2.4 曲线与方程
分层练习
一、单选题
1．在平面直角坐标系内，到点 A 1,2 和直线 l： x + y - 3 = 0距离相等的点的轨迹是（ ）
A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线
【答案】A
【详解】由题意，点 A 1,2 在直线 x + y - 3 = 0上，即动点到点 A 的距离与动点到直线 l的距离相等，
所以动点的轨迹是一条过点 A 且与直线 l 垂直的直线.
故选：A.
2．已知坐标满足方程 f (x, y) = 0的点都在曲线C 上，那么
A．曲线C 上的点的坐标都适合方程 f (x, y) = 0
B．不在C 上的点的坐标必不适合 f (x, y) = 0
C．凡坐标不适合 f (x, y) = 0的点都不在C 上
D．不在C 上的点的坐标有些适合 f (x, y) = 0，有些不适合 f (x, y) = 0
【答案】B
【详解】根据题意可以举例方程 f x, y = 0为 x2 + y2 =1(x > 0)，曲线C 为单位圆，可知方程表示的曲线为
曲线C 的一部分，结合选项知 A，C，D 都不正确，只有 B 正确．
故选 B．
3．在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 与点 A(-1,1)关于原点O对称，点 P 是动点，且直线 AP 与BP的斜率之积
1
为- ，则点 P 的轨迹方程为（ ）
3
A．3x2 + y2 = 4(x ±1) B．3x2 + y2 =1(x ±1)
C． x2 + 3y2 = 4(x ±1) D． x2 + 3y2 =1(x ±1)
【答案】C
【详解】Q点 B 与点 A(-1,1)关于原点O对称\B 1, -1
设P x, y Qk y -1, k y +1 1AP = BP = x ±1 ，且 k gkx +1 x -1 AP BP = - 3
k y -1 y +1 y
2 -1 1
\ 2AP gkBP = = 2 = - x ±1 \ x + 3y
2 = 4(x ±1)
x +1 x -1 x -1 3
\P的轨迹方程为 x2 + 3y2 = 4(x ±1)
故选：C
4．动点A 在圆 x2 + y2 =1上移动时，它与定点B 3,0 连线的中点的轨迹方程是 （ ）
A． x2 + y2 + 3x + 2 = 0 B． x2 + y2 - 3x + 2 = 0
C． x2 + y2 + 3y + 2 = 0 D． x2 + y2 - 3y + 2 = 0
【答案】B
【详解】设连线的中点为P(x, y) ,则因为动点 A(xA , yA ) 与定点B 3,0 连线的中点为P(x, y) ,故
ì xA + 3
= x 2 ìxA = 2x - 3
í í ,又A 在圆 x2 + y2 =1上,故 (2x - 3)2 + (2y)2 =1
yA + 0 y yA = 2y
,
=
2
即 4x2 -12x + 9 + 4y2 =1,4x2 -12x + 8 + 4y2 = 0即 x2 + y2 - 3x + 2 = 0
故选 B
二、多选题
5．在平面直角坐标系 xOy 中，已知定点 A 0，1 ，B 3，1 ，动点 P 满足 PA = 2 PB ，记动点 P 的轨迹为曲
线C ，直线 l : kx - y + 2 - 3k = 0(k R) ，则下列结论中正确的是（ ）
A．曲线C 的方程为 (x - 4)2 + ( y -1)2 = 4 B．直线 l与曲线C 的位置关系无法确定
C．若直线 l与曲线C 相交，其弦长为 4，则 k = -2 D． BP 的最大值为 3
【答案】AD
【详解】设动点P(x, y) ，由 PA = 2 PB ，则 x2 + ( y -1)2 = 2 (x - 3)2 + ( y -1)2 ，化简得
(x - 4)2 + ( y -1)2 = 4 ， A 选项正确；
直线 l : k(x - 3) - y + 2 = 0过定点 D(3,2) ，点D在圆C 内，直线 l与曲线C 相交，B 选项错误；
弦长为 4，等于圆的直径，圆心 (4,1)在 l上，代入直线方程得 k = -1，C 选项错误；
由 (x - 4)2 + ( y -1)2 = 4 ，圆心C 4,1 ，半径为 2， BP = BC + 2 = (4 - 3) + 2 = 3max ， D 选项正确.
故选：AD
三、填空题
6．写一个关于 y 轴对称，且经过点 A 3,0 的曲线方程 ．
【答案】 x2 + y2 = 9（答案不唯一）
【详解】解：满足题意的方程可以为 x2 + y2 = 9，答案不唯一，符合题意即可．
故答案为： x2 + y2 = 9（答案不唯一）.
MA
7．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A 0, -1 ，P t, t - 2 ，若动点满足 = 2MO （O为坐标原点），则 MP
的最小值是 .
2
【答案】
2
【详解】设点M 的坐标为 (x, y)，
MA x2 + (y +1)2
因为 = 2 ，可得 = 2MO ，整理得 x
2 + (y -1)2 = 2，
x2 + y2
又由点P t, t - 2 ，可得点 P 在直线 x - 2 = y，即 x - y - 2 = 0 ，
-1- 2 2
则圆心M (0,1) 到直线 x - y - 2 = 0 的距离为 d = =
12
，
+ (-1)2 2
MP 2即 的最小值是 .
2
2
故答案为： .
2
四、解答题
8．已知圆(x+1)2+y2=2 上动点 A，x 轴上定点 B(2，0)，将 BA 延长到 M，使 AM=BA，求动点 M 的轨迹方程.
【答案】(x+4)2+y2=8.
【详解】设 A(x1，y1)，M(x，y)，∵AM=BA，且 M 在 BA 的延长线上，
∴A 为线段 MB 的中点，
ìx x + 2
1
=
2
由中点坐标公式得 í
y y
，
1
=
2
x + 2 2 2
∵A 在圆上运动，将点 A 的坐标代入圆的方程，可得 +1
+
y
÷ ÷ = 2，
è 2 è 2
化简得(x+4)2+y2=8，∴点 M 的轨迹方程为(x+4)2+y2=8.
一、单选题
1．已知直线 l 的方程是 f x, y = 0，点M x0, y 0 不在直线 l 上，则方程 f x, y - f x0 , y0 = 0表示的曲线
是
A．直线 l B．与 l 垂直的一条直线
C．与 l 平行的一条直线 D．与 l 平行的两条直线
【答案】C
【详解】因为点M x0, y 0 不在直线 l 上，所以 f x0 , y0 是不为 0 的常数，所以方程 f x, y - f x0 , y0 = 0
表示过点M x0, y 0 且与直线 l 平行的一条直线.
故选: C.
2．下列各对方程中，表示相同曲线的一组是（ ）.
A． y = x 与 y = x B． (x -1)2 + (y + 2)2 = 0与 x -1 y + 2 = 0
C． y
1
= 与 xy =1 D． y = lg x2 与 y = 2lg xx
【答案】C
【详解】A， y = x 表示直线， x R ， y = x 中 x 0 ，不相同；
B． (x -1)2 + (y + 2)2 = 0表示点 (1, -2) ， x -1 y + 2 = 0表示两条直线 x =1和 y=- 2 ，不相同；
C． y
1
= 与 xy =1
1
x 都表示双曲线
y =
x ，相同．
D． y = lg x2 中 x 0，而 y = 2lg x中 x > 0，不表示相同曲线．
故选：C．
3．若函数 f x 是定义域和值域均为 0,1 的单调递增函数，我们称曲线 y = f x 为洛伦兹曲线，它在经济
学上用来描述一个国家的家庭收入分布情况．如图，设曲线 y = f x 与直线 y = x 所围成的区域面积为 A，
曲线 y = f x A与直线 x =1，x 轴围成的区域面积为 B，定义基尼系数G = ，基尼系数可以衡量一个国
A + B
家家庭收入分布不平均的程度．若某个国家的洛伦兹曲线为 y = - 1- x2 +1 0 x 1 ，则该国家的基尼系数
为（ ）．
π 1 π
A． - B．1-
4 2 4
π 1 π
C． - D． -1
2 2 2
【答案】D
【详解】由 y = - 1- x2 +1 0 x 1 ，可得 x2 + (y -1)2 =1（0 x 1），
1
所以洛伦兹曲线是圆心为( 0, 1)，半径为 1 的 圆周，
4
1 1 1 1
所以 A = π 12 - 1 1 = π - ，
4 2 4 2
B =1 1 1- π 12 =1- π，
4 4
1 p 1A - 1
所以G = = 4 2 = π -1，
A + B 1 p 1 1- +1- p 2
4 2 4
故选：D
4．通过斜截圆柱可得到一椭圆截面．现将圆柱的侧面从任意处展开成长方形，所得的椭圆截面的截线始终
为平滑的曲线．则该截线在展开图上的方程最可能为下列哪种曲线的一部分（ ）
A． y = x2 B． y = cos x C． y = x D． y = e x
【答案】B
【详解】如下图所示：
沿着椭圆短轴端点所在的某条母线展开如下图所示：
结合图形可知，该截线在展开图上的方程最可能为曲线 y = cos x的一部分.
故选：B.
二、多选题
5．双纽线也称伯努利双纽线，是指定线段 AB 长度为 2a ，动点M 满足 | MA | × | MB |= a2，那么M 的轨迹称
为双纽线.已知曲线C : x2 + ( y -1)2 × x2 + ( y +1)2 = 1为双纽线，下列选项判断正确的是（ ）
A．曲线C 关于 x 轴对称
B．曲线C 不关于 (0,0)对称
C．曲线C 上的点的纵坐标的取值范围是[- 2, 2]
D 1． P 为曲线C 上的动点， A, B的坐标为 (0,1), (0,-1) ，则VPAB 面积的最大值为 2
【答案】ACD
【详解】对于 A，设曲线C 上任一点为 (x, y)，则其关于 x 轴对称的点为 (x, -y)，
所以 x2 + (-y -1)2 × x2 + (-y +1)2 = x2 + (y +1)2 × x2 + (y -1)2 =1，
即点 (x, -y)也在曲线C 上，
所以曲线C 关于 x 轴对称，故 A 正确；
对于 B，设曲线C 上任一点为 (x, y)，则其关于 (0,0)对称的点为 (-x, -y)，
-x 2 + (-y -1)2 × -x 2所以 + (-y +1)2 = x2 + (y +1)2 × x2 + (y -1)2 =1，
即点 (-x, -y)也在曲线C 上，
所以曲线C 关于 (0,0)对称，故 B 错误；
对于 C，因为 x2 + (y -1)2 (y -1)2 =| y -1|，当且仅当 x = 0时取等号，
x2 + (y +1)2 (y +1)2 =| y +1|，当且仅当 x = 0时取等号，
所以 x2 + (y -1)2 × x2 + (y +1)2 | y -1| × | y +1|=| y2 -1|，当且仅当 x = 0时取等号，
所以 | y2 -1| 1，即-1 y2 -1 1，解得- 2 y 2 ，故 C 正确；
1
对于 D，设 APB = q ，则 SVPAB = | PA | × | PB | sinq ，2
因为 P 为曲线C 上的点，
所以 | PA | × | PB |=1，
1
所以 SVPAB = sinq ，2
1
当 sinq =1时，即PA ^ PB 时， SVPAB =max ，故 D 正确.2
故选：ACD
三、填空题
6．已知点M x, y 在曲线 x2 + 2y2 = 4 上运动，点A 为 8,2 ，则MA中点 P 的轨迹方程是 .
【答案】 x2 + 2y2 -8x - 4y +17 = 0
【详解】设P m,n ，
由于点 P 是MA中点，且点M x, y ， A 8,2 ，
ìm x + 8
=
2 ìx = 2m - 8
所以 í y ，所以 í ， n + 2
y = 2n - 2
=
2
又点M x, y 在曲线 x2 + 2y2 = 4 上，
所以 2m - 8 2 + 2 2n - 2 2 = 4 ，
所以m2 + 2n2 -8m - 4n +18 = 0，
所以MA中点 P 的轨迹方程是 x2 + 2y2 -8x - 4y +17 = 0 .
故答案为： x2 + 2y2 -8x - 4y +17 = 0 .
7．曲线C 是平面内到直线 l 21 : x=-1和直线 l2 : y = 1的距离之积等于常数 k (k > 0)的点的轨迹，下列四个结论：
①曲线C 过点(-1，1)；
②曲线C 关于点(-1，1)成中心对称；
③若点 P 在曲线C 上，点 A, B分别在直线 l1, l2 上，则 PA + PB 不小于 2k;
④设P0 为曲线C 上任意一点，则点P0 关于直线 l1 : x=-1，点 (-1,1)及直线 l2 : y = 1对称的点分别为P1, P2 , P3 ,则四
边形P0P1P2P3的面积为定值2k 2 .其中，所有正确结论的序号是 .
【答案】②③
【详解】由题意设动点坐标为 x, y ，
则利用题意及点到直线的距离公式得： x +1 y -1 = k 2 ，
对于① ：将 -1,1 代入验证， -1+1 1-1 = 0，不满足题意，所以① 不正确；
对于②：把方程中的 x 被-2 - x代换， y 被 2 - y代换，方程不变，故曲线C 关于点(-1，1)成中心对称；所以②
正确；
对于③：由题意知点 P 在曲线C 上，点 A, B分别在直线 l1, l2 上，
则 PA x +1 , PB y -1 ，所以 PA + PB 2 PA PB = 2k ，
所以③正确；
2
对于④：由题意知点 P 在曲线C 上，根据对称性，则四边形P0P1P2P3的面积为： 2 x +1 2 y -1 = 4k ,所以④
不正确；
故答案为：②③.
四、解答题
uuur uuur
8．已知点 A(1,0)，直线 l : y = 2x - 6，点 R 是直线 l上的一点，若RA = 2AP ，求点 P 的轨迹方程．
【答案】 y = 2x
【详解】设P x, y , R x1, y1 ，
uuur uuur
则RA = 1- x1, -y1 , AP = x -1, y ，
uuur uuur
由于RA = 2AP ，
所以 1- x1, -y1 = 2 x -1, y = 2x - 2,2y ，
ì1- x1 = 2x - 2 ìx1 = 3- 2x
所以 í
-y 2y
，整理得
= í1 y1 = -2y
，
由于R x1, y1 在直线 l上，所以-2y = 2 3 - 2x - 6 ，
即 P 点的轨迹方程为 y = 2x .
AB
9．在△ABC 中，已知 BC = 2，且 = mAC ，求点 A 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．
【答案】见解析
【详解】
如图，以直线 BC 为 x 轴.线段 BC 的中点为原点，建立直角坐标系．
则有B -1,0 ，C 1,0 ，设点 A 的坐标为 x, y
AB
= m x +1 2 + y2 = m x -1 2由 2AC ，得 + y
m2 -1 x2 + m2整理成 -1 y2 - 2 m2 +1 + m2 -1 = 0 ①
当m2 =1时，m =1，方程是 x = 0，轨迹是 y 轴．
2
m2 +1 4m2
当m2
2
1时，对①式配方，得 x - + y =
è m
2 -1÷ m2 2-1
m2 +1 2m
所以，点 A 的轨迹是以 m2
,0
-1 ÷
为圆心， m2è -1
为半径的圆（除去圆与 BC 的交点）
一、单选题
1．关于曲线C : x2 + xy + y2 = 4，给出下列四个结论：
①曲线 C 关于原点对称，但不关于 x 轴， y 轴对称；
②曲线 C 恰好经过 8 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
③曲线 C 上任意一点到原点的距离都不大于 2 2 ；
④曲线 C 上任意一点到原点的距离都不小于 2．
其中，正确结论的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】曲线C : x2 + xy + y2 = 4，
对于①，将-x替换 x ， -y替换 y ，代入曲线可得 x2 + xy + y2 = 4，所以曲线关于原点对称；
将-x替换 x ，代入曲线可得 x2 - xy + y2 = 4，所以曲线不关于 y 轴对称；
将 -y替换 y ，代入曲线可得 x2 - xy + y2 = 4，所以曲线不关于 x 轴对称，故①正确；
对于②，当 x = 0时， y = ±2，所以经过 0,2 ， 0, -2 ；
当 y = 0 时， x = ±2，所以经过 2,0 ， -2,0 ；
当 x = ±1时， y 无整数解；
当 x = 2时， y=- 2 ，所以经过 2, -2 ；
当 x = -2时， y = 2，所以经过 -2,2 ，所以曲线 C 恰好经过 6 个整点，故②错误；
2 2
对于③④，由 x2 + xy + y2 = 4，得 xy = 4 - x + y ，
x2 + y2 x2 + y2 2xy xy x + y
2
由于 ，即- ，
2 2 2
x2 + y2 x2 + y2
则有- 4 - x2 + y2 ，2 2
8 2 2
解得 x + y 8 2 6，即
3 x
2 + y2 2 2 ，故③正确，④错误.
3
故选：B.
2．已知 A(1,0)，B(-1,0)，动点M 满足 | MA | - | MB |= 2，则点M 的轨迹方程是（ ）
A． y = 0(x -1) B． y = 0(x -1) C． y = 0(-1 x 1) D． y = 0(| x | 1)
【答案】A
【详解】解：Q点 A(1,0)，B(-1,0)，
\ AB = 2，
又动点M 满足 MA - MB = 2 = AB ，所以点M 的轨迹是以 B 端点、沿 x 轴向左的一条射线，
\点M 的轨迹方程为 y = 0 x -1 ；
故选：A
3．阿基米德螺线是一个点匀速离开一个固定点的同时又以固定的角速度绕该固定点转动而产生的轨迹．如
图，在平面直角坐标系 xOy 中，螺线与坐标轴依次交于点 A1 -1,0 ， A2 0, -2 ， A3 3,0 ， A4 0,4 ，
A5 -5,0 ， A6 0, -6 ， A7 7,0 ， A8 0,8 ，并按这样的规律继续下去．若四边形 An An+1An+2 An+3的面积为 760，
则 n 的值为（ ）
A．18 B．19 C．21 D．22
【答案】A
【详解】如图，四边形 An An+1An+2 An+3的面积由四个直角三角形构成，
1
得 n n +1 1 n 1 1+ +1 n + 2 + n + 2 n + 3 + n n + 3 = 760，
2 2 2 2
n n +1+ n + 3 + n + 2 n +1+ n + 3 =1520 ，
2n + 4 2n + 2 =1520，
即 n + 2 n +1 = 380， n N*，
解得： n =18
故选：A
二、多选题
PA
4．若动点 P 满足 =（k k > 0 PPB 且 k 1）（其中点 A，B 是不重合的两个定点），则点 的轨迹是一个圆，该
轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿波罗尼斯圆 .已知点（A - 2，0），B（2，0），动点 P 满足
PA
= 2 P
PB ，点 的轨迹为圆C ，则 （ ）
A．圆C 的方程为（x - 6）2 + y2 = 32
AM
B．若圆C 与线段 AB 交于点M ，则 = 2MB
C．若点 P 与点 A，B 不共线，则VPAB 面积的最大值为 4 6
D．若点 P 与点 A，B 不共线，VPAB 的周长的取值范围是（8，16 + 8 2）
【答案】ABD
PA
【详解】设P（x，y），由 = 2PB 得（x + 2）
2 + y2 =（2 x - 2）2 + 2y2，
整理得 x2 + y2 -12x + 4 = 0，即（x - 6）2 + y2 = 32，故 A 正确；
AM
M 在C 上，所以 = 2MB ，故 B 正确
；
点 P 到直线 AB 距离的最大值为C 的半径 4 2 ，
1
所以VPAB 面积的最大值为 4 4 2 = 8 2 ，故 C 错误；
2
VPAB 的周长 PA + PB + AB =（1+ 2）PB + 4 ，
因为 B 在圆C 内部，故 PB 的取值范围为（4 2 - 4，4 2 + 4），
所以（1+ 2）PB + 4的取值范围为（8，16 + 8 2），
所以VPAB 的周长的取值范围是（8，16 + 8 2），故 D 正确 .
故选:ABD.
5．双纽线像数字“8”，不仅体现了数学的对称美、艺术美，而且是形成其它一些常见的漂亮图案的基石，也
是许多设计者设计作品的主要几何元素．曲线C : (x2 + y2 )2 = 4(x2 - y2 )是双纽线，则下列结论正确的是
（ ）
A．曲线 C 经过 7 个整点(横、纵坐标均为整数的点)
B．曲线 C 上任意一点到坐标原点 O 的距离都不超过 2
C．曲线 C 关于直线 y＝x 对称的曲线方程为 (x2 + y2 )2 = 4(y2 - x2 )
D．当|k|≥1，则直线 y＝kx 与曲线 C 只有一个交点
【答案】BCD
2 2 2【详解】 x + y = 4(x2 - y2 ) 4(x2 + y2 ) ，则 x2 + y2 4 ， x2 + y2 2，当 x2 = 4, y2 = 0时取等号，B 对；
x = 0时， y = 0 ，整点(0，0)； x = 1时， y2 = 2 3 - 3 (0,1) ； x = 2时， y2 = 0 ，整点(－2，0)，(2，0)，
有 3 个整点，A 错；
在曲线上任取一点(x，y)经 y＝x 对称后变为(y，x)，∴ (x2 + y2 )2 = 4(y2 - x2 )，C 对；
ì(x2 + y2 )2 = 4(x2 - y2 )
y x2 é(k 2 +1)x2 - 4(1- k 2í ，消 可得 ) ù = 0 ， k ≥1，
y = kx
(k 2 +1)2 x2 - 4(1- k 2 ) 0，只有 x = 0一个根，交点为(0，0)，D 对；
故选：BCD.
三、填空题
6．方程 x - 2 2 + y + 3 = 0表示的图形是 ．
【答案】点 2，- 3
【详解】由 x - 2 2 + y + 3 = 0 2，且 x - 2 0， y + 3 0
ìx - 2 = 0 ìx = 2
所以 íy 3 0 ，从而得到+ = í y = -3
所以方程 x - 2 2 + y + 3 = 0表示的图形表示点 2，- 3 ．
故答案为：点 2，- 3 ．
7．2022 年卡塔尔世界杯会徽（如图）正视图近似伯努利双纽线.定义在平面直角坐标系 xOy 中，把到定点
F1(-a,0), F2(a,0)距离之积等于 a2 (a > 0)的点的轨迹称为双纽线C .已知点P x0, y 0 是双纽线 C 上一点.下列
a a
说法中正确的有 .①双纽线C 关于原点O中心对称； ②- y0 ；③双纽线C 上满足 PF2 2 1
= PF2
的点 P 有两个； ④. | PO |的最大值为 2a .
【答案】①②④
【详解】对于①，因为定义在平面直角坐标系 xOy 中，把到定点F1(-a,0), F2(a,0)距离之积等于 a2 (a > 0)的
点的轨迹称为双纽线C ，
所以 (x + a)2 + y2 (x - a)2 + y2 = a2 ，
用 (-x, -y)替换方程中的 (x, y)，原方程不变，所以双纽线C 关于原点O中心对称，所以①正确，
1 1
对于②，根据三角形的等面积法可知 PF1 PF2 sin F1PF2 = 2a y0 ，2 2
a a a a
即 y0 = sin F1PF2 ，所以- y2 2 2 0
，所以②正确，
2
对于③，若双纽线C 上的点 P 满足 PF1 = PF2 ，则点 P 在 y 轴上，即 x = 0，
所以 a2 + y2 a2 + y2 = a2 ，得 y = 0 ，所以这样的点 P 只有一个，所以③错误，
uuur uuur uuuur
对于④，因为PO
1
= (PF1 + PF2 2
)，
uuur 2 1 uuur 2 uuur uuuur uuuur 2 uuur 2 uuur uuuur uuuur 2所以 PO = PF1 + 2PF PF PF 11 × 2 + 2 = PF1 + 2 PF1 × PF2 cos F PF + PF4 4 1 2 2 ，
uuur 2 uuur uuuur uuuur
由余弦定理得 4a2
2
= PF1 - 2 PF1 × PF2 cos F1PF2 + PF2 ，
uuur 2 uuur uuuur
所以 PO = a2 + PF1 × PF2 cos F1PF
2 2
2 = a + a cos F1PF2 2a
2，
所以 | PO |的最大值为 2a，所以④正确，
故答案为：①②④
四、解答题
8．在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 P 在 x 轴上截得的线段长为 2 2 ，在 y 轴上截得的线段长为 2 3 .
(1)求圆心 P 的轨迹方程；
(2) 2若 P 点到直线 y=x 的距离为 （且 P 点在直线 y=x 上方），求圆 P 的方程.
2
【答案】(1) y2 - x2 =1
(2) x2 + (y -1)2 = 3
【详解】（1）设P x, y ，圆 P 的半径为 r ，
因为圆 P 在 x 轴上截得的线段长为 2 2 ，圆心 P 到 x 轴的距离为 d = y ，
2
故由垂径定理推得的弦长公式 AB = 2 r 2 2
2
- d 2 2，即 AB = 4 r - d 可得 2 2 = 4 r 2 - y 2 ，整理得
y2 + 2 = r 2 ，
同理可得： x2 + 3 = r 2，
所以 y2 + 2 = x2 + 3，即 y2 - x2 =1，
故 P 点的轨迹方程为 y2 - x2 =1.
（2）设 P 点的坐标为 x0 ,y0 ，直线 y=x 可化为 x - y = 0，
x
则由点线距离公式得 0
- y0 2= ，即 x0 - y0 =1，
2 2
所以 y0 - x0 = ±1，即 y0 = x0 ±1，
当 y0 = x0 -1时，由直线的几何意义可知直线 y = x -1在直线 y=x 下方，而 P 点在直线 y = x -1上，故 P 点在直
线 y=x 下方，这与 P 点在直线 y=x 上方矛盾，舍去，故 y0 = x0 +1，
ìy0 =x0 +1 2
联立 í 2 2 ，消去 y0 ，得 x 2y - x =1 0 +1 - x0 =1，解得 x0 = 0，故 y0 =1， 0 0
2 2
所以圆 P 的圆心为P 0,1 ，半径的平方为 r = x0 + 3 = 3，
故圆 P 的方程为 x2 + (y -1)2 = 3 .2.4 曲线与方程
分层练习
一、单选题
1．在平面直角坐标系内，到点 A 1,2 和直线 l： x + y - 3 = 0距离相等的点的轨迹是（ ）
A．直线 B．抛物线 C．椭圆 D．双曲线
2．已知坐标满足方程 f (x, y) = 0的点都在曲线C 上，那么
A．曲线C 上的点的坐标都适合方程 f (x, y) = 0
B．不在C 上的点的坐标必不适合 f (x, y) = 0
C．凡坐标不适合 f (x, y) = 0的点都不在C 上
D．不在C 上的点的坐标有些适合 f (x, y) = 0，有些不适合 f (x, y) = 0
3．在平面直角坐标系 xOy 中，点 B 与点 A(-1,1)关于原点O对称，点 P 是动点，且直线 AP 与BP的斜率之积
1
为- ，则点 P 的轨迹方程为（ ）
3
A．3x2 + y2 = 4(x ±1) B．3x2 + y2 =1(x ±1)
C． x2 + 3y2 = 4(x ±1) D． x2 + 3y2 =1(x ±1)
4．动点A 在圆 x2 + y2 =1上移动时，它与定点B 3,0 连线的中点的轨迹方程是 （ ）
A． x2 + y2 + 3x + 2 = 0 B． x2 + y2 - 3x + 2 = 0
C． x2 + y2 + 3y + 2 = 0 D． x2 + y2 - 3y + 2 = 0
二、多选题
5．在平面直角坐标系 xOy 中，已知定点 A 0，1 ，B 3，1 ，动点 P 满足 PA = 2 PB ，记动点 P 的轨迹为曲
线C ，直线 l : kx - y + 2 - 3k = 0(k R) ，则下列结论中正确的是（ ）
A．曲线C 的方程为 (x - 4)2 + ( y -1)2 = 4 B．直线 l与曲线C 的位置关系无法确定
C．若直线 l与曲线C 相交，其弦长为 4，则 k = -2 D． BP 的最大值为 3
三、填空题
6．写一个关于 y 轴对称，且经过点 A 3,0 的曲线方程 ．
MA
7．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A 0, -1 ，P t, t - 2 ，若动点满足 = 2MO （O为坐标原点），则 MP
的最小值是 .
四、解答题
8．已知圆(x+1)2+y2=2 上动点 A，x 轴上定点 B(2，0)，将 BA 延长到 M，使 AM=BA，求动点 M 的轨迹方程.
一、单选题
1．已知直线 l 的方程是 f x, y = 0，点M x0, y 0 不在直线 l 上，则方程 f x, y - f x0 , y0 = 0表示的曲线
是
A．直线 l B．与 l 垂直的一条直线
C．与 l 平行的一条直线 D．与 l 平行的两条直线
2．下列各对方程中，表示相同曲线的一组是（ ）.
A． y = x 与 y = x B． (x -1)2 + (y + 2)2 = 0与 x -1 y + 2 = 0
1
C． y = 与 xy =1 D． y = lg x2x 与
y = 2lg x
3．若函数 f x 是定义域和值域均为 0,1 的单调递增函数，我们称曲线 y = f x 为洛伦兹曲线，它在经济
学上用来描述一个国家的家庭收入分布情况．如图，设曲线 y = f x 与直线 y = x 所围成的区域面积为 A，
A
曲线 y = f x 与直线 x =1，x 轴围成的区域面积为 B，定义基尼系数G = ，基尼系数可以衡量一个国
A + B
家家庭收入分布不平均的程度．若某个国家的洛伦兹曲线为 y = - 1- x2 +1 0 x 1 ，则该国家的基尼系数
为（ ）．
π 1 1 πA． - B． -
4 2 4
π 1
- πC． D． -1
2 2 2
4．通过斜截圆柱可得到一椭圆截面．现将圆柱的侧面从任意处展开成长方形，所得的椭圆截面的截线始终
为平滑的曲线．则该截线在展开图上的方程最可能为下列哪种曲线的一部分（ ）
A． y = x2 B． y = cos x C． y = x D． y = e x
二、多选题
5．双纽线也称伯努利双纽线，是指定线段 AB 长度为 2a ，动点M 满足 | MA | × | MB |= a2，那么M 的轨迹称
为双纽线.已知曲线C : x2 + ( y -1)2 × x2 + ( y +1)2 = 1为双纽线，下列选项判断正确的是（ ）
A．曲线C 关于 x 轴对称
B．曲线C 不关于 (0,0)对称
C．曲线C 上的点的纵坐标的取值范围是[- 2, 2]
D． P 为曲线C 上的动点， A, B的坐标为 (0,1), (0,-1) ，则VPAB 1面积的最大值为 2
三、填空题
6．已知点M x, y 在曲线 x2 + 2y2 = 4 上运动，点A 为 8,2 ，则MA中点 P 的轨迹方程是 .
7．曲线C 是平面内到直线 l1 : x=-1和直线 l2 : y = 1的距离之积等于常数 k 2 (k > 0)的点的轨迹，下列四个结论：
①曲线C 过点(-1，1)；
②曲线C 关于点(-1，1)成中心对称；
③若点 P 在曲线C 上，点 A, B分别在直线 l1, l2 上，则 PA + PB 不小于 2k;
④设P0 为曲线C 上任意一点，则点P0 关于直线 l1 : x=-1，点 (-1,1)及直线 l2 : y = 1对称的点分别为P1, P2 , P3 ,则四
边形P0P1P2P3的面积为定值2k 2 .其中，所有正确结论的序号是 .
四、解答题
8．已知点 A(1,0)，直线 l : y = 2x 6
uuur uuur
- ，点 R 是直线 l上的一点，若RA = 2AP ，求点 P 的轨迹方程．
AB
9．在△ABC 中，已知 BC = 2，且 = mAC ，求点 A 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．
一、单选题
1．关于曲线C : x2 + xy + y2 = 4，给出下列四个结论：
①曲线 C 关于原点对称，但不关于 x 轴， y 轴对称；
②曲线 C 恰好经过 8 个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；
③曲线 C 上任意一点到原点的距离都不大于 2 2 ；
④曲线 C 上任意一点到原点的距离都不小于 2．
其中，正确结论的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知 A(1,0)，B(-1,0)，动点M 满足 | MA | - | MB |= 2，则点M 的轨迹方程是（ ）
A． y = 0(x -1) B． y = 0(x -1) C． y = 0(-1 x 1) D． y = 0(| x | 1)
3．阿基米德螺线是一个点匀速离开一个固定点的同时又以固定的角速度绕该固定点转动而产生的轨迹．如
图，在平面直角坐标系 xOy 中，螺线与坐标轴依次交于点 A1 -1,0 ， A2 0, -2 ， A3 3,0 ， A4 0,4 ，
A5 -5,0 ， A6 0, -6 ， A7 7,0 ， A8 0,8 ，并按这样的规律继续下去．若四边形 An An+1An+2 An+3的面积为760，
则 n 的值为（ ）
A．18 B．19 C．21 D．22
二、多选题
PA
4．若动点 P 满足 =（k k > 0PB 且 k 1）（其中点 A，B 是不重合的两个定点），则点 P 的轨迹是一个圆，该
轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称作阿波罗尼斯圆 .已知点 A（- 2，0），B（2，0），动点 P 满足
PA
= 2
PB ，点
P 的轨迹为圆C ，则 （ ）
A．圆C 的方程为（x - 6）2 + y2 = 32
AM
B．若圆C 与线段 AB 交于点M ，则 = 2MB
C．若点 P 与点 A，B 不共线，则VPAB 面积的最大值为 4 6
D．若点 P 与点 A，B 不共线，VPAB 的周长的取值范围是（8，16 + 8 2）
5．双纽线像数字“8”，不仅体现了数学的对称美、艺术美，而且是形成其它一些常见的漂亮图案的基石，也
是许多设计者设计作品的主要几何元素．曲线C : (x2 + y2 )2 = 4(x2 - y2 )是双纽线，则下列结论正确的是
（ ）
A．曲线 C 经过 7 个整点(横、纵坐标均为整数的点)
B．曲线 C 上任意一点到坐标原点 O 的距离都不超过 2
C．曲线 C 关于直线 y＝x 对称的曲线方程为 (x2 + y2 )2 = 4(y2 - x2 )
D．当|k|≥1，则直线 y＝kx 与曲线 C 只有一个交点
三、填空题
6．方程 x - 2 2 + y + 3 = 0表示的图形是 ．
7．2022 年卡塔尔世界杯会徽（如图）正视图近似伯努利双纽线.定义在平面直角坐标系 xOy 中，把到定点
F1(-a,0), F2(a,0)距离之积等于 a2 (a > 0)的点的轨迹称为双纽线C .已知点P x0, y 0 是双纽线 C 上一点.下列
a a
说法中正确的有 .①双纽线C 关于原点O中心对称； ②- y0 ；③双纽线C 上满足 PF1 = PF2 2 2
的点 P 有两个； ④. | PO |的最大值为 2a .
四、解答题
8．在平面直角坐标系 xOy 中，已知圆 P 在 x 轴上截得的线段长为 2 2 ，在 y 轴上截得的线段长为 2 3 .
(1)求圆心 P 的轨迹方程；
(2)若 P 2点到直线 y=x 的距离为 （且 P 点在直线 y=x 上方），求圆 P 的方程.
2
