2.2.3 两条直线的位置关系
分层练习
一、单选题
1．已知直线 l1 : x + 2a -1 y + 2a - 3 = 0， l2 : ax + 3y + a2 + 4 = 0， l1//l2，则 a的值为（ ）
3 3
A． -1或 B． C．1 D． -1
2 2
【答案】B
2
【详解】因为直线 l1 : x + 2a -1 y + 2a - 3 = 0， l2 : ax + 3y + a + 4 = 0， l1//l2，
ì 1 3 = a 2a -1
所以 í 2 ，
1 a + 4 a 2a - 3
3
解得 a = .
2
故选：B.
2．已知倾斜角为q 的直线 l与直线3x - 4y -1 = 0垂直，则 cosq 的值为（ ）
- 3 4 3 4A． B．- C． D．
5 5 5 5
【答案】A
3
【详解】由垂直知两直线的斜率之积为 -1，而直线3x - 4y -1 = 0的斜率为 ，
4
4 4
得直线 l的斜率为- ，即 tanq = - ，得q 为钝角，
3 3
3
所以 cosq = - .
5
故选：A
3．若直线 l1 : mx + 2y +1 = 0与直线 l2 : x + y - 2 = 0互相垂直，则实数m 的值为（ ）
A 1
1
．2 B．-2 C． -2 D． 2
【答案】B
m 1
【详解】直线 l1 : y = - x - ，直线 l2 2 2
: y = 2 - x
又直线 l1与直线 l2互相垂直
m
∴ - -1 = -1，即m = -2
2
故选 B
4．已知直线 l1 : kx - y +1 = 0 与 l2 : kx + (4 - k)y +1 = 0 平行，则 k 的值是（ ）
A．5 B． 0 或5 C． 0 D． 0 或1
【答案】C
【详解】由两直线平行得，当 k = 0时，两直线分别为 y =1 y
1
和 = - ，显然两直线平行；
4
k -1
当 k 0时，由 = ，解得 k = 5；
k 4 - k
而当 k = 5时两直线重合.
综上所述，k 的值为 0.
故选：C
二、多选题
5．(多选)若过点(1,a)，(0,0)的直线 l1与过点(a,3)，(-1,1)的直线 l2平行，则 a 的取值可以为（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
【答案】AC
a - 0 3-1
【详解】若直线 l1与 l2平行，则 =1- 0 a - -1 ，即 a(a+1)=2，故 a= -2 或 a =1.
当 a = -2 时， k1 = -2
2
， k2 = = -2，符合题设；a +1
2
当 a =1时， k1 =1， k2 = =1，符合题设；a +1
故选：AC.
三、填空题
6．不论 a 为何实数，直线 l : a + 2 x - a +1 y = 2 - a 恒过一定点，则此定点的坐标为 ．
【答案】 3,4
【详解】将直线 l : a + 2 x - a +1 y = 2 - a 整理为 a x - y +1 + 2x - y - 2 = 0 ；
直线过定点与 a无关，所以 x - y +1 = 0 ，且 2x - y - 2 = 0；
联立解方程组可得 x = 3, y = 4；
可得定点坐标为 3,4 .
故答案为： 3,4
7．若直线 l1 : 2x + my +1 = 0和 l2 : 3x - y -1 = 0互相垂直，则实数m = .
【答案】6
【详解】因为直线 l1 : 2x + my +1 = 0和 l2 : 3x - y -1 = 0互相垂直，所以 2 3+ m (-1) = 0，所以m = 6．
故答案为：6．
四、解答题
8．直线 l1 : x + 2y -11 = 0与直线 l2 : 2x + y -10 = 0相交于点 P，直线 l 经过点 P.
(1)若直线 l ^ l2，求直线 l 的方程；
(2)若直线 l 在坐标轴上的截距相等，求直线 l 的方程.
【答案】(1) x - 2y + 5 = 0
(2) 4x - 3y = 0或 x + y - 7 = 0 .
ìx + 2y -11 = 0, ìx = 3,
【详解】（1）联立 í 得 即P 3,4 .
2x + y -10 = 0
í
y = 4,
因为 l ^ l2，不妨设直线 l 的方程为 x - 2y + l = 0，
将点P 3,4 代入 x - 2y + l = 0，得l = 5，
所以直线 l 的方程为 x - 2y + 5 = 0 .
（2）当直线 l 经过坐标原点时，直线 l 的方程是 y
4
= x，即 4x - 3y = 0；
3
x y
当直线 l 不经过坐标原点时，设直线 l 的方程为 + =1，
a a
x y
将点P 3,4 代入 + =1，得 a = 7，
a a
x y
所以直线 l 的方程为 + =1，即 x + y - 7 = 0 .
7 7
综上所述，直线 l 的方程是 4x - 3y = 0或 x + y - 7 = 0 .
9．已知点 A -1,3 , B 5,-7 和直线 l : 3x + 4 y - 20 = 0．
(1)求过点A 与直线 l平行的直线 l1的方程；
(2)求过 AB 的中点与 l垂直的直线 l2的方程．
【答案】(1) 3x + 4y - 9 = 0；(2) 4x - 3y -14 = 0 .
3
【详解】(1) 由题意可知，直线 l : 3x + 4 y - 20 = 0的斜率为- ，
4
3
因为 l1 / /l ，所以 k1 = - ,4
3
所以直线 l1的方程为 y - 3 = -
÷ x +1 ，即3x + 4y - 9 = 0 .
è 4
(2)因为 A -1,3 , B 5,-7 ，所以过 AB 的中点坐标为 2, -2 ，
3
由题意可知，直线 l : 3x + 4 y - 20 = 0的斜率为- ，
4
l ^ l k 3 4因为 2 ，所以 2 - 4 ÷
= -1，解得 k2 = 3 ，è
所以直线 l2的方程为 y + 2
4
= x - 2 ，即 4x - 3y -14 = 0 .
3
一、单选题
1．已知 l1、 l2是平面直角坐标系上的直线，“ l1与 l2的斜率相等”是“ l1与 l2平行”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分条件也非必要条件
【答案】D
【详解】解： l1与 l2的斜率相等”，“ l1与 l2可能重合，故前者不可以推出后者，
若 l1与 l2平行， l1与 l2的斜率可能都不存在，故后者不可以推出前者，
故前者是后者的既非充分条件也非必要条件，
故选：D.
1
2．已知直线 l1：3m2x - y +1 = 0，直线 l2： x + y - 2 = 0，若 l2m -1 1
//l2，则m =（ ）
1 1 1
A． B． -1 C．- 或 1 D． 或 -1
3 3 3
【答案】D
【详解】由 l1 //l2，可知3m
2 1 = -1 1，得m = 或 -1，
2m -1 3
代入检验均满足 l1 //l2，
故选：D.
3．直线 2ax + y - 2 = 0 与直线 x - (a2 - 3)y + 2 = 0 互相垂直，且两直线交点位于第三象限，则实数 a 的值为
（ ）
A．1 B．3 C．－1 D．－3
【答案】C
【详解】由直线 2ax + y - 2 = 0 与直线 x - (a2 - 3)y + 2 = 0 互相垂直，
可得 2a - (a2 - 3) = 0 ，解得 a = -1 或 3，
ì6x + y - 2 = 0 10 14
当 a = 3时，联立 í x 6y 2 0 ，解得交点坐标为
( , ) ，不合题意；
- + = 37 37
ì-2x + y - 2 = 0 6 2
当 a = -1时，联立 í x 2y 2 0 ，解得交点坐标为
(- , - ) ，合乎题意，
+ + = 5 5
故实数 a 的值为 -1 ，
故选:C
1 1
4．已知 a > 0，b > 0，直线 l1： x + a - 4 y +1 = 0， l2：bx+ y -2 = 0，且 l1 ^ l2，则 + 的最小值为a +1 b
（ ）
2 4
A．2 B．4 C． D3 ． 5
【答案】D
【详解】因为 l1 ^ l2，所以b + a - 4 = 0，所以 a + b = 4 ， a +1+ b = 5，
1 1 1 1 1 1 b a +1
所以 + = + ÷ a +1+ b = 2 + +a +1 b 5 ÷è a +1 b 5 è a +1 b
1 2 2 b a +1
4
+ × = ，5 è a +1 b ÷
÷
5
ì b a +1
= a 3 5 1 1 4当且仅当 ía +1 b 即 = ，b = 时取等号， + 的最小值为 ，
a + b = 4
2 2 a +1 b 5
故选：D
二、多选题
5．已知直线 l : (a2 + a +1)x - y +1 = 0，其中 a R ，则（ ）
A．当 a = -1时，直线 l与直线 x + y = 0垂直
B．若直线 l与直线 x - y = 0平行，则 a = 0
C．直线 l过定点( 0, 1)
D．当 a = 0时，直线 l在两坐标轴上的截距相等
【答案】AC
【详解】对于 A，当 a = -1时，直线 l的方程为 x - y +1 = 0 ，其斜率为 1，而直线 x + y = 0的斜率为－1，
所以当 a = -1时，直线 l与直线 x + y = 0垂直，所以 A 正确；
对于 B，若直线 l与直线 x - y = 0平行，则 a2 + a +1 =1，解得 a = 0或 a = -1，所以 B 错误；
对于 C，当 x = 0时， y =1，与 a无关，故直线 l过定点( 0, 1)，所以 C 正确；
对于 D，当 a = 0时，直线 l的方程为 x - y +1 = 0 ，在两坐标轴上的截距分别是－1，1，不相等，所以 D 错
误，
故选：AC．
三、填空题
6．已知直线 l经过点P(-1,2) ，且垂直于直线 2x +3y -1= 0 ，则直线 l的方程是 .
【答案】3x - 2y + 7 = 0
【详解】由题意，所求直线 l垂直于直线 2x +3y -1= 0 ，
设直线 l的方程是3x - 2y + c = 0，
又由直线 l过点P(-1,2) ，代入可得-3 - 4 + c = 0，解得 c = 7，
故 l的方程是3x - 2y + 7 = 0 .
a
7 2．已知直线 l1： y = x + ， l2： y = a - 3 x +1，若 l1 //l2，则 a 的值为 .2
【答案】-2
【详解】因为 l1 //l2，
所以 a2 - 3 =1，
解得： a = 2或 a = -2 ，
又因为 l1, l2 不能重合，
a
则 1，即 a 2，
2
故 a = -2,
故答案为：-2.
四、解答题
8．已知直线 l1 : x + 2ay +1 = 0，直线 l2 : 3a -1 x - ay - 7 = 0 .
（1）若 l1 ^ l2，求实数 a 的值；
（2）若 l1 //l2，求实数 a 的值.
a 1 a 1【答案】（1） a =1或 = ；（2） a = 0或 = .
2 6
【详解】（1）∵ l1 ^ l2，∴ 3a -1 - 2a2 = 0，
1
∴ 2a2 - 3a +1 = 0，∴ a =1或 a = ．2
（2）当 a = 0时， l1 : x = -1， l2 : x = -7，∴ l1//l2；
a 1 3a -1当 0时，由- = 解得： a
1 1
= ，此时， l1 : x + y +1 = 0，2a a 6 3
l 1 1 12 : - x - y - 7 = 0，即 x + x +14 = 0 ，两直线不重合．2 6 3
1
综上得： a = 0或 a = ．
6
9．在平面直角坐标系 xOy 中，设三角形 ABC 的顶点分别为 A 0, a ，B b,0 ，C c,0 ，点P 0, p 是线段 AO
上的一点（异于端点），设 a,b,c, p均为非零实数，直线BP,CP 分别交 AC, AB于点 E, F ，若BE ^ AC，求证：
CF ^ AB .
【答案】证明见解析
【详解】由点B b,0 p和点P 0, p ，知直线BP的斜率为- ，
b
A 0, a C c,0 a由点 和点 ，知直线 AC 的斜率为- ，
c
p a
因为BE ^ AC，所以 - ÷ -
÷ = -1，即 pa = -bc ；
è b è c
由点C c,0 和点P 0, p p，知直线CP的斜率为- ，
c
由点 A 0, a 和点B b,0 a，知直线 AB 的斜率为- ，
b
p a pa -bc
则直线CF 与 AB 的斜率之积为 - -c ÷ b ÷
= = = -1，
è è bc bc
所以CF ^ AB .
一、单选题
1．已知直线 l1 : 2x + y + n = 0，l2 : 4x + my - 4 = 0 ，直线 l1的法向量与直线 l2的方向向量互相平行，则 m =
（ ）
A．-8 B．8 C．-2 D．2
【答案】A
4
【详解】 l1, l2 垂直，则-2 × (- ) = -1，得m = -8m
故选：A
2．已知直线 l 与直线 l1：3x - 4y + 7 = 0， l2：12x - 5y + 6 = 0的夹角相等，且直线 l 过点 -1,3 ，则直线 l 的
方程为（ ）
A．7x + 9y - 20 = 0 B．9x - 7y + 30 = 0
C．9x - 7y - 20 = 0 D．9x - 7y + 30 = 0或7x + 9y - 20 = 0
【答案】D
【详解】由题设， l1、 l
3 12
2的斜率分别为 、 ，若直线 l 斜率为 k ，4 5
k 3 k 12- -
所以 | 43 |=|
5 2 7 9
1 k 1 12
|，整理得63k - 32k - 63 = 0，可得 k = - 或 k = ，
+ + k 9 7
4 5
7 9
又直线 l 过点 -1,3 ，则 y - 3 = - (x +1)或 y - 3 = (x +1) ，即9x - 7y + 30 = 0或7x + 9y - 20 = 0 .
9 7
故选：D
3．数学家歌拉在 1765 年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距
离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知 VABC 的三个顶点分别为 A(1,1) ，
B(7,1)，C(5,5) ，则VABC 的欧拉线方程是（ ）
A． x + y - 6 = 0 B． x - y - 2 = 0 C． 2x - y - 6 = 0 D． x + 2y -11 = 0
【答案】B
【详解】由题意可得VABC 的重心为G
13 , 7 ÷ ．因为 A(1,1) ，B(7,1)，所以线段 AB 的垂直平分线的方程为
è 3 3
x = 4．因为 A(1,1) ，C(5,5) ，所以直线 AC 的斜率 k =1，线段 AC 的中点坐标为 (3,3) ，则线段 AC 的垂直平
ìx = 4 ìx = 4
分线的方程为 y = -x + 6．联立 í ，解得 í VABC (4, 2)y x 6 y 2，则 的外心坐标为 ，故VABC 的欧拉线 = - + =
7
- 2
方程是 y - 2 = 313 × (x - 4) = x - 4，即 x - y - 2 = 0 ．
- 4
3
故选：B.
4 x
2 y2
．已知双曲线C ： 2 - 2 = 1(a > 0,b > 0) ，过其右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为 B ，交 y 轴于点C ，交另a b
5 | FA |
一条渐近线于点A ，并且点C 位于点A ， B 之间.已知O为原点，且 OA = a，则 =
3 | FC |
（ ）
5 4 3
A 5． B． C． D．
4 3 2 2
【答案】B
x2 y2
【详解】双曲线 - =1的右焦点F c,0 ，渐近线OB b的方程为 y = x ，即bx - ay = 02 2 ，渐近线OA的方程a b a
b
为 y = - x，即bx + ay = 0 .
a
BF bc bc
2
所以 = = = b2 2 c ， OB = c
2 - b2 = a AB 5a a2 4a， = ÷ - = .a + b è 3 3
b b
AB - -
所以 tan AOB
4 4
= = ，而 tan AOB = tan AOF - BOF tan AOF - tan BOF= = a a ==OB 3 ，1+ tan AOF × tan BOF 1 b
2
- 3
a2
1
解得b = 2a或b = - a（舍去）.
2
AF 4a b 4a 2a 10a所以 = + = + = .
3 3 3
OF 2 2 2 2 22
在RtDCOF 中，由射影定理得 OF = BF × FC ，所以 FC c a + b 5a 5a= = = = = ，
BF b b 2a 2
10a
| FA | 3 4
所以 = 5a = .| FC | 3
2
故选：B
二、多选题
M ì x, y y - 3 ü5 2．设集合 = í = a +1 ， N = x, y a -1x 2 x + a -1 y =15 ，且M N = ，则正实数 a 的取 -
值可以为（ ）
5
A．4 B．1 C．2 D．
2
【答案】BD
ì
【详解】∵ M = í x, y y - 3 a
ü
= +1
x - 2
，
∴ 2,3 M ．
将点 2,3 代入 a2 -1 x + a -1 y =15 2，得 2 a -1 + 3 a -1 =15 5，解得 a = -4 (舍去)或 a = ．
2
y - 3
又当 x 2时， = a +1可变形为 a +1 x - y - 2a +1 = 0，
x - 2
当直线 a +1 x - y - 2a +1 = 0与 a2 -1 x + a -1 y =15平行时，
有 a -1 a +1 = - a2 -1 ，解得 a =1或 a = -1 (舍去)
当 a
5
= 或 a =1时，符合题意.
2
故选：BD
6．已知直线 l1 : x + ay - a = 0 和直线 l2 : ax - (2a - 3)y + a - 2 = 0，则（ ）
A． l
1 2
2始终过定点 ( , ) B．若 l3 3 2
在 x 轴和 y 轴上的截距相等，则 a =1
C．若 l1 ^ l2，则 a = 0或 2 D．若 l1//l2，则 a =1或-3
【答案】AC
【详解】 l2 : ax - (2a - 3)y + a - 2 = 0化为 a(x - 2y +1) + 3y - 2 = 0，
由 x - 2y +1 = 0且3y - 2 = 0 x
1
解得 = , y
2
= ，
3 3
1 2
即直线 l2恒过定点 ( , ) ，故 A 正确；3 3
a
若 l 在 x 轴和 y 轴上截距相等，则 l 过原点或其斜率为 -1，则 a = 2或- = -1 a =12 2 - 2a - 3 ，故 B 错误；
若 l1 ^ l2，则1 a + a (3- 2a) = 0解得 a = 0或 2，故 C 正确；
若 l1//l2，则先由1 (3 - 2a) = a a 解得 a =1或-3，
再检验当 a =1时 l1, l2 重合，故 D 错误.
故选：AC
三、填空题
7．直线 l1 : x + y -1 = 0关于直线 l2 : 3x - y - 3 = 0的对称直线方程为 ．
【答案】 x - 7 y -1 = 0
【详解】联立 l1 : x + y -1 = 0和直线 l2 : 3x - y - 3 = 0，
求得它们的交点为 A(1，0) ,
在直线 l1 : x + y -1 = 0取点B(0,1)，设其关于 l2 : 3x - y - 3 = 0的对称点为C(a,b) ，
ìb -1 1= -
a 3 12 1
则 í a b 1 ，解得
C( , )，
3 + - - 3 = 0 5 5
2 2
故直线 l1 : x + y -1 = 0关于直线 l2 : 3x - y - 3 = 0的对称的直线为 AC,
1
5 1 1
其斜率为 12 = ，直线方程为 y = (x -1) ，即 x - 7 y -1 = 0，
-1 7 7
5
故答案为： x - 7 y -1 = 0
8．已知DABC为等腰直角三角形，C为直角顶点，AC中点为 D(0,2)，斜边上中线CE所在直线方程为3x+y -7 = 0，
且点 C 的纵坐标大于点 E 的纵坐标，则 AB 所在直线的方程为 .
【答案】 x - 3y +1 = 0
【详解】因为中线 CE 所在直线方程为3x+y -7 = 0，
所以可设C(a,-3a + 7), E(b,-3b + 7),(a < b) ，
由 AC 中点为 D(0,2)，可得 A(-a,3a - 3)，
k -3b - 3a +10 3 10所以 AE = = - + ，b + a a + b
QDABC 为等腰直角三角形，CE 为中线，
10 1
\CE ^ AB ,\kAE = -3 + = k = ，a + b AB 3
\a + b = 3①，
又CE = AE, D 是 AC 的中点，\ AC ^ DE ,
\k -3a + 5 -3b+5CD × kDE = -1 ,\ = -1，a b
化简得：2ab = 3(a + b) - 5 ②，
由①②解得 a =1,b = 2，
所以点 E(2,1) k
1
,又因为 AB = ，3
y 1 1所以直线 AB 方程为 - = (x - 2) ,
3
即所求方程为 x - 3y +1 = 0 .
故答案为： x - 3y +1 = 0
四、解答题
9．如图所示，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长 AD = 5m，宽 AB=3m，其中一条
小路为 AC ，另一条小路过点D .请建立合适的平面直角坐标系，在BC 上找到一点M ，使得两条小路 AC 与
DM 互相垂直，并求 BM .
16
【答案】建系见解析， BM = m
5
【详解】以 B 为原点建立如图所示平面直角坐标系，
则 A 0,3 , D 5,3 ,C 5,0 ，设M x,0 ,0 < x < 5，
依题意可知：直线 AC 和直线DM 的斜率都存在，
由于 AC 与DM 互相垂直，
所以 kAC ×k = -1
0 - 3 0 - 3
DM ，即 × = -1, x
16
= ，
5 - 0 x - 5 5
16
所以 BM = m .
5
10．已知直线 l：x+2y-2=0．试求：
（1）点 P（-2，-1）关于直线 l 的对称点坐标；
（2）直线 l 关于点（1，1）对称的直线方程．
2
【答案】（1） ( ,
19)；（2） x + 2y - 4 = 0 .
5 5
【详解】（1） 设点 P 关于直线 l的对称点为P ' x0 , y0 ，
则线段PP '的中点M 在对称轴 l上,且PP ' ^ l .
y0 +1 1 - 2
x + 2 2 ÷
= -1, x
è 0
= ,
∴{ 0 { 5
2 19
19 即P '的坐标为
,
5 5 ÷
.
x0 - 2 è + 2 y0 -1 - 2 = 0 y0 = ,
2 2 5
(2)设直线 l关于点 A 1,1 的对称直线为 l ' ,则直线 l上任一点P x1, y1 关于点A 的对称点P ' x, y 一定在直线
x + x1 =1,
2 x = 2 - x,l '上,反之也成立.由{ { 1y + y1 1 y= 1 = 2 - y,
2
将 x1, y1 的坐标代入直线 l的方程得 x + 2y - 4 = 0 .
∴直线 l '的方程为 x + 2y - 4 = 0 .2.2.3 两条直线的位置关系
分层练习
一、单选题
1 2．已知直线 l1 : x + 2a -1 y + 2a - 3 = 0， l2 : ax + 3y + a + 4 = 0， l1//l2，则 a的值为（ ）
3 3
A． -1或 B． C．1 D． -1
2 2
2．已知倾斜角为q 的直线 l与直线3x - 4y -1 = 0垂直，则 cosq 的值为（ ）
A．-
3 4 3 4
B．- C． D．
5 5 5 5
3．若直线 l1 : mx + 2y +1 = 0与直线 l2 : x + y - 2 = 0互相垂直，则实数m 的值为（ ）
1 1A．2 B．-2 C． D．-2 2
4．已知直线 l1 : kx - y +1 = 0 与 l2 : kx + (4 - k)y +1 = 0 平行，则 k 的值是（ ）
A．5 B． 0 或5 C． 0 D． 0 或1
二、多选题
5．(多选)若过点(1,a)，(0,0)的直线 l1与过点(a,3)，(-1,1)的直线 l2平行，则 a 的取值可以为（ ）
A．-2 B．-1 C．1 D．2
三、填空题
6．不论 a 为何实数，直线 l : a + 2 x - a +1 y = 2 - a 恒过一定点，则此定点的坐标为 ．
7．若直线 l1 : 2x + my +1 = 0和 l2 : 3x - y -1 = 0互相垂直，则实数m = .
四、解答题
8．直线 l1 : x + 2y -11 = 0与直线 l2 : 2x + y -10 = 0相交于点 P，直线 l 经过点 P.
(1)若直线 l ^ l2，求直线 l 的方程；
(2)若直线 l 在坐标轴上的截距相等，求直线 l 的方程.
9．已知点 A -1,3 , B 5,-7 和直线 l : 3x + 4 y - 20 = 0．
(1)求过点A 与直线 l平行的直线 l1的方程；
(2)求过 AB 的中点与 l垂直的直线 l2的方程．
一、单选题
1．已知 l1、 l2是平面直角坐标系上的直线，“ l1与 l2的斜率相等”是“ l1与 l2平行”的（ ）
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分条件也非必要条件
1
2．已知直线 l 21：3m x - y +1 = 0，直线 l2： x + y - 2 = 0，若 l1 //l2，则m =（ ）2m -1
1 1 1
A． B． -1 C．- 或 1 D． 或 -1
3 3 3
3．直线 2ax + y - 2 = 0 与直线 x - (a2 - 3)y + 2 = 0 互相垂直，且两直线交点位于第三象限，则实数 a 的值为
（ ）
A．1 B．3 C．－1 D．－3
4．已知 a > 0，b > 0，直线 l1： x + a - 4 y +1 = 0， l2：bx+ y -2 = 0，且 l1 ^ l
1 1
2，则 + 的最小值为a +1 b
（ ）
2 4
A．2 B．4 C． D3 ． 5
二、多选题
5．已知直线 l : (a2 + a +1)x - y +1 = 0，其中 a R ，则（ ）
A．当 a = -1时，直线 l与直线 x + y = 0垂直
B．若直线 l与直线 x - y = 0平行，则 a = 0
C．直线 l过定点( 0, 1)
D．当 a = 0时，直线 l在两坐标轴上的截距相等
三、填空题
6．已知直线 l经过点P(-1,2) ，且垂直于直线 2x +3y -1= 0 ，则直线 l的方程是 .
a
7 2．已知直线 l1： y = x + ， l2： y = a - 3 x +1，若 l1 //l2，则 a 的值为 .2
四、解答题
8．已知直线 l1 : x + 2ay +1 = 0，直线 l2 : 3a -1 x - ay - 7 = 0 .
（1）若 l1 ^ l2，求实数 a 的值；
（2）若 l1 //l2，求实数 a 的值.
9．在平面直角坐标系 xOy 中，设三角形 ABC 的顶点分别为 A 0, a ，B b,0 ，C c,0 ，点P 0, p 是线段 AO
上的一点（异于端点），设 a,b,c, p均为非零实数，直线BP,CP 分别交 AC, AB于点 E, F ，若BE ^ AC，求证：
CF ^ AB .
一、单选题
1．已知直线 l1 : 2x + y + n = 0，l2 : 4x + my - 4 = 0 ，直线 l1的法向量与直线 l2的方向向量互相平行，则 m =
（ ）
A．-8 B．8 C．-2 D．2
2．已知直线 l 与直线 l1：3x - 4y + 7 = 0， l2：12x - 5y + 6 = 0的夹角相等，且直线 l 过点 -1,3 ，则直线 l 的
方程为（ ）
A．7x + 9y - 20 = 0 B．9x - 7y + 30 = 0
C．9x - 7y - 20 = 0 D．9x - 7y + 30 = 0或7x + 9y - 20 = 0
3．数学家歌拉在 1765 年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距
离是重心到垂心距离的一半．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知 VABC 的三个顶点分别为 A(1,1) ，
B(7,1)，C(5,5) ，则VABC 的欧拉线方程是（ ）
A． x + y - 6 = 0 B． x - y - 2 = 0 C． 2x - y - 6 = 0 D． x + 2y -11 = 0
2 2
4 x y．已知双曲线C ： 2 - 2 = 1(a > 0,b > 0) ，过其右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为 B ，交 y 轴于点C ，交另a b
5 | FA |
一条渐近线于点A ，并且点C 位于点A ， B 之间.已知O为原点，且 OA = a，则 =
3 | FC |
（ ）
5 4 3
A． B 5． C． D．
4 3 2 2
二、多选题
ì y - 3 ü
5．设集合M = í x, y = a +1 ， N = x, y a2 -1 x + a -1 y =15 ，且M N = ，则正实数 a 的取
x - 2
值可以为（ ）
5
A．4 B．1 C．2 D．
2
6．已知直线 l1 : x + ay - a = 0 和直线 l2 : ax - (2a - 3)y + a - 2 = 0，则（ ）
l (1 2A． 2始终过定点 , ) B．若 l2在 x 轴和 y 轴上的截距相等，则 a =13 3
C．若 l1 ^ l2，则 a = 0或 2 D．若 l1//l2，则 a =1或-3
三、填空题
7．直线 l1 : x + y -1 = 0关于直线 l2 : 3x - y - 3 = 0的对称直线方程为 ．
8．已知DABC为等腰直角三角形，C为直角顶点，AC中点为 D(0,2)，斜边上中线CE所在直线方程为3x+y -7 = 0，
且点 C 的纵坐标大于点 E 的纵坐标，则 AB 所在直线的方程为 .
四、解答题
9．如图所示，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，已知矩形花园长 AD = 5m，宽 AB=3m，其中一条
小路为 AC ，另一条小路过点D .请建立合适的平面直角坐标系，在BC 上找到一点M ，使得两条小路 AC 与
DM 互相垂直，并求 BM .
10．已知直线 l：x+2y-2=0．试求：
（1）点 P（-2，-1）关于直线 l 的对称点坐标；
（2）直线 l 关于点（1，1）对称的直线方程．
