2.2.2 直线的方程
分层练习
一、单选题
1．（2023·高一单元测试）下列直线中倾斜角为锐角的直线为( )
A．3x + 2y - 6 = 0 B．3x = 0
C． 2y - 3 = 0 D． 2x - 3y + 7 = 0
2．（2021·高二课时练习）一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程（ ）
A．可以写成两点式或截距式
B．可以写成两点式或斜截式或点斜式
C．可以写成点斜式或截距式
D．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式
3．已知直线 Ax + By + C = 0不经过第一象限，且A ， B ，C 均不为零，则有（ ）．
A．C < 0 B．C > 0
C．BC > 0 D． BC < 0
4．直线 l与直线 2x +3y -1= 0 平行，且经过坐标原点，则直线 l的方程是（ ）
A． 2x - 3y -1 = 0 B． x + 3y - 2 = 0
C． 2x + 3y = 0 D．3x - 2y -1 = 0
二、多选题
5．（2022·高二课时练习）(多选)若直线 l：ax＋y－2－a＝0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等，则直线 l 的斜率为
（ ）
A．1 B．－1
C．－2 D．2
三、填空题
6．若不论 k 取何值，直线 l : (k +1)x + y + 2 - k = 0恒过定点，则这个定点的坐标为 ．
7．（2022·全国·高二假期作业）已知直线 l 的倾斜角是直线 x - 2y + 3 = 0的倾斜角的 2 倍，且 l 经过点 3,2 ，
则直线 l 的一般方程为 ．
四、解答题
8．（2023·全国·高二专题练习）根据条件写出下列直线的斜截式方程：
(1)斜率为 2，在 y 轴上的截距是 5；
(2)倾斜角为 150°，在 y 轴上的截距是－2；
(3)倾斜角为 60°，与 y 轴的交点到坐标原点的距离为 3.
一、单选题
1．（2021 春·湖南·高三校联考阶段练习）直线 l 垂直于直线 y = x +1，且 l 在 y 轴上的截距为 2 ，则直线 l
的方程是（ ）
A． x + y - 2 = 0 B． x + y +1 = 0
C． x + y -1 = 0 D． x + y + 2 = 0
2．（2022·高二课时练习）过点M -1, -2 ，在两坐标轴上截距相等的直线方程为（ ）
A． x + y + 3 = 0 B． 2x - y = 0或 x + y + 3 = 0
C． y = x -1 D． x + y + 3 = 0或 y = x -1
3．（2021·全国·高二专题练习）设直线 l 的方程为 a +1 x + y + 2 - a = 0 a R ．若 l不经过第一象限，则实数 a
的取值范围是（ ）
A． - , -3 B． -1,2
C． -3,0 D． 2, +
π
4．（2023 春·高一课时练习）已知直线倾斜角q 的范围是 0,π ，当q 时， tanq2 等于直线的斜率值．则直
线 x + 2y +1 = 0的倾斜角为（ ）
A． π - arcsin 2 5 B 2 5． π - arccos
5 5
C． arctan 2 arctan 1- D． -
2 ֏
二、多选题
5．（2022·高二课时练习）如果 AB < 0， BC < 0 ，那么直线 Ax + By + C = 0经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
6．（2022·高二课时练习）设直线 l 的方程为 (a +1)x + y + 2 - a = 0(a R) ．下列说法正确的是（ ）
A．当 a -1时，l 不经过第二象限
B．直线恒过定点 (1,3)
C．不论 a 为何值，直线恒过第四象限
D．直线的倾斜角不可能是 90°
三、填空题
7．（2022·高二课时练习）过点 A -2, 3 且与直线 x - 3y + 5 = 0成60°角的直线的一般式方程是 ．
8 5．（2021 秋·河北石家庄·高二石家庄市第十七中学校考阶段练习）过点 A -2,1 ，且倾斜角的余弦值为-
5
的直线的一般式方程为 .
四、解答题
9．已知VABC 的三个顶点 A(-2,4)、B(-3, -1)、C(1,3) .
（1）求BC 边上高 AD （D为垂足)所在直线的方程；
（2）求BC 边上的中线 AE ( E 为BC 的中点)所在直线方程.
4
10．（2023 秋·高二课时练习）直线 l 过点 P( ，2)且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A，B 两点，O 为坐标
3
原点.
(1)当△AOB 的周长为 12 时，求直线 l 的方程；
(2)当△AOB 的面积为 6 时，求直线 l 的方程.
一、单选题
1．（2022 秋·吉林·高二统考期中）经过点M 1, -1 且与直线 x + 4y + 2 = 0垂直的直线方程为（ ）
A． x + 4y + 3 = 0 B． x - 4 y + 5 = 0
C． 4x - y - 5 = 0 D． 4x + y - 3 = 0
2．（2022·高二单元测试）过坐标原点O作直线 l： a + 2 x + 1- a y - 6 = 0的垂线，垂足为H s, t ，则 s2 + t 2
的取值范围是（ ）
A． é 0,2 2 ù B． 0, 2 2 ù C． 0,8 D． 0,8
3．（2022·高二单元测试）已知P1 a1,b1 与P2 a2 ,b2 是直线 y = kx + 2（ k 为常数）上两个不同的点，则关于
l1 : a1x + b1 y - 2 = 0和 l2 : a2x + b2 y - 2 = 0的交点情况是（ ）
A．无论 k ，P1，P2如何，总有唯一交点 B．存在 k ，P1，P2使之有无穷多个交点
C．无论 k ，P1，P2如何，总是无交点 D．存在 k ，P1，P2使之无交点
4．（2022·高二课时练习）在平面直角坐标系 xOy 中，O是坐标原点，设函数 f (x) = k(x - 2) + 3的图象为直
线 l，且 l与 x 轴、 y 轴分别交于A 、 B 两点，给出下列四个命题：
①存在正实数m ，使VAOB的面积为m 的直线 l仅有一条；
②存在正实数m ，使VAOB的面积为m 的直线 l仅有二条；
③存在正实数m ，使VAOB的面积为m 的直线 l仅有三条；
④存在正实数m ，使VAOB的面积为m 的直线 l仅有四条．
其中，所有真命题的序号是．
A．①②③ B．③④
C．②④ D．②③④
二、多选题
5．（2022 秋·海南省直辖县级单位·高二嘉积中学校考阶段练习）下列四个结论，其中正确的为（ ）
k y - 2A．方程 = 与方程 y - 2 = k x -1 可表示同一条直线
x -1
B．直线 l : x + y + 3 = 0在 x 轴上的截距为-3
C．直线 l过点P 1,2 ，斜率为 0，则其方程为 y = 2
D．过点P 1,2 ，且与两坐标轴截距相等的直线 l方程仅有： x + y - 3 = 0
三、填空题
6．已知直线 l的方程为 2x - 5y +10 = 0，且在 x 轴上的截距为 a，在 y 轴上的截距为b ，则 a + b = .
7．已知线段 PQ两端点的坐标分别为P -1,1 和Q 2, 2 ，若直线 l : x + my = 0 与线段 PQ有交点，则实数m 的
取值范围是 .
四、解答题
8．（2022·高二课时练习）在平面直角坐标系 xOy 中，VABC 的顶点A 的坐标为 -4,2 ， AB 边上的中线CM
所在的直线方程为 x - y +1 = 0 ， B的角平分线所在的直线方程为 2x + y - 2 = 0 .
（1）求点 B 的坐标；
（2）求直线BC 的方程.
9．（2021 秋·江苏南通·高二期中）已知一条动直线 3(m+1)x+(m-1)y-6m-2=0，
（1）求证：直线恒过定点，并求出定点 P 的坐标；
（2）若直线与 x、y 轴的正半轴分别交于 A，B 两点，O 为坐标原点，是否存在直线满足下列条件：①△AOB
的周长为 12；②△AOB 的面积为 6，若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.
3
（3）若直线与 x、y 轴的正半轴分别交于 A，B 两点，当PA + PB 取最小值时，求直线的方程.
22.2.2 直线的方程
分层练习
一、单选题
1．（2023·高一单元测试）下列直线中倾斜角为锐角的直线为( )
A．3x + 2y - 6 = 0 B．3x = 0
C． 2y - 3 = 0 D． 2x - 3y + 7 = 0
【答案】D
【详解】若直线的倾斜角为锐角，则直线的斜率为正值，
对于 A，直线3x + 2y - 6 = 0 y
3 x 3 3，即 = - + 的斜率为- ，倾斜角为钝角，A 不正确；
2 2
对于 B，直线3x = 0，即 x = 0的斜率不存在，斜率角为90o，B 不正确；
3
对于 C，直线 2y - 3 = 0，即 y = 的斜率为 0，斜率角为0o ，C 不正确；2
对于 D，直线 2x - 3y + 7 = 0
2 7 2
，即 y = x + 的斜率为 3 ，倾斜角为锐角，D 正确.3 3
故选：D
2．（2021·高二课时练习）一条直线不与坐标轴平行或重合，则它的方程（ ）
A．可以写成两点式或截距式
B．可以写成两点式或斜截式或点斜式
C．可以写成点斜式或截距式
D．可以写成两点式或截距式或斜截式或点斜式
【答案】B
【详解】由于直线不与坐标轴平行或重合，所以直线的斜率存在，且直线上任意两点的横坐标及纵坐标都
不相同，所以直线能写成两点式或斜截式或点斜式．
由于直线在坐标轴上的截距有可能为 0，所以直线不一定能写成截距式．
故选：B
3．已知直线 Ax + By + C = 0不经过第一象限，且A ， B ，C 均不为零，则有（ ）．
A．C < 0 B．C > 0 C．BC > 0 D． BC < 0
【答案】C
A C
【详解】依题意，直线 Ax + By + C = 0的斜率为- ，纵截距为- ，又该直线不经过第一象限，
B B
A C
因此- < 0 ，且- < 0，即 AB > 0，BC > 0，选项 A，B 不一定正确，D 不正确，C 正确.
B B
故选：C ．
4．直线 l与直线 2x +3y -1= 0 平行，且经过坐标原点，则直线 l的方程是（ ）
A． 2x - 3y -1 = 0 B． x + 3y - 2 = 0 C． 2x + 3y = 0 D．3x - 2y -1 = 0
【答案】C
【详解】直线 2x +3y -1= 0
2 2
的斜率为- ，则直线 l 的斜率为 k = - ，
3 3
2
所以直线 l的方程是 y = - x，即 2x + 3y = 0，C 正确.
3
故选：C
二、多选题
5．（2022·高二课时练习）(多选)若直线 l：ax＋y－2－a＝0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等，则直线 l 的斜率为
（ ）
A．1 B．－1 C．－2 D．2
【答案】BD
【详解】 a = 0时， l : y = 2，不符合题意.
2 + a
a 0时，直线 l过 0,2 + a , ,0
a ÷
，
è
2 a 2 + a依题意 + = ，
a
解得 a = -2 或 a =1 .
当 a = -2 时， l : y = 2x ，直线的斜率为 2 .
当 a =1时， l : y = -x + 3，直线的斜率为 -1 .
故选：BD
三、填空题
6．若不论 k 取何值，直线 l : (k +1)x + y + 2 - k = 0恒过定点，则这个定点的坐标为 ．
【答案】 (1, -3)
【详解】直线 l的方程可化为： k(x -1) + x + y + 2 = 0，
ìx -1 = 0
由 k 的任意性可得： í ，
x + y + 2 = 0
ìx =1
解得： íy 3， = -
故定点的坐标为 (1, -3)．
故答案为： (1, -3)
7．（2022·全国·高二假期作业）已知直线 l 的倾斜角是直线 x - 2y + 3 = 0的倾斜角的 2 倍，且 l 经过点 3,2 ，
则直线 l 的一般方程为 ．
【答案】 4x - 3y - 6 = 0
1
【详解】设直线 x - 2y + 3 = 0的倾斜角是q ，则 tanq = 2 ，
2 12 tanq 2 4
∴所求直线 l的斜率为 tan 2q =
1- tan2
= 1 = ，q 1- ( )2 3
2
4
l的方程为 y - 2 = (x - 3) ，即 4x - 3y - 6 = 0．
3
故答案为： 4x - 3y - 6 = 0．
四、解答题
8．（2023·全国·高二专题练习）根据条件写出下列直线的斜截式方程：
(1)斜率为 2，在 y 轴上的截距是 5；
(2)倾斜角为 150°，在 y 轴上的截距是－2；
(3)倾斜角为 60°，与 y 轴的交点到坐标原点的距离为 3.
【答案】(1)y＝2x＋5
(2)y 3＝－ x－2
3
(3)y＝ 3 x＋3 或 y＝ 3 x－3
【详解】（1）由直线方程的斜截式可知，所求直线的斜截式方程为 y＝2x＋5.
3
（2）由于直线的倾斜角为 150°，所以斜率 k＝tan 150°＝－ ，
3
3
故所求直线的斜截式方程为 y＝－ x－2.
3
（3）因为直线的倾斜角为 60°，所以斜率 k＝tan 60°＝ 3．
因为直线与 y 轴的交点到坐标原点的距离为 3，
所以直线在 y 轴上的截距 b＝3 或 b＝－3，
故所求直线的斜截式方程为 y＝ 3 x＋3 或 y＝ 3 x－3.
一、单选题
1．（2021 春·湖南·高三校联考阶段练习）直线 l 垂直于直线 y = x +1，且 l 在 y 轴上的截距为 2 ，则直线 l
的方程是（ ）
A． x + y - 2 = 0 B． x + y +1 = 0
C． x + y -1 = 0 D． x + y + 2 = 0
【答案】A
【详解】因为直线 l 垂直于直线 y = x +1，
所以设直线 l 的方程为： y = -x + b，
又因为直线 l 在 y 轴上的截距为 2 ，
所以b = 2 ，
所以直线 l 的方程是 x + y - 2 = 0
故选：A
2．（2022·高二课时练习）过点M -1, -2 ，在两坐标轴上截距相等的直线方程为（ ）
A． x + y + 3 = 0 B． 2x - y = 0或 x + y + 3 = 0
C． y = x -1 D． x + y + 3 = 0或 y = x -1
【答案】B
【详解】当所求直线不过原点时，设所求直线的方程为 x + y = a，
因为直线过点M -1, -2 ，代入可得 a = -3，即 x + y + 3 = 0；
当所求直线过原点时，设直线方程为 y = kx ，
因为直线过点M -1, -2 ，代入可得 k = 2，即 2x - y = 0，
综上可得，所求直线的方程为 2x - y = 0或 x + y + 3 = 0 .
故选：B.
3．（2021·全国·高二专题练习）设直线 l 的方程为 a +1 x + y + 2 - a = 0 a R ．若 l不经过第一象限，则实数 a
的取值范围是（ ）
A． - , -3 B． -1,2 C． -3,0 D． 2, +
【答案】B
【详解】解：将直线方程化为斜截式方程得 y = - a +1 x + a - 2, a R ，
因为 l不经过第一象限，
ì- a +1 0
所以 í ，解得 -1 a 2 ，
a - 2 0
所以实数 a 的取值范围是 -1,2
故选：B
π
4．（2023 春·高一课时练习）已知直线倾斜角q 的范围是 0,π ，当q 时， tanq2 等于直线的斜率值．则直
线 x + 2y +1 = 0的倾斜角为（ ）
A 2 5． π - arcsin B． π - arccos 2 5
5 5
C． arctan -2 D． arctan 1- 2 ÷è
【答案】B
1 1 1 1 π
【详解】直线 x + 2y +1 = 0即 y = - x - ，其斜率为- ，即 tanq = - , < q < π ，
2 2 2 2 2
sinq 1
∴ = - ，代入 sin2 q + cos2 q =1得5sin2 q =1，
cosq 2
π
∵ < q < π sinq 5，∴2 = , cosq
2 5
= - .
5 5
sinq 5 , π由 = < q < π ，得 sin π -q = sinq 5 ,0 π q π= < - < ，
5 2 5 2
∴ π -q = arcsin 5 5，∴q = π - arcsin ，故 A 错误；
5 5
由 cosq 2 5 π 2 5 π= - , < q < π ，得 cos π -q = -cosq = ,0 < π -q < ，
5 2 5 2
∴ π -q = arccos 2 5 2 5，∴q = π - arccos ，故 B 正确；
5 5
tanq 1 π 1 π由 = - , < q < π ，得 tan π -q = - tanq = ,0 < π -q < ，
2 2 2 2
1 1
∴ π -q = arctan ，∴q = π - arctan ，故 C，D 错误.
2 2
故选：B.
二、多选题
5．（2022·高二课时练习）如果 AB < 0， BC < 0 ，那么直线 Ax + By + C = 0经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】ABC
【详解】直线 Ax + By + C = 0
C BC C
在 x 轴上的截距为- = - < 0 ，在 y 轴上的截距为- > 0，
A AB B
如下图所示：
由图象可知，直线 Ax + By + C = 0经过第一、二、三象限.
故选：ABC.
6．（2022·高二课时练习）设直线 l 的方程为 (a +1)x + y + 2 - a = 0(a R) ．下列说法正确的是（ ）
A．当 a -1时，l 不经过第二象限
B．直线恒过定点 (1,3)
C．不论 a 为何值，直线恒过第四象限
D．直线的倾斜角不可能是 90°
【答案】ACD
【详解】对于 A，将 l 的方程化为 y = -(a +1)x + a - 2 ，欲使 l 不经过第二象限，
ì-(a +1) > 0 ì-(a +1) = 0
当且仅当 ía 2 0 或 ía 2 0 成立，所以
a -1，故 A 正确；
- -
对于 B，点 (1,3)代入直线方程不成立，B 不正确；
对于 C，因为直线恒过第四象限内的点 (1, -3)，所以不论 a 为何值，直线恒过第四象限，C 正确；
对于 D，直线的斜率始终存在，为-(a +1) ，所以倾斜角不可能等于 90°，D 正确．
故选：ACD
三、填空题
7．（2022·高二课时练习）过点 A -2, 3 且与直线 x - 3y + 5 = 0成60°角的直线的一般式方程是 ．
【答案】 x = -2或 x + 3y -1 = 0
3
【详解】由直线方程 x - 3y + 5 = 0，可得此直线的斜率为 ，倾斜角为30°，
3
则与该直线成60°角的直线的倾斜角为90°或150°，
又因为所求直线过点 A -2, 3 ，
3
所以所求直线方程为 x = -2或 y - 3 = - x + 2 ，
3
即 x = -2或 x + 3y -1 = 0．
故答案为： x = -2或 x + 3y -1 = 0
8．（2021 秋· 5河北石家庄·高二石家庄市第十七中学校考阶段练习）过点 A -2,1 ，且倾斜角的余弦值为-
5
的直线的一般式方程为 .
【答案】 2x + y + 3 = 0 .
【详解】设直线的倾斜角为q ，则q 0, π ，
2
因为 cosq 5= - ，所以 sinq = 1- cos2 q 1 5 2 5= -
5
-
5 ÷÷
= ，
è 5
2 5
k tanq sinq所以直线的斜率 = = = 5 = -2，
cosq 5
-
5
所以直线的方程为： y -1 = -2 x + 2 ，
所以直线的一般式方程为： 2x + y + 3 = 0 .
故答案为： 2x + y + 3 = 0 .
四、解答题
9．已知VABC 的三个顶点 A(-2,4)、B(-3, -1)、C(1,3) .
（1）求BC 边上高 AD （D为垂足)所在直线的方程；
（2）求BC 边上的中线 AE ( E 为BC 的中点)所在直线方程.
【答案】（1） x + y - 2 = 0；（2）3x + y + 2 = 0
3-
k -1 【详解】解：（1）因为 BC = =11 3 ，直线BC 垂直于直线 AD ，- -
所以 kAD = -1，
所以 AD 所在直线的方程为 y - 4 = -1 x + 2 ，整理得 x + y - 2 = 0，
所以BC 边上高 AD （D为垂足)所在直线的方程为 x + y - 2 = 0 .
（2）由中点坐标公式得E -1,1 ，
y - 4 4 -1
所以根据两点式方程得中线 AE 的方程为： =x 3x + y + 2 = 0+ 2 -2 - -1 ，整理得 .
所以BC 边上的中线 AE ( E 为BC 的中点)所在直线方程为3x + y + 2 = 0 .
4
10．（2023 秋·高二课时练习）直线 l 过点 P( ，2)且与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A，B 两点，O 为坐标
3
原点.
(1)当△AOB 的周长为 12 时，求直线 l 的方程；
(2)当△AOB 的面积为 6 时，求直线 l 的方程.
【答案】(1) 3x＋4y－12＝0 或 15x＋8y－36＝0. (2) 3x＋4y－12＝0 或 3x＋y－6＝0.
x y
【详解】(1)设直线 l 的方程为 ＋ ＝1(a>0，b>0)，
a b
4
因为直线 l 过点 P( ，2)，
3
4 2
所以 ＋ ＝1，①
3a b
又 a＋b＋ a2 + b2 ＝12.②
由①②可得 5a2－32a＋48＝0，
ì 12
ìa = 4 a = 5
解得 í
b = 3
或 í
b 9=
2
所以直线 l 的方程为 3x＋4y－12＝0 或 15x＋8y－36＝0.
x y
(2)设直线 l 的方程为 ＋ ＝1(a>0，b>0)，
a b
4 2
由题意知，ab＝12， ＋ ＝1，消去 b，
3a b
得 a2－6a＋8＝0，
ìa = 4 ìa = 2
解得 í
b
或
= 3 í b = 6
所以直线 l 的方程为 3x＋4y－12＝0 或 3x＋y－6＝0.
一、单选题
1．（2022 秋·吉林·高二统考期中）经过点M 1, -1 且与直线 x + 4y + 2 = 0垂直的直线方程为（ ）
A． x + 4y + 3 = 0 B． x - 4 y + 5 = 0
C． 4x - y - 5 = 0 D． 4x + y - 3 = 0
【答案】C
【详解】设与直线 x + 4y + 2 = 0垂直的直线方程为 4x - y + m = 0，
因为过点M 1, -1 ，所以 4 +1+ m = 0 ，解得m = -5 .
所求直线为 4x - y - 5 = 0 .
故选：C
2．（2022·高二单元测试）过坐标原点O作直线 l： a + 2 x + 1- a y - 6 = 0的垂线，垂足为H s, t ，则 s2 + t 2
的取值范围是（ ）
A． é 0,2 2 ù B． 0, 2 2 ù C． 0,8 D． 0,8
【答案】D
uuur r ì(a -1)s + (a + 2)t = 0
【详解】依题意，OH = (s, t)，直线 l 的方向向量 n = (a -1, a + 2)，则有 í
(a + 2)s
，
- (a -1)t = 6
ìs 6(a + 2)=
(a + 2)2 + (a -1)2 s2 t 2 36 36+ = =
解得 í 6(a -1) ，因此， (a + 2)
2 + (a -1)2
2(a
1 9
+ )2 + ，
t = - 2 2 2 (a + 2) + (a -1)
2
1 1 9 0 362 9 < 8
因当 a = - 时， 2(a + ) + 取最小值 ，则有 2(a 1+ )2 9+ ，2 2 2 2 2 2
所以 s2 + t 2的取值范围是 (0,8] .
故选：D
3．（2022·高二单元测试）已知P1 a1,b1 与P2 a2 ,b2 是直线 y = kx + 2（ k 为常数）上两个不同的点，则关于
l1 : a1x + b1 y - 2 = 0和 l2 : a2x + b2 y - 2 = 0的交点情况是（ ）
A．无论 k ，P1，P2如何，总有唯一交点 B．存在 k ，P1，P2使之有无穷多个交点
C．无论 k ，P1，P2如何，总是无交点 D．存在 k ，P1，P2使之无交点
【答案】A
【详解】因为P1 a1,b1 与P2 a2 ,b2 是直线 y = kx + 2（ k 为常数）上两个不同的点，
所以bi = kai + 2 i =1,2 即 ai -k + bi 1- 2 = 0 i =1,2 ，
故 -k,1 既在直线 l1上，也在直线 l2上.
因为P1 a1,b1 与P2 a2 ,b2 是两个不同的点，故 l1、 l2不重合，
故无论 k ，P1，P2如何，总有唯一交点 -k,1 .
故选：A.
4．（2022·高二课时练习）在平面直角坐标系 xOy 中，O是坐标原点，设函数 f (x) = k(x - 2) + 3的图象为直
线 l，且 l与 x 轴、 y 轴分别交于A 、 B 两点，给出下列四个命题：
①存在正实数m ，使VAOB的面积为m 的直线 l仅有一条；
②存在正实数m ，使VAOB的面积为m 的直线 l仅有二条；
③存在正实数m ，使VAOB的面积为m 的直线 l仅有三条；
④存在正实数m ，使VAOB的面积为m 的直线 l仅有四条．
其中，所有真命题的序号是．
A．①②③ B．③④ C．②④ D．②③④
【答案】D
【详解】∵直线 y = k(x - 2) + 3与 x
3
轴， y 轴交点的坐标分别是： A 2 - ,0÷，B(0,3- 2k) ，∴
è k
1 2 2SVAOB = 2
3 1 (2k - 3)
- 3- 2k = 1 4k -12k + 9 1 9，当 k > 0时， SVAOB = =
4k + -12
2 k 2 k ÷，∵2 k 2 è k
3
4k 9+ 2 4k 9 =12，当且仅当 k = 时取等号，∴ SVAOB 0
3
2 ，当且仅当
k =
2 时取等号，∴当k k
SVAOB = m > 0 ，在 k > 0时， k 有两个值；当 k < 0时，
S 1 (2k - 3)
2 1 4k 2 -12k + 9 1
= = = é
9 ù 9 9
VAOB 2 k 2 -k 2 ê
(-4k) + +12
k ú，∵- -4k + 2 (-4k) =12，当且仅当 -k -k
k 3 3= - 时取等号，∴ SVAOB 12 ，当且仅当 k = - 时取等号，当 SVAOB = m >12 时，在 k < 0时， k 有两个值；2 2
∴当m = 0时，仅有一条直线使VAOB的面积为m ，故①不正确；当0 < m <12 时，仅有两条直线使VAOB的
面积为m ，故②正确；当m =12时，仅有三条直线使VAOB的面积为m ，故③正确；当m >12时，仅有四条
直线使VAOB的面积为m ，故④正确；综上所述，真命题的序号是②③④，故选 D.
二、多选题
5．（2022 秋·海南省直辖县级单位·高二嘉积中学校考阶段练习）下列四个结论，其中正确的为（ ）
k y - 2A．方程 = 与方程 y - 2 = k x -1 可表示同一条直线
x -1
B．直线 l : x + y + 3 = 0在 x 轴上的截距为-3
C．直线 l过点P 1,2 ，斜率为 0，则其方程为 y = 2
D．过点P 1,2 ，且与两坐标轴截距相等的直线 l方程仅有： x + y - 3 = 0
【答案】BC
y - 2
【详解】解：对于 A，因为方程 k = 中， x 1，
x -1
而方程 y - 2 = k x -1 中 x R ，故两个方程表示不同直线，故 A 错误；
对于 B，令 y = 0 ，则 x = -3，
所以直线 l : x + y + 3 = 0在 x 轴上的截距为-3，故 B 正确；
对于 C，直线 l过点P 1,2 ，斜率为 0，则其方程为 y = 2，故 C 正确；
对于 D，当直线在坐标轴上的截距都为 0 时，
直线方程为 y = 2x，
x y
当直线在坐标轴上的截距都不为 0 时，可设其方程为 + = 0，
a a
1 2
则 + = 0，解得 a = 3，
a a
所以直线方程为 x + y - 3 = 0，
综上，过点P 1,2 ，且与两坐标轴截距相等的直线 l方程为 y = 2x或 x + y - 3 = 0，故 D 错误.
故选：BC.
三、填空题
6．（2019 春·江苏盐城·高一射阳县第二中学校考阶段练习）已知直线 l的方程为 2x - 5y +10 = 0，且在 x 轴上
的截距为 a，在 y 轴上的截距为b ，则 a + b = .
【答案】3
【详解】直线 l的方程为 2x - 5y +10 = 0，
x y
化为截距式可得 + =1，
-5 2
所以直线 l在 x 轴上的截距为 a = -5，在 y 轴上的截距为b = 2 ，
则 a + b = -5 + 2 = 3
故答案为：3
7．（2016·安徽池州·高二阶段练习）已知线段 PQ两端点的坐标分别为P -1,1 和Q 2, 2 ，若直线 l : x + my = 0
与线段 PQ有交点，则实数m 的取值范围是 .
【答案】 -1,1
【详解】如图所示，
k 1- 0 1 k 2 - 0OP = = - ， OQ = =1，-1- 0 2 - 0
所以 kl -1或 kl 1或m = 0，
1 1
即 - -1，或 1m ，解得-1 m < 0 或0 < m 1，m
综上所述，-1 m 1，故答案为： -1,1 .
四、解答题
8．（2022·高二课时练习）在平面直角坐标系 xOy 中，VABC 的顶点A 的坐标为 -4,2 ， AB 边上的中线CM
所在的直线方程为 x - y +1 = 0 ， B的角平分线所在的直线方程为 2x + y - 2 = 0 .
（1）求点 B 的坐标；
（2）求直线BC 的方程.
【答案】（1） (2,-2)；（2）18x - y - 38 = 0 .
a - 4 b + 2
【详解】（1）设点 B 的坐标为 (a , b ) M , 则 AB 中点 的坐标为 ÷
è 2 2
依题意可知，点 B 在直线 2x + y - 2 = 0上，点 M 在直线 x - y +1 = 0 上
ì2a + b - 2 = 0
ìa = 2
则有 ía - 4 b + 2 解得 í ，
- +1 = 0 2 2
b = -2
即点 B 的坐标为 (2,-2)
（2）设点 A 关于直线 2x + y - 2 = 0的对称点为 A ，
则 A 在直线BC 上
x - 4 y + 2
设点 A 的坐标为 (x, y)，则点 AA 的中点坐标为 , ÷
è 2 2
ì y - 2 1 ì
= x
12
=
x + 4 2 5
则有 í
2 x 2 y
解得
- + 2 í
× + - 2 = 0 y 26=
2 2 5
12 , 26 即点 A 的坐标为
è 5 5 ÷
26 - (-2)
直线 A B的斜率为 k = 512 = 18- 2
5
所以直线 A B的直线方程为 y + 2 =18(x - 2)
化简得：18x - y - 38 = 0
即直线BC 的方程为18x - y - 38 = 0 .
9．（2021 秋·江苏南通·高二期中）已知一条动直线 3(m+1)x+(m-1)y-6m-2=0，
（1）求证：直线恒过定点，并求出定点 P 的坐标；
（2）若直线与 x、y 轴的正半轴分别交于 A，B 两点，O 为坐标原点，是否存在直线满足下列条件：①△AOB
的周长为 12；②△AOB 的面积为 6，若存在，求出方程；若不存在，请说明理由.
3
（3）若直线与 x、y 轴的正半轴分别交于 A，B 两点，当PA + PB 取最小值时，求直线的方程.
2
4
【答案】（1）证明见解析；P( , 2) （2）存在；直线方程为 3x＋4y－12＝0（3）3x＋3y－10＝0
3
【详解】（1）依题意直线方程为3 m +1 x + m -1 y - 6m - 2 = 0 ，
即3mx + 3x + my - y - 6m - 2 = 0，
即 3x + y - 6 m + 3x - y - 2 = 0，
ì3x + y - 6 = 0 ì 4 x = 4
所以由 í 3 P , 2
3x - y - 2 = 0
，解得 í ，故直线过定点 ÷ .
y = 2
è 3
x y 4 4 2
（2）依题意设直线方程为 + =1 a > 0,b > 0 ，将P , 2÷ 代入得 + =1①.a b è 3 3a b
ìa + b + a2 + b2 =12 a = 3 a = 4
则 A(a,0), B(0,b)
ì ì
，则 í1 ，解得 íb 4或 í . ab = 6 = b = 3
2
ìa = 3 ìa = 4
其中 íb 4不满足①，= íb 3 满足①. =
x y
所以存在直线 + =1，即3x + 4y -12 = 0满足条件.
4 3
4
（3）由（1
）知直线过定点P , 2
÷ ，而若直线与 x、y 轴的正半轴分别交于 A，B 两点，所以直线的倾斜角
è 3
a p ,p 2 ÷
，
è
PA 2所以 = , PB
4
= - ，
sina 3cosa
3
所以PA + PB
2 3 4 2 2 cosa - sina
= - = - = 2 ②，
2 sina 2 3cosa sina cosa sina cosa
令 t = cosa - sina = 2 cos
a p + 4 ÷
，
è
p p 3p 5p p é 2
由于a ,p ，所以a + , ，所以 cos a + -1, - ，
è 2 ÷ 4 è 4 4 ÷ 4 ÷
ê ÷
è ÷ 2
所以 t = 2 cos
a p+ 4 ÷
é
è
- 2, -1 .
PA 3+ PB 2 t 4= = 1 4
则②可化为 2 1- t 2 1 - t ，由于 y = - t 在
é
- 2, -1 上为减函数，所以 1 在 é - 2, -1- t 上为
2 t
t t
4
3p 3 = 4 2
增函数，故当 t = - 2 ，即a = 时，PA + PB 取得最小值为 1 + 2 .此时直线方程为4 2 - 2
y - 2 = tan 3p x 4- 10，即 y = -x + ，也即3x + 3y -10 = 0 .
4 3 ֏ 3
