2.3.4 圆与圆的位置关系
分层练习
一、单选题
1．圆（x﹣3）2+y2＝4 与圆 x2+（y+4）2＝8 的位置关系为（ ）
A．内切 B．外切 C．相交 D．相离
2．圆 x2 + y2 - 4x = 0与圆 (x - a)2 + (y + 3)2 = 9 恰有两条公切线．则 a 的取值范围是（ ）
A． -2,6 B． -4,4 C． -5,5 D． -6,6
3 2 2．圆O1 : x + y - 2x = 0和圆O2 : x
2 + y2 - 4y + 3 = 0的位置关系是（ ）
A．外切 B．内切 C．相交 D．相离
4．已知圆C : (x - 3)2 + (x - 4)2 = 4和两点 A(-m,0)， B(m,0)(m > 0)，若圆 C 上存在点 P，使得 APB = 90o，
则 m 的取值范围是（ ）
A．[5,9] B．[4,8] C．[3,7] D．[2,6]
二、多选题
5．（多选题）下列圆中与圆 C:x2+y2+2x-4y+1=0 相切的是（ ）
A．(x+2)2+(y+2)2=9 B．(x-2)2+(y+2)2=9
C．(x-2)2+(y-2)2=25 D．(x-2)2+(y+2)2=49
三、填空题
6．过点P 2,1 作圆 x2 + y2 = 4的两条切线，切点分别为 A、B，则直线 AB 方程是 .
7．已知圆 C 过点 (3, 0)且与圆 x2 + y2 =1切于点 (1,0)，则圆 C 的方程为 .
四、解答题
8．若圆 x2 + y2 = 4与圆 x2 + y2 + 2ay - 6 = 0 ( a > 0 )的公共弦的长为 2 3，求实数 a 的值．
9．已知圆 C 的圆心为 2, -2 ，且与直线 x + y + 2 10 = 0相切．
(1)求圆 C 的方程；
(2)求圆 C 与圆 x2 + y2 = 4的公共弦的长．
一、单选题
1 C : x2．圆 1 + y
2 - 4x + 3 = 0 与圆C2 : (x +1)
2 + (y - 4)2 = a 恰有三条公切线，则实数 a的值是（ ）
A．4 B．6 C．16 D．36
2 2 2．若圆C1 : x + y =1和圆C2 : x2 + y2 - 6x - 8y - k = 0没有公共点，则实数 k 的取值范围是（ ）
A． (-9,11) B． (-25,-9)
C． (- ,-9) U (11,+ ) D． (-25,-9) U (11,+ )
3．已知圆 C： x2 + y2 + 2x - 6y + 6 = 0 ，P 为直线 l： x - 2y + 2 = 0上的动点，过点 P 作圆 C 的切线 PA，PB，
切点为 A，B，当四边形 APBC 的面积最小时，直线 AB 的方程为（ ）
A． x - 2y - 3 = 0 B． x + 2y - 3 = 0 C． x - 2y + 3 = 0 D． x + 2y + 3 = 0
4．已知圆 x2 + y2 = 4与圆 x2 + y2 - 2y - 6 = 0 ，则两圆的公共弦长为（ ）
A． 3 B． 2 3 C．2 D．1
二、多选题
5．已知圆 M : (x - 3k )2 + ( y - 4k - 2)2 = 1+ k 2 ，则下列四个命题中正确的命题有（ ）
A．若圆M 与 y 轴相切，则 k 2= ±
4
6
B．圆M 的圆心到原点的距离的最小值为
5
C．若直线 y = x 平分圆M 的周长，则 k = 2
D．圆M 与圆 (x - 3k )2 + y2 = 4k 2 可能外切
三、填空题
6 A C : x2 + y2．已知 是圆 1 =1
2 2
上的动点，B 是圆C2 : x - 3 + y - 4 =1上的动点，则 AB 的取值范围
为 .
7．已知抛物线C : y2 = 4x 的焦点为F ，过点F 且斜率为 k(k > 0) 的直线 l与抛物线C 交于A ， B 两点，设以
AF ， BF 为直径的两圆的内公切线的方程为 l '，若 | AB |= 5，则直线 l '的一般方程为 ．
四、解答题
8．如图，已知eC 的圆心在原点，且与直线 x + 3y + 4 2 = 0相切.点 P 在直线 x = 8上，过点 P 引eC 的两条
切线PA、 PB，切点为 A、B.
(1)求四边形OAPB面积的最小值；
(2)求证：直线 AB 过定点.
一、单选题
1．已知点O为坐标原点， |OP |= 2 2 ，点 B ，点C 为圆 x2 + y2 =12的动点，且以BC 为直径的圆过点 P ，则
△OBC 面积的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D． 2
2．若圆 x - 2 2 + y2 = 4 2与圆 x2 + y - a =1相切，则实数 a 的值为（ ）．
A． 5 或 0 B．0 C． 5 D．- 5 或 5
3．已知圆M : (x - a)2 + (y - b)2 = 3(a,b R)与圆O : x2 + y2 =1相交于A ， B 两点，且 AB = 3 ，给出以下结
论：①MA× MB 是定值；②四边形OAMB 的面积是定值；③ a + b 的最小值为- 2 ；④ ab的最大值为 2，则
其中正确结论的个数是（ ）
A． 0 B．1 C． 2 D．3
4．已知圆C : (x -1)2 + y2 =1，圆M : (x -1- 4cosq )2 + (y - 4sinq )2 = 4(q R)，过圆 M 上任意一点 P 作圆 C
uuuv uuuv
的两条切线PE、PF ，切点分别为E、F ，则PE × PF 的最小值是
3
A． 2 3 B．3 C． 3 D． 2
二、多选题
5．已知圆 M： x2 + y2 - 2x - 3 = 0，圆 N： x2 + y2 -8x -8y + 23 = 0，则下列选项正确的是（ ）
A．直线 MN 的方程为 4x - 3y - 4 = 0
B．若 P Q 两点分别是圆 M 和圆 N 上的动点，则 PQ 的最大值为 5
C．圆 M 和圆 N 的一条公切线长为 2 5
25
D．经过点 M N 两点的所有圆中面积最小的圆的面积为 π
4
6．若两定点 A -2,0 ，B 2,0 ，动点M 满足 MA = 2 MB ，则下列说法正确的是（ ）
A．点M 的轨迹所围成区域的面积为32π
B．VABM 面积的最大值为8 2
C．点M 到直线 x - y + 4 = 0距离的最大值为5 2
D．若圆C : x +1 2 + y -1 2 = r 2 r > 0 上存在满足条件的点M ，则 r 的取值范围为 é 2,9 2ù
三、填空题
7 2 2 2 2．写出与圆O1 : x + y =1和O2 : (x - 3) + y =1都相切的一条直线方程 ．
四、解答题
8．已知圆O : x2 + y2 = 4，直线 l : x = 4，点T 是 l上的一个动点．
(1)若点T 4,3 1，过点T 作一条斜率为 的直线，该直线与圆O交于A 、 B 两点（A 、 B 位于 x 轴上方），过
3
A 、 B 分别作直线 AB 的垂线，垂线与 x 轴交于C 、D两点，求 AC + BD 的值．
(2)过动点T 作圆O的两条切线，切点分别为 M 、 N ，试问直线 MN 是否过定点？若是，请求出定点坐标；
若不是，请说明理由．
9．已知圆C 过点M 0, -1 且与圆C ： x2 2 N 21 + y - 2 2x - 2 2y + 3 = 0 相切于点 ,
2
÷÷，直线 l：
è 2 2
kx - y - k + 3 = 0 与圆C 交于不同的两点A 、 B .
(1)求圆C 的方程；
(2)若圆C 与 x 轴的正半轴交于点 P ，直线PA、 PB的斜率分别为 k1， k2 ，求证： k1 + k2 是定值.2.3.4 圆与圆的位置关系
分层练习
一、单选题
1．圆（x﹣3）2+y2＝4 与圆 x2+（y+4）2＝8 的位置关系为（ ）
A．内切 B．外切 C．相交 D．相离
【答案】D
【详解】圆 (x - 3)2 + y2 = 4的半径 r1 = 2，圆 x2 + (y + 4)2 = 8的半径 r2 = 2 2 ，圆心距
d = 32 + (-4)2 = 5 > 2 + 2 2 = r1 + r2，则位置关系为相离.
故选：D
2．圆 x2 + y2 - 4x = 0与圆 (x - a)2 + (y + 3)2 = 9 恰有两条公切线．则 a 的取值范围是（ ）
A． -2,6 B． -4,4 C． -5,5 D． -6,6
【答案】A
【详解】解：圆 x2 + y2 - 4x = 0，即 x - 2 2 + y2 = 4，圆心C1 2,0 ，半径 r1=2，
圆 (x - a)2 + (y + 3)2 = 9 的圆心C2 a,-3 ，半径 r2 = 3，
因为两圆恰有两条公切线，则两圆相交，所以 r2 - r1 < C1C2 < r2 + r1，
即1 < a - 2 2 + 32 < 5，解得-2 < a < 6，即 a -2,6 ；
故选：A
3 O : x2 2．圆 1 + y - 2x = 0和圆O2 : x
2 + y2 - 4y + 3 = 0的位置关系是（ ）
A．外切 B．内切 C．相交 D．相离
【答案】D
2 2 2
【详解】圆O1 : x + y - 2x = 0 的标准方程为 x -1 + y2 =1，
圆心为O1 1,0 ，半径为R =1 ，
圆O2 : x
2 + y2 - 4y + 3 = 0 的标准方程为 x2 + y - 2 2 =1，
圆心为O2 0,2 ，半径为 r =1 ，则 O1O2 = 1+ 4 = 5 >1+1 = R + r ，
故圆O1 和O2 的位置关系是相离，
故选：D.
4．已知圆C : (x - 3)2 + (x - 4)2 = 4和两点 A(-m,0)， B(m,0)(m > 0)，若圆 C 上存在点 P，使得 APB = 90o，
则 m 的取值范围是（ ）
A．[5,9] B．[4,8] C．[3,7] D．[2,6]
【答案】C
【详解】设点 P 的坐标为 x, y ，Q APB = 90o，且坐标原点O为 AB 的中点，
1
所以， OP = AB = m ，则点 P 的轨迹方程为 x2 + y2 = m2 ，
2
由题意可知，圆 x2 + y2 = m2 与圆C 有公共点，且圆心C 3,4 ，半径为 2
则 m - 2 OC m + 2，即 m - 2 5 m + 2，
Qm > 0，解得3 m 7 .
因此，实数m 的取值范围是 3,7 .
故选：C.
二、多选题
5．（多选题）下列圆中与圆 C:x2+y2+2x-4y+1=0 相切的是（ ）
A．(x+2)2+(y+2)2=9 B．(x-2)2+(y+2)2=9
C．(x-2)2+(y-2)2=25 D．(x-2)2+(y+2)2=49
【答案】BCD
【详解】由圆 C:x2+y2+2x-4y+1=0，可知圆心 C 的坐标为(-1，2)，半径 r=2.
A 选项中，圆心 C1(-2，-2)，半径 r1=3.因为|C1C|= 17 ∈(r1-r，r1+r)，所以两圆相交；
B 选项中，圆心 C2(2，-2)，半径 r2=3，因为|C2C|=5=r+r2，所以两圆外切，满足条件；
C 选项中，圆心 C3(2，2)，半径 r3=5，因为|C3C|=3=r3-r，所以两圆内切，满足条件；
D 选项中，圆心 C4(2，-2)，半径 r4=7，因为|C4C|=5=r4-r，所以两圆内切，满足条件.
故选：BCD.
三、填空题
6．过点P 2,1 作圆 x2 + y2 = 4的两条切线，切点分别为 A、B，则直线 AB 方程是 .
【答案】 2x + y - 4 = 0
【详解】圆 x2 + y2 = 4 的圆心为 C(0,0) , 半径为 2，
以 P(2,1),C(0,0) 2为直径的圆的方程为 (x -1) + (y
1)2 5- = ,
2 4
将两圆的方程相减可得公共弦 AB 所在直线的方程 2x + y - 4 = 0 .
故答案为: 2x + y - 4 = 0 .
7．已知圆 C 过点 (3, 0)且与圆 x2 + y2 =1切于点 (1,0)，则圆 C 的方程为 .
【答案】 (x - 2)2 + y2 =1
【详解】因为圆 C 过点 (3, 0)且与圆 x2 + y2 =1切于点 (1,0)，
可知圆 C 与 x2 + y2 =1的公切线为 x =1，且圆 C 过点 (1,0)，
过点 (1,0)作切线 x =1的垂线，即为 x 轴，
可知圆心 C 在此垂线上，即圆心 C 在 x 轴上，
设圆 C (a,0) ，又圆 C 过点 (3, 0)，且圆 C 过点 (1,0)，
由圆心到圆上任一点距离相等，且为半径，
所以3 - a = a -1，可得 a = 2，从而半径 r = 3 - a =1，
所以圆 C 的方程为 (x - 2)2 + y2 =1.
故答案为： (x - 2)2 + y2 =1.
四、解答题
8．若圆 x2 + y2 = 4与圆 x2 + y2 + 2ay - 6 = 0 ( a > 0 )的公共弦的长为 2 3，求实数 a 的值．
【答案】1
1
【详解】将两圆的方程相减，得相交弦所在的直线方程为 y = .a
圆 x2 + y2 = 4的圆心为 0,0 ，半径为 r = 2 .
0,0 1到直线 y = a > 0 的距离为：
a
2
d 1
2 3
= = 22 -
a ÷÷
，解得 a =1 .
è 2
9．已知圆 C 的圆心为 2, -2 ，且与直线 x + y + 2 10 = 0相切．
(1)求圆 C 的方程；
(2)求圆 C 与圆 x2 + y2 = 4的公共弦的长．
【答案】(1) (x - 2)2 + (y + 2)2 = 20
(2) 2 2
r | 2 - 2 + 2 10 |【详解】（1）由题意得圆 C 的半径为 = = 2 5 ，
2
故圆 C 的方程为 (x - 2)2 + (y + 2)2 = 20；
（2）圆 x2 + y2 = 4和 (x - 2)2 + (y + 2)2 = 20的圆心距为 2 2 ，
而 2 5 - 2 < 2 2 < 2 5 + 2，即两圆相交，
将 x2 + y2 = 4和 (x - 2)2 + (y + 2)2 = 20相减得 x - y + 2 = 0 ，
圆 x2 + y2
2
= 4的圆心到 x - y + 2 = 0 的距离为 d = = 2 ，
2
故两圆的公共弦长为 2 4 - ( 2)2 = 2 2 .
一、单选题
1．圆C1 : x
2 + y2 - 4x + 3 = 0 与圆C2 : (x +1)
2 + (y - 4)2 = a 恰有三条公切线，则实数 a的值是（ ）
A．4 B．6 C．16 D．36
【答案】C
【详解】圆C1标准方程为 (x - 2)2 + y2 =1，
∵两圆有三条公切线，∴两圆外切，
∴ (2 +1)2 + (0 - 4)2 =1+ a ， a =16．
故选 C．
2 2 2．若圆C1 : x + y =1和圆C2 : x2 + y2 - 6x - 8y - k = 0没有公共点，则实数 k 的取值范围是（ ）
A． (-9,11) B． (-25,-9)
C． (- ,-9) U (11,+ ) D． (-25,-9) U (11,+ )
【答案】D
【详解】化圆 C2：x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0 为（x﹣3）2+（y﹣4）2＝25+k，
则 k＞﹣25，圆心坐标为（3，4），半径为 25 + k ，
圆 C 2 21：x +y ＝1 的圆心坐标为（0，0），半径为 1．
要使圆 C ：x21 +y2＝1 和圆 C2：x2+y2﹣6x﹣8y﹣k＝0 没有公共点，
则|C1C2|＞ 25 + k +1或|C1C2|＜ 25 + k -1，
即 5＞ 25 + k +1或 5＜ 25 + k -1，
解得﹣25＜k＜﹣9 或 k＞11．
∴实数 k 的取值范围是（﹣25，﹣9）∪（11，+∞）．
故选：D．
3．已知圆 C： x2 + y2 + 2x - 6y + 6 = 0 ，P 为直线 l： x - 2y + 2 = 0上的动点，过点 P 作圆 C 的切线 PA，PB，
切点为 A，B，当四边形 APBC 的面积最小时，直线 AB 的方程为（ ）
A． x - 2y - 3 = 0 B． x + 2y - 3 = 0 C． x - 2y + 3 = 0 D． x + 2y + 3 = 0
【答案】C
【详解】圆的方程可化为 x +1 2 + y - 3 2 = 4 ，
-1- 2 3 + 2
点 C 到直线 l 的距离为 d = = 5 > 22 2 ，所以直线 l 与圆 C 相离.1 + -2
依圆的知识可知，四点 A，P，B，C 四点共圆，且 AB ^ CP，
1
所以四边形 APBC 的面积 S = 2S = 2 PA AC = 2PA，而PA = CP2VPAC - 4 ，2
当直线CP ^ l 时， CP = 5min ， PA =1min ，此时四边形 APBC 的面积最小.
ìy = -2x +1 ìx = 0所以 CP： y - 3 = -2 x +1 即 y = -2x +1，由 íx - 2y 2 0，解得+ = í ，即P 0,1 y 1 . =
所以以 CP 为直径的圆的方程为 x x +1 + y -1 y - 3 = 0，即 x2 + y2 + x - 4y + 3 = 0，
两圆的方程相减可得： x - 2y + 3 = 0，即为直线 AB 的方程.
故选：C
4．已知圆 x2 + y2 = 4与圆 x2 + y2 - 2y - 6 = 0 ，则两圆的公共弦长为（ ）
A． 3 B． 2 3 C．2 D．1
【答案】B
【详解】圆 x2 + y2 = 4与圆 x2 + y2 - 2y - 6 = 0 的方程相减可得公共弦所在的直线方程为 y = -1，
由于圆 x2 + y2 = 4的圆心到直线 y = -1的距离为 1，且圆 x2 + y2 = 4的半径为 2，
故公共弦的长为 2 4 -12 = 2 3 ，
故选：B.
二、多选题
5．已知圆 M : (x - 3k )2 + ( y - 4k - 2)2 = 1+ k 2 ，则下列四个命题中正确的命题有（ ）
A．若圆M 与 y 2轴相切，则 k = ±
4
6
B．圆M 的圆心到原点的距离的最小值为
5
C．若直线 y = x 平分圆M 的周长，则 k = 2
D．圆M 与圆 (x - 3k )2 + y2 = 4k 2 可能外切
【答案】ABD
【详解】圆 M : (x - 3k )2 + ( y - 4k - 2)2 = 1+ k 2 的圆心坐标为： (3k, 4k + 2)，半径为 r = 1+ k 2 .
若圆M 与 y 2轴相切，则 | 3k |= 1+ k 2 ，解得 k = ± ，所以 A 为真命题．
4
因为 (3k)2 + (4k + 2)2 = 25k 2 +16k + 4 = (5k
8)2 36 36+ + ，
5 25 25
所以 | OM |
6
，所以 B 为真命题．
5
若直线 y = x 平分圆M 的周长，则3k = 4k + 2，即 k = -2 ，所以 C 为假命题．
若圆M 与圆 (x - 3k )2 + y2 = 4k 2 外切，则 | 4k + 2 |= 1+ k 2 + 4k 2 ，
设函数 f (k ) =| 4k + 2 | - 1+ k 2 - 4k 2 ，因为 f (0) =1 > 0， f (-1) = - 2 < 0，
所以 f (k ) 在 (-1,0) 内必有零点，则方程 | 4k + 2 |= 1+ k 2 + 4k 2 有解，所以 D 为真命题．
故选：ABD
三、填空题
6 2．已知 A 是圆C1 : x + y
2 =1上的动点，B 是圆C2 : x - 3
2 + y - 4 2 =1上的动点，则 AB 的取值范围
为 .
【答案】 3,7
【详解】由题意圆C1的圆心为 0,0 ，半径为 1；圆C2 的圆心为 3,4 ，半径为 1；
易知 C1C2 = 5且两圆外离，所以5 - 2 AB 5 + 2，
即3 AB 7 .
故答案为： 3,7 .
7．已知抛物线C : y2 = 4x 的焦点为F ，过点F 且斜率为 k(k > 0) 的直线 l与抛物线C 交于A ， B 两点，设以
AF ， BF 为直径的两圆的内公切线的方程为 l '，若 | AB |= 5，则直线 l '的一般方程为 ．
【答案】 x + 2y -1 = 0
ìy = k x -1【详解】由题可得F 1,0 ，故直线 l的方程为 y = k x -1 (k > 0)，设 A x1, y1 ，B x2 , y
2 ．由 í
y
2 = 4x
2
消去 y k 2x2可得 - 2k 2 + 4 x + k 2 = 0 x x 2k + 4，所以 1 + 2 = 2 ，所以k
2
AB = AF 4k + 4+ BF = x1 +1 + x2 +1 = x1 + x2 + 2 = 2 = 5，解得 k = 2（负值舍去），所以直线 l '的斜率为k
1 y 1- ，故直线 l '的方程为 = - x -1 ，即 x + 2y -1 = 0．
2 2
四、解答题
8．如图，已知eC 的圆心在原点，且与直线 x + 3y + 4 2 = 0相切.点 P 在直线 x = 8上，过点 P 引eC 的两条
切线PA、 PB，切点为 A、B.
(1)求四边形OAPB面积的最小值；
(2)求证：直线 AB 过定点.
16 19
【答案】(1) ；
5
(2)证明见解析.
【详解】（1）解：依题意得：圆心（0，0）到直线 x+3y+4 2 = 0 的距离 d＝r，
4 2
∴ r = d 4 5= = ，
10 5
16
∴圆 C 的方程为 x2+y2 = .
5
如图，连接 OA，OB，
∵PA，PB 是圆 C 的两条切线，
∴ OA⊥AP，OB⊥BP，
∴ SOAPB = 2S!OAP = 2
1 | OA | | PA | 4 5 16 × = PO2 - .
2 5 5
PO 8 (S ) 4 5 64 16 16 19∴当 取最小值为 时， OAPB min = - = .5 5 5
（2）证明：由① 得，A，B 在以 OP 为直径的圆上，
设点 P 的坐标为（8，b），b R ，
b
则线段 OP 的中点坐标为（4， ），
2
b 2
∴以 OP 为直径的圆方程为 (x - 4)2 + (y - )2 =16 b+ ，
2 4
即 x2+y2﹣8x﹣by＝0.
∵AB 为两圆的公共弦，
ì
x2 + y2
16
= 16
∴由 í 5 得直线 AB 的方程为8x + by = ，b∈R，
x
2 + y2 -8x - by = 0 5
2
即 8（x - ）+by＝0，
5
2
则直线 AB 恒过定点（ ，0）.
5
一、单选题
1．已知点O为坐标原点， |OP |= 2 2 ，点 B ，点C 为圆 x2 + y2 =12的动点，且以BC 为直径的圆过点 P ，则
△OBC 面积的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D． 2
【答案】A
【详解】由 |OP |= 2 2 知，P 点轨迹为圆 x2 + y2 =8，如图所示，
1
取 BC 的中点为 M，OB = OC = 2 3 ， SVOBC = OB ×OC ×sin BOC = 6sin BOC ，2
①当 BOC (0,90o ]时， BOC 越小， SVOBC 越小，BC 越小，当eM 与eP相外切时，取最小值，
此时切点为 P 点，PM = CM ，在直角三角形 OCM 中，由勾股定理知，
(2 2 + PM )2 + CM 2 =12，解得PM = CM = 2 - 2 ，
S 1 BC OM 1VOBC = × = 2 (2 - 2) (2 2 + 2 - 2) = 22 2
②当 BOC (90o ,180o )时， BOC 越大， SVOBC 越小，当eM 与eP相内切时，取最小值，同理可求得此时
PM = CM = 2 + 2 ，
S 1 1VOBC = BC ×OM = 2 (2 + 2) (2 + 2 - 2 2) = 2，2 2
综上所述， SVOBC 的最小值为 2.
故选：A
2 2．若圆 x - 2 + y2 = 4与圆 x2 + y - a 2 =1相切，则实数 a 的值为（ ）．
A． 5 或 0 B．0 C． 5 D．- 5 或 5
【答案】D
【详解】圆 x - 2 2 + y2 = 4的圆心C1(2,0) ，半径 r = 2，圆 x21 + y - a 2 =1的圆心C2 (0, a)，半径 r2 =1，
而 | C1C2 |= a
2 + 4 2 = r1 > r2，即点C2 不可能在圆C1内，则两圆必外切，
于是得 | C1C2 |= r1 + r2 ，即 a2 + 4 = 3，解得 a = ± 5 ，
所以实数 a 的值为- 5 或 5 .
故选：D
3．已知圆M : (x - a)2 + (y - b)2 = 3(a,b R)与圆O : x2 + y2 =1相交于A ， B 两点，且 AB = 3 ，给出以下结
论：①MA× MB 是定值；②四边形OAMB 的面积是定值；③ a + b 的最小值为- 2 ；④ ab的最大值为 2，则
其中正确结论的个数是（ ）
A． 0 B．1 C． 2 D．3
【答案】D
【详解】根据题意画出示意图：
设直线 AB 与 OM 交于点 C，则点 C 为 AB 中点且 AB ^ OM ,
因为 AB = AM
p
= BM = 3 ,所以VABC 为等边三角形，故 AMB = ,
3
\MA× MB MA MB cos AMB 3 3 1 3= = = ,故①正确；
2 2
MC p 3= AM sin = ，而 OC = OA2 - (1 AB)2 1 3 1= - = ,
3 2 2 4 2
所以 OM = OC + MC = 2
S 1OAMB = AB OM
1
= 3 2 = 3 为定值，故②正确；
2 2
因为O(0,0), M (a,b)，所以 OM = a2 + b2 = 2，所以 a2 + b2 = 4，
利用基本不等式得： (a + b)2 2(a2 + b2 ) = 8，所以-2 2 a + b 2 2 ，故③不正确；
又 a2 + b2 2ab，所以 ab 2，故④正确；
综上：正确的有：①②④.
故选：D.
4．已知圆C : (x -1)2 + y2 =1，圆M : (x -1- 4cosq )2 + (y - 4sinq )2 = 4(q R)，过圆 M 上任意一点 P 作圆 C
uuuv uuuv
的两条切线PE、PF ，切点分别为E、F ，则PE × PF 的最小值是
3
A． 2 3 B．3 C． 3 D． 2
【答案】D
【详解】由题意，圆C 的圆心为（1，0），半径为 1，圆M 的圆心（1+ 4cosq ， 4sinq ），半径为 2，所以
uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv uuuv
CM = 4cosq 2 + 4sinq 2 = 4，而 4 > 2 +1，所以两圆相离．PE × PF = PE × PF ×cos EPF ，要使PE × PF
uuuv uuuv
取得最小值，需要 PE 和 PF 越小，且 EPF 越大才能取到，设直线CM 和圆M 交于H、G两点（如下
uuuv uuuv uuuv uuuv
图）．则PE × PF 的最小值是GE ×GF .
CE 1
GF = GE = GC 2 - EC 2 = 4 - 2 2 -1 = 3， sin EGC = = cos EGF
1
=1- 2sin2 EGC =
GC 2 ，则 .所2
uuuv uuuv uuuv uuuv
以GE ×GF = GE × GF ×cos EGF
3
= .故选 D.
2
二、多选题
5．已知圆 M： x2 + y2 - 2x - 3 = 0，圆 N： x2 + y2 -8x -8y + 23 = 0，则下列选项正确的是（ ）
A．直线 MN 的方程为 4x - 3y - 4 = 0
B．若 P Q 两点分别是圆 M 和圆 N 上的动点，则 PQ 的最大值为 5
C．圆 M 和圆 N 的一条公切线长为 2 5
25
D．经过点 M N 两点的所有圆中面积最小的圆的面积为 π
4
【答案】AD
2
【详解】由题意可知：圆 M： x -1 + y2 = 4的圆心M 1,0 ，半径 r1 = 2，
圆 N： x - 4 2 + y - 4 2 = 9，的圆心M 4,4 ，半径 r2 = 3，
y - 0 x -1
对于选项 A：直线 MN 的方程为 = ，即 4x - 3y - 4 = 0，故 A 正确；
4 - 0 4 -1
对于选项 B：因为 MN = 4 -1 2 + 4 - 0 2 = 5，
所以 PQ 的最大值为 MN + r1 + r2 =10 ，故 B 错误；
对于选项 C：因为 MN = r1 + r2 ，可知圆 M 与圆 N 外切，
如图，直线 l为两圆的公切线， A, B为切点坐标，过 A 作 AD / /MN ，交 NB 于D，
则 ADNM 为平行四边形，可得 AD = MN = 5, DB = r2 - r1 =1，
AB = AD 2所以公切线长为 - DB 2 = 2 6 ，故 C 错误；
对于选项 D：当 MN 为直径的圆时，经过点 M N 两点的所有圆中面积最小，
π 5
2
25
此时圆的面积为 ÷ = π，故 D 正确；
è 2 4
故选：AD.
6．若两定点 A -2,0 ，B 2,0 ，动点M 满足 MA = 2 MB ，则下列说法正确的是（ ）
A．点M 的轨迹所围成区域的面积为32π
B．VABM 面积的最大值为8 2
C．点M 到直线 x - y + 4 = 0距离的最大值为5 2
D 2．若圆C : x +1 + y -1 2 = r 2 r > 0 上存在满足条件的点M ，则 r 的取值范围为 é 2,9 2ù
【答案】ABD
【详解】设M x, y ，由 MA = 2 MB 得： MA 2 = 2 MB 2 ，
\ x + 2 2 + y2 = 2 é x - 2 2 + y2 ù x - 6 2 2 ，整理可得： + y = 32，
\点M 的轨迹是以点 S 6,0 为圆心， 4 2 为半径的圆；
2
对于 A，点M 轨迹围成的区域面积为 π 4 2 = 32π ，A 正确；
对于 B，Q AB = 4 ，\若VABM 取得最大值，则点M 到直线 AB 的距离最大，即到 x 轴的距离最大，
Q点M 到直线 AB 的距离的最大值为 4 2 ，
1
\VABM 面积的最大值为 4 4 2 = 8 2 ，B 正确；
2
6 - 0 + 4
对于 C，Q圆心 S 6,0 到直线 x - y + 4 = 0的距离 d = = 5 2
12
，
+ -1 2
\点M 到直线 x - y + 4 = 0距离的最大值为 d + 4 2 = 5 2 + 4 2 = 9 2 ，C 错误；
对于 D，由题意知：点M 的轨迹与圆C 有公共点，即两圆有公共点，
Q圆C 的圆心为 -1,1 ，半径为 r ，
\ 2 2两圆的圆心距为 6 +1 + 0 -1 = 5 2 ，\ r - 4 2 5 2 r + 4 2 ，
解得： 2 r 9 2 ，即 r 的取值范围为 é 2,9 2ù ，D 正确.
故选：ABD.
三、填空题
7．写出与圆O1 : x
2 + y2 =1和O2 : (x - 3)
2 + y2 =1都相切的一条直线方程 ．
2 5 3
【答案】 y = ± (x - )或 y = ±1中任何一个答案均可
5 2
【详解】圆 x2 + y2 =1的圆心为C1 0,0 ，半径为 r1 =1，
圆O2 : (x - 3)
2 + y2 =1的圆心为C2 3,0 ，半径为 r2 =1，
则 C1C2 = 3 > r1 + r2 ，
所以两圆外离，
由两圆的圆心都在 x 轴上，则公切线的斜率一定存在，
设公切线方程为 y = kx + b，即 kx - y + b = 0，
ì b
=1
k 2 +1
则有 í ，
3k + b
=1 k 2 +1
ì ì
k
2 5 k 2 5= = -
5 5 ìk = 0 ìk = 0
解得 í 或 í 或 í
3 5 3 5 b 1
或
= íb = -1
b = - b =
5 5
2 5 3
所以公切线方程为 y = ± (x - )或 y = ±1.
5 2
故答案为： y =1.（答案不唯一，写其它三条均可）
四、解答题
8．已知圆O : x2 + y2 = 4，直线 l : x = 4，点T 是 l上的一个动点．
1
(1)若点T 4,3 ，过点T 作一条斜率为 的直线，该直线与圆O交于A 、 B 两点（A 、 B 位于 x 轴上方），过
3
A 、 B 分别作直线 AB 的垂线，垂线与 x 轴交于C 、D两点，求 AC + BD 的值．
(2)过动点T 作圆O的两条切线，切点分别为 M 、 N ，试问直线 MN 是否过定点？若是，请求出定点坐标；
若不是，请说明理由．
【答案】(1) 10
(2)恒过定点 1,0
1
【详解】（1）解：由题意可知，直线 AB 的方程为 y - 3 = x - 4 ，即 x - 3y + 5 = 0，
3
如下图所示：
过点O作OE ^ AB于点E ，根据垂径定理得E 为 AB 的中点，
因为BD ^ AB ， AC ^ AB，OE ^ AB，则O为CD 的中点，且 AC + BD = 2 OE ，
5 10
由点到直线的距离公式可得 OE = = AC + BD = 10
12
，故 .
+ -3 2 2
（2）解：设点T 4,2t ，线段OT 的中点为P 2, t ，且 OP = 4 + t 2 ，
2
所以，以线段OT 为直径为圆的方程为 x - 2 + y - t 2 = t 2 + 4，即 x2 + y2 = 4x + 2ty ，
将圆 x2 + y2 = 4x + 2ty 的方程与圆O的方程作差可得 2x + ty - 2 = 0，
ì2x - 2 = 0 ìx =1
即直线MN 的方程为 2x + ty - 2 = 0，由 íy 0 可得 ， =
í
y = 0
因此，直线MN 恒过定点 1,0 .
9．已知圆C 过点M 0, -1 且与圆C 2 21： x2 + y2 - 2 2x - 2 2y + 3 = 0 相切于点 N , ÷÷，直线 l：
è 2 2
kx - y - k + 3 = 0 与圆C 交于不同的两点A 、 B .
(1)求圆C 的方程；
(2)若圆C 与 x 轴的正半轴交于点 P ，直线PA、 PB的斜率分别为 k1， k2 ，求证： k1 + k2 是定值.
【答案】(1) x2 + y2 =1
(2)证明见解析
2
【详解】（1）由已知，将圆C1的一般方程化为标准方程 x - 2 + 2y - 2 =1，
∴圆C1的圆心C1 2, 2 ，半径 r1 =1，
2 2
∵圆C 与圆C1相切于点 N ,2 2 ÷÷，è
∴点C 、C1、 N 三点共线，即圆C 的圆心在直线C1N 上，
y 2- x 2-
∴直线C N 的方程为 2 21 = ，即 y = x ，
2 2 2 2- -
2 2
2 2
又∵点M 0, -1 、 N , ÷÷均在圆C 上，
è 2 2
∴弦MN 的垂直平分线过圆C 的圆心，
2
+1
k 2MN = =1+ 2 ，2
2
设弦MN 的垂直平分线的斜率为 k ，则 k × kMN = -1，
1
∴ k = - =1- 2 ，
1+ 2
∵M 0, -1 、 N 2 2 2 2 - 2 ,2 2 ÷÷中点为 ,4 4 ÷÷，è è
2 - 2
∴弦MN 的垂直平分线的方程为 y - = 1- 2 x
2
- ÷÷，即 y = 1- 2 x ，4 è 4
ìy = x
∴ íy 1 2 x，解得圆C 的圆心C 0,0 ， = -
圆C 的半径 r = CM = 0 - 0 2 + 0 +1 2 =1，
∴圆C 的方程为 x2 + y2 =1 .
（2）由已知，求得P 1,0 ，
直线 l： kx - y - k + 3 = 0 即 y = k x -1 + 3
ìy = k x -1 + 3
í y2 2 ，消去 ，化简得：
x + y =1
1+ k 2 x2 + 6k - 2k 2 x + k 2 - 6k + 8 = 0，
2
D = 6k - 2k 2 - 4 1+ k 2 k 2 - 6k + 8 = 24k - 32 > 0
∴ k
4
>
3
设 A x1, y1 ， B x2 , y2 ，
2k 2 2
则 x1 + x
- 6k k - 6k + 8
2 = 2 ， x1x2 = 2 ，1+ k 1+ k
k x -1 + 3
∴ k
y
= 1
= 1
1 = k
3
+ ，
x1 -1 x1 -1 x1 -1
k y= 2
k x -1 + 3 3
2 =
2 = k + ，
x2 -1 x2 -1 x2 -1
3 3 3k k x -1 + 3 x -1 ∴ 1 + 2 = 2k + + = 2k + 2 1x1 -1 x2 -1 x1 -1 x2 -1
2k 2 - 6k
3 x1 + x2 - 6 3 - 6= 2k + = 2k + 1+ k
2
x1x
2
2 - x1 + x2 +1 k - 6k + 8 2k 2 - 6k
1+ k 2
- +1
1+ k 2
3 2k 2 - 6k - 6 1+ k 2
= 2k +
k 2 - 6k + 8 - 2k 2 - 6k +1+ k 2
2k -18k - 6 2k 2k 2 2= + = - - = - ，
9 3 3
∴ k1 + k
2
2 是定值- .3
