2.5.1 椭圆的标准方程
分层练习
一、单选题
1．点 M 与定点F (2,0)的距离和它到定直线 x = 8的距离的比为1: 2，则点 M 的轨迹方程为（ ）
x2 y2 x 2 y 2 2 2 2 2A． + =1 B． + = 1 C x y x y． + =1 D． + = 1
12 8 8 4 16 12 8 6
【答案】C
【详解】设M (x, y)，
因为点 M 与定点F (2,0)的距离和它到定直线 x = 8的距离的比为1: 2，
(x - 2)2 + y2 1
所以 = ，即 4(x - 2)2 + 4y2 = (x -8)2 ，
x -8 2
x2 y2
整理得 + =1，
16 12
故选:C.
2．经过点 P(3，0)，Q(0，2)的椭圆的标准方程为（ ）
x2 y2 y2 x2 x2 2 2 2A y． + =1 B． + =1 C． - =1 D y x． - =1
9 4 9 4 9 4 9 4
【答案】A
x2 y2
【详解】依题意可知 a = 3,b = 2且椭圆焦点在 x 轴上，故椭圆方程为 + =1.
9 4
故选：A
x2 23 y．已知椭圆 + =1的左 右焦点分别为F1, F2 ，过F1的直线与椭圆相交于 A, B两点，且 AF2 + BF2 = 2 AB ，9 4
则 AB 的长等于（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
x2 y2
【详解】由 + =1，得 a2 = 9，则 a = 3，
9 4
由题意可得 AF2 + AF1 + BF1 + BF2 = 4a =12，
因为 AF2 + BF2 = 2 AB ， AF1 + BF1 = AB ，
所以3 AB =12，得 AB = 4，
故选：A.
x2 24 y．已知F1，F2 是椭圆E ： + =1的两个焦点，过点F1且斜率为 k 的直线 l与E 交于M ， N 两点，则12 8
VMNF2的周长为（ ）
A．8 B．8 2 C．8 3 D．与 k 有关
【答案】C
【详解】由题意得：a 2 = 12，即 a = 2 3 ，
由椭圆的定义可得： MF1 + MF2 = 2a = 4 3 ， NF1 + NF2 = 2a = 4 3 ，
且 MN = MF1 + NF1 ，
所以VMNF2的周长为
C△MNF = MF2 + MN + NF2 = MF2 + MF1 + NF1 + NF∣2 = 4 3 + 4 3 = 8 3 .2
故选：C
二、多选题
5．（多选）若直线 l : 2x + by + 3 = 0 过椭圆C :10x2 + y2 =10 的一个焦点，则实数 b 的值可以是（ ）
1
A． -1 B 1． 2 C．1 D．- 2
【答案】AC
y2
【详解】将椭圆 C 的方程化为标准形式，易知椭圆 x2 + = 1的焦点为F1 0, -3 ，F2 0,3 ，代入直线 l 的10
方程中解得b =1或 -1．故选：AC．
三、填空题
x2 26 y．已知方程 - =1表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 k 的取值范围为 ．
k - 4 k -10
【答案】7 < k <10
x2 y2
【详解】化成椭圆标准形式得 + =1，
k - 4 10 - k
根据其表示焦点在 x 轴上的椭圆，
ìk - 4 > 0
得 í10 - k > 0 ，解得7 < k < 10．故答案为：7 < k < 10
k - 4 >10 - k
7．若椭圆 2kx2＋ky2＝1 的一个焦点为(0，－4)，则 k 的值为 ．
1
【答案】
32
y2 x2 1 1
【详解】解析：易知 k≠0，方程 2kx2＋ky2＝1 变形为 1 ＋ 1 ＝1，因为焦点在 y 轴上，所以 － =16，
k 2k
k 2k
1 1
解得 k = ．故答案为：
32 32
四、解答题
8．如图，椭圆的上半部分拱形用于支撑横跨 20m 水面宽的桥，拱的中心距河面 6m.试写出椭圆的一个方程.
x2 y2
【答案】 + =1， y 0,6
100 36
【详解】建立如图所示平面直角坐标系，
由已知可得： AB = 20 ，OM = 6，则在椭圆中有： a =10，b = 6，
x2 y2
故椭圆的标准方程为： + =1， y 0,6 .
100 36
2 2
9 x y．已知椭圆C : + = 1的左右焦点分别为F1 F2 ，P 是椭圆上的动点，求 PF1 × PF2 的最大值及最小值.25 9
【答案】最大值 25，最小值 9.
2 2
【详解】对椭圆C : x y+ = 1， a = 5,c = 4，不妨设 PF1 = x25 9
又 PF1 a - c, a + c ，即 x 1,9 ，则 PF2 =10 - x ，
PF1 × PF2 = x 10 - x , x 1,9 ，
对 y = x 10 - x ，其在 1,5 单调递增，在 5,9 单调递减.
故当 x = 5时， ymax = 5 5 = 25，当 x =1或9时， ymin = 9 .
即 PF1 × PF2 的最大值和最小值分别为 25和9 .
一、单选题
1．椭圆 2x2 + y2 =1的焦点坐标为（ ）
A．F1(-1,0), F2 (1,0) B．F1(0, -1), F2 (0,1)
2
C．F1 - ,0÷÷ , F
2 2 2
2 2
,0÷÷ D．F1 0,- ÷ , F2 0, ÷
è è 2 è 2 è 2
【答案】D
x2 2
【详解】由 2x2 + y2 =1可得 1 + y =1，
2
故该椭圆焦点在 y 轴上，
a2 =1,b2 1= ，
2
c2 = a2 - b2 1所以 = ，
2 c
2
= ，
2
2
故焦点坐标为F1 0,- ÷ , F2 0,
2
÷，
è 2 è 2
故选：D
2 2
2 x y．设F1，F2 分别是椭圆 + =1的左，右焦点， P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为 4,4 ，则 PM + PF4 3 1
的最大值为（ ）
A．9 B．1 C．2 D．0
【答案】A
x2 y2
【详解】由题知，椭圆 + =1，F1，F2 分别是的左，右焦点，4 3
所以 a = 2,b = 3,c =1，
所以F1(-1,0), F2 (1,0)，
因为M 4,4 在椭圆的外部，
所以
| PM | + | PF1 |=| PM | +2a- | PF2 |= 4+ | PM | - | PF2 | 4+ | MF2 |= 4 + (4 -1)
2 + 42 = 9，
当且仅当M , F2 , P三点共线时取等号，
故选：A
2 2
3 x y．已知椭圆C ： + =1的左、右焦点为F1，F2 ，上顶点为 P，则（25 16 ）
A．△PF1F2 为锐角三角形 B．△PF1F2 为钝角三角形
C．△PF1F2 为直角三角形 D． P ，F1，F2 三点构不成三角形
【答案】A
x2 y2
【详解】解：由椭圆C ： + =1，得 a2 = 25,b2 = 16,c2 = 9 ，
25 16
则F1 -3,0 , F2 3,0 , P 0,4 ，
则 PF1 = PF2 = 5, F1F2 = 6，
所以 PF1F2 = PF2F1 且为锐角，
PF 2 + PF 2 2因为 1 2 - F1F2 = 25 + 25 - 36 =14 > 0，
所以 F1PF2 为锐角，
所以△PF1F2 为锐角三角形.
故选：A.
4．动点M 分别与两定点 A(-5,0) ，B(5,0)
16
连线的斜率的乘积为- ，设点M 的轨迹为曲线C ，已知 N (2, 3) ，
25
F (-3,0)，则 | MF | + | MN |的最小值为（ ）
A．4 B．8 C． 2 3 D．12
【答案】B
【详解】设动点M 的坐标为M x y y y 16， ，则 × = -
x + 5 x - 5 25
x2 y2
整理后得： + =1 ，动点M 的轨迹为椭圆，左焦点为F -3，0 ，右焦点为F2 3，0 ，25 16
MF + MF2 =10 ，如下图所示，当MF2 经过点 N 时， MF + MN 最短，此时
2
MF + MN =10 - MF2 + MN =10 - 3 - 2
2 + 3 = 8
故选：B
二、填空题
5 x
2 y2
．已知椭圆 + =1的右焦点为 F，点 P 在椭圆上且在 x 轴上方．若线段PF 的中点 M 在以原点 O 为圆心，
25 16
| OF |为半径的圆上，则直线PF 的斜率是 ．
【答案】-2 2 .
【详解】解：设椭圆得左焦点为F ，连接OM , PF ，
x2 y2
由椭圆 + =1得， a = 5,b = 4,c = 3，
25 16
则F -3,0 , F 3,0 ， FF = 2c = 6， PF + PF = 2a =10 ，
因为点 M 在以原点 O 为圆心， | OF |为半径的圆上，
所以 OM = OF = c = 3，
因为O, M 分别为FF , PF 得中点，
所以 PF = 2 OF = 6 ，所以 PF =10 - PF = 4，
cos PFF 16 + 36 - 36 1所以 = = 2 2，则
2 sin PFF
= ，
4 6 3 3
所以 tan PFF = 2 2 ，
因为点 P 在椭圆上且在 x 轴上方，则直线PF 的倾斜角与 PFF 互补，
所以直线PF 的斜率-2 2 .
故答案为：-2 2 .
2 2
6．已知 A, F , B1, B
x y
2 分别为椭圆 2 + =1(a > 2 2)的左顶点 右焦点 上顶点 下顶点，直线 AB1与FB2 相交a 8
uuur uuur
于点 P ，且 AB1 + PB1 = 0，则a = .
【答案】3
【详解】由题可得 A(-a,0), F (c,0), B1(0, 2 2), B2 (0, -2 2),设P(x, y) ，
uuur uuur
因为 AB1 + PB1 = 0，所以B1为 AP 中点，
ì-a + x
= 0 2 ì x = a
所以 í ，解得 í ，所以 P(a, 4 2)，
0 + y = 2 2 y = 4 2
2
根据题意可知，B2 , F , P 三点共线，所以 kB F = k2 B2P ,
2 2 6 2
即 = 解得 a = 3c，所以 a2 = 9c2 = 9(a2 - b2 ) = 9(a2 -8) ，解得 a2 = 9,a = 3 .
c a
故答案为：3.
三、解答题
7 AB x
2 y2
．证明：若 是椭圆 + =1的一条弦，M x0 , y0 y0 0 2 2 是弦 AB 的中点，则 AB 所在直线的斜率a b
k x0 b
2
AB = - ×y0 a
2
【答案】证明见解析；
【详解】不妨设 A x1, y1 , B x2 , y2 ，
由M x0 , y0 y0 0 是弦 AB 的中点可得 x1 + x2 = 2x0 , y1 + y2 = 2y0 ；
ì x 2 21 y1
a2
+ 2 =1
将 A, B b两点代入椭圆方程可得 í
x 2 2
，
2 y
2 +
2 =1
a b2
x 2 - x 2 y 2 - y 21 2 1 2 x1 - x2 x1 + x2 y1 - y2 y1 + y 两式相减可得 2 + 2 =1，即 2 + 22 = 0；a b a b
x + x = 2x , y + y = 2y x1 - x2 x0 y1 - y将 代入化简可得 + 2 y01 2 0 1 2 0 2 2 = 0，a b
y1 - y
2
即 2
x b
= - 0 × ，
x - x y a21 2 0
y1 - y2
由两点间斜率公式可得 kAB = x1 - x
，
2
k x b
2
0
所以可得 AB = - × .y0 a
2
8 x
2 y2 1 3
．椭圆 C： 2 + 2 =1(a > b > 0的离心率为 2 ， P( 3, ) 是椭圆上一点.a b 2
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）F1, F2 为椭圆 C 的左 右焦点，过焦点F
1
1的弦 AB 中点为E(- , t)，求弦 AB 的长.2
2 2 7
【答案】(1) x y+ =1；(2) .
4 3 2
2 2 2 3 3
【详解】(1) c e e2 c 1 b 1 b 3椭圆半焦点 ，离心率 ，依题意有 = = - = ，即 = ，又 + =1，联立解得
a2 a2 4 a2 4 a2 4b2
a2 = 4,b2 = 3，
x2 y2
所以椭圆 C 的方程为 + =1；
4 3
1
(2)由(1)知F1(-1,0)，又过F1的椭圆 C 的弦 AB 中点为E(- , t)，2
t - 0
= 2t
则直线 AB 斜率为 1 y = 2t(x +1)- - (-1) ，直线 AB： ，
2
ìy = 2t(x +1)
由 í 2 2 消去 y 得：3x
2 + 4 ×4t 2 (x +1)2 =12，即 (16t 2 + 3)x2 + 32t 2x +16t 2 -12 = 0
3x + 4y 12
，
=
2 2
设 A(x1, y1), B(x2 , y )
32t 16t -12
2 ，于是得 x1 + x2 = - 2 , x x = ，16t + 3 1 2 16t 2 + 3
2
而 x1 + x2 = -1
32t 3 3
，即 =1 2，解得 t = ，从而得 x x = - ，
16t 2 + 3 16 1 2 2
| AB |= 1+ (2t)2 × | x1 - x2 |= 1+ 4t
2 × (x1 + x2 )
2 - 4x1x
3 7
2 = 1+ × 1+ 6 = ，4 2
7
所以弦 AB 的长为 .
2
一、单选题
1．阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率 π 等于椭圆的
x2 y2
长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C： 2 + 2 =1(a > b > 0)的面积为18 3π ，a b
以 C 的两焦点与短轴的一个端点为顶点的三角形是等边三角形，则 C 的标准方程是（ ）
2 2 2 2 2 2 2 2
A x 4y． + =1 B x y x y 4x y． + =1 C． + =1 D． + =1
9 27 36 27 81 12 81 3
【答案】B
b 3
【详解】由题意知： ab =18 3 且 = ，则 a2 = 36，b2 = 27 .
a 2
x2 y2
所以椭圆标准方程 + =1 .
36 27
故选：B
2 2
2 x y．已知椭圆 + =1的左焦点是 F1，右焦点是 F2，点 P 在椭圆上，如果线段 PF1的中点在 y 轴上，那么16 12
|PF1|∶|PF2|＝（ ）
A．3∶5 B．3∶4 C．5∶3 D．4∶3
【答案】C
x2 y2
【详解】由 + =1＝1 可知 a 2 = 16 ， b 2 = 12 ，所以 c2 = a2 - b2 =16 -12 = 4，
16 12
所以 F1(－2，0)，F2(2，0)，
∵线段 PF1的中点 M 在 y 轴上，且原点O为线段F1F2 的中点，
所以PF2 / /MO ，所以PF2 ^ x轴，
∴可设 P(2，y)，
2 2
把 P(2 x y，y)代入椭圆 + =1，得 y2 = 9 .
16 12
∴|PF1|＝ 16 + 9 = 5，|PF2|＝3 .
| PF1 | 5
∴ =| PF2 | 3
.
故选：C
2
3 x y
2
．已知椭圆 + =1的左、右焦点分别为F1、F2 ，点 P 在椭圆上，且 PF1 = 3，则△PF1F2 的面积为（ ）16 12
A．6 B． 4 2 C
3
． D． 3
2
【答案】A
x2 y2
【详解】在椭圆 + =1中， a = 4，b = 2 3 ， c = a2 - b2 = 2 ，则 F F = 4，
16 12 1 2
Q PF1 = 3， PF1 + PF2 = 2a = 8，\ PF2 = 8 - 3 = 5，
在△PF 2 2 21F2 中， PF2 = F1F2 + PF1 ，则△PF1F2 是以PF2 为斜边的直角三角形，
PF 1 1则△ 1F2 的面积为： PF1 × F1F2 = 3 4 = 6．2 2
故选：A．
2 2
4．已知F x y 1 31 ，F2 是椭圆C ： + 2 =1的左、右焦点，离心率为 2 ，点A 的坐标为 (1, )，则 F1AF2 的平分4 b 2
线所在直线的斜率为（ ）
A． 2 B．1 C． 3 D． 2
【答案】A
【详解】由题可知： a2 = 4， c2 = a2 - b2 = 4 - b2，
1 c2 4 - b2 1
已知 e = ，则 e2 = 2 = = ，得出b
2 = 3，
2 a 4 4
x2 y2
所以椭圆方程为： + =1 .
4 3
焦点F1 -1,0 , F2 1,0 而 A 1,
3 3
÷，即： AF2 ^ x 轴. AF2 = ,è 2 2
又因为: AF1 = AF = 2a = 4 AF
5
2 得 1 = ,2
设： F1AF2 的角平分线所在直线为 l，
则点F 1 关于 l的对称的点为F ,
5
所以：F 在 AF2 的延长线上，但 AF = AF1 = ，则 FF =12 2
所以：F 1, -1
设F F
1
1 的中点为Q，有Q 0, - ÷，
è 2
3
-
1
-
得出 AQ 所在直线的斜率 k = 2
÷
è 2 ，
AQ = 21- 0
即 F1AF2 的平分线所在直线的斜率为 2.
故选：A.
二、多选题
2 2
5 x y．已知点 P 是椭圆 + =1上一点，F1，F2 是椭圆的左、右焦点，若 F1PF2 = 60°，则下列说法正确的是9 5
（ ）
A 5 3．△F1PF2 的面积为
3
uuuur uuuur
B．若点 M 是椭圆上一动点，则MF1 × MF2 的最大值为 9
C P 5 3．点 的纵坐标为
6
D．△F1PF
p
2 内切圆的面积为 3
【答案】AD
A PF + PF = 6 PF 2 2【详解】对 ，根据椭圆定义可得 1 2 ，则 1 + PF2 + 2 PF1 × PF2 = 36 ①，
F 2 2在△ 1PF2 中，由余弦定理 F1F2 = PF1 + PF
2
2 - 2 PF1 × PF2 ×cos 60°②，
20 1 1 20 3 5 3
由①②可得 PF1 × PF2 = ，所以△F3 1
PF2 的面积为 PF × PF ×sin 60° = = ，故 A 正确；
2 1 2 2 3 2 3
2 2
对 B，设M x0, y 0 x0 y，则 + 0 =1，-3 x0 3，9 5
uuuur uuuur
MF1 × MF2 = -2 - x0 , -y0 × 2 - x0 , -y0 = x 2 20 + y0 - 4
2 2
= x 2 5 5x0 4 4x0 + - - = 0 +1，9 9
uuuur uuuur
则当 x0 = ±3时，MF1 × MF2 取得最大值为 5，故 B 错误；
C A △F PF 5 3 1 2c y 2 y 5 3 5 3对 ，由 ， 1 2 的面积为 ，则 P = P = ，解得 yP = ± ，故 C 错误；3 2 3 6
5 3
对 D，设△F1PF2 内切圆的半径为 r ，因为△F1PF2 的面积为 ，
3
1
所以 PF PF 5 3 1 5 3 31 + 2 + F1F2 × r = ，即 6 + 4 × r = ，解得 r = ，2 3 2 3 3
2
所以△F1PF
3 p
2 内切圆的面积为p ÷÷ = ，故 D 正确.
è 3 3
故选：AD.
三、填空题
6 y
2
．设F1，F2 分别是椭圆E : x2 + 2 =1 0 < b <1 的左、右焦点，过点Fb 1的直线交椭圆 E 于 A，B 两点．若
AF1 = 3 F1B ， AF2 ^ x 轴，则椭圆 E 的方程为 ．
3y2
【答案】 x2 + =1
2
【详解】设F1 -c,0 , F2 c,0 ，
因为 AF2 ^ x 轴，
所以 xA = c
2
，代入椭圆方程得 A c,b ，设B x, y ，
uuur uuur
因为 AF1 = 3 F1B ，得 AF1 = 3F1B ，
所以 -c - c, -b2 = 3 x + c, y ，
ì 5
x = - c 3 5 1
解得 í ，即B - c,- b
2
1 ÷ ， y b2 è 3 3= -
3
1 2
B
5 2
又 在椭圆上，将B - c,
1
- b2 - b代入椭圆方程得：
3 3 ÷ 5
2
- c
3 ÷
è + è
，
÷ 2 =1è 3 b
2 2 2 1
又b2 + c2 = 1，解得b = ,c = ，
3 3
3y2
所以椭圆方程为： x2 + =1
2
x2 3y
2
故答案为： + =1 .
2
2 2
7．已知椭圆C : x y+ 2 =1 0 < b < 2 的左、右焦点分别为F1、F2 ， P 为椭圆上一点， PF1 = 3，4 b
F1PF
p
2 = ，则b = ．3
3
【答案】
2
【详解】根据椭圆的定义： PF2 = 2a - 3 =1，
在焦点△PF F 4c2 = F F
2 = PF 2 + PF 21 2 中，由余弦定理可得： 1 2 1 2 - 2 PF1 × PF2 cos
p
= 7，
3
7 7 9 3
\c2 = ，则b2 = a2 - c2 = 4 - = ，所以，b = .
4 4 4 2
3
故答案为： .
2
四、解答题
2
8 x y
2
．已知椭圆： 2 + 2 =1(a > b > 0)的右焦点为F，直线 l : 3x - 4y = 0交椭圆E于M，N两点，若 FM + FN = 4，a b
4
短轴的一个端点到直线 l 的距离是 .
5
(1)求椭圆 E 的方程；
(2)已知VABC 的三个顶点都在椭圆上，坐标原点 O 是VABC 的重心，求证：VABC 的面积为定值.
x2
【答案】(1) + y2 =1
4
(2)证明见解析
【详解】（1）设椭圆的左焦点为F ，则 F M + F N = FM + FN ，
∵ F M + F N + FM + FN = F M + FM + F N + FN = 4a，
∴ FM + FN = 2a，∴ a = 2，
(0,b) 4b 4l = b =1 E x
2
由点 到直线 的距离为 得 ，故椭圆 方程为： + y2 =1；
5 5 4
（2）当直线 BC 的斜率不存在时，设直线 BC 的方程为 x = x1，设B(x1, y1)，则C(x1,-y1)，
因为 O 为VABC 的重心，所以 A(-2x1,0)，所以 2x1 = a = 2，
x2 3∴ 1 =1
2
， y1 = ，所以 S
1 3
VABC = 2 3
3 3
= ，4 2 2 2
当直线 BC 的斜率存在时，设直线 BC 的方程为 y = kx + m ，设B(x1, y1)，C(x2 , y2 )，
ì x2
+ y2 =1
由 í 4 ，得 (1+ 4k 2 )x2 + 8kmx + 4m2 - 4 = 0，由题意可知D =16(1+ 4k 2 - m2 ) > 0，
y = kx + m
x x -8km 4m
2 - 4 2m
1 + 2 = 2 ， x1x2 = ， y1 + y2 = k(x1 + x2 ) + 2m = ，4k +1 4k 2 +1 4k 2 +1
8km
因为 O 为VABC 的重心， xA = -(x1 + x2 ) = 2 ， yA = -(y
-2m
1 + y2 ) = 2 ，4k +1 4k +1
A 8km , -2m
2 2
A 1 8km -2m 所以 ，由 在椭圆上得 + = 1，
è 4k 2 +1 4k 2 +1÷ 4 4k 2 +1÷ è è 4k 2 +1÷
1
化简得 4m2 = 4k 2 +1，则m ，满足
4 D = 48m
2 > 0，
2 2 4 (1+ k 2 ) 3(1+ k 2 )
所以 BC = 4 1+ k 2
(4k - m +1) = 2 3m
2 = .
4k 2 +1 4m m
3 m
因为点 A 到直线 BC 的距离 d 等于 O 到直线 BC 距离的 3 倍，所以 d = ，
1+ k 2
S 1 BC d 3 3 3 3所以 VABC = × = ，综上所得，VABC 的面积为定值 .2 2 22.5.1 椭圆的标准方程
分层练习
一、单选题
1．点 M 与定点F (2,0)的距离和它到定直线 x = 8的距离的比为1: 2，则点 M 的轨迹方程为（ ）
A x
2 y2 x 2 y 2 x2 y2 x2 y2
． + =1 B． + = 1 C． + =1 D． + = 1
12 8 8 4 16 12 8 6
2．经过点 P(3，0)，Q(0，2)的椭圆的标准方程为（ ）
2 2 2 2 2 2 2 2
A x y y x x y y x． + =1 B． + =1 C． - =1 D． - =1
9 4 9 4 9 4 9 4
3 x
2 y2
．已知椭圆 + =1的左 右焦点分别为F1, F2 ，过F1的直线与椭圆相交于 A, B两点，且 AF2 + BF2 = 2 AB ，9 4
则 AB 的长等于（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2 2
4 x y．已知F1，F2 是椭圆E ： + =1的两个焦点，过点F1且斜率为 k 的直线 l与E 交于M ， N 两点，则12 8
VMNF2的周长为（ ）
A．8 B．8 2 C．8 3 D．与 k 有关
二、多选题
5．（多选）若直线 l : 2x + by + 3 = 0 过椭圆C :10x2 + y2 =10 的一个焦点，则实数 b 的值可以是（ ）
1
A B 1． -1 ． 2 C．1 D．- 2
三、填空题
x26 y
2
．已知方程 - =1表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 k 的取值范围为 ．
k - 4 k -10
7．若椭圆 2kx2＋ky2＝1 的一个焦点为(0，－4)，则 k 的值为 ．
四、解答题
8．如图，椭圆的上半部分拱形用于支撑横跨 20m 水面宽的桥，拱的中心距河面 6m.试写出椭圆的一个方程.
2 2
9．已知椭圆C : x y+ = 1的左右焦点分别为F1 F2 ，P 是椭圆上的动点，求 PF1 × PF2 的最大值及最小值.25 9
一、单选题
1．椭圆 2x2 + y2 =1的焦点坐标为（ ）
A．F1(-1,0), F2 (1,0) B．F1(0, -1), F2 (0,1)
2 2 2
C．F1 - ,0÷÷ , F2 ,0÷÷ D．F1 0,- ÷ , F2 0,
2
÷
è 2 è 2 è 2 è 2
2 2
2．设F x y1，F2 分别是椭圆 + =1的左，右焦点， P 为椭圆上任一点，点M 的坐标为 4,4 ，则 PM + PF4 3 1
的最大值为（ ）
A．9 B．1 C．2 D．0
2 2
3 x y．已知椭圆C ： + =1的左、右焦点为F1，F2 ，上顶点为 P，则（25 16 ）
A．△PF1F2 为锐角三角形 B．△PF1F2 为钝角三角形
C．△PF1F2 为直角三角形 D． P ，F1，F2 三点构不成三角形
16
4．动点M 分别与两定点 A(-5,0) ，B(5,0) 连线的斜率的乘积为- ，设点M 的轨迹为曲线C ，已知 N (2, 3) ，
25
F (-3,0)，则 | MF | + | MN |的最小值为（ ）
A．4 B．8 C． 2 3 D．12
二、填空题
x2 y25．已知椭圆 + =1的右焦点为 F，点 P 在椭圆上且在 x 轴上方．若线段 PF 的中点 M 在以原点 O 为圆心，
25 16
| OF |为半径的圆上，则直线PF 的斜率是 ．
2 2
6．已知 A, F , B x y1, B2 分别为椭圆 2 + =1(a > 2 2)的左顶点 右焦点 上顶点 下顶点，直线 AB1与FBa 8 2
相交
uuur uuur
于点 P ，且 AB1 + PB1 = 0，则a = .
三、解答题
7 x
2 y2
．证明：若 AB 是椭圆 + =1的一条弦，M x0 , y0 y 0 2 2 0 是弦 AB 的中点，则 AB 所在直线的斜率a b
2
k x bAB = - 0 ×y 20 a
x2 y28．椭圆 C： 2 + 2 =1(a > b
1
> 0 P( 3, 3的离心率为 2 ， ) 是椭圆上一点.a b 2
（1）求椭圆 C 的方程；
（2）F , F
1
1 2 为椭圆 C 的左 右焦点，过焦点F1的弦 AB 中点为E(- , t)，求弦 AB 的长.2
一、单选题
1．阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率 π 等于椭圆的
2 2
长半轴长与短半轴长的乘积.在平面直角坐标系 xOy x y中，已知椭圆 C： 2 + 2 =1(a > b > 0)的面积为18 3π ，a b
以 C 的两焦点与短轴的一个端点为顶点的三角形是等边三角形，则 C 的标准方程是（ ）
x2 4y2 x2 y2 x2 y2 4x2 2A y． + =1 B． + =1 C． + =1 D． + =1
9 27 36 27 81 12 81 3
x2 y22．已知椭圆 + =1的左焦点是 F ，右焦点是 F ，点 P 在椭圆上，如果线段 PF 的中点在 y 轴上，那么
16 12 1 2 1
|PF1|∶|PF2|＝（ ）
A．3∶5 B．3∶4 C．5∶3 D．4∶3
x2 y23．已知椭圆 + =1的左、右焦点分别为F1、F2 ，点 P 在椭圆上，且 PF1 = 3，则△PF1F2 的面积为（ ）16 12
A 6 B C 3． ． 4 2 ． D． 3
2
2 2 3
4 x y 1．已知F 1 ，F2 是椭圆C ： + =1的左、右焦点，离心率为 ，点A 的坐标为 (1, )2 2 ，则 F1AF 的平分4 b 2
2
线所在直线的斜率为（ ）
A． 2 B．1 C． 3 D． 2
二、多选题
x25 P y
2
．已知点 是椭圆 + =1上一点，F1，F2 是椭圆的左、右焦点，若 F1PF2 = 60°，则下列说法正确的是9 5
（ ）
A △F PF 5 3． 1 2 的面积为
3
uuuur uuuur
B．若点 M 是椭圆上一动点，则MF1 × MF2 的最大值为 9
C 5 3．点 P 的纵坐标为
6
D．△F PF
p
1 2 内切圆的面积为 3
三、填空题
6 y
2
．设F1，F2 分别是椭圆E : x2 + 2 =1 0 < b <1 的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆 E 于 A，B 两点．若b
AF1 = 3 F1B ， AF2 ^ x 轴，则椭圆 E 的方程为 ．
2 2
7．已知椭圆C : x y+ 2 =1 0 < b < 2 的左、右焦点分别为F1、F2 ， P 为椭圆上一点， PF4 b 1
= 3，
p
F1PF2 = ，则b = ．3
四、解答题
2 2
8 x y．已知椭圆： + =1(a > b > 0)的右焦点为F，直线 l : 3x - 4y = 0交椭圆E于M，N两点，若 FM + FN = 4
a2
，
b2
4
短轴的一个端点到直线 l 的距离是 .
5
(1)求椭圆 E 的方程；
(2)已知VABC 的三个顶点都在椭圆上，坐标原点 O 是VABC 的重心，求证：VABC 的面积为定值.
