2.2.4 点到直线的距离
分层练习
一、单选题
1．已知直线6x + my +1 = 0与3x + 2y - 3 = 0互相平行，则它们之间的距离是（ ）
A 4 13 B 7 13 C 7 13 D 7 26． ． ． ．
13 13 26 26
【答案】C
【详解】因为直线6x + my +1 = 0与3x + 2y - 3 = 0互相平行，则3m =12 ，可得m = 4 ，
所以，这两直线的方程分别为6x + 4y +1 = 0、6x + 4y - 6 = 0，
d 1+ 6 7 13因此，这两条直线间的距离为 = = .
62 + 42 26
故选：C.
2．平面内到点(1，2)和点(4，6)距离均为 2 的直线有（ ）
A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条
【答案】D
【详解】解：分别以点(1，2)和点(4，6)分别为圆心，2 为半径作圆，
因为点(1，2)和点(4，6)的距离为 (4 -1)2 + (6 - 2)2 = 5 > 2 + 2，
所以两圆的位置关系是外离，
所以两圆的 4 条公切线，即可平面内到点(1，2)和点(4，6)距离均为 2 的直线有 4 条，
故选：D
3．已知实数 x, y满足3x - 4y+2= 0，那么 x2 + y2 - 4x + 6y +13的最小值为（ ）
A．16 B． 4 C． 2 D． 2
【答案】A
【详解】由 x2 + y2 - 4x + 6y +13可得 (x - 2)2 + (y + 3)2 ，
可以看作直线3x - 4y+2= 0上的动点 (x, y)与 (2,-3)的距离的平方，
又因为点 (x, y)与 (2,-3)的最小距离为 (2,-3)到直线3x - 4y+2= 0的距离，
| 3 2 - 4 (-3) + 2 |
为 = 432 ，+ (-4)2
故 x2 + y2 - 4x + 6y +13的最小值为16 .
故选：A.
4．一条光线从点 P(-2,1)射出，与直线 l : x - y +1 = 0交于点Q(1, 2)，经直线 l反射，则反射光线所在直线的斜
率是（ ）
A．1 B． 3 C． 2 D．3
【答案】D
【详解】结合图象可知， P 关于直线 l : x - y +1 = 0的对称点为 0, -1 ，
2 - -1
所以反射光线的斜率为 = 3 .
1- 0
故选：D
5．已知 A 0，1 ，B 2，0 ，VABC 的面积为 5，则点 C 的轨迹方程为（ ）
A． x + 2y +12 = 0或 x + 2 y + 8 = 0 B． x + 2y -12 = 0或 x + 2y -8 = 0
C． x + 2y +12 = 0或 x + 2y -8 = 0 D． x + 2y -12 = 0或 x + 2 y + 8 = 0
【答案】D
【详解】 A 0，1 ，B 2，0 ，则 AB = 22 +12 = 5，
1
设 C 到 AB 边所在直线的距离为 d，由VABC 的面积为 5，得 5 d = 5，即
2 d = 2 5
；
\顶点 C 的轨迹是与 AB 所在直线平行且与直线 AB 距离为 2 5 的两条直线；
x y
直线 AB 的方程为 + =1即 x + 2y - 2 = 0，
2 1
设点 C 所在直线方程为 x + 2y + c = 0，
c + 2
\ = 2 5，解得 c = -12或 c = 8，
5
\点 C 的轨迹方程为 x + 2y -12 = 0或 x + 2 y + 8 = 0；
故选：D
二、多选题
6．（多选）若两平行线分别经过点 A(5,0), B(0,12)，则它们之间的距离 d 可能等于（ ）
A．0 B．5 C．12 D．13
【答案】BCD
【详解】易知当两平行线与 A，B 两点所在直线垂直时，两平行线间的距离 d 最大，
即dmax =| AB |= 13，所以0 < d 13，故距离 d 可能等于 5，12，13．
故选：BCD
7．下列四个命题中真命题有（ ）
A．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
B．若直线3x + 4y + 9 = 0与直线6x + my + 24 = 0 平行，则m = 2
C．点 0,2 关于直线 y = x +1的对称点为 1,1
D．经过点 1,1 且在 x 轴和 y 轴上截距都相等的直线方程为 x + y - 2 = 0
【答案】AC
【详解】对于 A，任意一条直线都有倾斜角，但直线倾斜角为90°时，没有斜率，故 A 正确；
6 m
对于 B，直线3x + 4y + 9 = 0与直线6x + my + 24 = 0 平行，故可得 = ，解得m = 8，
3 4
则直线6x + my + 24 = 0 ，即3x + 4y +12 = 0，
12 - 9 3
则两平行线之间的距离 d = = ，故 B 错误；
32 + 42 5
对于 C，设点 0,2 关于直线 y = x +1的对称点为 m, n ，
n + 2 m
则 = +1
n - 2
，且 1 = -1，解得m = n =1，
2 2 m
故点 0,2 关于直线 y = x +1的对称点为 1,1 ，故 C 正确；
对于 D，经过点 1,1 且在 x 轴和 y 轴上截距都相等的直线方程为 x + y - 2 = 0或 y = x ，故 D 错误．
故选：AC．
三、填空题
8．与两平行直线 l1 : 3x - y + 9 = 0， l2 : 3x - y - 3 = 0等距离的直线方程为 .
【答案】3x - y + 3 = 0
【详解】设与直线 l1和 l2等距离的直线方程为3x - y + c = 0，
则 9 - c = -3 - c ，解得 c = 3；
\直线方程为3x - y + 3 = 0
故答案为：3x - y + 3 = 0 .
9．点P -2, -1 到直线 l : 1+ 3l x + 1+ 2l y = 2 + 5l l R l R 的距离的取值范围为 ．
【答案】 é 0, 13
【详解】解：将直线 l : 1+ 3l x + 1+ 2l y = 2 + 5l l R l R 方程变形为
l : x + y - 2 + l 3x + 2y - 5 = 0 l R ，
所以直线 l过 x + y - 2 = 0与3x + 2y - 5 = 0的交点，
ìx + y - 2 = 0
联立方程 í3x 2y 5 0解得
x = y =1，
+ - =
所以，直线 l过定点 A 1,1 ，
所以，根据直线系方程的意义，直线 l表示过点 A 1,1 的不包含直线3x + 2y - 5 = 0的所有直线，
所以，当直线 l过点P -2, -1 时，距离最小，为 0 ；
当直线 l与PA垂直时，距离取得最大值，PA = 13 ，
因为直线 l与PA垂直时，其方程为3x + 2y - 5 = 0，直线系方程不含3x + 2y - 5 = 0，
所以，其距离的最大值 13 取不到.
所以，点P -2, -1 到直线 l距离的取值范围 é 0, 13 .
故答案为： é 0, 13
四、解答题
10．已知直线 2x - 3y +1 = 0和直线 x + y - 2 = 0的交点为 P .
(1)求过点 P 且与直线3x - y -1 = 0平行的直线方程；
(2)若直线 l 101与直线3x - y -1 = 0垂直，且 P 到 l1的距离为 ，求直线的方程.
5
【答案】(1) 3x - y - 2 = 0
(2) x + 3y - 2 = 0或 x + 3y - 6 = 0
ì2x - 3y +1 = 0 ìx =1
【详解】（1）由 í 解得 , P(1,1)
x + y - 2 = 0
í
y =1
所以 ，
设所求直线为3x - y + C = 0 ,
因为直线过点 P(1,1) ，所以3-1+ C = 0解得C = -2，
所以所求直线方程为3x - y - 2 = 0 .
（2）直线 l1与直线3x - y -1 = 0垂直,所以可设 l1为 x + 3y + c = 0，
4 + c 10
又因为 P 到 l1的距离等于 = ，解得 c = -2或 c = -6，
10 5
所以所求直线方程为 x + 3y - 2 = 0或 x + 3y - 6 = 0 .
一、单选题
1．已知点 M 是直线 x + 3y = 2上的一个动点，且点P 3, -1 ，则点 PM 的最小值为（ ）
A 1． 2 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【详解】 PM
3 - 3 - 2
的最小值即 P 到直线 x + 3y - 2 = 0的距离： =1 .
2
故选：B
2．点 P 为 x 轴上的点， A 1,2 ，B 3,4 ，以A ， B ， P 为顶点的三角形的面积为 8，则点 P 的坐标为（ ）
A． 7,0 或 -9,0 B． 7,0 或 -11,0
C． 7,0 或 9,0 D． -11,0 或 -9,0
【答案】A
【详解】设P x,0 ，直线 AB 的方程为 x - y +1 = 0 ，
x +1
点 P 到直线 AB 的距离 d = ， AB = 2 2 ，
2
1 x +1
所以 S = 2 2 = 8，解得： x = -9 或 x = 7，
2 2
所以点 P 的坐标为 7,0 或 -9,0 .
故选：A
3．直线 l1 : x + 1+ a y =1- a a R 1，直线 l2 : y = - x ，下列说法正确的是（ ）2
A．$a R ，使得 l1∥l2 B．$a R ，使得 l1 ^ l2
C．"a R ， l1与 l2都相交 D．$a R ，使得原点到 l1的距离为 3
【答案】B
1 1
【详解】对 A，要使 l1∥l2 ，则 k1∥k2，所以- = - ，解之得 a =1，此时 l1+ a 2 1
与 l2重合，选项 A 错误；
对 B，要使 l
1 1
1 ^ l2， k1×k = -1
2 ， -
÷ ×
- ÷ = -1，解之得 a
3
= - ，所以 B 正确；
è 1+ a è 2 2
对 C， l1 : x + 1+ a y =1- a 过定点 2,-1 ，该定点在 l2上，但是当 a =1时， l1与 l2重合，所以 C 错误；
Ax0 + By0 + C 1- a
对 D， d = = = 3 2A2 + B2 2 ，化简得 2 8a - 20a +17 = 0
，此方程Δ < 0， a无实数解，所以 D
1 + 1+ a
错误.
故选：B.
4．若动点M x1, y1 ， N x2 , y2 分别在直线 x + y + 7 = 0与直线 x + y + 5 = 0上移动，则 MN 的中点 P 到原点
的距离的最小值为（ ）
A． 2 3 B．3 3 C．3 2 D． 2 2
【答案】C
【详解】解：由题意知，MN 的中点 P 的轨迹为平行于两直线且到两直线距离相等的直线，故其方程为
x + y + 6 = 0，
6
\P到原点的距离的最小值为 d = = 3 22 2 ．1 +1
故选：C
5．已知实数 a，b 满足 4a-2b+3=0，则 (a - 2)2 + (b + 2)2 + (a -1)2 + (b -1)2 的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】B
【详解】实数 a，b 满足 4a-2b+3=0，则 (a - 2)2 + (b + 2)2 + (a -1)2 + (b -1)2 的几何意义是直线上的点到 A
（2，-2）与 B（1，1）距离之和的最小值，
设 B（1，1）关于 4a-2b+3=0 的对称点为 B′（x，y），
ì4 x +1 2 y +1 - + 3 = 0 2 2
可得 í y 1 ，解得 x
=-1，y=2，B′（-1，2）
- 2 = -1
x -1
所以 (a - 2)2 + (b + 2)2 + (a -1)2 + (b -1)2 的最小值为： (-1- 2)2 + (2 + 2)2 = 5．
故选：B．
二、多选题
6．下列说法中，正确的有（ ）
A．直线 y = a x - 3 + 2（a R）过定点 (-3,2)
B．直线 2x - y -1 = 0 在 y 轴上的截距为 -1
C．点（1，3）到直线 y - 2 = 0 的距离为 1
p
D．直线 x＝－2 与 3 x－y＋1＝0 的夹角为 3
【答案】BC
【详解】A. 令 x - 3 = 0，得 x = 3，此时 y = 2，所以直线 y = a x - 3 + 2（a R）过定点 (3, 2) ，故错误；
B. 令 x = 0，得 y = -1，所以直线 2x - y -1 = 0 在 y 轴上的截距为 -1，故正确；
C.点（1，3）到直线 y - 2 = 0 的距离为d = 3 - 2 = 1，故正确；
p p
D.易知 3x - y -1 = 0的倾斜角为 ，则直线 x＝－2 与 3x - y -1 = 0的夹角为 ，故错误，
3 6
故选：BC
三、填空题
7．已知直线 l1与 l2：x＋y－1＝0 平行，且 l1与 l2的距离为 2 ，则 l1的方程为 ．
【答案】x＋y＋1＝0 或 x＋y－3＝0
| C +1|
【详解】设 l1的方程为 x＋y＋C＝0(C≠－1)，由题意得 ＝ 2 ，得 C＝1 或 C＝－3，故所求的直线方2
程为 x＋y＋1＝0 或 x＋y－3＝0.
故答案为：x＋y＋1＝0 或 x＋y－3＝0
8．如图，在等腰直角△ABC 中， AB = AC = 2，点 P 是边 AB 上异于 A B 的一点，光线从点 P 出发，经 BC
CA 反射后又回到原点 P.若光线 QR 经过△ABC 的内心，则 AP = .
【答案】 2 2 - 2
【详解】根据题意，以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，
设点 P 关于直线BC 的对称点为 N ，关于 y 轴的对称点为M ，如下所示：
则 A 0,0 , B 2,0 ,C 0,2 ，不妨设P m,0 ，则直线BC 的方程为 y = -x + 2，
设点 N 坐标为 x, y y - 0 1 y x + m，则 - = -1，且 = - + 2，整理得 y = x - m， y = -x - m + 4
x - m 2 2
解得 x = 2, y = 2 - m，即点 N 2,2 - m ，又M -m,0 ；
r 1
设△ ABC 的内切圆圆心为 r ，则由等面积法可得 2 + 2 + 2 2 = 2 2，解得2 2 r = 2 - 2 ；
故其内心坐标为 2 - 2,2 - 2 ，
由M , N 及△ ABC 2 - m 2 - 2 2的内心三点共线，即 = ，整理得m - 2m 2 -1 = 0，
2 + m 2 - 2 + m
解得m = 0（舍）或 2 2 - 2 ，故 AP = 2 2 - 2 .
故答案为： 2 2 - 2 .
四、解答题
9．已知直线 l ： kx - y +1+ 2k = 0 ， P（3，-1），Q（-3，3），当 k = -1时，求直线 l 上的动点 M 到 P，Q
两点的距离之和的最小值.
【答案】 58
【详解】当 k = -1时，直线 l : x + y +1 = 0，设Q -3,3 关于直线 x + y +1 = 0的对称点Q (a,b)，
ì 3- b
=1 -3 - a ìa = -4
则 ía - 3 b 3 ，解得+ í
Q(-4,2)
b 2 ，即 ， =+ +1 = 0
2 2
依题意可得 | PM | + | QM |=| PM | + | Q M | | PQ | = (3 + 4)2 + (-1- 2)2 = 58 ，当且仅当点P, M ,Q 三点共线
时，取等号.
所以直线 l 上的动点 M 到 P，Q 两点的距离之和的最小值为 58 .
10．如图，平面直角坐标系内，O为坐标原点，点A 在 x 轴正半轴上，点 B 在第一象限内， AOB = 60° .
(1)若 AB 过点M 4, 3 ，且M 为线段 AB 的中点，求直线 AB 的方程；
(2)若 AB = 6，求VOAB的面积取得最大值时直线 AB 的方程；
(3)设 OA = a， OB = b 1 1 3，若 + = ，求证：直线 AB 过一定点，并求出此定点的坐标.
a b 2
3
【答案】(1) y = - x + 3 3
2
(2) y = - 3x + 6 3
(3)证明见解析，定点 3,1 .
【详解】（1）易知直线OB的方程为 y = 3x，设 A m,0 ，B n, 3n ，m,n > 0，
ìm + n = 8QM 4, 3 为线段 AB 的中点，则 í ，
0 + 3n = 2 3
ìm = 6
解得 í A 6,0 Bn 2 ，所以 ，= 2,2 3 ，
k 2 3 - 0 3所以 AB = = - ，2 - 6 2
故直线 AB 3的方程为： y - 0 = - x - 6 ，
2
3
即 y = - x + 3 3 .
2
（2）设 A m,0 ，B n, 3n ，m,n > 0 .
AB 2由 = 6，得 m - n 2 + 0 - 3n = 6，即m2 + 4n2 - 2mn = 36 .
∵ 36 = m2 + 4n2 - 2mn 2 4m2n2 - 2mn = 2mn，∴ mn 18，
当且仅当m2 = 4n2 ，即m = 6， n = 3时取等号，
所以VOAB S 1的面积 = m 3n 3= mn 9 3 ，
2 2
当VOAB的面积取最大值时， A 6,0 ，B 3,3 3 ，
3 3 - 0
所以 kAB = = - 3 ，直线 AB 的方程为： y - 0 = - 3 x - 6 ，3- 6
即 y = - 3x + 6 3 .
（3）由题意，直线 AB 斜率不为 0 ，设 AB 的方程为 x = my + p .
令 y = 0 ，得 x = p ，即 A p,0 ；
ìx p = 1- 3m
令 y = 3x，得 í ，即B
p , 3p ÷
y 3p
1- 3m 1- 3m ÷
=
è
1- 3m
2 2
∴ a = p b p
3p 2 p
， = ÷ + ÷÷ =è1- 3m è1- 3m 1- 3m
1 1 3 1 1- 3m 3
由 + = 得： + = ，即 p = 3 - m，
a b 2 p 2 p 2
∴ AB 的方程为 x = my + 3 - m ，即 x = m y -1 + 3 ，
∴直线 AB 恒过定点 3,1 .
一、单选题
1．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣
的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到
军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为B -2,0 ，若将军从山脚下
A 1 ,0 的点 3 ÷ 处出发，河岸线所在直线方程为
x + 2 y = 3，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
è
A 145
16
． B 135．5 C． D．
3 3 3
【答案】A
【详解】先找出 B 关于直线的对称点 C 再连接 AC 即为“将军饮马”的最短路程.
如图所示，
设点B -2,0 关于直线 x + 2 y = 3的对称点为C x1, y1 ，在直线 x + 2 y = 3上取点 P，连接 PC，则
ì y1 1× - = -1
PB = PC x1 + 2
2 ÷è ìx1 = 0
．由题意可得 í ，解得 í ，即点C 0,4y 4 ，所以 x1 - 2 y =
+ 2
1 = 3 1
2 2
1 2PA + PB = PA + PC AC = 0 -
÷ + 4 0
2 145- = ，当且仅当 A，P，C 三点共线时等号成立，所以“将
è 3 3
” 145军饮马 的最短总路程为 ．
3
故选：A．
7 1
2．已知点 M，N 分别在直线 l1： x + y = 0与直线 l2： x + y - 3 = 0，且MN ^ l1，点P -1, -3 ，Q , ÷，则
è 2 2
PM + QN |的最小值为（ ）
A 15． B． 15 C． 13 D．3 3
2
【答案】C
【详解】设M t,-t ，则直线MN 的方程为 y + t = x - t, y = x - 2t ，
ìy = x - 2t
N 3+ 2t 3- 2t 由 íx + y - 3 = 0
, ÷ ，
è 2 2
所以 PM + QN = t +1 2 + t - 3 2 + t - 2 2 + t -1 2 ，
设 A t, t , B -1,3 ,C 2,1 ，
则 t +1 2 + t - 3 2 + t - 2 2 + t -1 2 表示直线 y = x 上的点A 与B,C 连线的距离之和，
t +1 2所以 + t - 3 2 + t - 2 2 + t -1 2 的最小值为 BC = 32 + 22 = 13 .
故选：C
3．已知直线 n : 5x + y + 2 = 0，点 A(1,0)关于直线 x + y + 3 = 0的对称点为 B ，直线m 经过点 B ，且m//n，则
直线m 的方程为（ ）
A．5x + y +19 = 0 B． x - 5y -17 = 0
C．5x + y - 5 = 0 D．5x + y +10 = 0
【答案】A
ìa +1 b
+ + 3 = 0
B a,b 2 2 ìa = -3【详解】设点 ，则 í ，解得 í ，即点B -3, -4
k b
，
AB × -1 = - = -1
b = -4
a -1
因为m//n，设直线m 的方程为5x + y + c = 0，
将点 B 的坐标代入直线m 的方程可得5 -3 - 4 + c = 0，解得 c =19，
所以，直线m 的方程为5x + y +19 = 0 .
故选：A.
4．我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”事
实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决，列如，与 (x - a)2 + (y - b)2 相关的代数问题，可以
转化为点 x, y 与点 a,b 之间的距离的几何问题.已知点M x1, y1 在直线 l1 : y = x + 2，点 N x2 , y2 在直线
l2 : y = x
2 2
上，且MN ^ l1，结合上述观点， x21 + y1 - 4 + x2 - 5 + y 22 的最小值为（ ）
A 7 2 B 11 2． ． C． 41 - 2 D．5
2 2
【答案】D
2
【详解】由已知 x21 + y1 - 4 表示点M x1, y1 到点 A 0,4 的距离，
x2 - 5
2 + y 22 表示点 N x2 , y2 到点B 5,0 的距离，
所以 x21 + y1 - 4
2 + x 22 - 5 + y 22 = MA + NB ，
过点A 作 AC ^ l1，垂足为C ，
因为直线 l1的方程为 x - y + 2 = 0 ， A 0,4 ，
0 - 4 + 2
所以 AC = = 2 ，
1+1
又直线 l1 : y = x + 2与直线 l2 : y = x 平行，MN ^ l1，
2 - 0
所以 MN = = 2 ，
1+1
所以MN //AC, MN = AC ，
所以四边形 AMNC 为平行四边形，
所以 AM = CN ，
x2 + y - 4 2 + x 2所以 21 1 2 - 5 + y2 = CN + NB ，
又 CN + NB CB ，
当且仅当C, N , B 三点共线时等号成立，
所以当点 N 为线段CB与直线 l2的交点时，
x21 + y1 - 4
2 + x - 5 2 + y 2 取最小值，最小值为 CB2 2 ，
因为过点 A 0,4 与直线 l1垂直的直线的方程为 y = -x + 4，
ìy = -x + 4 ìx =1
联立 í
y = x + 2
，可得 í
y = 3
，
所以点C 的坐标为 1,3 ，所以 CB = 5 -1 2 + 0 - 3 2 ，
所以 x21 + y
2 2 2
1 - 4 + x2 - 5 + y2 的最小值为5，
故选：D.
二、多选题
5．下列说法中，正确的有（ ）
A．直线 y = a x - 3 + 2（a R）过定点 (-3,2)
B．直线 2x - y -1 = 0 在 y 轴上的截距为 -1
C．点（1，3）到直线 y - 2 = 0 的距离为 1
p
D．直线 x＝－2 与 3 x－y＋1＝0 的夹角为 3
【答案】BC
【详解】A. 令 x - 3 = 0，得 x = 3，此时 y = 2，所以直线 y = a x - 3 + 2（a R）过定点 (3, 2) ，故错误；
B. 令 x = 0，得 y = -1，所以直线 2x - y -1 = 0 在 y 轴上的截距为 -1，故正确；
C.点（1，3）到直线 y - 2 = 0 的距离为d = 3 - 2 = 1，故正确；
p p
D.易知 3x - y -1 = 0的倾斜角为 ，则直线 x＝－2 与 3x - y -1 = 0的夹角为 ，故错误，
3 6
故选：BC
三、填空题
6．设O为坐标原点，点 A, B在直线 y = x + m(m > 0)上.若VOAB是斜边长为 2的等腰直角三角形，则实数
m = .
【答案】 2或 2
【详解】解：若 AB 为直角三角形的斜边，则点O到直线 l的距离等于1，
m
由点线距离公式得 =1，解得m = 2
2
若OA或OB为直角三角形的斜边，则点O到直线 l的距离等于 2
m
由点线距离公式得 = 2 ，解得m = 2
2
故实数m = 2 或m = 2
故答案为： 2或 2
7．已知 P Q分别在直线 l1 : x - y +1 = 0与直线 l2 : x - y -1 = 0上，且PQ ^ l1，点 A -4,4 ，B 4,0 ，则
AP + PQ + QB 的最小值为 .
【答案】 58 + 2
【详解】由直线 l1与 l2间的距离为 2 得 PQ = 2 ，过B 4,0 作直线 l垂直于 l1 : x - y +1 = 0，如图，
则直线 l的方程为： y = -x + 4，将B 4,0 沿着直线 l往上平移 2 个单位到B 点，有B 3,1 ，
连接 AB 交直线 l1于点 P，过 P 作PQ ^ l2 于 Q，连接 BQ，有BB / /PQ,| BB |=| PQ |，即四边形BB PQ 为平
行四边形，
则 | PB |=| BQ |，即有 AP + QB = AP + PB =| AB | ，显然 AB 是直线 l1上的点与点 A, B 距离和的最小值，
因此 AP + QB 的最小值，即 AP + PB 的最小值 AB ，而 AB = -4 - 3 2 + 4 -1 2 = 58 ，
所以 AP + PQ + QB 的最小值为 AB + PQ = 58 + 2
故答案为： 58 + 2
四、解答题
8．求分别满足下列条件的直线 L的方程.
（1）已知点 P(2,1)， L过点 A(1,3) ， P 到 L距离为 1
（2） L过点 P(2,1)且在 x 轴， y 轴上截距相等
【答案】（1） x =1或3x + 4y -15 = 0 ；（2） x - 2y = 0或 x + y - 3 = 0 .
【详解】（1）当直线 L的斜率不存在时，直线 L的方程 x =1，满足条件；
当直线 L的斜率存在时，设 L的方程为 y - 3 = k x -1 ，即 kx - y + 3- k = 0 ，
2k -1+ 3 - k 2 3
由 d = =1，即 k + 2 = k 2 +1，解得： k = - ，
k 2 +1 4
即 L的方程：3x + 4y -15 = 0 ，
综上所述：直线 L的方程为： x =1或3x + 4y -15 = 0 ；
1
（2）当直线 L过原点 0,0 时，设方程为 y = kx ，代入 P(2,1)可得k = ，
2
y 1所以此时直线方程的为 = x，
2
x y 2 1
当直线 L不过原点 0,0 时，设方程为 + =1，代入 P(2,1)可得 + =1，
a a a a
解得： a = 3，所以此时直线方程的为 x + y - 3 = 0，
9．已知点 A -1,0 和点 B 关于直线 l： x + y -1 = 0 对称．
（1）若直线 l1过点 B ，且使得点A 到直线 l1的距离最大，求直线 l1的方程；
（2）若直线 l2过点A 且与直线 l交于点C ，VABC 的面积为 2，求直线 l2的方程．
【答案】（1） x + y - 3 = 0（2） y = 0 或 x=-1
【详解】解：设点B m,n
ì-1+ m n
+ -1 = 0 2 2 ìm =1
则 í n ，解得： í
A -1,0
n 2 ，所以点 关于直线
l： x + y -1 = 0 对称的点的坐标为B 1,2
=1 =
m +1
（1）若直线 l1过点 B ，且使得点A 到直线 l1的距离最大，则直线 l1与过点 AB 的直线垂直，所以 k = -1，则
直线 l1为： y - 2 = - x -1 ，即 x + y - 3 = 0 .
2 2
（2）由条件可知： AB = 2 2 ，VABC 的面积为 2，则VABC 的高为 h = = 2 ，
2 2
又点 C 在直线 l上，直线 l与直线 AB 垂直，所以点C 到直线 AB 的距离为 2 .
a - b +1
直线 AB 方程为 y = x +1，设C a,b ，则有 = 2 ，即b = a -1或b = a + 3
2
ìa =1 ìa = -1
又b =1- a，解得： í
b = 0
或 í
b = 2
则直线 l2为： y = 0 或 x=-12.2.4 点到直线的距离
分层练习
一、单选题
1．已知直线6x + my +1 = 0与3x + 2y - 3 = 0互相平行，则它们之间的距离是（ ）
A 4 13 B 7 13 7 13 7 26． ． C． D．
13 13 26 26
2．平面内到点(1，2)和点(4，6)距离均为 2 的直线有（ ）
A．1 条 B．2 条 C．3 条 D．4 条
3．已知实数 x, y满足3x - 4y+2= 0，那么 x2 + y2 - 4x + 6y +13的最小值为（ ）
A．16 B． 4 C． 2 D． 2
4．一条光线从点 P(-2,1)射出，与直线 l : x - y +1 = 0交于点Q(1, 2)，经直线 l反射，则反射光线所在直线的斜
率是（ ）
A．1 B． 3 C． 2 D．3
5．已知 A 0，1 ，B 2，0 ，VABC 的面积为 5，则点 C 的轨迹方程为（ ）
A． x + 2y +12 = 0或 x + 2 y + 8 = 0 B． x + 2y -12 = 0或 x + 2y -8 = 0
C． x + 2y +12 = 0或 x + 2y -8 = 0 D． x + 2y -12 = 0或 x + 2 y + 8 = 0
二、多选题
6．（多选）若两平行线分别经过点 A(5,0), B(0,12)，则它们之间的距离 d 可能等于（ ）
A．0 B．5 C．12 D．13
7．下列四个命题中真命题有（ ）
A．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率
B．若直线3x + 4y + 9 = 0与直线6x + my + 24 = 0 平行，则m = 2
C．点 0,2 关于直线 y = x +1的对称点为 1,1
D．经过点 1,1 且在 x 轴和 y 轴上截距都相等的直线方程为 x + y - 2 = 0
三、填空题
8．与两平行直线 l1 : 3x - y + 9 = 0， l2 : 3x - y - 3 = 0等距离的直线方程为 .
9．点P -2, -1 到直线 l : 1+ 3l x + 1+ 2l y = 2 + 5l l R l R 的距离的取值范围为 ．
四、解答题
10．已知直线 2x - 3y +1 = 0和直线 x + y - 2 = 0的交点为 P .
(1)求过点 P 且与直线3x - y -1 = 0平行的直线方程；
(2)若直线 l1与直线3x - y -1 = 0
10
垂直，且 P 到 l1的距离为 ，求直线的方程.
5
一、单选题
1．已知点 M 是直线 x + 3y = 2上的一个动点，且点P 3, -1 ，则点 PM 的最小值为（ ）
A 1． 2 B．1 C．2 D．3
2．点 P 为 x 轴上的点， A 1,2 ，B 3,4 ，以A ， B ， P 为顶点的三角形的面积为 8，则点 P 的坐标为（ ）
A． 7,0 或 -9,0 B． 7,0 或 -11,0
C． 7,0 或 9,0 D． -11,0 或 -9,0
3 1．直线 l1 : x + 1+ a y =1- a a R ，直线 l2 : y = - x ，下列说法正确的是（ ）2
A．$a R ，使得 l1∥l2 B．$a R ，使得 l1 ^ l2
C．"a R ， l1与 l2都相交 D．$a R ，使得原点到 l1的距离为 3
4．若动点M x1, y1 ， N x2 , y2 分别在直线 x + y + 7 = 0与直线 x + y + 5 = 0上移动，则 MN 的中点 P 到原点
的距离的最小值为（ ）
A． 2 3 B．3 3 C．3 2 D． 2 2
5．已知实数 a，b 满足 4a-2b+3=0，则 (a - 2)2 + (b + 2)2 + (a -1)2 + (b -1)2 的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
二、多选题
6．下列说法中，正确的有（ ）
A．直线 y = a x - 3 + 2（a R）过定点 (-3,2)
B．直线 2x - y -1 = 0 在 y 轴上的截距为 -1
C．点（1，3）到直线 y - 2 = 0 的距离为 1
p
D．直线 x＝－2 与 3 x－y＋1＝0 的夹角为 3
三、填空题
7．已知直线 l1与 l2：x＋y－1＝0 平行，且 l1与 l2的距离为 2 ，则 l1的方程为 ．
8．如图，在等腰直角△ABC 中， AB = AC = 2，点 P 是边 AB 上异于 A B 的一点，光线从点 P 出发，经 BC
CA 反射后又回到原点 P.若光线 QR 经过△ABC 的内心，则 AP = .
四、解答题
9．已知直线 l ： kx - y +1+ 2k = 0 ， P（3，-1），Q（-3，3），当 k = -1时，求直线 l 上的动点 M 到 P，Q
两点的距离之和的最小值.
10．如图，平面直角坐标系内，O为坐标原点，点A 在 x 轴正半轴上，点 B 在第一象限内， AOB = 60° .
(1)若 AB 过点M 4, 3 ，且M 为线段 AB 的中点，求直线 AB 的方程；
(2)若 AB = 6，求VOAB的面积取得最大值时直线 AB 的方程；
(3)设 OA = a， OB = b 1 1 3，若 + = ，求证：直线 AB 过一定点，并求出此定点的坐标.
a b 2
一、单选题
1．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣
的数学问题——“将军饮马”，即将军在白天观望烽火台之后黄昏时从山脚下某处出发，先到河边饮马再回到
军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知军营所在的位置为B -2,0 ，若将军从山脚下
1
的点 A ,0 处出发，河岸线所在直线方程为 x + 2 y = 3，则“将军饮马”的最短总路程为（ 3 ）
16
A 145 B 135． ．5 C． D．
3 3 3
7 1
2．已知点 M，N 分别在直线 l1： x + y = 0与直线 l2： x + y - 3 = 0，且MN ^ l1，点P -1, -3 Q
， ,
，则
2 2
PM + QN |的最小值为（ ）
A 15． B． 15 C． 13 D．3 3
2
3．已知直线 n : 5x + y + 2 = 0，点 A(1,0)关于直线 x + y + 3 = 0的对称点为 B ，直线m 经过点 B ，且m//n，则
直线m 的方程为（ ）
A．5x + y +19 = 0 B． x - 5y -17 = 0
C．5x + y - 5 = 0 D．5x + y +10 = 0
4．我国著名数学家华罗庚曾说“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”事
实上，很多代数问题可以都转化为几何问题加以解决，列如，与 (x - a)2 + (y - b)2 相关的代数问题，可以
转化为点 x, y 与点 a,b 之间的距离的几何问题.已知点M x1, y1 在直线 l1 : y = x + 2，点 N x2 , y2 在直线
l : y = x MN ^ l x2 + y - 4 2 + x - 5 22 上，且 1，结合上述观点， 1 1 2 + y 22 的最小值为（ ）
A 7 2 B 11 2． ． C． 41 - 2 D．5
2 2
二、多选题
5．下列说法中，正确的有（ ）
A．直线 y = a x - 3 + 2（a R）过定点 (-3,2)
B．直线 2x - y -1 = 0 在 y 轴上的截距为 -1
C．点（1，3）到直线 y - 2 = 0 的距离为 1
p
D．直线 x＝－2 与 3 x－y＋1＝0 的夹角为 3
三、填空题
6．设O为坐标原点，点 A, B在直线 y = x + m(m > 0)上.若VOAB是斜边长为 2的等腰直角三角形，则实数
m = .
7．已知 P Q分别在直线 l1 : x - y +1 = 0与直线 l2 : x - y -1 = 0上，且PQ ^ l1，点 A -4,4 ，B 4,0 ，则
AP + PQ + QB 的最小值为 .
四、解答题
8．求分别满足下列条件的直线 L的方程.
（1）已知点 P(2,1)， L过点 A(1,3) ， P 到 L距离为 1
（2） L过点 P(2,1)且在 x 轴， y 轴上截距相等
9．已知点 A -1,0 和点 B 关于直线 l： x + y -1 = 0 对称．
（1）若直线 l1过点 B ，且使得点A 到直线 l1的距离最大，求直线 l1的方程；
（2）若直线 l2过点A 且与直线 l交于点C ，VABC 的面积为 2，求直线 l2的方程．
