2.3.3 直线与圆的位置关系
分层练习
一、单选题
1．“ a = 3 ”是“直线 x - y + 4 = 0 x - a 2 + y - 3 2与圆 = 8相切”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
2 2．已知直线 l：y＝k(x＋ 3 )和圆 C： x2 + y－1 ＝1，若直线 l 与圆 C 相切，则 k＝（ ）
A．0 B 3． 3 C． 或 0 D． 3或 0
3
3．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：
如果一个动点 P 到两个定点的距离之比为常数l （l > 0，且l 1），那么点 P 的轨迹为圆，这就是著名的阿
波罗尼斯圆．若点C 到 A(-1,0)， B(1,0)的距离之比为 3，则点C 到直线 x - 2y + 8 = 0的距离的最小值为
（ ）
A． 2 5 - 3 B． 5 - 3
C． 2 5 D． 3
4．已知直线 l : x - y +1 = 0和圆C : x +1 2 + y + 2 2 = 5交于M , N 两点，则 MN =（ ）
A． 2 B． 4 C． 2 3 D． 2 5
二、多选题
5．已知圆 x2 + y2 = 4上有且仅有三个点到直线 l的距离为 1，则直线 l的方程可以是（ ）
A． x - y +1 = 0 B．7x - y + 5 2 = 0 C． x - y + 2 = 0 D． x=-1
6．若方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示以 2，- 4 为圆心， 4为半径的圆，则下列结论正确的是（ ）
A． (x - 2)2 + (y -1)2 的最大值为9． B．圆关于直线 y = -2x 对称
C．F = 4 D．圆与 y 轴相切
三、填空题
7．已知圆C : (x -1)2 + ( y - 2)2 = 9，圆C 以 (-1,3)为中点的弦所在直线的斜率 k = .
8．已知点 A -2,0 ，动点 B 的纵坐标小于等于零，且点 B 的坐标满足方程 x2 + y2 =1，则直线 AB 的斜率的
取值范围是 ．
四、解答题
9．（1 2 2）求圆C1 : x + y =10 的切线方程，使得它经过点M 2，,6
（2）圆C2 : x +1
2 + y - 2 2 = 2的切线在 x、y轴上截距相等，求切线方程
一、单选题
1．直线 ax + by + c = 0 ab 0 截圆 x2 + y2 = 5所得弦长等于 4，则以 a b c 为边长的三角形一定是（ ）
A．等边三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
2．过点P 1,1 作与圆C ： x2 + y2 - 4x + 2 = 0相切的直线 l，则直线 l的方程为（ ）
A． x - y = 0 B． x =1 C． x - y +1 = 0 D． x =1或 x - y +1 = 0
3．在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 0,3 与动点 P 满足 PA = 2 OP ，M 为直线 l： y = 2x + 4上的动点，则
当 PM 取得最小值时，直线 AM 的方程为（ ）
A．3x - 2y + 6 = 0 B．3x + 2y - 6 = 0
C． x + 2y + 3 = 0 D． x - 2y - 3 = 0
4．当圆C : x2 + y2 - 2y -80 = 0截直线 l : mx - 2y - m + 6 = 0所得的弦长最短时，实数m =（ ）
A．- 2 B． -1 C． 2 D．1
二、多选题
5．已知点 A -5,0 ，B -1, -3 ，点 P C x -1 2是圆 ： + y2 =1上任意一点，则VPAB 面积的可以等于（ ）
23 27
A．11 B． C．13 D．
2 2
三、填空题
6．写出一个同时满足下列条件①②的圆的标准方程： ．
①圆心在直线 y = x +1上，②与 y 轴相切．
7．在平面直角坐标系 xOy 中，A 为直线 l : y = 3x上在第一象限内的点，B -10,0 ，以线段 AB 为直径的圆 C
（C 为圆心）与直线 l 相交于另一个点 D， AB ^ CD ，则圆 C 的方程为 .
四、解答题
8．已知两点 D（4，2），M（3，0）及圆 C： x - 2 2 + y - 3 2 = 5，l 为经过点 M 的一条动直线．
(1)若直线 l 经过点 D，求证：直线 l 与圆 C 相切；
(2)若直线 l 与圆 C 相交于两点 A，B，从下列条件中选择一个作为已知条件，并求△ABD 的面积．
条件①：直线 l 平分圆 C；条件②：直线 l 的斜率为－3．
一、单选题
p
1．已知圆O : x2 + y2 = 1上存在点 P ，直线 l : kx - y + 4 = 0上存在点Q，使得 PQO = ，则实数 k 的取值
6
范围是（ ）
A．[- 3, 3] B． (- ,- 3] [ 3,+ )
C．[- 2, 2] D． (- ,- 2]U [ 2,+ )
2．已知直线 l : y = kx -1与曲线 y = 1- x2 有公共点，则 k 的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） B．[﹣1，1]
C．[﹣1，0）∪（0，1] D．[0，+∞）
3．已知M 是圆C : x2 + y2 =1上一个动点，且直线 l1 : mx - y - 3m +1 = 0(m R)与直线 l2 : x + my - 3m -1 = 0(m R)
相交于点 P ，则 | PM |的取值范围是（ ）
A． é 3 -1,2 3 +1ù B． é 2 -1,3 2 +1ù
C． é 2 -1,2 2 +1ù D． é 2 -1,3 3 +1ù
4．已知圆C 2 21 : x + y + 2x + 4y + 4 = 0 ，圆C : x2 + y22 - 4x + 2y +1 = 0 ，M ， N 分别为圆C1和圆C2 上的动点， P
为直线 l : y = x + 2上的动点，则 MP + NP 的最小值为（ ）
A． 2 10 - 3 B． 2 10 + 3 C． 10 - 3 D． 10 + 3
二、多选题
5．定义：如果在一圆上恰有四个点到一直线的距离等于1，那么这条直线叫做这个圆的“相关直线”.则下列
直线是圆C : x +1 2 + y - 2 2 = 4的“相关直线”的为（ ）
A． y =1 B．3x - 4y +12 = 0
C． 2x + y = 0 D．12x - 5y -17 = 0
三、填空题
6．已知圆C ： (x - a)2 + (y - b)2 = 4的图象在第四象限，直线 l1： ax + by + 3 = 0， l2：bx - ay + 4 = 0 .若 l1上存
在点 P ，过点 P 作圆C 的切线PA， PB，切点分别为 A， B ，使得△APB为等边三角形，则 l2被圆C 截得的
弦长的最大值为 .
7．若直线 ax+by- 1=0(a>0,b>0) 平分圆C：x2 +y2 - 2x- 4y=0的周长，则 ab 的最大值为
四、解答题
8 2．已知圆M(x-2) +(y-3)2 =1，直线 l过点 (3,1) .
（1）若直线 l与圆M 相切，求直线 l的方程；
（2）若直线 l与圆M 交于P,Q 两点，当DMPQ的面积最大时，求直线 l的方程.
9．点 P 到 A -2,0 的距离是点 P 到B 1,0 的距离的 2倍．
(1)求点 P 的轨迹方程；
(2)点 P 与点Q关于点 2,1 对称，点C 3,0 2 2，求 QA + QC 的最大值和最小值；
uuur uuur
(3)若过A 的直线从左向右依次交第（2）问中Q的轨迹于不同两点E 、F ，FA = lEA，判断l 的取值范围
并证明．2.3.3 直线与圆的位置关系
分层练习
一、单选题
1 2 2．“ a = 3 ”是“直线 x - y + 4 = 0与圆 x - a + y - 3 = 8相切”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
a - 3 + 4
【详解】若直线与圆相切，则 ＝2 2，a＝3 或 a = -5，
2
所以“ a = 3”是“直线 y = x + 4与圆 x - a 2 + y - 3 2 = 8相切”的充分不必要条件．
故选:A．
2 2．已知直线 l：y＝k(x＋ 3 )和圆 C： x2 + y－1 ＝1，若直线 l 与圆 C 相切，则 k＝（ ）
A 0 B C 3． ． 3 ． 或 0 D． 3或 0
3
【答案】D
| -1+ 3k |
【详解】因为直线 l 与圆 C 相切，所以圆心 C 到直线 l 的距离 d＝ ＝1，解得 k＝0 或 k＝
2 3 .故选：1+ k
D.
3．阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与阿基米德、欧几里得并称为亚历山大时期数学三巨匠，他研究发现：
如果一个动点 P 到两个定点的距离之比为常数l （l > 0，且l 1），那么点 P 的轨迹为圆，这就是著名的阿
波罗尼斯圆．若点C 到 A(-1,0)， B(1,0)的距离之比为 3，则点C 到直线 x - 2y + 8 = 0的距离的最小值为
（ ）
A． 2 5 - 3 B． 5 - 3
C． 2 5 D． 3
【答案】A
x +1 2 + y2
C x, y = 3 x - 2 2【详解】设 ，则 ，化简得 + y2 = 3，
x -1 2 + y2
即点C 的轨迹方程为以 2,0 为圆心， 3为半径的圆，
则点C 到直线 x - 2y + 8 = 0的距离的最小值为圆心 2,0 到直线 x - 2y + 8 = 0的距离减去半径，
2 - 0 + 8
即 - 3 = 2 5 - 3 ，点C 到直线 x - 2y + 8 = 0的距离最小值为 2 5 - 3 .
1+ 4
故选：A
4．已知直线 l : x - y +1 = 0 C : x +1 2和圆 + y + 2 2 = 5交于M , N 两点，则 MN =（ ）
A． 2 B． 4 C． 2 3 D． 2 5
【答案】C
【详解】由圆的方程可知其圆心C -1, -2 ，半径 r = 5 ，
-1+ 2 +1
\圆心C 到直线 l距离 d = = 2 ，\ MN = 2 r 2 - d 2 = 2 3 .
2
故选：C.
二、多选题
5．已知圆 x2 + y2 = 4上有且仅有三个点到直线 l的距离为 1，则直线 l的方程可以是（ ）
A． x - y +1 = 0 B．7x - y + 5 2 = 0 C． x - y + 2 = 0 D． x=-1
【答案】BCD
【详解】由题知，圆 x2 + y2 = 4，圆心为O(0,0) ，半径为 r = 2，
因为圆 x2 + y2 = 4上有且仅有三个点到直线 l的距离为 1，
所以圆心到直线 l的距离 d =1，
|1| 2
对于 A，圆心为O(0,0) 到直线 x - y +1 = 0 的距离 d = = ，故 A 错误；
2 2
5 2
对于 B，圆心为O(0,0) 到直线7x - y + 5 2 = 0的距离 d = =1，故 B 正确；
5 2
2
对于 C，圆心为O(0,0) 到直线 x - y + 2 = 0的距离 d = =1，故 C 正确；
2
对于 D，圆心为O(0,0) 到直线 x=-1的距离 d = 0 - (-1) =1，故 D 正确；
故选：BCD
6．若方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0表示以 2，- 4 为圆心， 4为半径的圆，则下列结论正确的是（ ）
A． (x - 2)2 + (y -1)2 的最大值为9． B．圆关于直线 y = -2x 对称
C．F = 4 D．圆与 y 轴相切
【答案】ABC
【详解】 (x - 2)2 + (y -1)2 表示圆上动点 (x, y)到定点 (2,1) 的距离，因为圆心 2，- 4 到 (2,1) 的距离为 5，所
以圆上动点 (x, y)到定点 (2,1) 的距离的最大值为5+4=9，A 正确；
因为圆心 2，- 4 在直线 y = -2x 上，所以 B 正确；
ì D
- =2
2
由题知， í-
E =- 4 ，得D = -4, E = 8, F = 4，C 正确；
2
1 D2 +E
2 - 4F =4
2
由题知圆心纵坐标绝对值等于半径，故该圆与 x 轴相切，与 y 轴相交，D 错误.
故答案为：ABC
三、填空题
7．已知圆C : (x -1)2 + ( y - 2)2 = 9，圆C 以 (-1,3)为中点的弦所在直线的斜率 k = .
【答案】2
【详解】圆心C 1,2 3 - 2 1，圆心与 (-1,3)所在直线的斜率为 k = = -
-1-1 2
故弦所在直线的斜率为 2
故答案为：2
8．已知点 A -2,0 ，动点 B 的纵坐标小于等于零，且点 B 的坐标满足方程 x2 + y2 =1，则直线 AB 的斜率的
取值范围是 ．
é 3 ù
【答案】 ê- ,0
3
ú
【详解】由题知，动点 B 的纵坐标小于等于零，且点 B 的坐标满足方程 x2 + y2 =1，所以点 B 的轨迹方程为
x2 + y2 =1(y 0)，
当直线 AB 与圆相切时，设直线 AB 方程为y = k( x + 2)，即 kx - y + 2k = 0，
2k 3 3
所以 =1，解得
2 k = ± ，因为 B 的纵坐标小于等于零，所以 k = - ，k +1 3 3
é 3 ù
由图易知，直线 AB 的斜率的取值范围 k ê- ,03 ú
，
é 3 ù
故答案为： ê- ,03 ú
四、解答题
9 1 C : x2 + y2．（ ）求圆 1 =10 的切线方程，使得它经过点M 2，,6
（2）圆C2 : x +1
2 + y - 2 2 = 2的切线在 x、y轴上截距相等，求切线方程
【答案】（1） 2x + 6y -10 = 0；（2） y = 2 ± 6 x或 y=- x- 1或 y = -x + 3 .
【详解】（1）因为点M 2，,6 满足圆的方程，
所以M 2, ,6 2 2在圆C1 : x + y =10上，
6
则直线OM 的斜率 kOM = ，2
k 2 6根据圆的切线的性质可得所求直线的斜率 = - = - ，
6 3
所以经过 M 6的直线方程为 y = - (x - 2) + 6 ，
3
整理可得： 2x + 6y -10 = 0；
（2）由题意可得，
当截距全为 0 时，即直线过原点，可设直线方程为 y = kx ，
-k - 2
则圆心 -1,2 到直线的距离 d = = 2 ，
k 2 +1
即 k 2 - 4k - 2 = 0 ，解得： k = 2 ± 6 ，
此时直线方程为 y = 2 ± 6 x，
当截距相等且不为 0 时，可设直线方程为 y = -x + b，
1- b
则圆心 -1,2 到直线的距离 d = = 2 ，2
即 1- b = 2 ，解得：b = -1或b = 3，
此时切线方程为 y=- x- 1或 y = -x + 3，
综上可得切线方程为： y = 2 ± 6 x或 y=- x- 1或 y = -x + 3 .
一、单选题
1．直线 ax + by + c = 0 ab 0 截圆 x2 + y2 = 5所得弦长等于 4，则以 a b c 为边长的三角形一定是（ ）
A．等边三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形
【答案】D
2
c 4 2 2
【详解】由垂径定理可得： ÷ + ÷ = 5 ，解得： a2 + b2 = c2 ，
è a2 +b2 è 2
所以以 a b c 为边长的三角形一定是直角三角形.
故选：D
2．过点P 1,1 作与圆C ： x2 + y2 - 4x + 2 = 0相切的直线 l，则直线 l的方程为（ ）
A． x - y = 0 B． x =1 C． x - y +1 = 0 D． x =1或 x - y +1 = 0
【答案】A
【详解】过点P ì
x =1
1,1 的斜率不存在的直线为 x =1，联立 í 2 可得 y = ±1x ， + y
2 - 4x + 2 = 0
即直线 x =1与圆 x2 + y2 - 4x + 2 = 0相交，不满足要求，
所以过点P 1,1 作与圆C ： x2 + y2 - 4x + 2 = 0相切的直线 l的斜率存在，
设直线 l的方程为 y -1 = k(x-1)，即 kx - y - k +1 = 0，
又圆 x2 + y2
| k +1|
- 4x + 2 = 0的圆心为 (2,0)，半径为 2 ，圆心到直线 kx - y - k +1 = 0的距离 d = ，
k 2 +1
| k +1|
∴ = 2 ，
k 2 +1
∴ k =1，
∴ 直线 l的方程为 x - y = 0，
故选：A.
3．在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 0,3 与动点 P 满足 PA = 2 OP ，M 为直线 l： y = 2x + 4上的动点，则
当 PM 取得最小值时，直线 AM 的方程为（ ）
A．3x - 2y + 6 = 0 B．3x + 2y - 6 = 0
C． x + 2y + 3 = 0 D． x - 2y - 3 = 0
【答案】A
2
【详解】设动点P x, y ，则由 PA = 2 OP 可得 x2 + y - 3 = 2 x2 + y2 ，
2
整理得 x2 + y +1 = 4 ，即动点 P 的轨迹是以C 0, -1 为圆心，以 2 为半径的圆.
C 0, -1 y 1过点 且与直线 l的垂直的方程为 = - x -1，
2
ìx = -2
与 l： y = 2x + 4联立，解得 í
y = 0
，
即当点M 的坐标为 -2,0 时， CM 取得最小值，即 PM 取得最小值，
此时直线 AM 的方程为3x - 2y + 6 = 0 .
故选：A
4．当圆C : x2 + y2 - 2y -80 = 0截直线 l : mx - 2y - m + 6 = 0所得的弦长最短时，实数m =（ ）
A．- 2 B． -1 C． 2 D．1
【答案】B
x =1
【详解】将直线 l的方程变形为m x -1 - 2
x -1 = 0
y - 3 = 0 ì ì，由 í
y - 3 = 0
可得 í ，
y = 3
所以，直线 l经过定点 A 1,3 ，
圆C 的标准方程为 x2 + y -1 2 = 81，圆心为C 0,1 ，
因为12 + 3-1 2 < 81，即点A 在圆C 内，
故当 AC ^ l 时，圆心C 到直线 l的距离取最大值，此时，直线 l截圆C 所得弦长最短，
k 3 -1 2 m mAC = = ，直线 l的斜率为 ，所以， 2 = -1，解得m = -1.1- 0 2 2
故选：B.
二、多选题
5．已知点 A -5,0 ，B -1, -3 ，点 P 是圆 C 2： x -1 + y2 =1上任意一点，则VPAB 面积的可以等于（ ）
23 27
A．11 B． C．13 D．
2 2
【答案】AB
【详解】如图：
y x + 5
圆 C： x -1 2 + y2 =1的圆心坐标为 1,0 ，半径为 1，过 A，B 的直线方程为 = ，即
-3 -1+ 5
3x + 4y +15 = 0． AB = -5 +1 2 + 32 = 5，
2 3 1+15 23
圆 C： x -1 + y = 1上的点 P 到直线 AB 上距离的最大值为 +1 = ，
32 + 42 5
3 1+15
1 13最小值为 - = ．
32 + 42 5
1 5 23 23 1 13 13所以VPAB 面积的最大值是 = ，最小值为 5 = ．
2 5 2 2 5 2
13 23
即面积大于 小于等于 的都符合要求．
2 2
故选：AB
三、填空题
6．写出一个同时满足下列条件①②的圆的标准方程： ．
①圆心在直线 y = x +1上，②与 y 轴相切．
x - 2 2【答案】 + y - 3 2 = 4（答案不唯一）
【详解】因圆心在直线 y = x +1上，则在直线 y = x +1取点 (2,3) 作圆心，又该圆与 y 轴相切，则圆半径为 2，
所以满足条件的圆的标准方程为： x - 2 2 + y - 3 2 = 4 .
故答案为： x - 2 2 + y - 3 2 = 4
7．在平面直角坐标系 xOy 中，A 为直线 l : y = 3x上在第一象限内的点，B -10,0 ，以线段 AB 为直径的圆 C
（C 为圆心）与直线 l 相交于另一个点 D， AB ^ CD ，则圆 C 的方程为 .
x + 4 2 + y - 3 2【答案】 = 45
【详解】由题意设点 A(m,3m)(m > 0)，
因为B -10,0 m -10 3m，所以 AB C , 的中点 ÷，
è 2 2
以线段 AB 为直径的圆C 的方程为 (x +10)(x - m) + y(y - 3m) = 0，
ì(x +10)(x - m) + y(y - 3m) = 0 ìx = -1 ìx = m
由 íy 3x ，解得= í y = -3
或 í
y = 3m
，
所以D(-1, -3) ，
uuur uuur
因为 AB ^ CD ，所以 AB ×CD = 0，
uuur uuur
因为 AB = (-10 - m, -3m),CD
8 - m= ,-3
3m
- ÷，
è 2 2
所以 (-10 - m)
8 - m 3m 3 3m× - - -
÷ = 0，2 è 2
化简得m2 + 2m -8 = 0，解得m = -4（舍去），或m = 2 ，
所以圆的方程为 (x +10)(x - 2) + y(y - 6) = 0 ，
整理得 x + 4 2 + y - 3 2 = 45，
x + 4 2故答案为： + y - 3 2 = 45
四、解答题
8．已知两点 D（4，2），M（3，0）及圆 C： x - 2 2 + y - 3 2 = 5，l 为经过点 M 的一条动直线．
(1)若直线 l 经过点 D，求证：直线 l 与圆 C 相切；
(2)若直线 l 与圆 C 相交于两点 A，B，从下列条件中选择一个作为已知条件，并求△ABD 的面积．
条件①：直线 l 平分圆 C；条件②：直线 l 的斜率为－3．
【答案】(1)证明见解析
(2) 5 2任选一条件，面积皆为
2
y 0 2 - 0【详解】（1）方法一：若直线 l 经过点 D，则直线 l 的方程为 - = x - 3 ，即 2x－y－6＝0．
4 - 3
2 2 - 3- 6
由题意，圆 C 的圆心为 C（2，3），半径 r = 5 ，则圆心 C（2，3）到直线 l 的距离为 = 5 = r ，
22 +1
所以直线 l 与圆 C 相切．
2 2
方法二：由 D（4，2）满足 C： x - 2 + y - 3 = 5，可知点 D 在圆 C 上，圆心为 C（2，3）．
若直线 l 经过点 D，则直线 l 的斜率 k
2 - 0
l = = 2，4 - 3
k 2 - 3 1又 CD = = - ，所以 kl ×kCD = -1，所以 l⊥CD．4 - 2 2
所以直线 l 与圆 C 相切．
（2）选择条件①：若直线 l 平分圆 C，
3- 0
则直线 l 过圆心 C（2，3），直线 l 的方程为 y - 0 = x - 3 ，即 3x＋y－9＝0．
2 - 3
3 4 + 2 - 9 10
AB = 2r = 2 5 ，点 D（4，2）到直线 l 的距离 h = = ，
10 2
1 1 10 5 2
所以 S△ABD = AB h = 2 5 = ．2 2 2 2
选择条件②：若直线 l 的斜率为－3，
则直线 l 的方程为 y - 0 = -3 x - 3 ，即 3x＋y－9＝0，
此时圆心 C（2，3）在直线 l 上，则 AB = 2r = 2 5 ，
3 4 + 2 - 9
点 D（4，2 l h 10）到直线 的距离 = = S 1 AB h 1 2 5 10 5 2，所以 = = = ．
10 2 △ABD 2 2 2 2
一、单选题
p
1．已知圆O : x2 + y2 = 1上存在点 P ，直线 l : kx - y + 4 = 0上存在点Q，使得 PQO = ，则实数 k 的取值
6
范围是（ ）
A．[- 3, 3] B． (- ,- 3] [ 3,+ ) C．[- 2, 2] D． (- ,- 2]U [ 2,+ )
【答案】B
【详解】
OP
由题意可得，当直线 PQ与圆相切时， PQO 最大，此时OQ = = 2
sin 30°
p
所以要使圆O : x2 + y2 = 1上存在点 P ，直线 l : kx - y + 4 = 0上存在点Q，使得 PQO = 成立
6
4
则有 d = 22 ，解得 k (- ,- 3]U[ 3,+ )1+ k
故选：B
2．已知直线 l : y = kx -1与曲线 y = 1- x2 有公共点，则 k 的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） B．[﹣1，1]
C．[﹣1，0）∪（0，1] D．[0，+∞）
【答案】A
【详解】由 y = 1- x2 2 2可得 x + y =1 y 0 ，即曲线 y = 1- x2 表示以原点为圆心，1 为半径的圆的上半部
分，
直线 l : y = kx -1过定点P 0, -1 ，
如图，要使直线 l : y = kx -1与曲线 y = 1- x2 有公共点，
则应满足 k kPB 或 k kPA ，因为 kPB = -1, kPA =1，
所以 k -1或 k 1，即 k 的取值范围是 (- ,-1] [1, + ) .
故选：A.
3．已知M 是圆C : x2 + y2 =1上一个动点，且直线 l1 : mx - y - 3m +1 = 0(m R)与直线 l2 : x + my - 3m -1 = 0(m R)
相交于点 P ，则 | PM |的取值范围是（ ）
A． é 3 -1,2 3 +1ù é B． 2 -1,3 2 +1ù
C． é 2 -1,2 2 +1ù D． é 2 -1,3 3 +1ù
【答案】B
【详解】解：直线 l1 : mx - y - 3m +1 = 0(m R)整理可得，m(x - 3) - (y -1) = 0 ，即直线 l1恒过 (3,1)，
同理可得，直线 l2恒过 (1,3)，
又m 1+ -1 m = 0，
\直线 l1和 l2互相垂直，
\两条直线的交点 P 在以 (1,3)， (3,1)为直径的圆上，即 P 的轨迹方程为 (x - 2)2 + (y - 2)2 = 2，设该圆心为M ，
Q圆心距 | MC |= 22 + 22 = 2 2 > 2 +1，
\两圆相离，
\2 2 - 2 -1 | PM | 2 2 + 2 +1，
\| PM |的取值范围是[ 2 -1,3 2 +1]．
故选：B．
4．已知圆C 2 21 : x + y + 2x + 4y + 4 = 0 ，圆C2 : x2 + y2 - 4x + 2y +1 = 0 ，M ， N 分别为圆C1和圆C2 上的动点， P
为直线 l : y = x + 2上的动点，则 MP + NP 的最小值为（ ）
A． 2 10 - 3 B． 2 10 + 3 C． 10 - 3 D． 10 + 3
【答案】A
2
【详解】圆C 21 : x + y
2 + 2x + 4y + 4 = 0 ，即 x +1 + y + 2 2 =1，圆心为 -1, -2 ，半径R =1，
圆C 2 22 : x + y - 4x + 2y +1 = 0 ，即 x - 2 2 + y +1 2 = 4，圆心为 2,-1 ，半径 r = 2，
设点 -1, -2 关于直线 l : y = x + 2对称的点为 a,b
ìb + 2
= -1 a +1 ìa = -4
则 í
b 2 a 1
，解得： ，
- - í
= + 2 b =1
2 2
圆C 2 21关于直线 l : y = x + 2对称的圆为圆C ，其圆心为 -4,1 ，半径R =1，则其方程为 x + 4 + y -1 =1，
设圆C 上的点M 与圆C1上点M 对称，则有 PM = PM ，
原问题可以转化为 P 到圆C 和圆C2 上的动点距离之和最小值问题，
连接C2C ，与直线 l交于点 P ，此时点 P 是满足 PN + PM 最小的点，
此时 PN + PM = C2C - 3 = 2 10 - 3，即 MP + NP 的最小值为 2 10 - 3，
故选：A．
二、多选题
5．定义：如果在一圆上恰有四个点到一直线的距离等于1，那么这条直线叫做这个圆的“相关直线”.则下列
C : x +1 2直线是圆 + y - 2 2 = 4的“相关直线”的为（ ）
A． y =1 B．3x - 4y +12 = 0
C． 2x + y = 0 D．12x - 5y -17 = 0
【答案】BC
【详解】由题意可知，圆C 的圆心为C -1,2 ，半径为 r = 2 .
设圆心C 到“相关直线”的距离为d ，由图可知1+ d < 2，可得 d <1 .
对于 A 选项， d = 1- 2 =1，不合乎题意；
3 -1 - 4 2 +12
d 1对于 B 选项， = = ，合乎题意；
32 + -4 2 5
对于 C 选项， d = 0 ，合乎题意；
-12 - 5 2 -17
对于 D 选项， d = = 3，不合乎题意.
122 + -5 2
故选：BC.
三、填空题
6．已知圆C ： (x - a)2 + (y - b)2 = 4的图象在第四象限，直线 l1： ax + by + 3 = 0， l2：bx - ay + 4 = 0 .若 l1上存
在点 P ，过点 P 作圆C 的切线PA， PB，切点分别为 A， B ，使得△APB为等边三角形，则 l2被圆C 截得的
弦长的最大值为 .
4 5
【答案】
3
【详解】
a > 2
由已知可得，圆C 的圆心C a,b ì，半径 r = 2，且有 íb 2 . < -
a2 + b2 + 3
则圆心到直线 l1： ax + by + 3 = 0的距离 d1 = .
a2 + b2
a 3 a 3
又直线 l1方程可化为 y = - x - ，可知- > 0，- > 0，b b b b
所以直线 l1过一、二、三象限，不过第四象限，直线 l1与圆相离.
AC
由题意易知 APC = 30°，则PC = = 4， d
sin 30° 1
PC = 4，
a2 + b2 + 3 2
所以有 4，即 a2 + b2 - 4 a2 + b2 + 3 0，所以 22 2 1 a + b2 3 .a + b
又 a > 2，b < -2，所以 a2 + b2 > 8， a2 + b2 > 2 2 ，所以 2 2 < a2 + b2 3 .
所以圆心C 到直线 l2的距离 d
4
2 = < 2 < 22 2 ，a + b
所以，直线 l2与圆C 总相交，
d 4 4
2
= l 4 4 5又 2 2 2 3 ，所以 2被圆C 截得的弦长为 2 4 - d
2
2 2 4 - ÷ = .a + b è 3 3
4 5
故答案为： .
3
7．若直线 ax+by- 1=0(a>0,b>0) 平分圆C：x2 +y2 - 2x- 4y=0的周长，则 ab 的最大值为
1
【答案】
8
【详解】由题意得，直线 ax + by -1 = 0 过圆心 1,2 ，所以 a + 2b =1，
ab= 1 ×2ab 1 ×( a+2b )2 1 1 1所以 = ，（当且仅当 a = 2b，即 a = ,b = ，取“=”），
2 2 2 8 2 4
又 a > 0,b > 0
1
，所以 ab 的最大值为 .
8
1
故答案为： .
8
四、解答题
8．已知圆M(x-2)2 +(y-3)2 =1，直线 l过点 (3,1) .
（1）若直线 l与圆M 相切，求直线 l的方程；
（2）若直线 l与圆M 交于P,Q 两点，当DMPQ的面积最大时，求直线 l的方程.
【答案】（1） x = 3或3x + 4y -13 = 0；（2） x + y - 4 = 0或7 x + y - 22 = 0 .
【详解】解：（1）当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x = 3，此时直线 l 与圆 M 相切，所以 x = 3符
合题意 ,
当直线 l 的斜率存在时，设 l 的斜率为 k，
则直线 l 的方程为 y -1 = k(x - 3) ，
即 kx - y +1- 3k = 0 ,
因为直线 l 与圆 M 相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，
| 2k -3+1-3k |
即 =12 ,k +1
3
解得 k = - ，即直线 l 的方程为3x + 4y -13 = 0；
4
综上，直线 l 的方程为 x = 3或3x + 4y -13 = 0 ,
（2）因为直线 l 与圆 M 交于 P.Q 两点，所以直线 l 的斜率存在，
可设直线 l 的方程为 y -1 = k(x - 3) ，圆心到直线 l 的距离为 d ,
则 | PQ |= 2 r2 - d 2 = 2 1- d 2 ,
2
DMPQ 1 × | PQ | ×d = 1-d2 ×d = - 1 1从而 的面积为 2 d - ÷ + ·2 è 2 4
2
当d =
1
时，DMPQ的面积最大 ,
2
| 2k - 3 +1- 3k |
因为 d = 2 ，k +1
2
| 2k - 3 +1- 3k | 1
所以 ÷ = ，
è k 2 +1 2
解得 k = -1或 k = -7 ,
故直线 l 的方程为 x + y - 4 = 0或7 x + y - 22 = 0 .
9．点 P 到 A -2,0 的距离是点 P 到B 1,0 的距离的 2倍．
(1)求点 P 的轨迹方程；
(2) Q 2,1 C 3,0 QA 2 + QC 2点 P 与点 关于点 对称，点 ，求 的最大值和最小值；
uuur uuur
(3)若过A 的直线从左向右依次交第（2）问中Q的轨迹于不同两点E 、F ，FA = lEA，判断l 的取值范围
并证明．
【答案】(1) x - 2 2 + y2 = 4
(2)最大值为53，最小值为13
(3)1< l 3+ 5
2
2
【详解】（1）解：设点P x, y ，由题意可得 PA = 2 PB ，即 x + 2 + y2 = 2 x -1 2 + y2 ．
化简可得 x - 2 2 + y2 = 4．
ìx + x = 4 ìx = 4 - x
（2）解：设Q x , y 0 00 0 ，设点P x, y ，则 íy y 2，可得 íy 2 y ， 0 + = = - 0
ìx = 4 - x0
将 í 代入 x - 2 2 + y2 = 4可得 2 - x 2 2y = 2 - y 0 + 2 - y0 = 4， 0
Q x - 2 2 + y - 2 2故点 的轨迹方程为 = 4，即 x2 + y2 = 4x + 4y - 4，
2 2
所以， QA + QC = x + 2 2 + y2 + x - 3 2 + y2 = 2x2 20 0 0 0 0 + 2y0 - 2x0 +13
= 2 4x0 + 4y0 - 4 - 2x0 +13 = 6x0 + 8y0 + 5，
令 z = 6x + 8y + 5，则直线6x + 8y + 5 - z = 0 x - 2 2 2与圆 + y - 2 = 4有公共点，
33- z
则 2，解得13 z 53，
62 + 82
2 2
因此，因此 QA + QC 的最大值为53，最小值为13．
（3）解：设E x1, y1 、F x2 , y2 且 y1 < y2 ．
uuur uuur ìx + 2 = l x + 2
因为FA = lEA 2 1，所以 í 且l > 1．
y2 = l y1
由图可知，直线 AE 的斜率存在且不为零，
ìx = ty - 2
设过A 的直线方程为 x = ty - 2 ，联立 í
，
x - 2 2 + y - 2 2 = 4
t 2 +1 y2可得 - 8t + 4 y +16 = 0 2 2 3，D =16 2t +1 - 4 16 t +1 > 0 ，可得 t > ，4
2
由韦达定理可得 y1 + y
8t + 4 y y 16= ， = y， 1 y y + y 2 2 1 2 2 + 2 + 2 = 1 2 ，1+ t 1+ t y2 y1 y1 y2
2
l 1 2 2t +1 4 4t - 3 4 16 16+ + = 2 = + 2 = + + 4因此 l 1+ t 1+ t = 54t 25- 3 + + 6 2 4t 25
，
4t - 3 - 3 × + 64t - 3
1 3+ 5
当且仅当 t = 2时等号成立．所以l + - 3 0，解得1< l ．
l 2
