2.3.1 圆的标准方程
分层练习
一、单选题
1．已知圆 M 的方程为 (x +1)2 + (y - 2)2 = 4，则圆心 M 的坐标是（ ）
A．（ -1，2） B．（1，2） C．（1，-2） D．（ -1，-2）
【答案】A
【详解】Q (x - a)2 + (y - b)2 = r2 的圆心坐标为 a,b ；
\ (x +1)2 + (y - 2)2 = 4的圆心坐标为 -1,2 ；
故选：A.
2．圆心为 (1, -2) ，半径为 4 的圆的方程是（ ）
A． (x +1)2 + (y - 2)2 =16 B． (x -1)2 + (y + 2)2 =16
C． (x +1)2 + (y - 2)2 = 4 D． (x -1)2 + (y + 2)2 = 4
【答案】B
【详解】圆心为 (1, -2) ，半径为 4 的圆的方程是 (x -1)2 + (y + 2)2 =16 .
故选：B
3．若过点 -4,2 的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线3x + y +12 = 0的距离为（ ）
A 10 B 4 10 C 3 10． ． ． D 2 10．
5 5 5 5
【答案】B
【详解】Q圆上的点 -4,2 在第二象限，若圆心不在第二象限，则圆至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，
\圆心必在第二象限，
设圆心的坐标为 -a, a a > 0 ，则圆的半径为 a，
\圆的标准方程为 x + a 2 + y - a 2 = a2，
\ -4 + a 2 + 2 - a 2 = a2，解得： a = 2或 a =10，
\圆心的坐标为 -2,2 或 -10,10 ，
-2,2 -6 + 2 +12d 4 10当圆心为 时，所求距离 = = ；
10 5
-30 +10 +12 4 10
当圆心为 -10,10 时，所求距离 d = = ；
10 5
综上所述：圆心到直线3x + y +12 = 0 4 10距离为 .
5
故选：B.
4．圆 (x - 2)2 + (y -1)2 = 3关于直线3x + 5y + 6 = 0 对称的圆的方程为（ ）
A． (x + 2)2 + ( y + 3)2 = 3 B． (x -1)2 + y2 = 3
C． (x +1)2 + ( y + 4)2 = 3 D． (x + 3)2 + y2 = 3
【答案】C
ì b -1 5
= , ìa = -1,
【详解】设对称圆的圆心为 (a , b )
a - 2 3
，则依题意得 í
3 a + 2 b +1
解得 í
+ 5 + 6 0, b = -4,=
2 2
所以所求的圆的方程为 (x +1)2 + ( y + 4)2 = 3 .
故选：C.
5．点 M 为圆C ： x + 2 2 + y +1 2 = 4上任意一点，直线 3l +1 x + 2l +1 y = 5l + 2 过定点 P，则 MP 的最
大值为（ ）
A． 13 B． 13 + 2 C． 2 3 D． 2 3 + 2
【答案】B
【详解】 3l +1 x + 2l +1 y = 5l + 2 整理为： 3x + 2y - 5 l + x + y - 2 = 0
ì3x + 2y - 5 = 0 ìx =1
令 í P 1,1 2 2x y 2 0 ，解得： íy 1，所以定点 P 坐标为 ，代入圆的方程中， 1+ 2 + 1+1 > 4 ，所 + - = =
以P 1,1 在圆外，因为点 M 为圆C ： x + 2 2 + y +1 2 = 4上任意一点，设圆 C 的半径为 r=2，所以 MP 的最
2 2
大值应该为 PC + r ，由两点间距离公式：PC = -2 -1 + -1-1 = 13 ，所以 MP 的最大值为 13 + 2
故选：B
二、多选题
6．设有一组圆Ck : (x - k +1)
2 + (y - 2k)2 =1，下列说法正确的是（ ）
A．这组圆的半径均为 1
B．直线 2x - y + 2 = 0平分所有的圆Ck
C．存在直线 l被所有的圆Ck ，截得的弦长相等
D．存在一个圆Ck 与 x 轴和 y 轴均相切
【答案】ABC
A C : (x - k +1)2 + (y - 2k)2【详解】对 ：圆 k =1的圆心Ck k -1,2k ，半径 rk =1，
故这组圆的半径均为 1，A 正确；
对 B：∵ 2 k -1 - 2k + 2 = 0 ，即圆心Ck k -1,2k 在直线 2x - y + 2 = 0上，
故直线 2x - y + 2 = 0平分所有的圆Ck ，B 正确；
对 C：由选项 B 可得：圆心Ck k -1,2k 在直线 2x - y + 2 = 0上，
此时直线 2x - y + 2 = 0与圆Ck 截得的弦长均为直径，故弦长均为 2rk = 2 ，
故存在直线 l被所有的圆Ck ，截得的弦长相等，C 正确；
ì k -1 =1
对 D：圆Ck 与 x 轴和 y 轴均相切，则 í 2k 1 ，该方程无解， =
故不存在一个圆Ck 与 x 轴和 y 轴均相切，D 错误；
故选：ABC.
三、填空题
7．已知点 A(-6,2)，B(2,-2)，则以线段 AB 为直径的圆的标准方程为 ．
【答案】 (x + 2)2 + y2 = 20
【详解】解法一：
1
因为以线段 AB 为直径的圆，以线段 AB 的中点为圆心，以 | AB |2 为半径.
所以所求圆的圆心坐标为 (-2,0) ，半径 r
1
= (-6 - 2)2 1+ [2 - (-2)]2 = 80 = 2 5 .
2 2
所以所求圆的标准方程为 (x + 2)2 + y2 = 20 .
故答案为： (x + 2)2 + y2 = 20 .
解法二：
利用结论：以 A(x1, y1), B(x2 , y2 )为直径的圆的方程为 (x - x1)(x - x2 ) + (y - y1)(y - y2 ) = 0 .
可直接得到所求圆的方程为 (x + 6)(x - 2) + (y - 2)(y + 2) = 0
化简得： (x + 2)2 + y2 = 20 .
故答案为： (x + 2)2 + y2 = 20 .
8．有一座圆拱桥，初始时拱桥顶部离水面 2m，水面宽 12m，若水面下降 1m，则水面的宽为 m．
【答案】 2 51
【详解】如图，建立平面直角坐标系：
设初始水面在 AB 处，则由已知得 A 6, -2 ，设圆 C 的半径为 r r > 0 ，则C 0, -r ，故圆 C 的方程为
x2 + y + r 2 = r 2，将（6，－2）代入，得 r =10，所以圆 C 的方程为 x2 + y +10 2 =100．①
当水面下降 1m 到 A B 时，设 A x0 ,-3 x0 > 0 ．将 x0 ,-3 代入①式，得 x0 = 51，所以当水面下降 1m 时，
水面的宽为 2 51 m．
故答案为： 2 51 ．
四、解答题
9．已知三点 A 3,2 , B 5,-3 ,C -1,3 ，以 P (2, -1) 为圆心作一个圆，使得 A，B，C 三点中的一个点在圆内，
一个点在圆上，一个点在圆外，求这个圆的方程.
【答案】 x - 2 2 + y +1 2 =13 .
【详解】由题设知：|PA|＝ 10 ，|PB|＝ 13 ，|PC|＝5，
∴|PA|<|PB|<|PC|，要使 A，B，C 三点中的一个点在圆内，一个点在圆上，一个点在圆外，
∴圆以|PB|为半径，故圆的方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝13.
10．已知直线 l1 : 2x + y +1 = 0，直线 l2经过点 (1, 2)且与直线 l1平行，设直线 l2分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两
点.
(1)求点 A 和 B 的坐标；
(2)若圆 C 经过点 A 和 B，且圆心 C 在直线 l1上，求圆 C 的方程.
【答案】(1) A(2,0)， B(0,4)；
(2) (x +1)2 + (y -1)2 =10 .
【详解】（1）由题设， l1的斜率为-2，又直线 l2与直线 l1平行且过 (1, 2)，
所以直线 l2为 y - 2 = -2(x -1) ，即 2x + y - 4 = 0，
令 x = 0，则 y = 4 ；令 y = 0 ，则 x = 2 .
所以 A(2,0)， B(0,4) .
1
（2）由（1）可得： AB 垂直平分线为 y - 2 = (x -1)，即 x - 2y + 3 = 0，
2
ìx - 2y + 3 = 0 ìx = -1
联立 í2x y 1 0 ，可得
í ，即C(-1,1)y = 1 ，故圆的半径为 r =| AC |= 10 ， + + =
所以圆 C 的方程为 (x +1)2 + (y -1)2 =10 .
一、单选题
1．若VAOB的三个顶点坐标分别为 A 2,0 ，B 0, -4 ，O 0,0 ，则VAOB外接圆的圆心坐标为（ ）
A． 1,-1 B． -1, -2 C． 1,-2 D． -2,1
【答案】C
【详解】解：由题得VAOB是直角三角形，且 AOB = 90o .
所以VAOB的外接圆的圆心就是线段 AB 的中点，
x 2 + 0由中点坐标公式得 = =1, y
0 - 4
= = -2 .
2 2
故选：C
2．圆心在圆 x2 + y2 = 2上，与直线 x + y - 4 = 0相切，且面积最大的圆的方程为（ ）
A． (x +1)2 + ( y +1)2 = 2 B． (x -1)2 + (y -1)2 = 2
C． (x +1)2 + (y +1)2 =18 D． (x -1)2 + (y -1)2 =18
【答案】C
【详解】如图，过圆 x2 + y2 = 2的圆心(原点)作直线 x + y - 4 = 0的垂线 y = x ，
垂线与圆 x2 + y2 = 2的交点为 A , B.
易知当圆心在点 B 时，所求圆的半径最大，圆的面积也最大.联立 y = x 和 x2 + y2 = 2，
求得B -1, -1 ,所以圆的半径最大时，圆心为B -1, -1 ，
-1-1- 4
又由点到直线的距离公式求得点 B 到直线 x + y - 4 = 0的距离为 = 3 2 ，
12 +12
2 2
即所求圆的半径 r = 3 2 ，所以所求面积最大的圆的方程为 x +1 + y +1 =18.
故选：C.
3．过点 A 0,0 、B 2,2 且圆心在直线 y = 2x - 4 上的圆的标准方程为（ ）
A． x - 2 2 + y2 = 4 B． x + 2 2 + y2 = 4
C． x - 4 2 + y - 4 2 = 8 D 2． x + 4 + y - 4 2 = 8
【答案】A
2
【详解】设圆心为C a, 2a - 4 ，由 AC = BC 可得 a2 + 2a - 4 = a - 2 2 + 2a - 6 2 ，
整理可得a - 2 = 0，解得 a = 2，所以圆心C 2,0 ，
所求圆的半径为 AC = 2 2 2，因此，所求圆的标准方程为 x - 2 + y = 4 .
故选：A.
4．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他对圆锥曲线有深刻系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作
《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点 M 与两定点 A，B 的距离之
比为 λ(λ＞0，λ≠1)，那么点 M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面我们来研究与此相关的一个问题，已知圆 O：
1
x2＋y2＝1 上的动点 M 和定点 A (- ,0) ，B(1，1)，则 2|MA|＋|MB|的最小值为（ ）
2
A． 6 B． 7
C． 10 D． 11
【答案】C
【详解】①当点 M 在 x 轴上时，点 M 的坐标为(－1，0)或(1，0)．
1 2
若点 M 的坐标为(－1，0)，则 2|MA|＋|MB|＝2× 2 ＋ 1+1 +1
2 =1+ 5 ；
3
若点 M 的坐标为(1，0)，则 2|MA|＋|MB|＝2× ＋
2 1-1
2 +12 = 4 ．
②当点 M 不在 x 轴上时，取点 K(－2，0)，如图，
连接 OM 1，MK，因为|OM|＝1，|OA|＝ 2 ，|OK|＝2，
|OM | |OK |
所以 = = 2|OA | |OM | ．
因为∠MOK＝∠AOM，
| MK | |OM |
所以△MOK∽△AOM，则 = = 2| MA | |OA | ，
所以|MK|＝2|MA|，则 2|MA|＋|MB|＝|MB|＋|MK|．
易知|MB|＋|MK|≥|BK|，
所以|MB|＋|MK|的最小值为|BK|．
因为 B(1，1)，K(－2，0)，
所以(2|MA|＋|MB|)min
2
＝|BK|＝ -2 -1 + 0 -1 2 = 10 ．
又 10 <1＋ 5 <4，所以 2|MA|＋|MB|的最小值为 10 ．
故选：C
二、多选题
5．直线 y = ax + b 与圆 (x - a)2 + (y - b)2 =1 的大致图像可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【详解】A：直线不经过第四象限，所以 a > 0,b > 0，所以圆的圆心在第一象限，因此本选项可能正确；
B：直线不经过第一象限，所以 a < 0,b < 0，所以圆的圆心在第三象限，因此本选项不可能正确；
C：直线不经过第一象限，所以 a < 0,b < 0，所以圆的圆心在第三象限，又因为该圆经过原点，所以有
(0 - a)2 + (0 - b)2 =1 a2 + b2 =1，在圆的方程中，令 x = 0，
得 (0 - a)2 + (y - b)2 =1 a2 + y2 - 2by + b2 =1 y = 0或 y = 2b ，因为b < 0，
所以 2b < b，因此本选项可能正确；
D：直线不经过第二象限，所以 a > 0,b < 0 ，所以圆的圆心在第四象限，又因为该圆经过原点，所以有
(0 - a)2 + (0 - b)2 =1 a2 + b2 =1，在圆的方程中，令 x = 0，
得 (0 - a)2 + (y - b)2 =1 a2 + y2 - 2by + b2 =1 y = 0或 y = 2b ，因为b < 0，
所以 2b < b，因此本选项不可能正确，
故选：AC
6．我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边
数无限增加时，其周长就越逼近圆周长，这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成
就．现作出圆 x2 + y2 = 2的一个内接正八边形，使该正八边形的其中 4 个顶点在坐标轴上，则下列 4 条直线
中可能是该正八边形的一条边所在直线的方程为（ ）
A． x + 2 -1 y - 2 = 0 B． 1- 2 x - y + 2 = 0
C． x - 2 +1 y + 2 = 0 D． 2 -1 x - y + 2 = 0
【答案】ABD
【详解】由图可知：
A 2,0 , B 1,1 ,C 0, 2 , D -1,1 , E - 2,0 ,
所以直线 AB, BC,CD, DE
1- 0
的方程分别为 y = x - 2 , y = 1- 2 x + 2 ，
1- 2
1
y = 2 -1 x + 2 ， y = x + 2 .
-1+ 2
整理为一般式即 x + 2 -1 y - 2 = 0， 1- 2 x - y + 2 = 0， 2 -1 x - y + 2 = 0，
x - 2 -1 y + 2 = 0，前三个分别对应题中的 A，B，D 选项，而正八边形中，AB 与 EF，BC 与 FG，CD
与 GH，DE 与 AH 所在直线分别平行，由第四个式子可知，正八边形各边所在直线不可能为选项 C.
故选:ABD.
三、填空题
7．若点P 1,2 在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆的标准方程为 ．
【答案】 x2 + y2 = 5
【详解】由已知得，圆的半径 r = 1- 0 2 + 2 - 0 2 = 5
所以，该圆的标准方程为 x2 + y2 = 5
故答案为： x2 + y2 = 5 .
四、解答题
8．已知 A 2,0 ，B 1,3 ．
(1)求线段 AB 的垂直平分线 l所在直线的方程；
(2)若一圆的圆心在直线 x + 2y - 2 = 0上，且经过点 A，B ，求该圆的方程．
【答案】(1) x - 3y + 3 = 0
(2) x2 + (y -1)2 = 5
【详解】（1）因为 A 2,0 ，B 1,3 ，
3 3
所以 AB 的中点为 ( , ) k
3 - 0
，斜率 = = -3，
2 2 1- 2
1
所以线段 AB 的垂直平分线 l的斜率为 kl = 3 ，
3 1 3
即 l
所在的直线方程为 y - = x - ÷，化简得 x - 3y + 3 = 0 .2 3 è 2
ì x - 3y + 3 = 0
（2）联立 í 解得 x = 0， y =1x 2y 2 0 ，即圆心为
( 0, 1)，
+ - =
所以圆的半径 r = (2 - 0)2 + (1- 0)2 = 5 ，
所以所求圆的标准方程为 x2 + (y -1)2 = 5 .
9．已知圆C 过点 A 4,0 ，B 8,6 ，且圆心C 在直线 l： x - y - 3 = 0上.
(1)求圆C 的方程；
(2)若从点M -4,1 发出的光线经过 x 轴反射，反射光线 l1刚好经过圆心C ，求反射光线 l1的方程.
【答案】(1) x - 6 2 + y - 3 2 =13；
(2) 2x - 5y + 3 = 0
【详解】（1）圆C 过点 A 4,0 ，B 8,6 ，因为圆心C 在直线： l： x - y - 3 = 0上，
设圆心C(a,a - 3)，又圆C 过点 A 4,0 ，B 8,6 ，
所以 CA = CB ，即 (a - 4)2 + (a - 3)2 = (8 - a)2 + (9 - a)2 ，
解得 a = 6，所以C 6,3 ，所以 r = CA = 13
C C x - 6 2 + y - 3 2故圆 的方程为 ： =13；
（2）点M -4,1 关于 x 轴的对称点M1 -4, -1 ，
则反射光线 l1必经过点M1 和点C ，
y +1 -1- 3
由直线的两点式方程可得 = ，
x + 4 -4 - 6
即 l1： 2x - 5y + 3 = 0 .
一、单选题
PA QA uuur uuur
1．已知点 A(-4，0)，B(-1，0)，C(-4，3)，动点P，Q满足 = = 2 CP + CQPB QB ，则 的取值范围（ ）
A．[1，16] B．[6，14] C．[4，16] D．[ 13，3 5]
【答案】B
【详解】设P x, y ，则 PA = x + 4 2 + y2 ， PB = x +1 2 + y2 ，
PA x + 4 2 + y2
因 = 2，所以 = 2 ，即 x2 + y2 = 4，因此点 PPB 在以原点O为圆心，2 为半径的圆上， x +1 2 + y2
同理可得点Q也在以原点O为圆心，2 为半径的圆上.
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
又因CP + CQ = 2CO + OP + OQ ，所以当 P 和Q重合，且C 、O、 P 三点共线时， CP + CQ 取得最值，
uuur uuur uuur uuur
因此 CP + CQ = 2 OC + 2 =14， CP + CQ = 2 OC - 2 = 6 .
max min
故选：B.
2．已知圆C 的圆心在 x 轴上，半径为 2，且与直线 x - 3y + 2 = 0相切，则圆C 的方程为
A． (x - 2)2 + y2 = 4 B． (x + 2)2 + y2 = 4 或 (x - 6)2 + y2 = 4
C． (x -1)2 + y2 = 4 D． (x - 2)2 + y2 = 4或 (x + 6)2 + y2 = 4
【答案】D
【详解】设圆心坐标 a,0 | a + 2 |，因为圆与直线 x - 3y + 2 = 0相切，所以由点到直线的距离公式可得 = 2 ，
2
解得 a = 2或 a = -6 .因此圆C 的方程为 (x - 2)2 + y2 = 4或 (x + 6)2 + y2 = 4 .
3 x x y y x 2 + y 2 2 2 1
x1 + y1 -1 x2 + y2 -1
．已知实数 1、 2、 1 、 2满足： 1 1 =1， x2 + y2 =1， x1x2 + y1 y2 = ，则 + 的2 2 2
最大值为（ ）
A． 2 + 3 B． 2 + 3 C． 2 + 5 D．1+ 3
【答案】A
【详解】设 A（x1，y1），B（x2，y2），
uuur uuur
OA =（x1，y1），OB =（x2，y2），
由 x 21 +y 21 =1，x 22 +y 22 =1，x1x2+y1y
1
2= 2 ，
可得 A，B 两点在圆 x2+y2=1 上，
uuur uuur
且OA ×OB =1×1× cos AOB =
1
2 ，
即有∠AOB=60°，
即三角形 OAB 为等边三角形，AB=1，
x1 + y1 -1 x2 + y -1+ 2 的几何意义为点 A，B 两点
2 2
到直线 x+y﹣1=0 的距离 d1与 d2之和，
显然 A，B 在第三象限，AB 所在直线与直线 x+y=1 平行，
可设 AB：x+y+t=0，（t＞0），
t
由圆心 O 到直线 AB 的距离 d= ，
2
2
可得 2 1 t 6- =1，解得 t= ，
2 2
1 6+
即有两平行线的距离为 2 2 + 3= ，
2 2
x1 + y1 -1 x2 + y -1
即 + 2 的最大值为 2 + 3 ，
2 2
故选：A．
4 x -1 2．圆 + y2 = 2的圆心到直线 x-y+3=0 的距离为（ ）
A．1 B．2 C． 2 D． 2 2
【答案】D
2
【详解】 x -1 + y2 = 2的圆心为 1,0 ，
1- 0 + 3
则由点到直线距离公式可得： d = = 2 2 .
1+1
故选：D
二、多选题
5．设有一组圆C ： (x - k)2k + (y - k)2 = 4 (k R)，下列命题正确的是（ ）
A．不论 k 如何变化，圆心C 始终在一条直线上
B．所有圆Ck 均不经过点 (3，0)
C．经过点 (2，2)的圆Ck 有且只有一个
D．所有圆的面积均为 4π
【答案】ABD
【详解】A 选项，圆心为 k, k ，一定在直线 y = x 上，A 正确；
B 选项，将 (3, 0)代入得： 2k 2 - 6k + 5 = 0，其中D = -4 < 0 ，方程无解，即所有圆Ck 均不经过点 (3, 0)，B 正
确；
C 选项，将 (2, 2)代入得： k 2 - 4k + 2 = 0，其中D =16 -8 = 8 > 0，
故经过点 (2，2)的圆Ck 有两个，故 C 错误；
D 选项，所有圆的半径为 2，面积为 4π，故 D 正确.
故选：ABD.
三、填空题
6．圆心为 m,2 的圆 C 与 x 轴交于 A -2,0 、B -4,0 两点，则圆 C 的方程为 .
x + 3 2 2【答案】 + y - 2 = 5
【详解】由题意得 AB 的中垂线方程为 x = -3，则圆C 的圆心在直线 x = -3上，所以m = -3，圆心坐标为 -3,2 ，
2 2
半径为 -3 + 2 + 22 = 5 ，所以圆的方程为 x + 3 + y - 2 2 = 5 .
故答案为： x + 3 2 + y - 2 2 = 5 .
7．设 f x ， g x 是定义在 R 上的两个周期函数， f x 的周期为 4， g x 的周期为 2，且 f x 是奇函数，
2 ìk x + 2 ,0 < x 1当 x 0,2 时， f x = 2x - x ， g x = í ，设函数 h x = f x + g x ，若在区间 x 0,13
0.5,1 < x 2
上，函数 h x 有 11 个零点，则 k 的取值范围是 .
2 1ù
【答案】 - , -
è 4 3
ú
【详解】令 h x = f x + g x =0，
所以 f (x) = -g(x)在区间 x 0,13 上，函数 f (x)和y=- g( x)的图像有 11 个交点，
ì-k x + 2 ,0 < x 1y = -g x = í
-0.5,1 < x 2
作出函数 f (x) 与 y = -g(x)的图象如图，
1
由图可知，函数 f (x) 与 y = -g(x) = - (1< x 2，3 < x 4，5 < x 6 ， 7 < x 8，9 < x 10,11< x 12）2 仅有 3 个实数根；
所以要使关于 x 的方程 f (x) = -g(x)有 8 个不同的实数根，
则 y = f (x) = 2x - x2 ， x (0， 2]与 y = -g(x) = -k(x + 2) ， x (0，1]的图象有 2 个不同交点，
| 3k |
由 (1,0)到直线 kx+y + 2k = 0的距离为 1，得 =1 22 ，解得 k = - (k < 0)，k +1 4
Q两点 (-2,0) ， (1,1) 1
1
连线的斜率 -k = 3 ，所以
k = -
3
\ 2 1- < k - ．
4 3
2 1ù
故答案为 - , - ú .
è 4 3
四、解答题
8．求满足下列条件的圆的标准方程：
(1)经过点P 5,1 ，圆心为点C 8,-3 ；
(2)经过点P 4,2 ,Q -6,-2 ，且圆心在 y 轴上.
(1) x -8 2 + y + 3 2【答案】 = 25
2
x2 y 5 145(2) + + ÷ =
è 2 4
【详解】（1）圆的半径长为 r =| CP |= (5 -8)2 + (1+ 3)2 = 5，圆心为点C 8,-3 ，
2 2
所以圆的方程为 x -8 + y + 3 = 25．
2
（2）设所求圆的方程是 x2 + y - b = r 2 ，
因为点 P，Q 在所求圆上，依题意得
ìr 2 145ì16 + (2 - b)2 = r 2 , = , 4
í 解得
36 + (-2 - b)
2 = r 2 , í b 5= - ,
2
5 2x2 y 145所以所求圆的方程是 + + 2 ÷
= .
è 4
9．已知圆C 经过 A 5,1 ，B 1,3 两点，圆心在 x 轴上，求圆C 的标准方程．
【答案】 x - 2 2 + y2 =10
【详解】解：由于圆心在 x 轴上，可设圆心C(a,0)，
Q圆C 经过 A(5,1) ，B(1,3) 两点，
\CA = CB，故有 (a - 5)2 + (0 -1)2 = (a -1)2 + (0 - 3)2 ，\a = 2 ，
故圆心C(2,0) ，半径CA = (2 - 5)2 + (0 -1)2 = 10 ，
故圆的方程为 (x - 2)2 + y2 =10．2.3.1 圆的标准方程
分层练习
一、单选题
1．已知圆 M 的方程为 (x +1)2 + (y - 2)2 = 4，则圆心 M 的坐标是（ ）
A．（ -1，2） B．（1，2） C．（1，-2） D．（ -1，-2）
2．圆心为 (1, -2) ，半径为 4 的圆的方程是（ ）
A． (x +1)2 + (y - 2)2 =16 B． (x -1)2 + (y + 2)2 =16
C． (x +1)2 + (y - 2)2 = 4 D． (x -1)2 + (y + 2)2 = 4
3．若过点 -4,2 的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线3x + y +12 = 0的距离为（ ）
A 10 B 4 10 C 3 10 D 2 10． ． ． ．
5 5 5 5
4．圆 (x - 2)2 + (y -1)2 = 3关于直线3x + 5y + 6 = 0 对称的圆的方程为（ ）
A． (x + 2)2 + ( y + 3)2 = 3 B． (x -1)2 + y2 = 3
C． (x +1)2 + ( y + 4)2 = 3 D． (x + 3)2 + y2 = 3
5 M C x + 2 2 + y +1 2．点 为圆 ： = 4上任意一点，直线 3l +1 x + 2l +1 y = 5l + 2 过定点 P，则 MP 的最
大值为（ ）
A． 13 B． 13 + 2 C． 2 3 D． 2 3 + 2
二、多选题
6．设有一组圆Ck : (x - k +1)
2 + (y - 2k)2 =1，下列说法正确的是（ ）
A．这组圆的半径均为 1
B．直线 2x - y + 2 = 0平分所有的圆Ck
C．存在直线 l被所有的圆Ck ，截得的弦长相等
D．存在一个圆Ck 与 x 轴和 y 轴均相切
三、填空题
7．已知点 A(-6,2)，B(2,-2)，则以线段 AB 为直径的圆的标准方程为 ．
8．有一座圆拱桥，初始时拱桥顶部离水面 2m，水面宽 12m，若水面下降 1m，则水面的宽为 m．
四、解答题
9．已知三点 A 3,2 , B 5,-3 ,C -1,3 ，以 P (2, -1) 为圆心作一个圆，使得 A，B，C 三点中的一个点在圆内，
一个点在圆上，一个点在圆外，求这个圆的方程.
10．已知直线 l1 : 2x + y +1 = 0，直线 l2经过点 (1, 2)且与直线 l1平行，设直线 l2分别与 x 轴，y 轴交于 A，B 两
点.
(1)求点 A 和 B 的坐标；
(2)若圆 C 经过点 A 和 B，且圆心 C 在直线 l1上，求圆 C 的方程.
一、单选题
1．若VAOB的三个顶点坐标分别为 A 2,0 ，B 0, -4 ，O 0,0 ，则VAOB外接圆的圆心坐标为（ ）
A． 1,-1 B． -1, -2 C． 1,-2 D． -2,1
2．圆心在圆 x2 + y2 = 2上，与直线 x + y - 4 = 0相切，且面积最大的圆的方程为（ ）
A． (x +1)2 + ( y +1)2 = 2 B． (x -1)2 + (y -1)2 = 2
C． (x +1)2 + (y +1)2 =18 D． (x -1)2 + (y -1)2 =18
3．过点 A 0,0 、B 2,2 且圆心在直线 y = 2x - 4 上的圆的标准方程为（ ）
A． x - 2 2 + y2 = 4 B． x + 2 2 + y2 = 4
C x - 4 2 2． + y - 4 = 8 D． x + 4 2 + y - 4 2 = 8
4．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他对圆锥曲线有深刻系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作
《圆锥曲线论》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点 M 与两定点 A，B 的距离之
比为 λ(λ＞0，λ≠1)，那么点 M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆．下面我们来研究与此相关的一个问题，已知圆 O：
x2＋y2
1
＝1 上的动点 M 和定点 A (- ,0) ，B(1，1)，则 2|MA|＋|MB|的最小值为（ ）
2
A． 6 B． 7
C． 10 D． 11
二、多选题
5．直线 y = ax + b 与圆 (x - a)2 + (y - b)2 =1 的大致图像可能正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边
数无限增加时，其周长就越逼近圆周长，这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成
就．现作出圆 x2 + y2 = 2的一个内接正八边形，使该正八边形的其中 4 个顶点在坐标轴上，则下列 4 条直线
中可能是该正八边形的一条边所在直线的方程为（ ）
A． x + 2 -1 y - 2 = 0 B． 1- 2 x - y + 2 = 0
C． x - 2 +1 y + 2 = 0 D． 2 -1 x - y + 2 = 0
三、填空题
7．若点P 1,2 在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆的标准方程为 ．
四、解答题
8．已知 A 2,0 ，B 1,3 ．
(1)求线段 AB 的垂直平分线 l所在直线的方程；
(2)若一圆的圆心在直线 x + 2y - 2 = 0上，且经过点 A，B ，求该圆的方程．
9．已知圆C 过点 A 4,0 ，B 8,6 ，且圆心C 在直线 l： x - y - 3 = 0上.
(1)求圆C 的方程；
(2)若从点M -4,1 发出的光线经过 x 轴反射，反射光线 l1刚好经过圆心C ，求反射光线 l1的方程.
一、单选题
PA QA uuur uuur
1．已知点 A(-4，0)，B(-1，0)，C(-4，3)，动点P，Q满足 = = 2 CP + CQPB QB ，则 的取值范围（ ）
A．[1，16] B．[6，14] C．[4，16] D．[ 13，3 5]
2．已知圆C 的圆心在 x 轴上，半径为 2，且与直线 x - 3y + 2 = 0相切，则圆C 的方程为
A． (x - 2)2 + y2 = 4 B． (x + 2)2 + y2 = 4 或 (x - 6)2 + y2 = 4
C． (x -1)2 + y2 = 4 D． (x - 2)2 + y2 = 4或 (x + 6)2 + y2 = 4
2 2 2 2 1 x1 + y3 1
-1 x2 + y2 -1
．已知实数x1、x2、 y1 、 y2满足： x1 + y1 =1， x2 + y2 =1， x1x2 + y1 y2 = ，则 + 的2 2 2
最大值为（ ）
A． 2 + 3 B． 2 + 3 C． 2 + 5 D．1+ 3
4 x -1 2．圆 + y2 = 2的圆心到直线 x-y+3=0 的距离为（ ）
A．1 B．2 C． 2 D． 2 2
二、多选题
5．设有一组圆C ： (x - k)2k + (y - k)2 = 4 (k R)，下列命题正确的是（ ）
A．不论 k 如何变化，圆心C 始终在一条直线上
B．所有圆Ck 均不经过点 (3，0)
C．经过点 (2，2)的圆Ck 有且只有一个
D．所有圆的面积均为 4π
三、填空题
6．圆心为 m,2 的圆 C 与 x 轴交于 A -2,0 、B -4,0 两点，则圆 C 的方程为 .
7．设 f x ， g x 是定义在 R 上的两个周期函数， f x 的周期为 4， g x 的周期为 2，且 f x 是奇函数，
2 ìk x + 2 ,0 < x 1当 x 0,2 时， f x = 2x - x ， g x = í ，设函数 h x = f x + g x ，若在区间 x 0,13
0.5,1 < x 2
上，函数 h x 有 11 个零点，则 k 的取值范围是 .
四、解答题
8．求满足下列条件的圆的标准方程：
(1)经过点P 5,1 ，圆心为点C 8,-3 ；
(2)经过点P 4,2 ,Q -6,-2 ，且圆心在 y 轴上.
9．已知圆C 经过 A 5,1 ，B 1,3 两点，圆心在 x 轴上，求圆C 的标准方程．
