2.3.2 圆的一般方程
分层练习
一、单选题
1．设甲：实数 a < 3；乙：方程 x2 + y2 - x + 3y + a = 0是圆，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
5
【详解】若方程 x2 + y2 - x + 3y + a = 0 2表示圆，则 -1 + 32 - 4a =10 - 4a > 0，解得： a < ；
2
∵ a < 3 a
5 5
< ， a < a < 3，，\甲是乙的必要不充分条件.
2 2
故选：B.
2．圆 x2 + y2 - 4x -1 = 0 的圆心坐标及半径分别为（ ）
A． (2,0)，5 B． (2,0)， 5
C． (0,2)， 5 D． (2, 2)，5
【答案】B
【详解】依题意，圆 x2 + y2 - 4x -1 = 0 转化为标准方程得 x - 2 2 + y2 =5，
所以圆心为 (2,0)，半径为 5 .
故选：B
3．在方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 中，若 D2＝E2＝4F，则圆的位置满足( )
A．截两坐标轴所得弦的长度相等
B．与两坐标轴都相切
C．与两坐标轴相离
D．上述情况都有可能
【答案】B
D E D2 + E2 - 4F D E
【详解】由题意,配方得： (x + )2 + (y + )2 = ,因为
2 2 4 D
2 = E2 = 4F ，所以圆心为 (- , - ) ，半径2 2
D
为 ．答案：B
2
4．圆心为 (2,-1)，半径为 3 的圆的方程为（ ）
A． x2 + y2 - 4x + 2y - 4 = 0 B． x2 + y2 - 4x + 2y + 2 = 0
C． x2 + y2 + 4x - 2y - 4 = 0 D． x2 + y2 + 4x - 2y + 2 = 0
【答案】A
【详解】圆心为C(2,-1) ，半径为 3 的圆的方程为 (x - 2)2 + (y +1)2 = 9，
即 x2 + y2 - 4x + 2y - 4 = 0 .
故选：A
二、多选题
5．下列选项正确的有（ ）
x - x
A 0． = 2y - y 表示过点
P x0, y 0 ，且斜率为 2 的直线
0
r
B． a = 2,1 是直线 x - 2y - 4 = 0的一个方向向量
C．以 A 4,1 ，B 1, -2 为直径的圆的方程为 x - 4 x -1 + y -1 y + 2 = 0
D．直线 m +1 x + 2m -1 y -1- 4m = 0 m R 恒过点 2,1
【答案】BCD
x - x0
【详解】A 选项：方程 = 2 y yy - y ， 0 ，点
P x0, y 0 不在直线上，A 选项错误；
0
r
B 选项：因为直线 x - 2y - 4 = 0 1的斜率为 ， 所以 a = (2,1) 是直线 x - 2y - 4 = 02 的一个方向向量，B 选项正
确；
M (x y) uuuur uuuurC 选项：设 ， 是所求圆上任意一点，则 AM ^ BM ，
uuuur uuuur
因为 AM = (x - 4，y -1)，BM = (x -1，y + 2)，
uuuur uuuur
所以 AM × BM = (x - 4)(x -1) + (y -1) y + 2 = 0，
即所求圆的方程为 (x - 4)(x -1) + (y -1) y + 2 = 0 ，C 选项正确；
D 选项：直线方程化为m x + 2y - 4 + x - y -1 = 0(m R) ，
ìx + 2y - 4 = 0 ìx = 2
由 í x y 1 0 ， 解得
í y 1 ，所以直线恒过定点
2,1 ，D 选项正确.
- - = =
故选：BCD
三、填空题
6．若点 1,1 在圆 x2 - 2ax + y2 = 0的外部，则实数 a 的取值范围是 ．
【答案】 - ,0 U 0,1
ì12 - 2a×1+12 >0【详解】∵点 1,1 在圆 x2 - 2ax + y2 = 0的外部，则 í 2 ，解得： a <1且 a 0，
4a >0
∴实数 a 的取值范围是 - ,0 U 0,1
故答案为： - ,0 U 0,1 .
4 1
7．已知直线 ax - 2by = 2(a > 0,b > 0)过圆 x2 + y2 - 4x + 2y +1 = 0的圆心，则 + 的最小值
a + 2 b +1
为 ．
9
【答案】
4
【详解】圆 x2 + y2 - 4x + 2y +1 = 0的圆心为 (2,-1)，依题意， 2a + 2b = 2，即 a + b =1，则 (a + 2) + (b +1) = 4，
而 a > 0,b > 0
4 1 1
，则 + = [(a + 2) + (b +1)](
4 1 1 4(b +1) a + 2
+ ) = [5 + + ]
a + 2 b +1 4 a + 2 b +1 4 a + 2 b +1
1
[5 + 2 4(b +1) a + 2 ] 9× = ，
4 a + 2 b +1 4
4(b +1) a + 2
当且仅当 = ，即 a = 2b
2
= 时取等号，
a + 2 b +1 3
2 1 4 1 9
所以当 a = ,b = 时， + 取得最小值 .
3 3 a + 2 b +1 4
9
故答案为：
4
四、解答题
8．已知圆的方程是 x2 + y2 + 2(m -1)x - 4my + 5m2 - 2m -8 = 0
（1）求此圆的圆心坐标和半径；
（2）求证：不论m 为何实数，方程表示圆的圆心在同一直线上的等圆 .
【答案】（1）圆心坐标为 1- m, 2m ，半径为 r = 3；（2）见解析
2 2
【详解】解：（1）圆的方程 x + y + 2 m -1 x - 4my + 5m2 - 2m -8 = 0，
2
可化为 é x + m -1 ù + y - 2m
2 = 9，
∴圆心坐标为 1- m, 2m ，半径为3 .
（2）证明：设圆心为 x, y ，
ìx =1- m
由（1）可知， í ，则 2x + y = 2，
y = 2m
∴不论m 为何实数，该圆的圆心恒在直线 2x + y - 2 = 0上，
由（1）可得，圆的半径为定值 3，
故不论m 为何实数，方程表示圆的圆心在同一直线上的等圆.
9．已知圆C1： x2 + y2 + 6x - 2y +1 = 0和圆C 2 22 ： x + y + 2x + 4y +1 = 0，点M ， N 分别在圆C1和圆C2 上.
（1）求圆C1的圆心坐标和半径；
（2）求 MN 的最大值.
【答案】（1）C1(-3,1)，半径为 r1 = 3；（2） 13 + 5．
【详解】（1）圆C1标准方程是 (x + 3)2 + (y -1)2 = 9，圆心为C1(-3,1)，半径为 r1 = 3，
（2）圆C2 的标准方程是 (x +1)2 + (y + 2)2 = 4，圆心为C2(-1,-2) ，半径为 r2 = 2．
由（1） C1C2 = (-3 +1)
2 + (1+ 2)2 = 13，
所以 MN = Cmax 1C2 + r1 + r2 = 13 + 5．
一、单选题
1．方程 x2 + y2 + 2x - 4y - 6 = 0 表示的图形是（ ）
A．以 (1，- 2)为圆心， 11 为半径的圆
B．以 (1，2) 为圆心， 11 为半径的圆
C．以 (-1，- 2)为圆心， 11 为半径的圆
D．以 (-1，2) 为圆心， 11 为半径的圆
【答案】D
【详解】因为原方程可化为 (x +1)2 + (y - 2)2 =11 ,所以此方程表示以 (-1，2) 为圆心， 11 为半径的圆.
2．方程 x2 + y2 + 2ax - 2 3y = 0表示圆心在直线 x + y = 0上的圆,则该圆的半径为（ ）
A． 3 B．2 3 C． 6 D．6
【答案】C
2
【详解】由题意得圆方程为 (x + a)2 + y - 3 = a2 + 3，
∴圆心坐标为 -a, 3 ，半径为 r = a2 + 3 ．
∵圆心在直线 x + y = 0上，
∴ -a + 3 = 0，
解得： a = 3，
∴半径 r = 6 ．
故选：C．
3．若直线 ax - by + 2 = 0(a > 0,b > 0) 2 2 2 3过圆 x + y + 4x - 4y -1 = 0的圆心，则 + 的最小值为
a b
A．10 B． 4 + 2 6 C．5 + 2 6 D． 4 6
【答案】C
【详解】圆 x2+y2+4x﹣4y﹣1＝0 的圆心（﹣2，2）在直线 ax﹣by+2＝0 上，
所以﹣2a﹣2b+2＝0，即 1＝a+b，
2 3 2 3 2b 3a
+ =（ + ）（a+b）＝5 + + 5+2 6 （a＞0，b＞0 当且仅当 a 6 b 时取等号）a b a b a b = 3
故选 C．
4．阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果
MQ
之一，指的是：已知动点 M 与两定点 Q，P 的距离之比 = l l > 0,l 1 MP ，那么点M 的轨迹就是阿波罗
1
尼斯圆．已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为 x2 + y2 =1，定点Q为 x 轴上一点，P - ,0÷ 且l = 2，
è 2
若点B 1,1 ，则 2 MP + MB 的最小值为（ ）
A． 6 B． 7 C． 10 D． 11
【答案】C
【详解】设Q a,0 ，M x, y ，所以 MQ = x - a 2 + y2 ，
1 2
又P - ,0
1
÷ ，所以 MP = x + + y2 ．
è 2 ÷è 2
x - a 2 + y2MQ
因为 = l
= 2
且l = 2 2MP ，所以 1 ，
x +
2
2 ÷
+ y
è
4 + 2a a2 -1
整理可得 x2 + y2 + x = ，
3 3
又动点 M 的轨迹是 x2 + y2 =1，
ì4 + 2a
= 0 3
所以 í 2 ，解得 a = -2 ，
a -1 =1
3
所以Q -2,0 ，又 MQ = 2 MP ，
所以 2 MP + MB = MQ + MB ，因为B 1,1 ，
所以 2 MP + MB 2 2的最小值为 BQ = 1+ 2 + 1- 0 = 10 ．
故选：C．
二、多选题
5．圆 x2 + y2 - 4x -1 = 0 （ ）
A．关于点 2,0 对称 B．半径为 5
C．关于直线 x + 3y + 2 = 0对称 D．关于直线 x - y - 2 = 0 对称
【答案】ABD
【详解】 x2 + y2 - 4x -1 = 0 可化为 x - 2 2 + y2 = 5，即该圆圆心为 2,0 ，半径为 5 .
由圆的性质可知该圆关于点 2,0 对称，故 AB 正确；
因为圆心 2,0 不在直线 x + 3y + 2 = 0上，所以该圆不关于直线 x + 3y + 2 = 0对称，故 C 错误；
因为圆心 2,0 在直线 x - y - 2 = 0 上，所以该圆关于直线 x - y - 2 = 0 对称，故 D 正确；
故选：ABD
三、填空题
6．已知实数 x, y满足 x2 + y2 = 9 f x, y = x2，则 + y2 - 2 3x - 2y的最大值为 ．
【答案】 21
2
【详解】因为 f x, y = x2 + y2 - 2 3x - 2y = x - 3 + y -1 2 - 4，
所以可将 f x, y 看作是点 x, y 到点P 3,1 的距离的平方减 4，
又因为 x2 + y2 = 9，所以点 x, y 是圆 x2 + y2 = 9上的任意一点，
而圆 x2 + y2 = 9的圆心O 0,0 ，半径 r = 3，如图，
易得 OP = 3+1 = 2，
所以点P 3,1 到点 x, y （即圆O上的点）的最大距离为 d = OP + r = 5，
所以 f x, y 的最大值为 d 2 - 4 = 21 .
故答案为： 21 .
四、解答题
7．已知圆C : x2 + y2 - 6x - 4y +12 = 0，
5 1
（1）求过点 ,2 2 ÷
且被圆C 所截得的弦长为 3的直线 l的方程；
è
（2）若 P 为直线m : x - y + 2 = 0 上的动点，且圆C 上存在两个不同的点到点 P 的距离为 2，求点 P 的横坐标
的取值范围.
x 5 y = 4 x-17【答案】（1） = 或 ；（2） 0,3 .
2 3 6
2
【详解】（1）由题意圆C : x - 3 + y - 2 2 = 1，圆心C 3,2 ，半径 r =1，
2
若要使弦长为 3，则圆心 C 到直线 l 3 1的距离 d = 1- ÷÷ = ，
è 2 2
当直线 l的斜率不存在时，直线 l : x
5
= 1，圆心 C 到直线 l的距离为 2 ，符合题意；2
1 5 5 1
当直线 l的斜率存在时，设直线 l的方程 l : y- = k x- ÷
÷
è ÷即
kx- y- k + = 0，
2 2 2 2
3k -2- 5 k + 1 4
则圆心 C 到直线 l的距离 d = 2 2 = 1 ，解得 k = ，3
k 2 +1 2
1 4 5 4 17
所以直线 l的方程为 y- =
2 3
÷
x- y = x-è 2 ÷÷
即 ；
3 6
综上，直线 l的方程为 x
5
= 或 y =
4 x-17 ；
2 3 6
（2）由题意可设P a,a + 2 ，由题意可得以 P 为圆心，半径为 2 的圆与圆C 相交，
所以1< CP < 3，所以1 < a - 3 2 + a + 2 - 2 2 < 3，解得 0 < a < 3，
所以点 P 的横坐标的取值范围为 0,3 .
8．在平面直角坐标系 xOy 中，过点 A
3 3
, ÷÷ 的圆的圆心 C 在 x 轴上，且与过原点倾斜角为 30°的直线 l 相
è 2 2
切.
(1)求圆 C 的标准方程；
(2)求直线 x + y -1 = 0 被圆 C 截得的弦长；
(3)点 P 在直线 m： y = 2x上，过点 P 作⊙C 的切线 PM、PN，切点分别为 M、N，求经过 P、M、N、C 四点
的圆所过的定点坐标.
2 2 4【答案】(1) (x - 2) + y2 1 = ；(2) 2 ；(3) , ÷或 (2,0) .
è 5 5
【详解】(1)设⊙C 的方程为 (x - a)2 + y 2 = r 2
又直线 l y 3的方程为： = x ，即 x - 3y = 0
3
ì 2 3 3
- a ÷ + = r
2
è 2 4
由题意 í ，解得： a = 2， r =1，
a
= r 1+ 3
∴⊙C 的标准方程为 (x - 2)2 + y2 =1
1
(2)圆心C(2,0) 到直线 x + y -1 = 0 的距离 d =
2
故弦长 = 2 r2 - d 2 2 1
1
= - = 2
2
(3)易知过 P、M、C、N 四点的圆以 PC 为直径，
设P(b, 2b)
b + 2
，又 C 为 (2,0)
1
，故所求圆的圆心为 ,b÷，半径为 | PC |，
è 2 2
∴ b + 2
2
1
该圆方程为： x - + (y - b)2 = é(b - 2)2 ÷ + (2b)
2 ù
è 2 4
化一般方程得： x2 + y2 - (b + 2)x - 2by + 2b = 0
2 2
上述方程关于参数 b 重新整理得： x + y - 2x + b(2 - x - 2y) = 0，
ìx 2ìx2 y2 =+ - 2x = 0 5 ìx = 2
令 í ，解得： í 4 或 í 2 - x - 2y = 0 y y 0
，
=
=
5
2 4
故所得圆过定点 , ÷或 (2,0) .
è 5 5
一、单选题
1．直线 ax - by + 6 = 0(a > 0,b > 0)平分圆 x2 + y2
2 6
+ 4x -12y +1 = 0的周长，则 + 的最小值为（
a b ）
20 32 16
A． 2 2 B． C． D．3 3 3
【答案】C
【详解】 x2 + y2 + 4x -12y +1 = 0圆心为 -2,6 ，因为直线 ax - by + 6 = 0(a > 0,b > 0)平分圆
2 2 ax + y + 4x -12y +1 = 0的周长，所以圆心 -2,6 在直线上，即-2a - 6b + 6 = 0，化为： + b =1，则
3
2 6 2 6 a 2b 2a 3+ = + ÷ × + b
2 2b 2a 6 20 2b 2a 32÷ = + + + + 2 × = ，当且仅当 = ，即 a = b = 时，等号成a b è a b è 3 3 a b 3 a b 3 a b 4
2 6 32
立，故 + 的最小值为
a b 3
故选：C
2．已知圆C : x2 + y2 + Dx + Ey - 3 = 0的半径为 2，圆心 C 在坐标轴上．若D > E ，则 D 等于．
A．2 B．0 C．2 或 0 D．±2
【答案】C
【详解】圆C : x2 + y2 + Dx + Ey - 3 = 0的半径为 2，圆心 C 在坐标轴上
2
当D = 0时：C: x2 + y2 +Ey-3=0 E E得到 x2 + (y + )2 = 3 +
2 4
2
3 E+ = 4，E = -2，E = 2（舍去）
4
2
当E = 0时：C: x2 + y2 +Dx-3=0得到 x2 + (y D )2 D+ = 3+ ，
2 4
D23+ = 4，D = 2，D = -2 （舍去）
4
综上所述：D = 0或D = 2
故答案选 C
二、填空题
3．已知圆C ： x2 + y2 - 4x = 0，则过点P 1, 3 且平分圆C 面积的直线 l的斜率为 .
【答案】- 3
【详解】由题设知：圆C 标准方程为 (x - 2)2 + y2 = 4，即C(2,0) ，
∵直线 l平分圆C 面积，
∴直线 l必过C(2,0) ，又由其过点P 1, 3 ，
∴ k 3 - 0l = = - 3 .1- 2
故答案为：- 3 .
4 C: x -1 2 + y -1 2．已知圆 = 9，过点 A(2，3)作圆C的任意弦，则这些弦的中点 P的轨迹方程为 .
3
2
2 5
【答案】 x - ÷ + y - 2 =
è 2 4
2 2
【详解】由圆 C: x -1 + y -1 = 9，可知圆心C(1,1)，
由圆的性质可知 CP⊥PA，
3
设 AC 的中点为B
, 2
BP 1 1，则2 ÷ = AC = 1- 2
2 + 1 5- 3 2 = ，
è 2 2 2
∴动点 P 5的轨迹为以 B 为圆心，以 为半径的圆，
2
2
∴ 3 2 5这些弦的中点 P 的轨迹方程为 x - ÷ + y - 2 = .
è 2 4
3
2
2 5
故答案为： x - ÷ + y - 2 = .
è 2 4
5．如图所示，在8 6的长方形区域（含边界）中有 A, B两点，对于该区域中的点 P ，若其到A 的距离不超
1
过到 B 距离的一半，则称 P 处于A 的控制下，例如原点O满足 OA = 13 OB = 5，即有O点处于A 的控
2
制下.同理可定义 P 处于 B 的控制下.
给出下列四个结论：
①点 4,2 处于A 的控制下；
②若点 P 不处于A 的控制下，则其必处于 B 的控制下；
③若 P 处于A 的控制下，则 PA 13 ；
④图中所有处于A 的控制下的点构成的区域面积为8 + 5π .
其中所有正确结论的序号是 .
【答案】①③④
【详解】由图可知 A(2,3), B(8,6) ,
设C(4, 2)
1
，则 | CA |= 5 ， | CB |= 4 2 ,满足 | CA | | CB |，故①正确；
2
点 P 不处于A 的控制下则 PA
1
> PB ，即 | PB |< 2 | PA |，得不到 | PB |
1
| PA |，
2 2
P(5,3) | PA | 1 1例如取点 ， | PA |= 3,| PB |= 3 2 ， > | PB |， | PB |> | PA |，即
2 2
点 P 不处于A 的控制下，也不处于 B 的控制下，故②错误；
若 P 处于A 的控制下，则 PA
1
PB ，设P(x, y)(0 x 8,0 y 6)，
2
(x 2)2 (y 3)2 1则 - + - (x -8)2 + (y - 6)2 ，化简整理得 x2 + (y - 2)2 20，
2
作出图象如图，
由图可知，当点 P 在矩形且在圆及圆内部分满足 P 处于A 的控制下,由图可知，当 P 处于O,C, D 时， | PA |有
最大值 13 ，故③正确；
1
由③知 P 处于A 的控制下点构成的区域面积，可以看作是 圆与矩形的面积之和，如图，
4
1
故面积为 20π+4 2=8+5π，故④正确.
4
故答案为：①③④
三、解答题
6．（1）圆 C 的圆心在 x 轴上，且经过 A(-1,1), B(1,3)两点，求圆 C 的方程；
（2）圆 C 经过P(-1,5),Q(5,5), R(6,-2) 三点，求圆 C 的方程．
【答案】（1） (x - 2)2 + y2 =10；（2） x2 + y2 - 4x - 2y - 20 = 0 .
【详解】（1） A(-1,1), B(1,3)的中点为 (0,2)，
k 3-1因为 AB = =11- ( 1) ，-
所以线段 AB 的中垂线的斜率为 -1，
所以线段 AB 的中垂线的方程为 y - 2 = -x，
当 y = 0 时， x = 2，则圆心为 (2,0)，
所以圆的半径为 (2 +1)2 + (0 -1)2 = 10 ，
所以所求圆的方程为 (x - 2)2 + y2 =10；
（2）设圆的方程为 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0，则
ì1+ 25 - D + 5E + F = 0 ìD = -4
í25 + 25 + 5D + 5E + F = 0
，解得 íE = -2 ，
36 + 4 + 6D - 2E + F = 0 F = -20
所以圆的方程为 x2 + y2 - 4x - 2y - 20 = 0 .
7．已知圆M 的方程为 x2 + (y - 3)2 =1，直线 l的方程为 x - 2y = 0，点 P 在直线 l上，过点 P 作圆M 的切线
PA, PB ，切点为 A, B .
（1）若点 P 的坐标为 (1,
1) ，求切线 PA, PB2 的方程；
（2）求四边形PAMB面积的最小值；
（3）求证：经过 A, P, M 三点的圆必过定点，并求出所有定点坐标.
【答案】（1） x =1或 21x + 20y - 31 = 0 2 155（ ） （3）见解析
5
【详解】试题分析：（1）解：①当切线斜率不存在时，切线方程为 x =1；②当切线斜率存在时，设切线方
程为 y = k(x 1)
1
- + ，根据直线和圆相切，求得 k ，即可得到直线的方程；
2
（2）由四边形PAMB的面积S ，得到当 | PM |最小时，四边形的面积S 最小，转化为点到直线的距离，即可
求解，即可求解面积的最小值.
（3）设点P(2y0 , y )
3+ y
0 ，得到圆心坐标是 (y 00 , ) ，进而得到圆的方程，利用圆系方程，进而可判定经过2
A, P, M 三点的圆必过定点.
试题解析：
（1）①当切线斜率不存在时，切线方程为 x =1；
1
②当切线斜率存在时，设切线方程为 y = k x -1 + ，
2
k 5+ 21
因为直线和圆相切，所以圆心 0,3 到切线的距离d = 2 =1，解得 k = - ，20
1+ k2
21 1
所以切线方程为 y = - （x -1) + ，即 21x + 20y - 31 = 0 .
20 2
故所求切线方程为 x =1或 21x + 20y - 31 = 0 .
1
（2）四边形PAMB的面积S = 2 MA PA = PA = | PM |2 -1 ，
2
所以当 PM 最小时，四边形PAMB的面积S最小.
又 PM 的最小值是圆心M 0,3 到直线 l : x - 2y = 0 的距离，
0 - 6
| PM | 6 5即 min = 2 .1 + -2 2 5
155
所以四边形PAMB的面积最小值是 .
5
（3）证明：过P,A,M三点的圆即以PM 为直径的圆，
设点P 2y0 , y0
y , 3+ y0 ，则圆心坐标是 0 ÷，
è 2
PM x y 2 y 3+ y
2
1 2 2
以 为直径的圆的方程是 - 0 + -
0
2 ÷
= é 2y0 - 0 + y0 - 3 ù ，
è 4
2
化简，得 x + y2 - 2y0x - 3+ y0 y + 3y0 = 0，
即 y0 3 - 2x - y + x2 + y2 - 3y = 0 .（*）
ì 6
ì 3- 2x - y = 0 ìx = 0 x = 5
令 íx2 ，解得 或
.
+ y
2 - 3y = 0 íy = 3 í y 3=
5
由于不论 y0 为何值，点 0,3
6 3
、 , ÷的坐标都适合方程（*），所以经过A,P,M三点的圆必过定点，定点坐
è 5 5
标是 0,3 6 3 和 ,5 5 ÷ .è 2.3.2 圆的一般方程
分层练习
一、单选题
1．设甲：实数 a < 3；乙：方程 x2 + y2 - x + 3y + a = 0是圆，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．圆 x2 + y2 - 4x -1 = 0 的圆心坐标及半径分别为（ ）
A． (2,0)，5 B． (2,0)， 5
C． (0,2)， 5 D． (2, 2)，5
3．在方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 中，若 D2＝E2＝4F，则圆的位置满足( )
A．截两坐标轴所得弦的长度相等
B．与两坐标轴都相切
C．与两坐标轴相离
D．上述情况都有可能
4．圆心为 (2,-1)，半径为 3 的圆的方程为（ ）
A． x2 + y2 - 4x + 2y - 4 = 0 B． x2 + y2 - 4x + 2y + 2 = 0
C． x2 + y2 + 4x - 2y - 4 = 0 D． x2 + y2 + 4x - 2y + 2 = 0
二、多选题
5．下列选项正确的有（ ）
x - x
A 0． = 2y - y 表示过点
P x0, y 0 ，且斜率为 2 的直线
0
r
B． a = 2,1 是直线 x - 2y - 4 = 0的一个方向向量
C．以 A 4,1 ，B 1, -2 为直径的圆的方程为 x - 4 x -1 + y -1 y + 2 = 0
D．直线 m +1 x + 2m -1 y -1- 4m = 0 m R 恒过点 2,1
三、填空题
6．若点 1,1 在圆 x2 - 2ax + y2 = 0的外部，则实数 a 的取值范围是 ．
7．已知直线 ax - 2by = 2(a > 0,b > 0)过圆 x2 + y2
4 1
- 4x + 2y +1 = 0的圆心，则 + 的最小值
a + 2 b +1
为 ．
四、解答题
8．已知圆的方程是 x2 + y2 + 2(m -1)x - 4my + 5m2 - 2m -8 = 0
（1）求此圆的圆心坐标和半径；
（2）求证：不论m 为何实数，方程表示圆的圆心在同一直线上的等圆 .
9．已知圆C ： x2 21 + y + 6x - 2y +1 = 0和圆C ： x22 + y2 + 2x + 4y +1 = 0，点M ， N 分别在圆C1和圆C2 上.
（1）求圆C1的圆心坐标和半径；
（2）求 MN 的最大值.
一、单选题
1．方程 x2 + y2 + 2x - 4y - 6 = 0 表示的图形是（ ）
A．以 (1，- 2)为圆心， 11 为半径的圆
B．以 (1，2) 为圆心， 11 为半径的圆
C．以 (-1，- 2)为圆心， 11 为半径的圆
D．以 (-1，2) 为圆心， 11 为半径的圆
2．方程 x2 + y2 + 2ax - 2 3y = 0表示圆心在直线 x + y = 0上的圆,则该圆的半径为（ ）
A． 3 B．2 3 C． 6 D．6
3．若直线 ax - by + 2 = 0(a > 0,b > 0) 2 3过圆 x2 + y2 + 4x - 4y -1 = 0的圆心，则 + 的最小值为
a b
A．10 B． 4 + 2 6 C．5 + 2 6 D． 4 6
4．阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果
MQ
之一，指的是：已知动点 M 与两定点 Q，P 的距离之比 = l l > 0,l 1 MP ，那么点M 的轨迹就是阿波罗
1
尼斯圆．已知动点M 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为 x2 + y2 =1，定点Q为 x 轴上一点，P - ,0÷ 且l = 2，
è 2
若点B 1,1 ，则 2 MP + MB 的最小值为（ ）
A． 6 B． 7 C． 10 D． 11
二、多选题
5．圆 x2 + y2 - 4x -1 = 0 （ ）
A．关于点 2,0 对称 B．半径为 5
C．关于直线 x + 3y + 2 = 0对称 D．关于直线 x - y - 2 = 0 对称
三、填空题
6．已知实数 x, y满足 x2 + y2 = 9，则 f x, y = x2 + y2 - 2 3x - 2y的最大值为 ．
四、解答题
7．已知圆C : x2 + y2 - 6x - 4y +12 = 0，
5 , 1 （1）求过点 ÷且被圆C 所截得的弦长为 3的直线 l的方程；
è 2 2
（2）若 P 为直线m : x - y + 2 = 0 上的动点，且圆C 上存在两个不同的点到点 P 的距离为 2，求点 P 的横坐标
的取值范围.
3 3
8．在平面直角坐标系 xOy 中，过点 A , ÷÷ 的圆的圆心 C 在 x 轴上，且与过原点倾斜角为 30°的直线 l 相
è 2 2
切.
(1)求圆 C 的标准方程；
(2)求直线 x + y -1 = 0 被圆 C 截得的弦长；
(3)点 P 在直线 m： y = 2x上，过点 P 作⊙C 的切线 PM、PN，切点分别为 M、N，求经过 P、M、N、C 四点
的圆所过的定点坐标.
一、单选题
1．直线 ax - by + 6 = 0(a > 0,b > 0)平分圆 x2
2 6
+ y2 + 4x -12y +1 = 0的周长，则 + 的最小值为（ ）a b
20 32 16
A． 2 2 B． C． D．3 3 3
2．已知圆C : x2 + y2 + Dx + Ey - 3 = 0的半径为 2，圆心 C 在坐标轴上．若D > E ，则 D 等于．
A．2 B．0 C．2 或 0 D．±2
二、填空题
3．已知圆C ： x2 + y2 - 4x = 0，则过点P 1, 3 且平分圆C 面积的直线 l的斜率为 .
4 2 2．已知圆C: x -1 + y -1 = 9，过点 A(2，3)作圆C的任意弦，则这些弦的中点 P的轨迹方程为 .
5．如图所示，在8 6的长方形区域（含边界）中有 A, B两点，对于该区域中的点 P ，若其到A 的距离不超
过到 B 距离的一半，则称 P 处于A 的控制下，例如原点O满足 OA
1
= 13 OB = 5，即有O点处于A 的控
2
制下.同理可定义 P 处于 B 的控制下.
给出下列四个结论：
①点 4,2 处于A 的控制下；
②若点 P 不处于A 的控制下，则其必处于 B 的控制下；
③若 P 处于A 的控制下，则 PA 13 ；
④图中所有处于A 的控制下的点构成的区域面积为8 + 5π .
其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题
6．（1）圆 C 的圆心在 x 轴上，且经过 A(-1,1), B(1,3)两点，求圆 C 的方程；
（2）圆 C 经过P(-1,5),Q(5,5), R(6,-2) 三点，求圆 C 的方程．
7．已知圆M 的方程为 x2 + (y - 3)2 =1，直线 l的方程为 x - 2y = 0，点 P 在直线 l上，过点 P 作圆M 的切线
PA, PB ，切点为 A, B .
1
（1）若点 P 的坐标为 (1, ) PA, PB2 ，求切线 的方程；
（2）求四边形PAMB面积的最小值；
（3）求证：经过 A, P, M 三点的圆必过定点，并求出所有定点坐标.
