2.1 坐标法
分层练习
一、单选题
1．（2018·高一课时练习）设点M 3,4 是线段 PQ的中点，点Q的坐标是 -1,2 ，则点 P 的坐标是（ ）.
A．(1,3) B．(7,6) C．(－5,0) D．(3,1)
2．（2021·高二课时练习）已知点 A(x,5)关于点(1，y)的对称点(－2，－3)，则点 P(x，y)到原点的距离是( )
A．4 B． 13
C． 15 D． 17
A(3) B( 2) uuv uuuv3．（2019·高一课时练习）已知 A，B 都是数轴上的点， ， - ，则3OA + 4OB的坐标为
A．17 B．1 C．-1 D．-17
二、多选题
4．（2021·高二课时练习）（多选题）对于 x2 + 2x + 5 ，下列说法正确的是（ ）
A．可看作点 x,0 与点 1,2 的距离
B．可看作点 x,0 与点 -1, -2 的距离
C．可看作点 x,0 与点 -1,2 的距离
D．可看作点 x,-1 与点 -1,1 的距离
三、填空题
5．（2021·高二课时练习）在VABC 中，设 A(3,7) ，B(-2,5)，若 AC, BC 的中点都在坐标轴上，则 C 点坐标
为 .
6．（2021·高二课时练习）已知点 A(2,1)，B(－2,3)，C(0,1)，则△ABC 中，BC 边上的中线长为 ．
7．（2021·高二课时练习）已知 A(1,2), B(-1,1),C(0,-1), D(2,0)，则四边形 ABCD的形状为 .
四、解答题
8．（2021·高二单元测试）求连接下列两点的线段的长度和中点坐标：
(1) A 7,4 , B 3,2 ；
(2) M 3,1 , N 2,1 ；
(3) P 6, -4 ,Q -2,-2 .
9．（2021·高一课时练习）已知数轴上， A(-1), B(x) ，且 AB = 3，求 x 的值.
一、单选题
1．（2020·高二课时练习）下列各组点中，点 C 位于点 D 的右侧的是（ ）
A．C(-3)和 D(-4) B．C（3）和 D(4)
C．C(-4)和 D（3） D．C(-4)和 D(-3)
2．（2019·高一课时练习）已知 A，B 都是数轴上的点， A(3) B(-a)
uuuv
， ，且 AB 的坐标为 4，则a = （ ）
A．-1 B．-7 C．4 D．-4
3．（2021·高二课时练习）若 a,b,c, d R M = a2 + b2 - c2 + d 2， , N = (a - c)2 + (b - d )2 ，则
A．M N B．M = N C．M N D．不能确定，与 a,b,c,d 有关
二、填空题
2 4
4．（2019秋·上海嘉定·高二校考期末）已知B 2，1 ，C -1，-1 ，△ABC的重心为 - ， ÷ ,则A的坐标为 .
è 3 3
5．（2020·高二课时练习）已知点 A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，若|AB|取得最小值，则实数 a 的值是 .
三、解答题
6．（2020·高二课时练习）已知 A(1,2), B(4,-2) ，试问在 x 轴上能否找到一点 P，使 APB为直角？
7．（2021·高二课时练习）求函数 f x = x2 - 6x +13 + x2 -10x + 29 的最小值．
8．（2020·高二课时练面直角坐标系中，已知DABC三个顶点的坐标分别为 A(-1,2)，B(-3,4) ，
C(0,6) .
（1）求BC 边上的高所在的直线方程；
（2）求DABC的面积.
一、单选题
1．（2022·高二课时练习）已知P(cosa ,sina ) ，Q(cos b ,sin b )，则 | PQ |的最大值为
A． 2 B．2 C．4 D． 2 2
2．（2019·高一课时练习）已知数轴上的点 A，B，C 的坐标分别为-1，1，5，则下列结论错误的是
uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv
A． AB 的坐标是 2 B．CA = -3AB C．CB的坐标是 4 D．BC = 2AB
3．（2022·全国·高三专题练习）如图，在 VABC 中， ACB = 90°， AC = 2， BC =1，点 A 、C 分别在 x 轴、
y 轴上，当点A 在 x 轴上运动时，点C 随之在 y 轴上运动，在运动过程中，点 B 到原点O的最大距离是
（ ）
A．1+ 2 B． 6 C．3 D． 5
二、解答题
4．（2021·高二课时练习）已知点M 3,5 ，在直线 l : x - 2y + 2 = 0和 y 轴上各找一点 P 和 Q，使DMPQ的周
长最小.
5．（2021·江苏·高二专题练习）已知点M -1,2 ，直线 l : 2x + y - 5 = 0
（1）求点 M 关于点F 3,1 对称点 N 的坐标
（2）求点 M 关于直线 l的对称点 Q 的坐标.
（3）已知点R 0, -2 ，点 P 在直线 l上，问使 PM 2 + PR 2 取得最小值时 P 点的坐标与使 PM + PR 取得最小
值时 P 点的坐标是否相同？请说明理由.2.1 坐标法
分层练习
一、单选题
1．（2018·高一课时练习）设点M 3,4 是线段 PQ的中点，点Q的坐标是 -1,2 ，则点 P 的坐标是（ ）.
A．(1,3) B．(7,6) C．(－5,0) D．(3,1)
【答案】B
ì-1+ x
= 3 ìx = 7
【详解】设 P 点坐标为 (x, y)
2
，则 í P(7,6)
2 + y
，解得 íy 6，即 ．
= 4 =
2
故选：B．
2．（2021·高二课时练习）已知点 A(x,5)关于点(1，y)的对称点(－2，－3)，则点 P(x，y)到原点的距离是( )
A．4 B． 13
C． 15 D． 17
【答案】D
【详解】因为点 A(x,5), B(-2,-3)关于点C(1, y)
x - 2
对称，所以有 =1,
5 - 3
= y ，解得 x = 4, y =1．所以点P(4,1)
2 2
到原点的距离为 42 +12 = 17 ，故选 D
3．（2019·高一课时练习）已知 A，B 都是数轴上的点， A(3)，B(-2)
uuv uuuv
，则3OA + 4OB的坐标为
A．17 B．1 C．-1 D．-17
【答案】B
uuur uuur
【详解】由题意，可得OA的坐标为3，向量OB 的坐标为-2，
uuur uuur
所以向量3OA + 4OB的坐标为3 3 + 4 (-2) = 1．
故选:B．
二、多选题
4．（2021·高二课时练习）（多选题）对于 x2 + 2x + 5 ，下列说法正确的是（ ）
A．可看作点 x,0 与点 1,2 的距离
B．可看作点 x,0 与点 -1, -2 的距离
C．可看作点 x,0 与点 -1,2 的距离
D．可看作点 x,-1 与点 -1,1 的距离
【答案】BCD
【详解】由题意，可得 x2 + 2x + 5 = x +1 2 + 4 = x +1 2 + 0 ± 2 2 = x +1 2 + -1-1 2 ，
可看作点 x,0 与点 -1, -2 的距离，可看作点 x,0 与点 -1,2 的距离，可看作点 x, -1 与点 -1,1 的距离，
故选项 A 不正确，
故答案为：BCD.
三、填空题
5．（2021·高二课时练习）在VABC 中，设 A(3,7) ，B(-2,5)，若 AC, BC 的中点都在坐标轴上，则 C 点坐标
为 .
【答案】 (2,-7)或 (-3, -5)
3 + a 7 + b -2 + a 5 + b
【详解】设C(a,b) AC ，则 的中点为 , BC , .
è 2 2 ÷
， 的中点为 2 2 ÷ è
由题意知， AC 的中点在 x 轴上，BC 的中点在 y 轴上，或 AC 的中点在 y 轴上，BC 的中点在 x 轴上，
ì7 + b ì3+ a
= 0, = 0,
\ 2 2í
-2
或
+ a í0 5 + b= = 0,
2 2
ìa = 2, ìa = -3,
\í
b = -7
或 í
b = -5.
故点 C 的坐标为 (2,-7)或 (-3, -5) .
故答案为： (2,-7)或 (-3, -5) .
6．（2021·高二课时练习）已知点 A(2,1)，B(－2,3)，C(0,1)，则△ABC 中，BC 边上的中线长为 ．
【答案】 10
【详解】BC 中点为(-1,2),所以 BC 边上中线长为 (2 +1)2 + (1- 2)2 = 10 .
7．（2021·高二课时练习）已知 A(1,2), B(-1,1),C(0,-1), D(2,0)，则四边形 ABCD的形状为 .
【答案】正方形
Qk 1 1【详解】解： AB = ,kCD = ,kBC = -2,kAD = -2，2 2
\ AB / /CD, BC / / AD
k k 1AB × BC = -2 = -1，所以 AB ^ BC ，2
\四边形 ABCD为矩形.
又Q AB = (1+1)2 + (2 -1)2 = 5 ， BC = (-1- 0)2 + (1+1)2 = 5 ，
所以 AB = BC ，故四边形 ABCD为正方形.
故答案为：正方形.
四、解答题
8．（2021·高二单元测试）求连接下列两点的线段的长度和中点坐标：
(1) A 7,4 , B 3,2 ；
(2) M 3,1 , N 2,1 ；
(3) P 6, -4 ,Q -2,-2 .
【答案】（1） AB = 2 5 ,中点 5,3 5；（2） MN = 1 ，中点 ,1
÷；（3） PQ = 2 17 ，中点 2,-3 .
è 2
2 2 7 + 3 , 4 + 2【详解】(1)
AB = 4 + 2 = 2 5 ，中点坐标 = 5,3 .
è 2 2 ÷
3+ 2 1+1 5
(2) MN = 12 + 02 = 1，中点坐标 ,2 2 ÷
= ,12 ÷
.
è è
6 - 2 -4 - 2
(3) PQ = 82
+ 22 = 2 17 ，中点坐标 , ÷ = 2,-3 .
è 2 2
9．（2021·高一课时练习）已知数轴上， A(-1), B(x) ，且 AB = 3，求 x 的值.
【答案】2
【详解】因为数轴上 A(-1), B(x) ,且 AB = 3 ,
所以 AB = x - (-1) = 3，
解得： x = 2 .
一、单选题
1．（2020·高二课时练习）下列各组点中，点 C 位于点 D 的右侧的是（ ）
A．C(-3)和 D(-4) B．C（3）和 D(4)
C．C(-4)和 D（3） D．C(-4)和 D(-3)
【答案】A
【详解】对于 A 选项，C 在D右侧，符合题意；
对于 B 选项，C 在D左侧，不符合题意；
对于 C 选项，C 在D左侧，不符合题意；
对于 D 选项，C 在D左侧，不符合题意.
故选：A
uuuv
2．（2019·高一课时练习）已知 A，B 都是数轴上的点， A(3)，B(-a) ，且 AB 的坐标为 4，则a = （ ）
A．-1 B．-7 C．4 D．-4
【答案】B
uuur
【详解】由题意，向量 AB 的坐标为终点 B 的坐标减去起点 A 的坐标，
即-a - 3 = 4，解得 a = -7 ．
故选:B．
3 2021· a,b,c, d R M = a2 + b2 - c2 2 2．（ 高二课时练习）若 ， + d , N = (a - c) + (b - d )2 ，则
A．M N B．M = N C．M N D．不能确定，与 a,b,c,d 有关
【答案】C
2
【详解】因为M = a + b2 - c2 + d 2 表示点 a,b , c,d 到原点距离差的绝对值， N = a - c 2 + b - d 2
表示零点 a,b , c, d 之间的距离，根据三角形两边之差小于第三边（三点共线时相等），可得M N ，故选
C.
二、填空题
2 4
4．（2019秋·上海嘉定·高二校考期末）已知B 2，1 ，C -1，-1 ，△ABC的重心为 - ， ÷ ,则A的坐标为 .
è 3 3
【答案】 -3,4
ì x + 2 -1 2
= -
3 3 ìx = -3【详解】设 A x, y ，由题意可得 í y 解得 +1-1 4
í
y = 4=
3 3
所以 A -3,4 .
故答案为 -3,4
5．（2020·高二课时练习）已知点 A(5,2a－1)，B(a＋1，a－4)，若|AB|取得最小值，则实数 a 的值是 .
【答案】
【详解】 ，
所以当 a＝ 时，|AB|取得最小值．
三、解答题
6．（2020·高二课时练习）已知 A(1,2), B(4,-2) ，试问在 x 轴上能否找到一点 P，使 APB为直角？
【答案】存在点P(0,0)或P(5,0) 满足题意.
【详解】假设在 x 轴上能找到点P(x,0) ，使 APB为直角，则 | AP |2 + | BP |2 =| AB |2 ，
即 (x -1)2 + 4 + (x - 4)2 + 4 = 25，化简得 x2 - 5x = 0，解得 x = 0或 x = 5，
所以在 x 轴上存在点P(0,0)或P(5,0) ，使 APB为直角.
7．（2021·高二课时练习）求函数 f x = x2 - 6x +13 + x2 -10x + 29 的最小值．
【答案】 2 5
【详解】因为 f x = x2 - 6x +13 + x2 -10x + 29 = (x - 3)2 + 4 + (x - 5)2 + 4 ，
所以 f (x) 为点 A(3，2)和P(x,0) 之间的距离与B(5,-2) 和P(x,0) 之间的距离之和，
即 f (x) =| PA | + | PB |
如下图：
由三角不等式可知， | PA | + | PB | | AB |，当且仅当点A 、 P 、 B 三点共线时， | PA | + | PB |有最小值
| AB |= (3 - 5)2 + [2 - (-2)]2 = 2 5 .
即 f (x) 的最小值为 2 5 .
故答案为： 2 5 .
8．（2020·高二课时练面直角坐标系中，已知DABC三个顶点的坐标分别为 A(-1,2)，B(-3,4) ，
C(0,6) .
（1）求BC 边上的高所在的直线方程；
（2）求DABC的面积.
【答案】（1）3x + 2y -1 = 0；（2）5
6 - 4 2 3
【详解】（1）直线BC 的斜率 kBC = =0 ( 3) 3 ，则BC 边上高所在直线斜率
k = - ，
- - 2
3
则BC 边上的高所在的直线方程为 y - 2 = - (x +1) ，即3x + 2y -1 = 0 .
2
2
（2）BC 的方程为 y = x + 6， 2x - 3y +18 = 0 .
3
d | 2 (-1) - 3 2 +18 | 10 13点A 到直线BC 的距离 = = ，
32 + 22 13
| BC |= (0 + 3)2 + (6 - 4)2 = 13 ，
DABC S 1 | BC | d 1 13 10 13则 的面积 = = = 5
2 2 13
一、单选题
1．（2022·高二课时练习）已知P(cosa ,sina ) ，Q(cos b ,sin b )，则 | PQ |的最大值为
A． 2 B．2 C．4 D． 2 2
【答案】B
【详解】∵P(cosa ,sina ) ，Q(cos b ,sin b )，
∴ | PQ |= (cosa - cos b )2 + (sina - sin b )2
= cos2 a + cos2 b - 2cosa cos b + sin2 a + sin2 b - 2sina sin b
= cos2 a + sin2 a + cos2 b + sin2 b - 2 cosa cos b + sina sin b
= 2 - 2cos(a - b ) .
∵ cos(a - b ) [-1,1]，∴ | PQ | [0, 2] .
故选 B.
2．（2019·高一课时练习）已知数轴上的点 A，B，C 的坐标分别为-1，1，5，则下列结论错误的是
uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv
A． AB 的坐标是 2 B．CA = -3AB C．CB的坐标是 4 D．BC = 2AB
【答案】C
uuur
【详解】由题意，根据数轴上向量的坐标表示，可得 AB 的坐标为1- (-1) = 2，所以 A 正确；
uuur uuur uuur uuur
向量CA的坐标为-1- 5 = -6，-3AB的坐标为-3 2 = -6，所以CA = -3AB，所以 B 正确；
uuur
向量CB的坐标为1- 5 = -4，故 C 中结论不正确，
uuur uuur uuur uuur
向量BC 的坐标为5 -1 = 4，向量 2AB = 2 2 = 4，所以BC = 2AB ，所以 D 正确.
故选:C．
3．（2022·全国·高三专题练习）如图，在 VABC 中， ACB = 90°， AC = 2， BC =1，点 A 、C 分别在 x 轴、
y 轴上，当点A 在 x 轴上运动时，点C 随之在 y 轴上运动，在运动过程中，点 B 到原点O的最大距离是
（ ）
A．1+ 2 B． 6 C．3 D． 5
【答案】A
【详解】取 AC 的中点D，连接BD,OD ，
1
Q ACB = 90o ，\ OD = AC =1，2
BD = 12 +12 = 2 ,
由图象可知 BO BD + DO = 2 +1，
当 B,O, D 三点共线时，等号成立，
所以点 B 到原点O的最大距离是 2 +1.
故选：A.
二、解答题
4．（2021·高二课时练习）已知点M 3,5 ，在直线 l : x - 2y + 2 = 0和 y 轴上各找一点 P 和 Q，使DMPQ的周
长最小.
5 9 7
【答案】P , ÷，Q2 4
0, ÷
è è 2
【详解】解：由题可得，M 关于 l 的对称点M1(5,1) ， M 关于 y 轴的对称点M 2 (-3,5)，则直线M1M 2 的方程
y -1 x - 5
为 = ，即 x + 2y - 7 = 0 .当 P,Q 分别为直线 M1M 2 与 l, y 轴的交点时，DMPQ的周长最小.令 x = 0，5 -1 -3- 5
M M y Q 0,
7 ìx + 2y - 7 = 0, 5 9
得到直线 1 2 与 轴的交点 ÷ .
2 解方程组 íx 2y 2 0,得直线
M1M 2 与直线 l的交点故点P , ÷ .故
è - + = è 2 4
P 5 , 9 7 点 2 4 ÷
，Q 0, 2 ÷ 即为所求
.
è è
5．（2021·江苏·高二专题练习）已知点M -1,2 ，直线 l : 2x + y - 5 = 0
（1）求点 M 关于点F 3,1 对称点 N 的坐标
（2）求点 M 关于直线 l的对称点 Q 的坐标.
3 R 0, -2 P l PM 2 + PR 2（ ）已知点 ，点 在直线 上，问使 取得最小值时 P 点的坐标与使 PM + PR 取得最小
值时 P 点的坐标是否相同？请说明理由.
【答案】（1）（7，0）；（2）（3，4）；（3）不同，详见解析．
x -1 = 6 x = 7
【详解】（1）设 N (x, y)
ì ì
，则 íy 2 2 ，则 í ，∴
N (7,0)
+ = y = 0
．
ì y - 2 1
=
Q(x, y) 2 x +1 2
ìx = 3
（ ）设 ，则 í ，解得 í ，即Q(3, 4)．
2 x -1 y + 2 y = 4 + - 5 = 0
2 2
（3）两 P 点坐标不相同．证明如下：
由题意，设P(x,5 - 2x)，
19
则 PM 2 + PR 2 = (x +1)2 + (5 - 2x - 2)2 + x2 + (5 - 2x + 2)2 = 10x2 - 38x + 59 ，显然当 x = 时， PM 2 + PR 2 取10
229
得最小值 ，5 - 2x = 5 - 2
19 6 19 6
= ，此时P( , )
10 10 5 10 5
由（2） PM + PR = PQ + PR QR ，当 P 是QR 与直线 l的交点时，等号成立，
k 4 4QR = = QR y
4 5
= x - 2 x = P(5 ,0)
3- ( 2) 5 ，直线 的方程为 ，代入 l的方程解得 ，5 - 2x = 0，即 ．- 5 2 2
两个 P 点不相同．
