1.2.4 二面角
分层练习
一、单选题
ur r
1．（2022 秋·河南郑州·高二郑州市第一〇一中学校考阶段练习）已知向量m、 n分别是平面a 和平面b 的法
< , >= ― 1向量，若 2，则a 与b 的夹角为（ ）
A．30o B．60o
C．120o D．150o
2．（2023 春·陕西西安·高一西安市田家炳中学校联考期末）在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中， AB = 4 ，
BC = 3，则二面角C - BB1 - D1的正切值为（ ）
3 4 3 4
A． B． C． D．
5 5 4 3
3．（2020 春·安徽宣城·高二统考期末）若120°的二面角a - l - b 的棱 l 上有 A，B 两点，AC，BD 分别在半
平面 α，β 内， AC ^ l ，BD ^ l，且 AB = AC = BD =1，则 CD 的长等于（ ）
A． 5 B．2 C． 3 D． 2
ur uuv
4．（2021·高二课时练习）若平面 α 的一个法向量为 n1 =(1，0，1)，平面 β 的一个法向量是 n2 = ( -3，1，3)，
则平面 α 与 β 所成的角等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
5．（2021·全国·高三专题练习）如图，在正四面体 ABCD中，BE = EC,CF = FD, DG = 2GA，记平面EFG 与
平面BCD 平面 ACD 平面 ABD，所成的锐二面角分别为a b g ，则（ ）
A．a > b > g B．a > g > b C． b > a > g D．g > a > b
6．（2022 秋·黑龙江哈尔滨·高二尚志市尚志中学校考期中）如图，四边形 ABCD为正方形，平面PCD ^平
面 ABCD，且VPCD 为正三角形，CD = 2，M 为BC 的中点，则下列命题中错误的是（ ）
A．BC ^ PD B． AM ∥平面PCD
p
C．直线 AM PC 5与 所成角的余弦值为 D．二面角C - PD - M 大小为
5 6
二、多选题
r r r r p
7．（2021·高二课时练习）三棱锥 A - BCD中，平面 ABD与平面BCD的法向量分别为 n1,n2 ，若< n1,n2 >= ，3
则二面角 A - BD - C 的大小可能为（ ）
p p
A． B．
6 3
2p 5p
C． D3 ． 6
8．（2023 春·江苏南京·高二南京市雨花台中学校联考期中）如图，在四棱锥P- ABCD中，底面 ABCD为平
行四边形， DAB
π
= ， AB = 2AD = 2PD，PD ^底面 ABCD，则（
3 ）．
ABCD πA．PA ^ BD B． PB与平面 所成角为
6
C 5 21．异面直线 AB 与PC 所成角的余弦值为 D．二面角 A - PB - C 的正弦值为
5 7
三、解答题
9．（2022 秋·新疆巴音郭楞·高二校考期中）如图，已知长方体 ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=4，M
是棱 CC1上的一点，且 C1M=3MC，
(1)求证： A1C ^平面BMD；
(2)求二面角 A1-DM-B 的余弦值.
一、单选题
uv uuv
1．（2021·全国·高二专题练习）设平面a 与平面b 的夹角为q ，若平面a , b 的法向量分别为 n1,n2 ，则 cosq =
（ ）
uv uuv uv uuv uv uuv uv uuv
n n ×n n n
A． uv1
×unuv2 n nB． uv
1 uuv2 1 2
n n C uv
1 uuv2． D． uv uuv
1 2 n1 n2 n1 ×n2 n1 ×n2
2．（2022·全国·高三专题练习）下图是常见的一种灭火器消防箱，抽象成数学模型如右图所示的六面体，其
中四边形 ADEH 和 BCFG 为直角梯形，A、D、C、B 为直角顶点，其他四个面均为矩形， AB = BG = 3， FC = 4，
BC =1，下列说法正确的是（ ）
A．该几何体是四棱台
B．该几何体是棱柱，面 ABCD是底面
C．EG ^ HC
D．面EFGH 与面 ABCD所成锐二面角为 45°
3．（2023·全国·高三专题练习）如图，正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，E 为 AB 中点，F 在线段DD1上.给出下列
判断：①存在点 F 使得 A1C ^平面B1EF ；②在平面 A1B1C1D1内总存在与平面B1EF 平行的直线；③平面B1EF
与平面 ABCD 所成的二面角（锐角）的大小与点 F 的位置无关；④三棱锥B - B1EF 的体积与点 F 的位置无
关.其中正确判断的有（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
二、多选题
4．（2022·高二单元测试）如图，菱形 ABCD 边长为 2，∠BAD=60°，E 为边 AB 的中点，将△ADE 沿 DE 折
起，使 A 到 A ，连接 A B， A C ，且 A D ^ DC ，平面 A BE 与平面 A CD 的交线为 l，则下列结论中正确的
是（ ）
A．平面 A DE ^平面 A BE B．CD∥l
C．ВС 1 7与平面 A DE 所成角的余弦值为 2 D．二面角E - A B - D的余弦值为 7
5．（2022·高一单元测试）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称攒尖，通常
有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑．下
面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧面与底面
所成的锐二面角为q ，这个角接近30°，若取q = 30°，侧棱长为 21米，则（ ）
A．正四棱锥的高为 3米 B．正四棱锥的底面边长为 3 米
C．正四棱锥的侧面积为 24 3 平方米 D．正四棱锥的表面积为12 3 + 36平方米
三、填空题
6．（2021·高二课时练习）在正四棱锥P- ABCD中，底面边长为 4，侧棱长为 6，则二面角P- AB-C 的余
弦值为 ．
7．（2019 秋·浙江宁波·高二镇海中学校考期中）在四面体 ABCD 中，△ABD 和△BCD 均为等边三角形，AB＝
2， AC = 6 ，则二面角 B﹣AD﹣C 的余弦值为 ．
四、解答题
8．（2023·全国·高三专题练习）在斜三棱柱 ABC - A1B1C1 中，VABC 是等腰直角三角形，
AB = BC, AC = 2 3 ，平面 ACC1A1 ^底面 ABC ， A1B = AA1 = 2 .
(1)证明： A1B ^ AC ；
(2)求二面角 A1 - BC - C1的正弦值.
9．（2023 春·四川宜宾·高二校考期末）如图，四棱锥P- ABCD的底面 ABCD是直角梯形， AB ^ AD ，
uuur uuur
AB / /CD, AB = 3CD = 3 1．PA ^底面 ABCD，且 AD = PA = 2, PE = PB.
3
(1)证明：CE / /平面PAD ；
(2)求二面角 B - PC - D的余弦值.
一、单选题
1．（2023·全国·高一专题练习）在二面角的棱上有两个点A 、 B ，线段 AC 、BD分别在这个二面角的两个
面内，并且都垂直于棱 AB ，若 AB =1， AC = 2，BD = 3，CD = 2 2 ，则这个二面角的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
2．（2022 秋·湖南·高二双峰县第一中学校联考期中）已知三棱锥P - ABC 中，PA = PB =1， AB = BC ，
APB = ABC = 90°，若二面角P- AB-C 的大小为 120°，则三棱锥P - ABC 的外接球的表面积为（ ）
9π 14π
A．4π B． C． D．5π
2 3
3．（2020·浙江·模拟预测）在平面a 内，已知 AB ^ BC ，过直线 AB ，BC 分别作平面b ，g ，使锐二面角
a - AB - b p a - BC - g p为 ，锐二面角 为 ，则平面b 与平面g 所成的锐二面角的余弦值为（ ）.
3 3
1
A B 3 C 1
3
． ． ． 2 D．4 4 4
4．（2023·四川遂宁·统考三模）如图，正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为 2，线段 B1D1上有两个动点 E, F （E
在F 的左边），且EF = 2 ．下列说法不正确的是（ ）
A．当E 运动时，二面角E - AB - C 的最小值为 45o
B．当 E, F 运动时，三棱锥体积B - AEF 不变
C．当 E, F 运动时，存在点 E, F 使得 AE //BF
D．当 E, F 运动时，二面角C - EF - B 为定值
二、多选题
5．（2020 秋·江西鹰潭·高二校考期中）在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AA1 = AC = 2, AB = 3, BAC = 90
o
，点
EC DC
D, E 分别是线段BC ，B1C 上的动点(不含端点)，且 = ,B 则下列说法错误的是（ ）1C BC
A．ED / /平面 ACC1
B．四面体 A - BDE 的体积是定值
C．异面直线B1C 与 AA
13
1所成角的正切值为
2
4
D．二面角 A - EC - D 的余弦值为
13
三、填空题
6．（2020·高二课时练习）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，在鳖臑
P - ABC 中，PA ^平面 ABC ， AB ^ BC ，且PA = AB = BC =1，则二面角 A - PC - B的大小是 .
四、解答题
7．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）如图， AD∥BC 且 AD = 2BC ， AD ^ CD ，EG∥ AD且EG=AD，
CD∥FG 且CD=2FG ，DG ^ 平面 ABCD，DA = DC = DG = 2．
(1)求平面EBC 与平面EFG 的夹角；
(2)求直线 AD 到平面EBC 的距离．
8．（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥 P-ABC 中，已知 AC = 2，AB = BC = PA = 2 ，顶点 P 在平
面 ABC 上的射影为VABC 的外接圆圆心.
（1）证明：平面PAC ^平面 ABC；
| AM |
（2）若点 M 在棱 PA 5 33上， = l| AP | ，且二面角 P-BC-M 的余弦值为 ，试求l 的值.33
9．（2022·全国·高二假期作业）如图，在四棱锥P- ABCD中，底面 ABCD是菱形，PA ^平面 ABCD，
PA = AB = 2，PD的中点为F .
(1)求证：PB// 平面 ACF .
(2)请从下面两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答.① AD ^ CF ，② FC 与平面 ABCD所成的
p
角为 .若______，求二面角F - AC - D的余弦值.
61.2.4 二面角
分层练习
一、单选题
ur r
1．（2022 秋·河南郑州·高二郑州市第一〇一中学校考阶段练习）已知向量m、 n分别是平面a 和平面b 的法
向量，若 < , >= ― 12，则a 与b 的夹角为（ ）
A．30o B．60o
C．120o D．150o
【答案】B
ur r
【详解】设a 与b 的夹角q ，则0o q 90o ，则 cosq = cos < m, n
1
> = ，则q = 60o .2
故选：B.
2．（2023 春·陕西西安·高一西安市田家炳中学校联考期末）在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中， AB = 4 ，
BC = 3，则二面角C - BB1 - D1的正切值为（ ）
3 4 3 4
A． B． C． D．
5 5 4 3
【答案】D
【详解】∵ DB ^ BB1， BC ^ BB1 ，由二面角的平面角的定义知， DBC 就是二面角C - BB1 - D1的平面角，
DC AB 4
又 BCD = 90o ，所以 tan DBC = = = .BC BC 3
故选：D
3．（2020 春·安徽宣城·高二统考期末）若120°的二面角a - l - b 的棱 l 上有 A，B 两点，AC，BD 分别在半
平面 α，β 内， AC ^ l ，BD ^ l，且 AB = AC = BD =1，则 CD 的长等于（ ）
A． 5 B．2 C． 3 D． 2
【答案】B
【详解】由题意可得如下示意图，
由二面角a - l - b 为120°，棱 l 上有 A，B 两点且 AC ^ l ，BD ^ l，
uuur uuur uuur uuur
且 AB = AC = BD =1,CD = CA + AB + BD ,
uuur uuur2 uur uuur uuur
| CD |2 = CD = (CA + AB + BD)2
uur2 uuur2 uuur2 uur uuur uuur uuur uuur uur
= CA + AB + BD + 2CA × AB + 2AB × BD + 2BD ×CA
uuur
= 3 +1 = 4 ,\| CD |= 2,CD = 2 .
故选：B.
ur uuv
4．（2021·高二课时练习）若平面 α 的一个法向量为 n1 =(1，0，1)，平面 β 的一个法向量是 n2 = ( -3，1，3)，
则平面 α 与 β 所成的角等于（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】D
ur uur ur uur
【详解】因为 n1 ×n2 =(1，0，1)·( -3，1，3)＝-3 + 0 + 3=0，∴ n1 ^ n2 ，所以 α⊥β，即平面 α 与 β 所成的角
等于 90°.
故选：D．
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
5．（2021·全国·高三专题练习）如图，在正四面体 ABCD中，BE = EC,CF = FD, DG = 2GA，记平面EFG 与
平面BCD 平面 ACD 平面 ABD，所成的锐二面角分别为a b g ，则（ ）
A．a > b > g B．a > g > b C． b > a > g D．g > a > b
【答案】A
【详解】解：(空间向量法)
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
因为BE = EC,CF = FD, DG = 2GA，所以 E F 分别为BC CD 的中点，G 为 AD 上靠近 A 的三等分点，取BD
的中点 M，连接CM ，
过 A 作 AO ^平面BCD，交CM 于点 O，在平面BCD中过 O 作ON / /BD，交CD 于 N，设正四面体 ABCD
2
的棱长为 2，则OM 3 CO 2 3= ， = ，OA = AC 2 - OC 2 = 22
2 3 2 6
- = ，
3 3 3 ÷÷è 3
以 O 为原点，OC 为 x 轴，ON 为 y 轴，OA为 z 轴，建立空间直角坐标系，
A 0,0,
2 6 B 3 , 1,0 2 3 3 3 1 3 1÷ ， - -3 3 ÷÷，
C ,0,0÷，D - ,1,0÷，E ,- ,0÷ ，F , ,0 ，
è è è 3 è 3 è 6 2 è 6 2
÷
3 1 4 6 uuur uuur G , , EG 5 3 , 5 , 4 6
uuur 2 3 2 6 uuur 3 2 6
- =9 3 9 ÷， EF = (0,1,0)，
-
18 6 9 ÷÷
， AC = ,0,- ÷， AD = - ,1,- ，
è è è 3 3 è 3 3
÷
uuur
AB 3 , 2 6= - -1,-
è 3 3
÷，
ìnr
uuuv
r × EF = 0
设平面EFG 的一个法向量为 n1 = x, y, z
í r1，则 uuuv ，
n1 × EG = 0
ì y = 0
r n 8 2
即 í 5 3 5 4 6 ，不妨令 z =1，则 1 = ,0,1÷ ，
- x + y + z = 0 ÷ 18 6 9 è
5
r r
同理可计算出平面BCD 平面 ACD 平面 ABD的一个法向量分别为 n2 = (0,0,1) ， n3 = 2, 6,1 ，
nr4 = (2 2 ,0, -1)，
r r r r r r
则可得 cosa
n1 ×n2 5 17= r r = ， cos b
n ×n 7 17
= r1 r3 = ， cosg
n
= 1
×n4 9 17= ，
n1 × n2 51 n1 × n3 51 n
r r
1 × n4 51
所以 cosa < cos b < cosg ，
又 y = cos x在 x 0.p 上递减，所以a > b > g ，
故选：A.
6．（2022 秋·黑龙江哈尔滨·高二尚志市尚志中学校考期中）如图，四边形 ABCD为正方形，平面PCD ^平
面 ABCD，且VPCD 为正三角形，CD = 2，M 为BC 的中点，则下列命题中错误的是（ ）
A．BC ^ PD B． AM ∥平面PCD
C．直线 AM 与PC 5
p
所成角的余弦值为 D．二面角C - PD - M 大小为
5 6
【答案】B
【详解】
解：取 CD 的中点 O，连接 OP，因为VPCD 为正三角形，O 为 CD 的中点，则PO ^ CD，平面PCD ^平面
ABCD，平面PCD I平面 ABCD = CD，PO 平面PCD，所以PO ^平面 ABCD，又因为四边形 ABCD为
uuur uuur uuur
正方形，以 O 为坐标原点， DA、OC 、OP 的方向分别为 x、y、z 轴建立空间直角坐标系，则 A 2, -1,0 ，
uuur uuur
B 2,1,0 ，C 0,1,0 ，D 0, -1,0 ，P 0,0, 3 ，M 1,1,0 ，BC = -2,0,0 ，PD = 0, -1, - 3 ，
uuur uuur
BC × PD = 0 ，则BC ^ PD，选项 A 正确；
uuuur ur uuuur ur
AM = -1,2,0 ，易知平面 PCD的一个法向量为m = 1,0,0 ，所以 AM × m 0 ，故 AM 与平面 PCD不平行，
选项 B 错误；
uuur uuuur uuur
uuuur uuur
cos AM PC uAuuMur × PuuCur 2 5PC = 0,1, - 3 ， á × = = = 5AM × PC 5 2 5 ，所以直线 AM 与PC 所成角的余弦值为 ，选5
项 C 正确；
uuur
r uuur uuuur ìn
r
× DP = y + 3z = 0
设平面 PDM 的一个法向量为 n = x, y, z ，DP = 0,1, 3 ，DM = 1,2,0 ，则 í r uuuur ，取 y = 3 ，
n × DM = x + 2y = 0
ur r ur rr cos m n umr × nr 2 3 3则 n = -2 3, 3,-1 ，所以 á × = = - = -1 4 2 ，由图可知，二面角C - PD - Mm n 的平面角为锐×
p
角，故二面角C - PD - M 大小为 ，选项 D 正确；
6
故选：B.
二、多选题
r r r r p
7．（2021·高二课时练习）三棱锥 A - BCD中，平面 ABD与平面BCD的法向量分别为 n1,n2 ，若< n1,n2 >= ，3
则二面角 A - BD - C 的大小可能为（ ）
p p
A． B．
6 3
2p 5p
C． D3 ． 6
【答案】BC
【详解】Q二面角的大小与法向量的夹角相等或互补，
\ p p 2p二面角 A - BD - C 的大小可能为 或p - = .
3 3 3
故选：BC.
8．（2023 春·江苏南京·高二南京市雨花台中学校联考期中）如图，在四棱锥P- ABCD中，底面 ABCD为平
π
行四边形， DAB = ， AB = 2AD = 2PD，PD ^底面 ABCD，则（
3 ）．
π
A．PA ^ BD B． PB与平面 ABCD所成角为
6
C．异面直线 AB 与PC 5 21所成角的余弦值为 D．二面角 A - PB - C 的正弦值为
5 7
【答案】ABD
π
【详解】连接BD，因为 DAB = ，设 AB = 2AD = 2PD = 2a ，
3
由余弦定理得BD2 = AD2 + AB2 - 2AD × AB ×cos BAD，
BD2 1= a2 + 4a2 - 4a2 × = 3a2所以 ，则BD = 3a，2
则BD2 + AD2 = AB2 ，即BD ^ AD ，又PD ^底面 ABCD， AD, BD 底面 ABCD，
所以PD ^ AD, PD ^ BD ，
如图，以D为原点， DA, DB, DP分别为 x, y, z轴建立空间直角坐标系，
则D 0,0,0 , A a,0,0 , B 0, 3a,0 ,C -a, 3a,0 , P 0,0, a
uuur uuur
对于 A，所以PA = uuur uuura,0,-a ，BD = 0, - 3a,0 ，则PA × BD = 0 + 0 + 0 = 0 ，
所以PA ^ BD ，故 A 正确；
uuur uuur
对于 B，又PB = 0, 3a, -a ，因为PD ^底面 ABCD，所以DP = 0,0, a 是平面 ABCD的一个法向量，所以
uuur uuur uuur uuur 2
cos PB, DP uPuuBr × D= uuPur -a 1= = -
PB × DP 2a × a 2 ，
则 PB与平面 ABCD 1
π
所成角的正弦值为 2 ，即 PB与平面 ABCD所成角为 ，故 B 正确；6
uuur uuur
对于 C， AB = -a, 3a,0 , PC = -a, 3a, -a ，
uuur uuur uuur uuur 2 2
则 cos AB, PC u
AuuBr × PuuCur a + 3a + 0 2 5= = =
AB × PC 2a × 5a 5 ，
2 5
则异面直线 AB 与PC 所成角的余弦值为 ，故 C 错误；
5
uuur
r ìPA r× n = 0 ìax - az = 0 ìx = z
对于 D，设平面PAB的法向量为 n = x1, y1, z1
，则 íuuur r
1 1 1 1
í í ，令 y1 =1，
AB ×n = 0 -ax1 + 3ay1 = 0 x1 = 3y1
r
则 n = 3,1, 3 ，
uuur
ur ìPB ×m
r
= 0 ì 3ay - az = 0 ìz = 3y
设平面PBC 的法向量为m = x2 , y2 , z2 ，则 íuuur
2 2
r í í
2 2 ，令 y2 = 1，则
PC ×m = 0 -ax2 + 3ay2 - az2 = 0 x2 = 0
ur
m = 0,1, 3 ，
r r
cos nr, mr n × m 0 +1+ 3 2 7所以 = = = ，
nr mr× 7 2 7
令二面角 A - PB - C 所成角为q 0 q p ，则 cosq 2 7=
7
则平面PAB PBC 2 7与平面 的夹角的余弦值为 ，
7
sinq 1 cos2 q 21所以 = - = ，故 D 正确.
7
故选：ABD.
三、解答题
9．（2022 秋·新疆巴音郭楞·高二校考期中）如图，已知长方体 ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=4，M
是棱 CC1上的一点，且 C1M=3MC，
(1)求证： A1C ^平面BMD；
(2)求二面角 A1-DM-B 的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2) 14
42
【详解】（1）如图，以 A1点为坐标原点建立空间直角坐标系，由题意知：
A1（0，0，0），C（2，2，4），B（0，2，4），M（2，2，3），D（2，0，4），
uuur uuuur uuur
\ A1C = 2,2,4 ，平面 BMD 中BM = 2,0, -1 , BD =（2, -2,0），
r
设平面BMD的法向量为 n = a,b,c ，
r uuuurì n × BM = 2a - c = 0
则 í r uuur ，
n × BD = 2a - 2b = 0
r
则平面 BMD 的法向量可设为 n = -1, -1, -2 ，
uuur
故A r1C = -2n，
\ A1C ^ 平面BMD .
uuuur uuuur
（2）由（1）可知平面 A1DM 中 A1D = 2,0,4 , A1M =（2，2，3），
r
设平面 A1DM 的法向量为u = x, y, z ，
r uuuurì u × A D = 2x + 4z = 0
则 í r uu
1uur ，
u × A1M = 2x + 2y + 3z = 0
A DM ur则平面 1 的法向量可设为 = 4, -1, -2 ，
设二面角 A1-DM-B 为q ，由图可知q 为锐角.
ur r×n -1 4 + -1 (-1）+（- 2） （- 2）
cosq 14= r r = = .u × n 1+1+ 4 × 16 +1+ 4 42
一、单选题
uv uuv
1．（2021·全国·高二专题练习）设平面a 与平面b 的夹角为q ，若平面a , b 的法向量分别为 n1,n2 ，则 cosq =
（ ）
uv uuv uv uuv uv uuv uv uuv
n1 ×n2 n1 ×n2 n n n nA． uv uuv B． uv uuv
1 2
n n C uv
1 uuv2． D． uv uuv
1 2 n1 n2 n1 ×n2 n1 ×n2
【答案】B
uuv uv uuvr
【详解】由题意， cosán1,n
nuv1 ×un2 = uv2n ，1 n2
ur uur uur uur
因平面a 与平面b 的夹角q 与其法向量 n1,n2 的夹角 án1 , n2 相等或互补，
uv uuv r r nr r×n
所以 cosq = cos n1,n
n1 ×n
2 = uv uu2uv = uv
1 uu2uv .
n1 | n2 | n1 | n2 |
故选：B
2．（2022·全国·高三专题练习）下图是常见的一种灭火器消防箱，抽象成数学模型如右图所示的六面体，其
中四边形 ADEH 和BCFG 为直角梯形，A、D、C、B为直角顶点，其他四个面均为矩形， AB = BG = 3，FC = 4，
BC =1，下列说法正确的是（ ）
A．该几何体是四棱台
B．该几何体是棱柱，面 ABCD是底面
C．EG ^ HC
D．面EFGH 与面 ABCD所成锐二面角为 45°
【答案】D
【详解】解：因为四边形 ADEH 和BCFG 为直角梯形，A、D、C、B 为直角顶点，其他四个面均为矩形，
所以这个六面体是四棱柱，面 ADEH 和面BCFG 是底面，故 AB 错误；
由题意可知 DA, DC, DE 两两垂直，如图以点D为原点建系，
则E 0,0,4 ,G 1,3,3 ,C 0,3,0 , H 1,0,3 ，
uuur uuur
EG = 1,3, -1 ,CH = 1, -3,3 ，
uuur uuur
则EG ×CH =1- 3- 3 = -5 0，所以EG, HC 不垂直，故 C 错误；
uuur
根据题意可知DE ^ 平面 ABCD，所以DE = 0,0,4 即为平面 ABCD的法向量，
uuur uuur
EH = 1,0, -1 , HG = 0,3,0 ，
r
设 n = x, y, z 为平面EFGH 的法向量，
v uuuvìn × EH r
则有 í v uuuv
= x - z = 0
，则可取 n = 1,0,1 ，
n × HG = 3y = 0
r uuur r uuur
cos n, DE nr ×uDuuE 4 2则 = r = =n DE 4 2 2 ，
所以面EFGH 与面 ABCD所成锐二面角为 45°，故 D 正确.
故选：D.
3．（2023·全国·高三专题练习）如图，正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，E 为 AB 中点，F 在线段DD1上.给出下列
判断：①存在点 F 使得 A1C ^平面B1EF ；②在平面 A1B1C1D1内总存在与平面B1EF 平行的直线；③平面B1EF
与平面 ABCD 所成的二面角（锐角）的大小与点 F 的位置无关；④三棱锥B - B1EF 的体积与点 F 的位置无
关.其中正确判断的有（ ）
A．①② B．③④ C．①③ D．②④
【答案】D
【详解】对于①，假设存在 F 使得 A1C ⊥平面B1EF ，则 A1C ⊥B1E ，又BC ⊥B1E ，BC ∩ A1C ＝C ，∴B1E
⊥平面 A1BC ，则B1E ⊥ A1B ，这与 A1B ⊥ AB1矛盾，所以①错误；
对于②，因为平面B1EF 与平面 A1B1C1D1相交，设交线为 l，则在平面 A1B1C1D1内与 l平行的直线平行于平面
B1EF ，故②正确；
对于③，以D点为坐标原点，以DA所在直线为 x 轴，DC 所在直线为 y 轴，DD1所在直线为 z 轴，建立空
ur r
间坐标系，则平面 ABCD的法向量为m = (0,0,1) 而平面B1EF 的法向量 n，随着F 位置变化，故平面B1EF 与
平面 ABCD所成的二面角（锐角）的大小与点F 的位置有关，故③错误；
对于④，三棱锥B - B1EF 的体积即为三棱锥F - BB1E ，因为DD1∥平面 ABB1A1，所以，当F 在线段DD1上
移动时，F 到平面 ABB1A1的距离不变，故三棱锥B - B1EF 的体积与点F 的位置无关，即④正确．
故选：D．
二、多选题
4．（2022·高二单元测试）如图，菱形 ABCD 边长为 2，∠BAD=60°，E 为边 AB 的中点，将△ADE 沿 DE 折
起，使 A 到 A ，连接 A B， A C ，且 A D ^ DC ，平面 A BE 与平面 A CD 的交线为 l，则下列结论中正确的
是（ ）
A．平面 A DE ^平面 A BE B．CD∥l
C．ВС 1 7与平面 A DE 所成角的余弦值为 2 D．二面角E - A B - D的余弦值为 7
【答案】ABD
【详解】在菱形 ABCD 中，E 为边 AB 的中点，所以 AB ^ DE ，因为CD / /BE ，
所以 ED⊥DC，因为 A′D⊥DC， A D DE = D ，所以CD ^平面 A′DE，
因为CD / /BE ，所以BE ^平面 A′DE，因为BE 平面 A′BE，
所以平面 A′DE⊥平面 A′BE ，故 A 正确；
因为CD / /BE ，CD 平面 A′BE，BE 平面 A′BE ，所以CD / /平面 A′BE，又平面 A′BE 与平面 A′CD
的交线为 l，所以 CD∥l ，故 B 正确；
由 A 知，BE ^平面 A′DE，则BE ^ A′E，又菱形 ABCD 边长为 2，∠BAD＝60°，E 为边 AB 的中点，所以
DE ^ A′E，又 BE∩DE=E，所以 A′E ^ 平面 BED,，以 E 为原点，分别以 EB，ED,E A′为 x，y，z 轴，建立如
图所示空间直角坐标系：
则 B 1,0,0 , A 0,0,1 ,C 2, 3,0 , D 0, 3,0 ，
uuur uuur uuuur uuuur所以 BC = 1, 3,0 , EA = 0,0,1 , A D = 0, 3,-1 , A B = 1,0,-1 ，
由上可知：CD ^平面 A′DE，
uuur
设平面 A DE 的一个法向量为：CD = -2,0,0 ，
uuur uuur uuur uuur
则 cos BC,CD u
BuuCr ×CuuDur -2 1á = = = -
BC × CD ，12 + ( 3)2 2 2
uuur uuur uuur uuur 3
所以有 sináBC,CD = 1- cos2 áBC,CD = ，因此选项 C 不正确；
2
r uuur
显然平面 A BE 的一个法向量为： n = ED = 0, 3,0 ，
ur
设平面 A BD 的一个法向量为：m = x, y, z
uuur
ìA B mr × = 0 ìx - z = 0 ur
则有则 íuuuur
r ，即 í ，所以m = 3,1, 3
A D × m = 0 3y - z = 0
ur r ur rm × n 3 7
所以 cos m, n = ur r = =m × n 3+1+ 3 3 7 ，所以选项 D 正确，
故选：ABD
5．（2022·高一单元测试）攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称攒尖，通常
有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑．下
面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧面与底面
所成的锐二面角为q ，这个角接近30°，若取q = 30°，侧棱长为 21米，则（ ）
A．正四棱锥的高为 3米 B．正四棱锥的底面边长为 3 米
C．正四棱锥的侧面积为 24 3 平方米 D．正四棱锥的表面积为12 3 + 36平方米
【答案】AC
【详解】
如图，在正四棱锥 S - ABCD 中，
O 为正方形 ABCD的中心， H 为 AB 的中点，
则 SH ^ AB ，OH ^ AB
由二面角的定义，故 SHO = 30°，
设底面边长为 2a ．
3 2 3
所以OH = AH = a,OS = a, SH = a ．
3 3
2
在RtVSAH 中，a2
2 3
+ a3 ÷
= 21，
è
3
所以 a = 3，底面边长为 6 米，高 SO = OH = 3米，
3
1
侧面积 S = 6 2 3 4 = 24 3平方米，
2
表面积 S = 24 3 + 62 = 24 3 + 36平方米
故选：AC
三、填空题
6．（2021·高二课时练习）在正四棱锥P- ABCD中，底面边长为 4，侧棱长为 6，则二面角P- AB-C 的余
弦值为 ．
2
【答案】
4
【详解】取正方形 ABCD中心O，CD ，BC 中点E ，F ，连接PO，OE，OF ，PE，
因为四棱锥P- ABCD为正四棱锥，底面边长为 4，侧棱长为 6，
所以PE = 36 - 4 = 4 2 ，PO = 32 - 4 = 2 7 .
以O为原点，OF ，OE，OP分别为 x ， y ， z 轴，建立空间直角坐标系，
如图所示：
所以P 0,0,2 7 ， A -2, -2,0 ，B 2, -2,0 ，
uuur uuurPB = 2, -2,-2 7 ， AB = 4,0,0 ，
r
设平面PAB的法向量 n = x, y, z ，
uuuv
ì nv × uPuBuv = 2x - 2y - 2 7z = 0则 í ，
n
v × AB = 4x = 0
r
另 z = -1，则 x = 0， y = 7 ，即 n = 0, 7, -1 .
ur
又平面 ABC 的法向量m = 0,0,1 ，
ur r -1 2
所以 cos m,n = = - ，
7 +1 4
又因为二面角P- AB-C 的平面角为锐角，
所以二面角P- AB-C 2的余弦值为 .
4
2
故答案为：
4
7．（2019 秋·浙江宁波·高二镇海中学校考期中）在四面体 ABCD 中，△ABD 和△BCD 均为等边三角形，AB＝
2， AC = 6 ，则二面角 B﹣AD﹣C 的余弦值为 ．
5
【答案】
5
【详解】设BD中点为O，则 AO = CO = 3， AC = 6 ，故 AO ^ CO ，故OA,OC,OD两两垂直，如图所示
建立空间直角坐标系.
ur uur
平面 ABD的法向量 n1 = 1,0,0 ，设平面 ACD的法向量为 n2 = x, y, z ，
uur uuur uur uuurA 0,0, 3 ,C 3,0,0 , D 0,1,0 ，则 n2 ×CD = 0, n2 × AD = 0，
ur uur
uur n1 ×n2 3 5
解得： n = 1, 3,1 ，则法向量夹角 cosq = ur uur = =2 n1 × n2 5 × 3 5 .
5
故二面角 B﹣AD﹣C 的余弦值为 .
5
5
故答案为： .
5
四、解答题
8．（2023·全国·高三专题练习）在斜三棱柱 ABC - A1B1C1 中，VABC 是等腰直角三角形，
AB = BC, AC = 2 3 ，平面 ACC1A1 ^底面 ABC ， A1B = AA1 = 2 .
(1)证明： A1B ^ AC ；
(2)求二面角 A1 - BC - C1的正弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2) 2 6
5
【详解】（1）证明：取 AC 中点O，连接OA1,OB，如图所示：
∵ AB = BC, AC = 2 3,△ABC 是等腰直角三角形，
∴OC = 3,OB = 3 ，且OB ^ AC ，
∵平面 ACC1A1 ^底面 ABC ，平面 ACC1A1 I底面 ABC = AC,OB 平面 ABC ，
∴OB ^平面 ACC1A1 ，
∵ A1O 平面 ACC1A1 ，
∴ A1O ^ BO，
∵ A1B = AA1 = 2，
∴ AO = A B21 1 - OB
2 = 22 - ( 3)2 = 1，
2 2 2
∴ A1O + AO = AA1 ，（符合勾股定理），
∴ A1O ^ AC ，
∵ A1O IOB = O, A1O,OB 平面 A1OB ，
∴ AC ^平面 A1OB ，
∵ A1B 平面 A1OB ，
∴ A1B ^ AC .
（2）由（1）知，可以建立分别以OB,OC,OA1为 x, y, z轴的空间直角坐标系，
则B( 3,0,0),C(0, 3,0), A(0,- 3,0), A1(0,0,1) ，
又因为斜三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AC / / A1C1，
所以C1(0,2 3,1)，
uuur uuur uuuur
所以BC = (- 3, 3,0), BA1 = (- 3,0,1),CC1 = (0, 3,1) ，
r
设平面 A1BC 的法向量 n = (x, y, z)，
r uuurì n.BC = - 3x + 3y = 0
则 í r uuur ，令 x =1，则 y =1, z = 3 ，
n.BA1 = - 3x + z = 0
∴平面 A1BC
r
的法向量 n = (1,1, 3)，
ur
设平面BCC1的法向量m = (a,b,c)，
r uuur
ìm·BC = - 3a + 3b = 0
则 í r uuuur ，令 a =1，则b = 1,c = - 3，
m·CC1 = 3b + c = 0
ur
∴平面BCC1的法向量m = (1,1, - 3)，
设二面角 A1 - BC - C1的平面角为q ，
r ur
则 | cos n
r,mr | n × m= ur 1 1+1 1- 3 3 1= = .
| nr || m | 5 5 5
2
sinq 1 1 2 6所以 = - ÷ = ，
è 5 5
故二面角 A1 - BC - C
2 6
1的正弦值为 .
5
9．（2023 春·四川宜宾·高二校考期末）如图，四棱锥P- ABCD的底面 ABCD是直角梯形， AB ^ AD ，
uuur uuur
AB / /CD, AB = 3CD = 3．PA ^底面 ABCD，且 AD = PA = 2, PE
1
= PB.
3
(1)证明：CE / /平面PAD ；
(2)求二面角 B - PC - D的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2) 5 34-
34
PF 1【详解】（1）取PA的三等分点F ，且 = PA，连结DF ， EF ，
3
如图所示：
uur 1 uur 1
又因为PE = PB，所以EF // AB ．
3 3
CD// 1因为 AB，所以EF //CD ，
3
所以四边形CDFE是平行四边形．所以CE // DF ，
又直线DF 平面PAD ，CE 平面PAD ，所以CE / /平面PAD ．
（2）以A 为原点，分别以 AD ， AB ， AP 所在直线为 x 轴、 y 轴和 z 轴，
建立空间直角坐标系，如图所示：
则 A 0,0,0 ，B 0,3,0 ，C 2,1,0 ，D 2,0,0 ，P 0,0,2 ．
uuur uuur ur
PB = 0,3, -2 ，BC = 2,-2,0 ，设平面PBC 的法向量为 n1 = x1, y1, z1 ，
uuuv uv
ìuPuBuv·nuv1 = 3y1 - 2z = 0
ur
1 n = 1,1, 3 则 í ，即 .
BC·n1 = 2x
1 ÷
1 - 2y1 = 0 è 2
uuur uuur
CD = 0,-1,0 ，PD = 2,0, -2 ，
uur
设平面PCD的法向量为 n2 = x2 , y2 , z2 ，
uuuv uuv
ìCD ×n = -y = 0 uur
íuuuv uuv2 2则 ，即 n2 = 1,0,1 ．
PD × n2 = 2x2 - 2z2 = 0
3
ur uur 1+
cos n ,n 2 5 34所以 1 2 = = ，9 341+1+ · 1+1
4
5 34
由图可知，二面角 B - PC - D的余弦值为- ．
34
一、单选题
1．（2023·全国·高一专题练习）在二面角的棱上有两个点A 、 B ，线段 AC 、BD分别在这个二面角的两个
面内，并且都垂直于棱 AB ，若 AB =1， AC = 2，BD = 3，CD = 2 2 ，则这个二面角的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【答案】C
【详解】设这个二面角的度数为a ，
uuur uuur uuur uuur
由题意得CD = CA + AB + BD，
uuur2 uuur2 uuur2 uuur2 uuur uuur
\CD = CA + AB + BD + 2 CA × BD cos(p -a ) ，
\(2 2)2 = 4 +1+ 9 - 2 2 3 cosa ，
1
解得 cosa = ，
2
∴a = 60°，
∴这个二面角的度数为60°，
故选：C.
2．（2022 秋·湖南·高二双峰县第一中学校联考期中）已知三棱锥P - ABC 中，PA = PB =1， AB = BC ，
APB = ABC = 90°，若二面角P- AB-C 的大小为 120°，则三棱锥P - ABC 的外接球的表面积为（ ）
9π 14π
A．4π B． C． D．5π
2 3
【答案】C
【详解】由题意，取 AC 中点O1， AB 中点O2 ，连接 PO2 ，O1O2
则O1，O2 分别是VABC 与VPAB 的外心，且 PO2O1 =120°，
分别过O1，O2 作 l1 ^面 ABC ， l2 ^面PAB，记 l1∩l2 = O ，则 O 为外接球球心，
在Rt△O1O2O 中，OO1 = O O tan 30
6
1 2 ° = ，6
∴R2 = OO21 + O A
2 7 S 4π 7 141 = ，故外接球表面积 = = π .6 6 3
故选：C.
3．（2020·浙江·模拟预测）在平面a 内，已知 AB ^ BC ，过直线 AB ，BC 分别作平面b ，g ，使锐二面角
a - AB - b p p为 ，锐二面角a - BC - g 为 ，则平面b 与平面g 所成的锐二面角的余弦值为（ ）.
3 3
1 3 1 3A． B． C． 2 D．4 4 4
【答案】A
【详解】如图
由题意以平面a 为底面，以平面b ，g 为两相邻的侧面构造正四棱锥E - ABCD，设正四棱锥的底面边长为
2，以点 B 为坐标原点，以 AB ，BC ，过点 B 垂直于平面a 的直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐
标系，
在正四棱锥中设F ，G 为 AB ，BC 中点， AC I BD = O ，
则OF ^ AB ，EF ^ AB，
∴ EFO为二面角a - AB - b 的平面角，
同理 EGO 为二面角a - BC - g 的平面角，
p
∴ EFO = ，
3
∴在RtVEFO中，EO = 3 ，
则由题意易得B(0,0,0)， A(2,0,0)，C(0, 2,0)，E(1,1, 3) ，
uuur uuur uuur
则 BA = (2, 0, 0) ，BC = (0,2,0)，BE = (1,1, 3)，
r
设平面b 的法向量为m = (x, y, z)，
uuuv
ìBA × m
r
= 2x = 0
则有 íuuuv r ，
BE × m = x + y + 3z = 0
z r令 = -1得平面b 的一个法向量为m = (0, 3,-1)，
r
同理可得平面g 的一个法向量为 n = ( 3,0,-1) ，
mr rb g | cos mr ,nr | × n 1 1则平面 和平面 所成锐二面角的余弦值为 á = r r = = .| m || n | 2 2 4
故选:A.
4．（2023·四川遂宁·统考三模）如图，正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为 2，线段 B1D1上有两个动点 E, F （E
在F 的左边），且EF = 2 ．下列说法不正确的是（ ）
A．当E 运动时，二面角E - AB - C 的最小值为 45o
B．当 E, F 运动时，三棱锥体积B - AEF 不变
C．当 E, F 运动时，存在点 E, F 使得 AE //BF
D．当 E, F 运动时，二面角C - EF - B 为定值
【答案】C
【详解】对 A：建立如图所示的空间直角坐标系，
则 A 2,2,0 , B 0,2,0 ,C 0,0,0 , D 2,0,0 , D1 2,0,2 ．
因为 E, F 在 B1D1上，且B1D1 = 2 2 ，EF = 2 ，
可设E t, 2 - t, 2 1 t 2 ，则F t -1,3- t, 2 ，
uuur uuur
则 AE = t - 2, -t, 2 , BF = t -1,1- t, 2 ，
ur
设平面 ABE 的法向量为m = x, y, z ，
uuur
uuur ì r
AB
AB ×m = 0 ì-2x = 0
又 = -2,0,0 ，所以 íuuur ，即 í
AE × m
r
= 0 t - 2 x - ty + 2z = 0
，
ur
取 y = 2，则m = 0,2, t ，
r ur r t
平面 ABC 的法向量为 n = 0,0,1 ，所以 cos m,n = ．t 2 + 4
ur r
cosq m= ur × nr t 1= =
设二面角E - AB - C 的平面角为q ，则q 为锐角，故 m n t 2 + 4 4 ，1+
t 2
因为1 t 2 4， y = 1+ 在 1,2 2 上单调递减，t
2 1 4+ 5 5 cosq 2所以 2 ，故 ，t 5 2
当且仅当 t = 2时， cosq 2取得最大值 ，即q 取最小值 45o ，故 A 说法正确．
2
1
对 B：因为 SVBEF = EF BB
1
1 = 2 2 = 2 ，点 A 到平面BDD1B1的距离为2 2 2
，
1 2
所以体积为VB- AEF = VA-BEF = 2 2 = ，即体积为定值，故 B 说法正确．3 3
对 C：若 AE //BF ，则 A, B, B1, D1 四点共面，与 AB 和 B1D1是异面直线矛盾，故 C 说法错误．
对 D：连接CD1,CB1,CE ，平面EFB即为平面BDD1B1，而平面CEF 即为平面CB1D1，故当 E, F 运动时，二
面角C - EF - B 的大小保持不变，故 D 说法正确．
故选：C
二、多选题
5．（2020 秋·江西鹰潭·高二校考期中）在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中， AA1 = AC = 2, AB = 3, BAC = 90
o
，点
EC DC
D, E 分别是线段BC ，B1C 上的动点(不含端点)，且 = ,B C BC 则下列说法错误的是（ ）1
A．ED / /平面 ACC1
B．四面体 A - BDE 的体积是定值
C．异面直线B1C 与 AA
13
1所成角的正切值为
2
4
D．二面角 A - EC - D 的余弦值为
13
【答案】ACD
【详解】对于 A，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中，四边形BCC1B1是矩形，
EC DC
因为 =B C BC ，所以ED∥
BB1∥ AA1，
1
所以ED// 平面 ACC1 ，所以 A 正确；
对于 B，设ED = m，因为 BAC = 90°， AA1 = AC = 2， AB = 3，
所以BC = 22 + 32 = 13 ，
DE DC
BB = DE × BC 13m因为ED∥ 1，所以 BB BC ，所以DC = = ，1 BB1 2
13 13m-
所以BD = 13 13m- ，所以 S 2 1 2 3 m= = 3(1- )，2 VABD 13 2 2
1 m
四面体 A - BDE 的体积为 3(1- )m
1
= m - m2，所以四面体 A - BDE 的体积不是定值，所以 B 错误；
3 2 2
对于 C，因为BB1∥ AA1，所以异面直线B1C 与 AA1所成角为 BB1C ，在RtVB1BC 中，B1B = 2, BC = 13 ，
BC 13
所以 tan BB1C = = ，所以 C 正确；BB1 2
对于 D，如图，以A 为坐标原点，以 AB, AC, AA 所在的直线分别为 x, y, z1 轴，建立空间直角坐标系，则
A(0,0,0), B(3,0,0),C(0,2,0), B1(3,0,2)，
uuur uuur
所以 AC = (0, 2,0), AB1 = (3,0, 2)，
r
设平面 AB1C 的一个法向量为 n = (x, y, z) ，则
v uuuvì n × uAuCuv= 2y = 0
r
í v ，令 x = 2，则 z = -3，所以 n = (2,0, -3) ，
n × AB1 = 3x + 2z = 0
ur
同理可求得平面 BB1C 的一个法向量为m = (2,3,0)，
2 2 4
所以二面角 A - EC - D 的余弦值为 = ，所以 D 正确，
13 13 13
故选：ACD
三、填空题
6．（2020·高二课时练习）《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑，如图，在鳖臑
P - ABC 中，PA ^平面 ABC ， AB ^ BC ，且PA = AB = BC =1，则二面角 A - PC - B的大小是 .
【答案】60°
【详解】如图建立空间直角坐标系，因为 PA = AB = BC =1，所以 A 0,0,0 C 0, 2,0 B 2 2， ， , ,0 ，
è 2 2 ÷
÷
uuur uuur P 0,0,1 ，CP = 0, - 2,1 ，BC 2= - ,
2 ,0 ，
è 2 2 ÷
÷
r ur
则面 APC 的一个法向量可以为 n = 1,0,0 ，设面BPC 的法向量为m = x, y, z
r uuurì ìm·CP = 0 - 2y + z = 0 ur
则 í r uuur ，即 í 2 ，令 y =1则 z = 2 ， x =1，所以m = 1,1, 2 ，
m·BC = 0 - x
2
+ y = 0
2 2
r ur
ngm 1 1
A - PC - B q cosq = r ur = =设二面角 为 ，则 n m 2 2 2 2 ，因为0 q p ，所以q = 60°，1 1 +1 + 2
故答案为：60° .
四、解答题
7．（2023·河北石家庄·统考模拟预测）如图， AD∥BC 且 AD = 2BC ， AD ^ CD ，EG∥ AD且EG=AD，
CD∥FG 且CD=2FG ，DG ^ 平面 ABCD，DA = DC = DG = 2．
(1)求平面EBC 与平面EFG 的夹角；
(2)求直线 AD 到平面EBC 的距离．
【答案】(1) 45o
(2) 2
【详解】（1）因为 AD ^ CD ，DG ^ 面 ABCD，故可以D为坐标原点，
DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DG 为 z 轴建立空间直角坐标系，如图：
由题可知：D 0,0,0 ， A 2,0,0 ，B 1,2,0 ，C 2,0,0 ，E 2,0,2 ，F 0,1,2 ，G 0,0,2 ，
uuur r
易知面EFG 的一个法向量为DG = 0,0,2 ，设面EBC 的法向量为 n = x, y, z ，
uuur
uuur uuur ìnr ×CB = 0 ìx = 0CB = 1,0,0 ，BE = 1, -2,2 ，故得 í r uuur ，即 í
n × BE = 0 x - 2y + 2z
，
= 0
r uuur uuur rr DG × n 2 2
不妨令 y＝1，则 n = 0,1,1 ， cos n, DG = uuur r = =DG × n 2 2 2 ，
所以平面EBC 与平面EFG 的夹角为 45o ．
（2）因为 AD∥BC ，BC 面BCE ，则 AD∥面BCE ，
所以直线 AD 到平面EBC 的距离与点D到面EBC 的距离相等，
如图，连接CG, BD ，由（1）可知 AD ^ 平面CDGF ，CG 平面CDGF ，
所以 AD ^ CG ，
又因为 AD∥BC ，所以BC ^ CG，设点D到平面 EBC 的距离为 h ，
则V 1D-BCE = S△EBC ×h
1 1 2
= 1 2 2 ×h = h，
3 3 2 3
V 1 1 1 2E-BCD = S△BCD ×GD = 1 2 2 = ，3 3 2 3
又因为VD-BCE = VE-BCD ，所以 h = 2 ，
所以直线 AD 到平面 EBC 的距离为 2 ．
8．（2022·全国·高三专题练习）如图，在三棱锥 P-ABC 中，已知 AC = 2，AB = BC = PA = 2 ，顶点 P 在平
面 ABC 上的射影为VABC 的外接圆圆心.
（1）证明：平面PAC ^平面 ABC；
| AM |
2 5 33（ ）若点 M 在棱 PA 上， = l| AP | ，且二面角 P-BC-M 的余弦值为 ，试求l 的值.33
【答案】（1）证明见解析 1（2）l =
2
【详解】（1）证明：如图，设 AC 的中点为O，连接PO，
由题意，得BC2 + AB2 = AC2 ，则VABC 为直角三角形，
点O为VABC 的外接圆圆心．
又点 P 在平面 ABC 上的射影为VABC 的外接圆圆心，
所以PO ^平面 ABC ，
又PO 平面PAC ，所以平面PAC ^平面 ABC ．
（2）解：由（1）可知PO ^平面 ABC ，
所以PO ^ OB ，PO ^ OC ，OB ^ AC ，
于是以OC ，OB，OP所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则O(0，0，0)，C(1，0，0)，B(0，1，0)， A(-1，0，0)，P(0，0，1)，
uuuuv uuuv uuuv
设 AM = l AP，l [0，1]，AP = (1，0，1)，M (l -1，0，l) ，
uuuv uuuv uuuuv
BC = (1，-1，0)，PC = (1，0，-1)，MC = (2 - l，0，- l).
MBC v设平面 的法向量为m = (x1，y1，z1)，
v uuuvìm·B ìx - y = 0，
则 í v uu
Cuuv= 0， 1 1得 í
m·MC = 0， (2 - l)x1 - lz1 = 0，
令 x1 =1，得 y1 =1 z
2 - l
， 1 = ，l
mv 1 1 2 - l= 即 ，， ÷ ．
è l
设平面PBC
v
的法向量为 n = (x2，y2，z2 )，
r uuuvìn·uBuCuv = 0，
ìx2 - y2 = 0，
由 í
nr
得 í
·PC = 0， x2 - z2 = 0，
令 x =1，得 y =1
r
， z =1，即 n = (1，1，1)，
2 - l
cos nr
r
v n·mv 2 +m l 5 33á ， = = = ，
|nr|·|mv |
3· 2 (2 - l)
2 33
+
l 2
1 1 1
解得l = ，M - ，0， ÷，即 M 为 PA 的中点．2 è 2 2
9．（2022·全国·高二假期作业）如图，在四棱锥P- ABCD中，底面 ABCD是菱形，PA ^平面 ABCD，
PA = AB = 2，PD的中点为F .
(1)求证：PB// 平面 ACF .
(2)请从下面两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答.① AD ^ CF ，② FC 与平面 ABCD所成的
p
角为 .若______，求二面角F - AC - D的余弦值.
6
【答案】(1)见解析
(2) 21
7
【详解】（1）证明：连接BD交 AC 于O，连接FO，
QF 为 AD 的中点，O为BD的中点，则OF //PB ，
QPB 平面 ACF ，OF 平面 ACF ，
\PB//平面 ACF .
（2）若选①，取 AD 中点M ，分别连接FM ,CM ，
QF 为PD中点，故FM //PA，QPA ^ 平面 ABCD，
\ FM ^平面 ABCD，Q AD 平面 ABCD，\FM ^ AD ，
Q AD ^ CF ，FM CF = F ，FM ,CF 平面FCM ，
\ AD ^平面FCM ，QCM 平面FCM ，\ AD ^ CM ，
p
\CM 垂直平分 AD ，\CA = CD = AD，\VACD 为正三角形，\ ABC = ADC = ，
3
取BC 中点为点E ，易得 AE ^ AD ，QPA ^ 底面 ABCD，
AB, AD 平面 ABCD，\PA ^ AB, PA ^ AD，
故分别以 AE, AD, AP 所在直线建立上图所示空间直角坐标系，
QPA = AB = 2，\ A(0,0,0), B( 3,-1,0),C( 3,1,0), D(0, 2,0)，
E 3,0,0 , F (0,1,1), P(0,0, 2) ,
uuur uuur
所以 AF = (0,1,1) ，CF = (- 3,0,1) ,
r uuurur ì m × AF = y + z = 0,
设平面FAC 的一个法向量m = (x, y, z)，则 í uuur
m
r
×CF = - 3x + z = 0,
ur r
取 x = 3 ,得m = 3, -3,3 ，取平面 ACD的一个法向量 n = (0,0,1)，
ur r
| m × n | 3 21
设二面角F - AC - D q cosq = ur r = =的平面角为 ，则 | m || n | 3 2 + -3 2 + 32 7 ， 1
21
所以二面角的余弦值为 .
7
若选②，取BC 的中点E ，连接 AE ，取 AD 的中点M ，连接FM ,CM ，
则FM //PA，且FM =1，QPA ^ 平面 ABCD， \ FM ^平面 ABCD，
FC 与底面 ABCD
p
所成角为 FCM ，\ FCM = ，则在RtVFCM 中，
6 CM = 3
，
Q AM //CE ，且 AM = CE ，故四边形 AECM 为平行四边形，
\ AE = CM = 3 ，而BE = 1,AB = 2，\ AE2 + BE2 = AB2 ，
\ AE ^ BC ，\ AE 垂直平分BC ，故VABC 为正三角形，
故分别以 AE, AD, AP 所在直线建立上图所示空间直角坐标系，以下步骤与①相同.
