2.2.1 直线的倾斜角与斜率
分层练习
一、单选题
1．（2020·高二课时练习）以下两点确定的直线的斜率不存在的是（ ）
A． 4,1 与 -4, -1 B． 0,1 与 1,0
C． 1,4 与 -1,4 D． -4,1 与 -4, -1
【答案】D
【详解】根据斜率公式可知，当两点的横坐标相同时，直线的斜率不存在，此时，过两点的直线垂直于 x 轴，
A、B、C 选项中，两点的横坐标不相同，
D 选项中，两点的横坐标相同，过该两点的直线的斜率不存在.
故选：D.
r
2．（2023 秋·重庆沙坪坝·高二重庆市第七中学校校考期末）已知直线 l的一个方向向量为 a = 1,-1 ，则直线
l的倾斜角为（ ）
A．45° B．90°
C．120° D．135°
【答案】D
r
【详解】由于直线 l的一个方向向量为 a = (1, -1)，所以直线 l的斜率为 -1，所以直线 l的倾斜角为135° .
故选：D.
3．（2022·高二课时练习）设点 A 4, -3 ，B -2,-2 ，直线 l过点P 1,1 且与线段 AB 相交，则 l的斜率 k 的
取值范围是（ ）
4 4
A． k 1或 k -4 B． k 1或 k - C．-4 k 1 D．- k -1
3 3
【答案】B
【详解】如图所示：
k 1- (-3) 4 ,k 1- (-2)因为 PA = = - PB = =11 ，- 4 3 1- (-2)
4
所以当直线 l过点P 1,1 且与线段 AB 相交时， l的斜率 k 的取值范围是 k 1或 k - ，
3
故选：B
4．（2021·高二课时练习）已知直线 l过点 A 1,2 ，且不过第四象限，则直线 l的斜率 k 的最大值是（ ）
A． 2 B．1
C 1． 2 D． 0
【答案】A
【详解】
如图， kOA = 2 ， kl ' = 0，只有当直线落在图中所示位置时才符合题意，故 k 0,2 .
故直线 l的斜率 k 的最大值为 2．
故选：A.
5．（2022·全国· 2高三专题练习）若直线经过 A 2,1 ，B 1, m (m R)两点，则直线 l的倾斜角a 的取值范围
是（ ）
A．0o a <180o B． 45o a < 90o 或90o < a <180o
C．0o a 45o D．0o a 45o或90o < a <180o
【答案】D
2
A 2,1 B 1, m2【详解】过 ， 两点直线 l的斜率为： k tana m -1= = =1- m2 ，
1- 2
因为m2 0，所以1- m2 1，
因为0o a <180o ，所以0o a 45o或90o < a <180o
故选：D.
二、多选题
6．（2022·高二课时练习）（多选）若经过 A 1- a,1+ a 和 B 3,a 的直线的倾斜角为钝角，则实数 a 的值可能
为（ ）
A．-2 B．0 C．1 D．2
【答案】BCD
1+ a - a 1
【详解】由题意得 kAB = = < 0，即 2 + a > 0，所以 a > -2 ，1- a - 3 -2 - a
故选：BCD．
7．（2023·全国·高二专题练习）在下列四个命题中，错误的有（ ）
A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率
B．直线的倾斜角的取值范围是 0,π
C．若一条直线的斜率为 1，则此直线的倾斜角为90o
D．若一条直线的倾斜角为 α，则此直线的斜率为 tana
【答案】ACD
【详解】对于 A，倾斜角为90o的直线斜率不存在,所以 A 错误;
对于 B,直线的倾斜角的取值范围为 0,π ,所以 B 正确;
对于 C,因为 tana =1且a 0,p a π，所以 = ,所以 C 错误;
4
对于 D,倾斜角为90o的直线斜率不存在,所以 D 错误.
故选：ACD
三、填空题
8．（2018·高一课时练习）如图，直线 l1，l2，l3的斜率分别是 k1，k2，k3，则有 k1，k2，k3从小到大的顺序依
次为 ．
【答案】 k1 < k3 < k2 / k2 > k3 > k1
【详解】由图像知，直线 l1的倾斜角为钝角，所以 k1 < 0 ，直线 l2 , l3 的倾斜角为锐角，且直线 l2的倾斜角
大于直线 l3 的倾斜角，所以 k2 > k3 > 0 ，则 k1, k2 ,k3 从小到大的顺序依次为 k1 < k3 < k2 ．
故答案为： k1 < k3 < k2 .
9．（2022 秋·天津红桥·高二天津三中校考期中）经过点P 0, -1 作直线 l ，若直线 l 与连接 A 2,3 ，B -1,2
的线段总有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是 .
【答案】 2, + - , -3
【详解】解：因为P 0, -1 ， A 2,3 ，B -1,2 ，
3- -1 2 - -1
所以 k AP = = 2, k
PB = = -3，2 - 0 -1- 0
因为直线 l 与线段 AB 总有公共点，
所以，如图，根据图形可知， kl kPA 或 kl kPB ，即 kl 2 或 kl -3，
所以，直线 l 的斜率的取值范围是 2, + - , -3 .
故答案为： 2, + - , -3
一、单选题
1．（2022·高二课时练习）下列说法正确的是( )
A．若直线的斜率为 tana ，则该直线的倾斜角为a
B．直线的倾斜角a 的取值范围是0 a < π
C．平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率
D．直线的倾斜角越大，其斜率就越大
【答案】B
5π π
【详解】对于选项 A：直线倾斜角的的范围是 0,π .例如，若直线的斜率为 tan =1，则其倾斜角为 ，而
4 4
5π
不是 4 ，故 A 错误；
对于选项 B：直线倾斜角的的范围是 0,π ，故 B 正确；
π π
对于选项 C：当直线垂直于 x 轴时，其倾斜角为 ，∵ tan 无意义，∴不存在斜率，故 C 错误；
2 2
对于选项 D：在 0,π ，正切函数 y = tan x 不单调，故 D 错误．
故选：B
2．（2020·高一单元测试）三点 A m, 2 ，B 5,1 ，C -4,2m 在同一条直线上，则m 值为（ ）
7 7 7
A．2 B． C．-2或 D．2 或
2 2 2
【答案】D
k = 1- 2【详解】由题意可得 AB ,k =
2m -1 2m -1
BC = - ，m - 5 -4 - 5 9
因为 A，B，C 三点共线，
所以 k =k
2 -1 2m -1
AB BC ，即 = - ，m - 5 9
7
解得m = 2 或m = ．
2
所以m
7
的值为 2 或 ．
2
故选：D．
3．（2022 秋·河南平顶山·高二汝州市第一高级中学校考阶段练习）已知两点 A(2,-3), B(1,0) ，直线 l 过点
P(0, -1)且与线段 AB 有交点，则直线 l 的倾斜角的取值范围为（ ）
ép , 3p ù é0, p ù ép , 3p ùA． ê B． 4 4 ú ê 4 ú ê 2 4 ú
é0, p ù é3p ép p p 3p ùC．
ê 4 ú
ê ,p ÷ D． ê , ÷ 4 4 2
,
è 2 4 ú
【答案】C
k -3 - (-1)【详解】如图所示，直线PA的斜率为 PA = = -1，2 - 0
k 0 - (-1)直线 PB的斜率为 PB = =1，1- 0
由图可知直线 l 与线段 AB 有交点，则直线 l 的斜率 k [-1,1]，
é p ù é3p
所以直线 l 的倾斜角的取值范围为 ê0, 4 ú
ê ,p ÷， 4
故选：C
4．（2023 秋·高二课前预习）下列命题中，正确的是（ ）
A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大
B．若直线的倾斜角为a ，则直线的斜率为 tana
ép 2p ù
C．若直线倾斜角a ê , ú ，则斜率 k 的取值范围是 (- ,- 3] [1,+ ) 4 3
ép 2p ù
D．当直线的倾斜角a ê , ú 时，直线的斜率在这个区间上单调递增. 4 3
【答案】C
0, p π 【详解】倾斜角的范围为 2 ÷时，直线斜率
k > 0，倾斜角的范围为 ,π ÷时，直线斜率 k < 0，故 A 错误；
è è 2
p a ép 2p ù直线的倾斜角a = 时，直线斜率不存在，故 B 错误；直线倾斜角 ê , ú ，则斜率 k = tana 的范围为2 4 3
p p p 2p
(- ,- 3] [1,+ )，故 C 正确；斜率 k = tana
é é
在 ê , 和 ,
上单调递增，故 D 错误.
4 2 ÷ ê ÷ 2 3
故选：C.
二、多选题
5．（2021·高二课时练习）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．一条直线和 x 轴的正方向所成的角，叫做这条直线的倾斜角
B．直线的倾斜角a 的取值范围是锐角或钝角
C．和 x 轴平行的直线，它的倾斜角为 0°
D．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率
【答案】CD
【详解】对于 A，一条直线向上方向和 x 轴正方向所成的角，
叫作这条直线的倾斜角，A 错误；
对于 B，直线的倾斜角a 的取值范围是0° a <180°，B 错误；
对于 C，和 x 轴平行的直线，它的倾斜角为 0°，C 正确；
对于 D，每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率，
如倾斜角a = 90°时，斜率不存在，D 正确．
故选：CD．
三、填空题
6．（2021·高二课时练习）已知 x, y满足 2x + y = 8
y +1
,当 2 x 3时, 的取值范围是 .
x -1
é3
【答案】 ê ,5
ù
2 ú
【详解】Q x, y满足 2x + y = 8且 2 x 3
当 x = 2 , y = 4 ,设点 A(2, 4) ;
当 x = 3 , y = 2 ,设点B(2,4) ;
Q y +1的几何意义为线段 AB 上的点与定点 P(1,-1)连线的斜率.
x -1
由题意画出图形如图,
3
根据两点求斜率公式:求得 kPA = ,kPB = 52
y +1 3
\ é ,5ù的取值范围是 ê ú x -1 2
é3 ù
故答案为: ,5
ê2 ú
四、解答题
7．（2018·高二单元测试）已知 A 1,2 ，B 2,1 ，C 0, m 三点．
（1）求过 A，B 两点的直线的斜率．
（2）若过 A，C 两点的直线的倾斜角为45°，求 m 的值．
（3）A，B，C 三点可能共线吗？若能，求出 m 的值．
【答案】（1）-1；（2）1；（3）能共线 m=3
k 2 -1【详解】解：（1） AB = = -1 .1- 2
（2）由 k
2 - m
AC = tan45° =1 = ，得m =1.1- 0
（3）若A ， B ，C
2 - m
三点共线，则有 kAB = kAC ，即-1 = ，解得m = 3 .1- 0
8．（2022·高二单元测试）已知坐标平面内两点 M(m＋3,2m＋5)，N(m－2,1).
(1)当 m 为何值时，直线 MN 的倾斜角为锐角？
(2)当 m 为何值时，直线 MN 的倾斜角为钝角？
(3)直线 MN 的倾斜角可能为直角吗？
【答案】(1) m>－2. (2) m<－2. (3) 不可能为直角.
【详解】(1)若倾斜角为锐角，则斜率大于 0，
2m + 5 -1 2m + 4
即 k＝ m + 3- m - 2 ＝ >0，5
解得 m>－2.
(2)若倾斜角为钝角，则斜率小于 0，
2m + 5 -1 2m + 4
即 k＝ m + 3- m - 2 ＝ <0，5
解得 m<－2.
(3)当直线 MN 垂直于 x 轴时直线的倾斜角为直角，此时 m＋3＝m－2，此方程无解，故直线 MN 的倾斜角
不可能为直角.
一、单选题
1．（2020·高二课时练习）若直线 l的一个方向向量是 - 3,6 ，则其斜率等于（ ）
A 3． B 3．- C． 2 3 D．-2 3
6 6
【答案】D
【详解】由于直线 l的一个方向向量是 - 3,6 6，则直线 l的斜率为 = -2 3 ．- 3
故选：D.
2．（2016 春·重庆·高三阶段练习）已知倾斜角为q 的直线 l与直线m : x - 2y + 3 = 0垂直，则 sin 2q = ( )
5 4 4 5
A． B． C．- D．-
4 5 5 4
【答案】C
1
【详解】因为直线 l与m 垂直，所以 tanq = -1 ，即 tanq = -2，又q 0,180° ，
2
sinq 2 5所以 = , cosq 5= - ，
5 5
所以 sin 2q ＝ 2sinq cosq = 2 2 5 ( 5 4 - ) = - ，
5 5 5
故选：C．
3．（2023·江苏·高二假期作业）在VABC 中， A 4,1 ，AB 的中点M 3,2 ，重心G 1, -1 ，则 BC 边所在直线
的斜率为（ ）
A 1
1
． 2 B．- C．2 D．-22
【答案】C
【详解】因为 A 4,1 ，AB 的中点M 3,2 ，
ì x1 + 4
= 3
设B x1, y1
2
，则 í ，解得B 2,3 y ， 1 +1 = 2
2
ì4 + 2 + x2
=1
C x , y G 1, -1 3设 2 2 ，因为重心 ，所以 í C -3, -7
1+ 3
，解得 ，
+ y2 = -1
3
3+ 7
所以 BC 边所在直线的斜率为 = 2 .
2 + 3
故选：C.
二、多选题
4．（2022·高二课时练习）颗粒物过滤效率h 是衡量口罩防护效果的一个重要指标，计算公式为
h C= out - Cin 100%，其中CC out 表示单位体积环境大气中含有的颗粒物数量（单位：ind./L），
Cin 表示经口罩
out
过滤后，单位体积气体中含有的颗粒物数量（单位：ind./L）．某研究小组在相同的条件下，对两种不同类型
口罩的颗粒物过滤效率分别进行了 4 次测试，测试结果如图所示．图中点 Aij 的横坐标表示第 i 种口罩第 j 次
测试时Cout 的值，纵坐标表示第 i 种口罩第 j 次测试时Cin 的值（ i =1,2， j =1,2,3,4）．
该研究小组得到以下结论，正确的是（ ）
A．在第 2 种口罩的 4 次测试中，第 3 次测试时的颗粒物过滤效率最高
B．在第 1 种口罩的 4 次测试中，第 4 次测试时的颗粒物过滤效率最高
C．在每次测试中，第 1 种口罩的颗粒物过滤效率都比第 2 种口罩的颗粒物过滤效率高
D．在第 3 次和第 4 次测试中第 1 种口罩的颗粒物过滤效率都比第 2 种口罩的颗粒物过滤效率低
【答案】AD
【详解】分别将原点与图中各点相连.
C - C
设线段OA k h = out inij 的斜率为 ij ，根据题意有， 100% =1- kC ijout
即 kij 越小，颗粒物过滤效率越高。
由图可知， k11 < k12 < k13 < k14 ； k23 < k24 < k21 < k22
在第 2 种口罩的 4 次测试中， k23最小，所以第 3 次测试时的颗粒物过滤效率最高，选项 A 正确；
在第 1 种口罩的 4 次测试中， k11最小，所以第 1 次测试时的颗粒物过滤效率最高，选项 B 错误；
由图知， k13 > k23，所以第 3 次测试中第 2 种口罩的颗粒物过滤效率更高，选项 C 错误；
k13 > k23，k14 > k24，所以第 3 次和第 4 次测试中第 1 种口罩的颗粒物过滤效率都比第 2 种口罩的颗粒物过滤
效率低，选项 D 正确.
故选：AD.
三、填空题
5．（2022·高二课时练习）已知点 A x1, y1 ，B x2 , y2 在函数 y = f x 的图像上，若函数 f x 在 x1, x2 上的
平均变化率为 3，则直线 AB 的倾斜角为 ．
p
【答案】 / 60°
3
【详解】函数 f x 在 x1, x2 上的平均变化率就是直线 AB 的斜率 kAB ，所以 kAB = 3 .
p
设直线 AB 的倾斜角为q ，则q 0,p ，则 tanq = 3 ，所以q = .3
p
故直线 AB 的倾斜角为 ．
3
p
故答案为：
3
6．（2023 春·江苏南京·高一南京市第二十九中学校考期末）足球是一项很受欢迎的体育运动.如图，某标准
足球场的 B 底线宽 AB = 72码，球门宽EF = 8码，球门位于底线的正中位置.在比赛过程中，攻方球员带球运
动时，往往需要找到一点 P ，使得 EPF 最大，这时候点 P 就是最佳射门位置.当攻方球员甲位于边线上的
uuur uuur
点O处（OA = AB，OA ^ AB）时，根据场上形势判断，有OA、OB 两条进攻线路可供选择.若选择线路
uuur uuur
OA，则甲带球 码时， APO到达最佳射门位置；若选择线路OB ，则甲带球 码时，到达最佳
射门位置.
【答案】 72 -16 5 72 2 -16 5
uuur
【详解】若选择线路OA，设 AP = t ，其中0 < t ≤ 72， AE = 32 ， AF = 32 + 8 = 40，
则 tan APE
AE 32 AF 40
= = ， tan APF = = ，
AP t AP t
tan tan APF - tan APE所以， EPF = tan APF - APE =
1+ tan APF tan APE
40 32 8
-
t t t 8 8 5=
1 1280
=
1 1280
=
t 1280
=
1280 20 ，+
t 2
+
t 2
+
t 2 t × t
1280
当且仅当 t = 时，即当 t =16 5 时，等号成立，此时t OP = OA - AP = 72 -16 5
，
uuur
所以，若选择线路OA，则甲带球72 -16 5 码时， APO到达最佳射门位置；
uuur uuur
若选择线路OB，以线段 EF 的中点 N 为坐标原点，BA、 AP 的方向分别为 x 、 y 轴的正方向建立如下图所
示的空间直角坐标系，
则B -36,0 、O 36,72 、F -4,0 、E 4,0 k 72， OB = =1，36 + 36
直线OB的方程为 y = x + 36，设点P x, x + 36 ，其中-36 < x 36，
tan x + 36 x + 36 AFP = kPF = ， tan AEP = k = ，x + 4 PE x - 4
所以， tan EPF = tan AEP - AFP tan AEP - tan AFP=
1+ tan AEP tan AFP
x + 36 x + 36 8 x + 36
- 2
= x - 4 x + 4 = x -16 8x + 36 x 36 =+ x + 36 2 x2
，
1+ × -16
x - 4 x + 4 1
+ x + 36 +
x2 -16 x + 36
令m = x + 36 0,72 ，则 x = m - 36，
2 m - 36 2x -16 -16
所以， x + 36 + = m + = 2m 1280+ - 72 2 2m 1280× - 72
x + 36 m m m
= 32 10 - 72，
1280
当且仅当 2m = 时，即当
m m = 8 10
，即当 x = 8 10 - 36时，等号成立，
tan EPF 8 8 1= 1280 =所以， 2m + - 72 32 10 - 72 4 10 - 9 ，
m
当且仅当 x = 8 10 - 36时，等号成立，
此时， OP = 2 × 36 - 8 10 - 36 = 72 2 -16 5 ，
uuur
所以，若选择线路OB ，则甲带球72 2 -16 5 码时，到达最佳射门位置.
故答案为：72 -16 5 ；72 2 -16 5 .
四、解答题
7．（2018 春·云南玉溪·高二阶段练习）VABC 为正三角形，顶点A 在 x 轴上，A 在边BC 的右侧， BAC 的
平分线在 x 轴上，求边 AB 与 AC 所在直线的斜率．
3 3
【答案】－ ，
3 3
【详解】如图，
由题意知 BAO = OAC = 30o
∴直线 AB 的倾斜角为 180°－30°＝150°，直线 AC 的倾斜角为 30°，
∴ kAB ＝tan 150°
3
＝－ ， kAC ＝tan 30°
3
＝ .
3 3
8．（2021 秋·全国·高二专题练习）已知抛物线 y2 = 2x，过点 A(-2,4)的直线 l交抛物线于 B 、C 两点，设O
1
为坐标原点，点P( ,0) .
2
（1）求 tan PAO的值；
（2）若 PAB， PBC ， PAC的面积成等比数列，求直线 l的方程.
tan PAO 2【答案】（1） ∠ = （2）直线 l的方程为 x + y - 2 = 0或 x - 9y + 38 = 0
21
k 4 8= - = -
【详解】解：（1）由题意直线 AO ， AP 斜率均存在，且 k APAO = -2， 1 + 2 5 .
2
8
k - k -2 +
∴ tan PAO = tan é p - AOP + APO ù = -tan AOP + APO = -
OA AP 2
1 k k = -
5 =
- .OA × - AP 1- -2 8× 21
5
故 tan
2
PAO = .
21
（2）由（1）知点 P 为抛物线的焦点
据题意，直线 l的斜率存在且不为 0，故可设直线 l的方程为 y - 4 = k x + 2 k 0 .
y - 4 = k x + 2 , 2 2
由{ 2 k x + 4k 2 + 8k - 2 x + 2k + 4 2 = 0 .y = 2x,
2
B x , y C x , y x x 4k + 8k - 2+ = - 2k + 4
2
设 1 1 、 2 2 ，则有 1 2 ， ，k 2 x1x2 = k 2
2
= 4k 2 + 8k - 2 - 4k 2 2k + 4 2 = -4 4k 2 + 8k -1 > 0 .
若 PAB， PBC ， PAC的面积成等比数列，则 AB ， BC ， AC 成等比数列
AB BC x1 + 2 x2 - x1
∴ =BC AC ，即：
=
x .2 - x1 x2 + 2
2
∴ x2 + x1 = 5x2x1 + 2 x2 + x1 + 4
2 2 2 4k + 8k - 2 2k + 4 2 4k
2 + 8k - 2
∴ - ÷ = 5 + -2 2 2 ÷ + 4，则k 9k
2 + 8k -1 = 0 .
è k k è
1
解得， k = -1或 k = ，均满足 > 0 .
9
故直线 l的方程为 x + y - 2 = 0或 x - 9y + 38 = 0 .2.2.1 直线的倾斜角与斜率
分层练习
一、单选题
1．（2020·高二课时练习）以下两点确定的直线的斜率不存在的是（ ）
A． 4,1 与 -4, -1 B． 0,1 与 1,0
C． 1,4 与 -1,4 D． -4,1 与 -4, -1
r
2．（2023 秋·重庆沙坪坝·高二重庆市第七中学校校考期末）已知直线 l的一个方向向量为 a = 1,-1 ，则直线
l的倾斜角为（ ）
A．45° B．90°
C．120° D．135°
3．（2022·高二课时练习）设点 A 4, -3 ，B -2,-2 ，直线 l过点P 1,1 且与线段 AB 相交，则 l的斜率 k 的
取值范围是（ ）
4 4
A． k 1或 k -4 B． k 1或 k - C．-4 k 1 D．- k -1
3 3
4．（2021·高二课时练习）已知直线 l过点 A 1,2 ，且不过第四象限，则直线 l的斜率 k 的最大值是（ ）
A． 2 B．1
C 1． 02 D．
5．（2022·全国·高三专题练习）若直线经过 A 2,1 ，B 1, m2 (m R)两点，则直线 l的倾斜角a 的取值范围
是（ ）
A．0o a <180o B． 45o a < 90o 或90o < a <180o
C．0o a 45o D．0o a 45o或90o < a <180o
二、多选题
6．（2022·高二课时练习）（多选）若经过 A 1- a,1+ a 和 B 3,a 的直线的倾斜角为钝角，则实数 a 的值可能
为（ ）
A．-2 B．0 C．1 D．2
7．（2023·全国·高二专题练习）在下列四个命题中，错误的有（ ）
A．坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角和斜率
B．直线的倾斜角的取值范围是 0,π
C．若一条直线的斜率为 1，则此直线的倾斜角为90o
D．若一条直线的倾斜角为 α，则此直线的斜率为 tana
三、填空题
8．（2018·高一课时练习）如图，直线 l1，l2，l3的斜率分别是 k1，k2，k3，则有 k1，k2，k3从小到大的顺序依
次为 ．
9．（2022 秋·天津红桥·高二天津三中校考期中）经过点P 0, -1 作直线 l ，若直线 l 与连接 A 2,3 ，B -1,2
的线段总有公共点，则直线 l 的斜率的取值范围是 .
一、单选题
1．（2022·高二课时练习）下列说法正确的是( )
A．若直线的斜率为 tana ，则该直线的倾斜角为a
B．直线的倾斜角a 的取值范围是0 a < π
C．平面直角坐标系中的任意一条直线都有斜率
D．直线的倾斜角越大，其斜率就越大
2．（2020·高一单元测试）三点 A m, 2 ，B 5,1 ，C -4,2m 在同一条直线上，则m 值为（ ）
7 7 7
A．2 B． C．-2或 D．2 或
2 2 2
3．（2022 秋·河南平顶山·高二汝州市第一高级中学校考阶段练习）已知两点 A(2,-3), B(1,0) ，直线 l 过点
P(0, -1)且与线段 AB 有交点，则直线 l 的倾斜角的取值范围为（ ）
ép , 3p ù é0, p ù ép 3p ùA．
ê
B．
4 4 ú ê 4 ú
ê , 2 4 ú
é
C． ê0,
p ù é3p ,p ép , p p , 3p ÷ D． ÷
ù
4 ú ê 4 ê 4 2 è 2 4 ú
4．（2023 秋·高二课前预习）下列命题中，正确的是（ ）
A．若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大
B．若直线的倾斜角为a ，则直线的斜率为 tana
ép
C．若直线倾斜角a ê ,
2p ù
ú ，则斜率 k 的取值范围是 (- ,- 3] [1,+ ) 4 3
ép 2p ù
D．当直线的倾斜角a ê , ú 时，直线的斜率在这个区间上单调递增. 4 3
二、多选题
5．（2021·高二课时练习）（多选）下列说法正确的是（ ）
A．一条直线和 x 轴的正方向所成的角，叫做这条直线的倾斜角
B．直线的倾斜角a 的取值范围是锐角或钝角
C．和 x 轴平行的直线，它的倾斜角为 0°
D．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率
三、填空题
y +1
6．（2021·高二课时练习）已知 x, y满足 2x + y = 8 ,当 2 x 3时, 的取值范围是 .
x -1
四、解答题
7．（2018·高二单元测试）已知 A 1,2 ，B 2,1 ，C 0, m 三点．
（1）求过 A，B 两点的直线的斜率．
（2）若过 A，C 两点的直线的倾斜角为45°，求 m 的值．
（3）A，B，C 三点可能共线吗？若能，求出 m 的值．
8．（2022·高二单元测试）已知坐标平面内两点 M(m＋3,2m＋5)，N(m－2,1).
(1)当 m 为何值时，直线 MN 的倾斜角为锐角？
(2)当 m 为何值时，直线 MN 的倾斜角为钝角？
(3)直线 MN 的倾斜角可能为直角吗？
一、单选题
1．（2020·高二课时练习）若直线 l的一个方向向量是 - 3,6 ，则其斜率等于（ ）
A 3 B 3． ．- C． 2 3 D．-2 3
6 6
2．（2016 春·重庆·高三阶段练习）已知倾斜角为q 的直线 l与直线m : x - 2y + 3 = 0垂直，则 sin 2q = ( )
5 4 4 5
A． B． C．- D．-
4 5 5 4
3．（2023·江苏·高二假期作业）在VABC 中， A 4,1 ，AB 的中点M 3,2 ，重心G 1, -1 ，则 BC 边所在直线
的斜率为（ ）
A 1
1
． 2 B．- C．2 D．-22
二、多选题
4．（2022·高二课时练习）颗粒物过滤效率h 是衡量口罩防护效果的一个重要指标，计算公式为
h C - C= out in 100%
C ，其中
Cout 表示单位体积环境大气中含有的颗粒物数量（单位：ind./L），Cin 表示经口罩
out
过滤后，单位体积气体中含有的颗粒物数量（单位：ind./L）．某研究小组在相同的条件下，对两种不同类型
口罩的颗粒物过滤效率分别进行了 4 次测试，测试结果如图所示．图中点 Aij 的横坐标表示第 i 种口罩第 j 次
测试时Cout 的值，纵坐标表示第 i 种口罩第 j 次测试时Cin 的值（ i =1,2， j =1,2,3,4）．
该研究小组得到以下结论，正确的是（ ）
A．在第 2 种口罩的 4 次测试中，第 3 次测试时的颗粒物过滤效率最高
B．在第 1 种口罩的 4 次测试中，第 4 次测试时的颗粒物过滤效率最高
C．在每次测试中，第 1 种口罩的颗粒物过滤效率都比第 2 种口罩的颗粒物过滤效率高
D．在第 3 次和第 4 次测试中第 1 种口罩的颗粒物过滤效率都比第 2 种口罩的颗粒物过滤效率低
三、填空题
5．（2022·高二课时练习）已知点 A x1, y1 ，B x2 , y2 在函数 y = f x 的图像上，若函数 f x 在 x1, x2 上的
平均变化率为 3，则直线 AB 的倾斜角为 ．
6．（2023 春·江苏南京·高一南京市第二十九中学校考期末）足球是一项很受欢迎的体育运动.如图，某标准
足球场的 B 底线宽 AB = 72码，球门宽EF = 8码，球门位于底线的正中位置.在比赛过程中，攻方球员带球运
动时，往往需要找到一点 P ，使得 EPF 最大，这时候点 P 就是最佳射门位置.当攻方球员甲位于边线上的
uuur uuur
点O处（OA = AB，OA ^ AB）时，根据场上形势判断，有OA、OB 两条进攻线路可供选择.若选择线路
uuur uuur
OA，则甲带球 码时， APO到达最佳射门位置；若选择线路OB ，则甲带球 码时，到达最佳
射门位置.
四、解答题
7．（2018 春·云南玉溪·高二阶段练习）VABC 为正三角形，顶点A 在 x 轴上，A 在边BC 的右侧， BAC 的
平分线在 x 轴上，求边 AB 与 AC 所在直线的斜率．
8．（2021 秋·全国·高二专题练习）已知抛物线 y2 = 2x，过点 A(-2,4)的直线 l交抛物线于 B 、C 两点，设O
1
为坐标原点，点P( ,0) .
2
（1）求 tan PAO的值；
（2）若 PAB， PBC ， PAC的面积成等比数列，求直线 l的方程.
