 3l ，BE ×CD = 4l - 4 + l + 2 + 3l
1 uuur
= 8l - 2 = 0∴l = ，∴BE
3 , 9 3= - ,
4 è 2 4 4
÷÷
BE 30 30= = B CD 30∴ ，故 到 距离为 .
4 2 2
10．（2023 春·天津和平·高一天津一中校考期末）如图，在四棱锥P- ABCD中，PA ^平面 ABCD，底面 ABCD
AD BC AB AD, PA 4, AB AD
1 BC 2, E BE 1是直角梯形，其中 ∥ ， ^ = = = = 为棱BC 上的点，且 = BC ．
2 4
(1)求证：DE ^ 平面PAC ；
(2)求平面 APC 与平面PCD夹角的余弦值；
(3)求点E 到平面PCD的距离．
【答案】(1)见解析
(2) 2 5
5
(3)2
【详解】（1）因为PA ^平面 ABCD， AB, AD 平面 ABCD，
所以 PA ^ AB, PA ^ AD ，而 AB ^ AD ，因此可以建立如下图所示的空间直角坐标系，
则有P(0,0, 4), B(2,0,0),C(2, 4,0), D(0, 2,0), E(2,1,0)，
uuur uuur uuur
DE = (2,-1,0)， AP = (0,0,4)， AC = (2,4,0)，
uuur uuur uuur uuur
因为DE × AP = 2 0 + (-1) 0 + 0 4 = 0, DE × AC = 2 2 + (-1) 4 + 0 0 = 0，
所以DE ^ PA, DE ^ AC ，而PA, AC 平面PAC ，PAI AC = A，
所以DE ^ 平面PAC ；
ur
（2）设平面PDC 的法向量为m = (x, y, z)，
uuur uuur
PC = (2, 4, -4), PD = (0, 2,-4)，
v uuuvìm ^ PC ìmv
uuuv
× PC = 0 ì2x + 4y - 4z = 0 v
则有 í v uuuv í uuuv í m = (-2,2,1) ，
m ^ PD
v
m × PD = 0 2y - 4z = 0
uuur
由（1）可知平面PAC 的法向量为DE = (2,-1,0)，
ur uuur ur uuur
cos m, DE m × DE -2 2 - 2 1 2 5所以有 á = ur uuur = = -m DE ，× (-2)2 + 22 +12 22 + (-1)2 5
所以平面 APC 与平面PCD 2 5夹角的余弦值为 ；
5
ur
（3）由（2）可知：平面PDC 的法向量为m = (-2,2,1) ，
uuur
PE = (2,1,-4) ，所以可得：
uuur ur
uuur ur PE × m -2 2 + 2 1- 4 1
cosáPE,m = uuur ur 2= = ，
PE × m (-2)2 + 22 +12 22 +12 + (-4)2 21
uuur uuur ur
E 2 2 2
2
所以点 到平面PCD的距离为 PE ×cosáPE,m = 2 +1 + (-4) = 2 .
21
一、单选题
1．（2023 春·高二课时练习）如图，在正三棱柱 ABC - A1B1C1中，若 AB = 2BB1 = 4，则点C 到直线 AB1 的
距离为（ ）
A 2 15 B 2 10 C 2 15 2 30． ． ． D．
5 5 3 3
【答案】D
【详解】取 AC 的中点 O，取 A1C1中点 D，连接 OD，则OD ^平面 ABC，
连接 OB，因为VABC是等边三角形，
所以OB ^ AC ，
因为OB, AC 平面 ABC，
所以 OB，AC，OD 两两垂直，
所以以 O 为坐标原点，OB 为 x 轴，OC 为 y 轴，OD 为 z 轴，建立空间直角坐标系，
因为 AB = 2BB1 = 4，所以 AO = OC = 2,OB = 42 - 22 = 2 3 ，BB1 = 2 2 ，
故 A 0, -2,0 , B 2 3,0,0 ,C 0,2,0 , B1 2 3,0,2 2 ，
uuur uuur
AC = 0,4,0 , AB1 = 2 3,2,2 2 ，
uuur uuur uuur
2 2
AB 2
AC 0,4,0 × 2 3,2,2 2 C d AC uu×uArB1 ÷ 16 ÷ 2 30点 到直线 1 的距离为 = - = - = .
è AB
÷
1 12 + 4 + 8
÷ 3
è
故选：D
2．（2023·全国·高三专题练习）在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中， AB =1，BC = 2， AA1 = 3，则异面直线 AC
与BC1之间的距离是（ ）
5 7 6 6A． B． C． D．
5 7 6 7
【答案】D
【详解】
如图所示，以D为原点，DA, DC, DD 所在直线为 x, y, z1 轴如图建立空间直角坐标系
则 A(2,0,0),C(0,1,0), B(2,1,0),C1(0,1,3)
uuur uuuur
\CA = (2, -1,0), BC1 = (-2,0,3)
r
设直线 AC 与BC1的公垂线的方向向量为 n = (x, y, z)
ìnv
uuuv
×CA = 0 ì2x - y = 0
则 í v uuuuv \n BC 0 í × 1 = -2x + 3z = 0
r
不妨令 z = 2\ x = 3, y = 6\n = (3,6, 2)
uuur
又 AB = (0,1,0)
uuur r
AB ×n 6 6
则异面直线 AC 与BC1之间的距离 d =| r |= =| n | 32 + 62 + 22 7
故选：D
3．（2022 秋·河南·高二河南省实验中学校考阶段练习）已知正方体 ABCD - EFGH 棱长为 2，M 为棱CG 的
中点， P 为底面EFGH 上的动点，则下列说法正确的有（ ）个
①存在点 P ，使得 AP + PM = 4；
②存在唯一点 P ，使得 AP^PM ；
③当 AM ^ BP ，此时点 P 的轨迹长度为 2 ；
9p
④当 P 为底面EFGH 的中心时，三棱锥P - ABM 的外接球体积为 .
2
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【详解】以 D 为原点，DA，DC，DH 所在直线分别为 x，y，z 轴，建立空间直角坐标系 D-xyz．
A（2，0，0），M（0，2，1），设 P 点坐标为（x，y，2）（ x, y R ），
uuur uuuur
AP = x - 2, y, 2 ，PM = -x, 2 - y,-1
为求 AP + PM 的最小值，找出点 A 关于平面 EFGH 的对称点，
设该点为 A1，则 A1点坐标为 2,0,4
AP + PM A M = 0 - 2 2 + 2 - 0 2∴ 1 + 1- 4
2 = 17 > 4，故说法①错误．
uuur uuuur
由 AP^PM 可得 AP × PM = 0 x2 - 2x + y2 - 2y + 2 = 0 x -1 2 + y -1 2 = 0 x = y =1，故说法②正确．
uuur uur
AM ^ BP ，即 AM × BP = 0，此时由点 P 坐标为 x, y, 2 得到-2 x - 2 + 2 y - 2 + 2 = 0 y = x -1
点 P 轨迹是连接棱 EF 中点与棱 EH 中点的线段，其长度为线段 HF 的一半，即长为 2 ．故说法③正确．
当 P 为底面 EFGH 的中心时，由 B 选项知 AP^PM ．易得 AB ^ BM ．∴外接球球心为棱 AM 的中点，从
1 3 9p
而求得球半径为 AM = ．V = ，故说法④正确．
2 2 2
故选：C
4．（2023 秋·浙江嘉兴·高三统考期末）如图，在棱长为 2 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中， E 为棱 A1B1 的中点，
M , N 分别是底面 ABCD与侧面CDD1C1 的中心， P 为该正方体表面上的一个动点，且满足 PM ^ BE ，记点 P
的轨迹所在的平面为a ，则过 N ,C, B1,C1四点的球面被平面a 截得的圆的周长是（ ）
4
A． p 6 5
8
B． p C． p D 4 5． p
3 5 3 3
【答案】B
【详解】取面对角线B1C 中点O，连接ON ，B1N ，CN ，C1N ，H , I 分别在BB1,CC1上，且
B1H = 3HB,C1I = 3IC ，
uuur uuur uuur
以A 为原点， AB, AD, AA1 的方向分别为 x 轴， y 轴， z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，
B 2,0,0 ，C 2,2,0 B1 2,0,2 ，E 1,0,2 ，F 1,2,0 ，G 1,0,0
1 1
，H 2,0, 2 ÷，
O 2,1,1 ， I 2,2, ÷，
è è 2
N 1,2,1 ，
uuuur uuur uuuur uuur
B1N = -1,2, -1 ，CN = -1,0,1 ，B1N ×CN = 0，B1N ^ CN ，
三棱锥C1 - B1NC 中， △B1NC 为直角三角形，所以OC1 = OC = ON = OB1，
1
因此点O即为三棱锥C1 - B1NC 的外接球球心，球半径长为 B2 1
C = 2 ，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
BE = -1,0,2 GF = 0,2,0 ， ， HG = -1,0, 1- 2 ÷，HI = 0,2,0 ，GF = HI ， FGHI 共面，è
uuur uuur uuur uuur
GF × BE = 0 ， HG × BE = 0，GF ^ BE ， HG ^ BE ，
GF , HG 平面 FGHI ，GF I HG = G ，BE ^平面 FGHI ，M 平面 FGHI ，
点 P 的轨迹为矩形 FGHI 的四边，如图所示，
uuur
OG = -1, uuur-1, -1 ， BE 为平面 FGHI 的法向量，
uuur uuur
OG × BE 1 5
则球心O到平面 FGHI 的距离为 uuur = = ，
BE 5 5
2
2 5 3 5 6 5
球面被平面a 截得的圆的半径 2 - ÷÷ = ，圆的周长为 π .
è 5 5 5
故选：B
二、多选题
5．（2021 秋·广东广州·高二广州四十七中校考期中）如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中， AB =1，M 为棱
AB 上的动点，下面说法正确的是（ ）
A 6．D1M 与平面B1AC 所成角的正弦值的范围为[ ,1]3
B．当点M 与点 B 重合时，D1M ^平面B1AC
C．当点M 与点 B 重合时，若平面a //平面B1AC ，则平面a 截该正方体所得截面面积最大值为 3
uuuur uuuur
D．当点M 为 AB 的中点时，若平面B1AC 与D1M 交于点 P ，则D1P = 4PM
【答案】ABD
【详解】解：如图，以点 D 为原点建立空间直角坐标系，
则 A 1,0,0 ,C 0,1,0 , B1 1,1,1 , D1 0,0,1 ，
uuur uuur
AC = -1,1,0 , AB1 = 0,1,1 ，
r
设 n = x, y, z 为平面B1AC 的法向量，
uuuv
ì v n × AC = -x + y = 0 r
则 í v uuuv ，令 x =1，则 y =1, z = -1，所以 n = (1,1,-1)，
n × AB1 = y + z = 0
对于 A，设M 1,l,0 ,l 0,1 ，D1M 与平面B1AC 所成角为q ，
uuuuur
则D1M = 1,l, -1 ，
uuuuur r 1+ l +1 2
则 sinq = cos D M ,n l + 2 l + 4l + 41 = = =
3 2 + l 2 6 + 3l 2 6 + 3l 2
l 11 4 + 1 4 1
= + × 2
3 3 l 2
= + ×
+ 2 3 3 9
，
l
1
+ ÷ + 4 -1
è 2 l 1+
2
9
l 0,1 l 1 é1 , 3 1由 ，则 + ù 4ê ú，则 l + ÷ + 1 -1 2,4 ，2 2 2 è 2 l +
2
1 4 1 é 6 ù
+ × 9 3 3 ê
,1ú
3
则 l 1 ， +
2 ÷
+ 4 -1
è l 1+
2
6
所以D1M 与平面B1AC 所成角的正弦值的范围为[ ,1]，故 A 正确；3
uuuuur r uuuuur r
对于 B，当点M 与点 B 重合时，D1M = 1,1, -1 = n，即D1M ∕ ∕ n ，
所以当点M 与点 B 重合时，D1M ^平面B1AC ；
对于 C，当平面a 截该正方体所得截面为正六边形，即过 AD, DC,CC1,C1B1, A1B1, AA1的中点时，截面面积最
2
大，如图所示， EF = ，
2
6 1 2 2 3 3 3则最大面积为 = ，故 C 错误；
2 2 2 2 4
对于 D，设直线D1B与平面B1AC 的交点为 O，连接 OP，
由D1B ^平面B1AC ，得D1O ^ OP ，
uuuur uuuur r
D A = 1,0, -1 cos D A, n 2 61 ， 1 = = ，2 3 3
uuuur
所以 D1O D A
6 2 3
= 1 × = ，3 3
当点M 为 AB 的中点时，
uuuuur 1 uuuuur uuuuur uuuurD1M = 1, , -1÷，则 D M
3
= ，则
2 1 2 cos D1M , D
5 3
1B = ，è 9
D P D1O 6 3 6 3则 1 = =cos PD1O 5
，则PM = - = ，
2 5 10
6
D P 5 uuuur uuuur
所以 1 = = 4，所以D P = 4PM ，故 D 正确.
PM 3 1
10
故选：ABD.
6．（2022 秋·福建福州·高三校联考期中）正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，E，F，G 分别为BC ，CC1 ，BB1的中
点，则（ ）
A．直线 B1D1与直线 AF 垂直
B．直线 A1G 与平面 AEF 平行
C．直线D1G
4
与平面 AEF 所成角的余弦值为
9
D．点 C 和点 G 到平面 AEF 的距离相等
【答案】AB
【详解】在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，建立如图所示的空间直角坐标系，令棱长 AB = 2 ，
则D(0,0,0), A(2,0,0),C(0, 2,0), D1(0,0, 2), A1(2,0, 2), B1(2, 2, 2), E(1, 2,0), F (0, 2,1),G(2, 2,1) ，
uuur uuuur uuur uuuur uuur uuuur
AF = (-2,2,1), D1B1 = (2, 2,0)，则 AF × D1B1 = 0，即 AF ^ D1B1 ，直线 B1D1与直线 AF 垂直，A 正确；
uuuv
uuur r ìnv × AF = -2x + 2y + z = 0
AE = (-1,2,0)，令平面 AEF 的法向量 n = (x, y, z) ，则 í uuuv ，
n
v × AE = -x + 2y = 0
r uuuur uuuur r uuuur
令 y =1，得 n = (2,1,2)，而 A1G = (0, 2, -1)， A1G × n = 0， A1G / / 平面 AEF ，而 A1G 平面 AEF ，则 A1G / / 平
面 AEF ，B 正确；
uuuur r
uuuur uuuur r
cos D G,n D G ×n 4 4D1G = (2, 2, -1)， á 1 = uuu
1ur r = = 4，所以直线D G 与平面 所成角的正弦值为 ，C 不正
| D1G || n | 3 3 9
1 AEF 9
确；
uuur r uuur r
uuur uuur | EC ×n | 2 | EG ×n | 4
EG = (1,0,1), EC = (-1,0,0) ，则点 C 和点 G 到平面 AEF 的距离分别为： d1 = r = ， d2 = r = ，| n | 3 | n | 3
D 不正确.
故选：AB
三、填空题
r
7．（2022 秋·湖南怀化·高二怀化市第三中学校考期中）已知向量 n = 2,0,1 为平面a 的法向量，点 A -1,2,1
在a 内，点P 1,2,-2 在a 外，则点 P 到平面a 的距离为 ．
5 １
【答案】 / 5
5 5
uuur r
【详解】依题意， AP = (2,0, -3) ，而平面a 的法向量为 n = 2,0,1 ，
uuur r
a d | APr ×n | | 2 2 + (-3) 1| 5所以点 P 到平面 的距离 = = = .
| n | 5 5
5
故答案为：
5
8．（2023 秋·浙江台州·高二台州市书生中学校考期末）在直四棱柱 ABCD - A1B1C1D1 中，底面 ABCD为正方
形， AA1 = 2AB = 2．点 P 在侧面BCC1B1内，若 A1C ^平面BDP ，则点 P 到CD 的距离的最小值
为 ．
5
【答案】
5
【详解】建立如图所示空间直角坐标系，
uuur uuur
A1 1,0,2 ,C 0,1,0 , B 1,1,0 ， A1C = -1,1, -2 ，设P x,1, z ，CP = x,0, z .
由于 A1C ^平面BDP ，
uuuv uuuv
ì uAu1uCv × uDuuBv = -1+1+ 0 = 0所以 í ，所以 x + 2z =1.
A1C × DP = -x +1- 2z = 0
uuur uuur
由于DC ×CP = 0 ，即CP ^ DC ，
P 到CD 的距离为 CP = x2 + z2 = 1- 2z 2 + z2 = 5z2 - 4z +1 ，
z -4 2所以当 = - = 时， CP = 5 4 2 5 - 4 +1 = .
10 5 min 25 5 5
即 P 到CD 5的距离的最小值为 .
5
5
故答案为：
5
9．（2023 秋·北京丰台·高二统考期末）棱长为 2 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，点 P 满足
uuur uuur uuur uuur
BP = xBA + yBC + zBB1 ，其中 x，y， z 0,1 ，给出下列四个结论：
①当 x = 0， z =1时，△BPD1可能是等腰三角形；
②当 x = 0， y =1 P - BDD
4
时，三棱锥 1的体积恒为 ；3
③当 z =1，且 x + y =1时，△BPD1的面积的最小值为 2 ；
z =1 x + y = 1④当 ，且 2 时， BPD1可能为直角．
其中所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②③
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，
B(0,0,0), D(2, 2,0), D1(2, 2, 2), P(2x, 2y, 2z)，
①：当 x = 0， z =1时，P(0, 2y, 2) ，
BP = 4y2 + 4, BD1 = 2
2 + 22 + 22 = 2 3, D 21P = 2 + (2 - 2y)
2 ，
若BP = BD 4y2 + 4 = 2 3 y2 = 2 y = ± 2 ，而 y 0,11 ，不成立；
若BP = PD1 4y
2 + 4 = 22 + (2 - 2y)2 y 1 = ，所以本结论成立；
2
②：当 x = 0， y =1时，P(0, 2, 2z) ，
ur uuur uuuur uuur
设平面BDD1的法向量为m = (a,b,c)，BD = (2, 2,0), BD1 = (2, 2, 2) ，BP = (0, 2, 2z) ，
r uuur uuurì m ^ BD ìm
r
× BD = 0 ì2a + 2b = 0 r
因此有 í r uuuur
í r uuuur í m = (1, -1,0)，
m ^ BD1 m × BD = 0 2a + 2b + 2c = 01
ur uuur
ur uuur m × BP
cos m, BP ur uuur 2á = = uuur ，
m × BP 2 × BP
uuur ur uuur uuur
所以点 P 到平面BDD 的距离为： BP ×cosám, BP
2
= uuur × BP = 2
1 2 × BP ，
S 1 1 2 2显然 VBDD = × DD1 × BD = 2 2 + 2 = 2 2 ，1 2 2
三棱锥P - BDD
1 4
1的体积恒为 2 2 2 = ，所以本结论正确；3 3
③当 z =1，且 x + y =1时，P(2x, 2y, 2)，
BP = 4x2 + 4y2 + 4, BD = 22 + 221 + 2
2 = 2 3, D1P = 2 - 2x
2 + (2 - 2y)2 ，
4x2 + 4y2cos PBD + 4 +12 - 4 + 8x - 4x
2 - 4 + 8y - 4y2 2
由余弦定理可知： 1 = =2 ，2 × 4x + 4y2 + 4 ×2 3 3 × x2 + y2 +1
2 2
2 3x + 3y -1
于是有 sin PBD1 = 1- cos PBD1 =
3 × x2 + y2 +1
1 3x2 + 3y2 -1 2SVBPD = × 4x
2 + 4y2 + 4 × 2 3 × = 2 3x2 + 3y2 -1 = 2 3x2 + 3 1- x 2 -1 2 6 x 1 11 2 = -
+ ，
3 × x2 + y2 +1 ÷è 2 2
x 1当 = 时，△BPD 11的面积的最小值为 2 = 2 ，所以本结论正确；2 2
z =1 x + y = 1
uuur uuuur
④：当 ，且 2 时，PB = (-2x,-2y,-2)，PD1 = (2 - 2x, 2 - 2y,0)，
uuur uuuur uuur uuuur
假设 BPD1为直角，所以PB ^ PD1 PB × PD1 = 0 -2x(2 - 2x) - 2y(2 - 2y) = 0(1)，
x + y = 1由 2 y =
1
2 - x
1± 3
，代入 (1) 中，化简得：8x2 - 4x -1 = 0，解得 x = ，
4
当 x 1+ 3 1- 3= 时， y = < 0 1- 3，不符合题意，而 x = < 0，不符合题意，所以假设不成，因此本结论
4 4 4
不正确，
故答案为：①②③
【点睛】关键点睛：建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式是解题的关键.
四、解答题
10．（2022 春·全国·高三校联考开学考试）如图，多面体 ABCD - A1B1C1D1 中，四边形 ABCD 是边长为 2 的
正方形，上底面 A1B1C1D1为直角梯形，且CC1 = B1C1 = C1D1 = 2A1D1 = 2，BB1∥CC1∥DD1，CC1 ^ 平面ABCD，
F 为棱CC1 上的一个动点，设由点 A1，A，F 构成的平面为 α.
(1)当 F 为CC1 的中点时，在多面体中作出平面 α 截正方体的截面图形，并指明与棱的交点位置；
(2)求当点 D 到平面 α 的距离取得最大值时直线 AD 与平面 α 所成角的正弦值.
【答案】(1)答案见解析
(2) 6
3
【详解】（1）取BC 的中点E ，取CE
1
的中点 N ，则CN = CB4 ，连接
C1E ，FN ，
由题意可得C1E ∥ AA1，
因为 F 为CC1 的中点，所以C1E ∥FN ，所以FN ∥ AA1，所以 N a ，
连接 AN 并延长交DC 延长线于M ，
连接MF 并延长交C1D1于Q，连接 A1Q，
则平面a 截正方体的截面为五边形 AA1QFN ，如图所示.
1 1 1
因CN = CB ，所以CM = DM4 ，所以
CM = DC ，
4 3
因为VCMF ≌VC1QF ，所以C1Q = CM ，
因为CD = C1D
1
1，所以C1Q = C1D3
（2）如图，以 D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，延长 AA1与 z 轴交于 P 点，
设 CF=a，（0≤a≤2），则 A 2,0,0 ， A1 1,0,2 ， F 0,2, x
uuur uuur uuur
∴ AA1 = -1,0, 2 ， AF = -2,2,a ，DA = 2,0,0 ，
ur
设平面a 的一个法向量为m = x, y, z ，则
uuuv
ìmv × uAuAuv1 = -x + 2z = 0
ur
í v ，令 z = 2 ，则m = 4,4 - a,2 ，
m × AF = -2x + 2y + az = 0
8
设点 D α 2 6到平面 的距离为d ，则 d = a 4 2 20 ，当 a=2 时， d = ，- + max 3
ur
此时m = 4,2,2 ，
ur uuur ur uuur
设直线 AD 与平面a 所成角为q ，则 sinq = cos m, DA
m
= ur ×uDuuAr 8 6= =
m DA 2 16 + 4 + 4 3
6
所以直线 AD 与平面a 所成角的正弦值为 .
3
