2.5.2 椭圆的几何性质
分层练习
一、单选题
1 y
2
．已知椭圆C : + x2 = 1，下列结论正确的是（ ）
4
A．焦点坐标 (±2,0) B．长轴长为 4
C．短轴长为 1 D．焦距为 2 5
【答案】B
y2
【详解】椭圆C : + x2 = 1的 a = 2,b =1,c = 4 -1 = 3
4
则焦点坐标 0, ± 3 ，长轴 2a = 4，短轴 2b = 2，焦距 2c = 2 3
故选：B
y2 x22．椭圆 + =1的焦距为（ ）
25 9
A．4 B．5 C．6 D．8
【答案】D
y2 x2
【详解】因为椭圆的方程为 + =1，所以 a2 = 25，b2 = 9，因此 c2 = 16，解得 c = 4，所以椭圆的焦距为
25 9
2c = 8 .
故选：D.
2 2
3．设点F F x y1， 2 分别是椭圆C：2 + 2 =1(b > 0) 的左、右焦点，弦 AB 过点F1，若VABF2的周长为 8，则b + 3 b
椭圆 C 的离心率为 ( )
1 1
A B C 15． ． ． D 3．
2 4 4 2
【答案】D
【详解】由已知可得，椭圆的长轴长为 2a = 2 b2 + 3 ，
∵弦 AB 过点F1，\VABF2 的周长为 AF1 + AF2 + BF1 + BF2 = 4a = 4 b
2 + 3 = 8，
解得： b =1(b > 0)，\a = 2，b =1 c 3，则 c = a2 - b2 = 3 ，则椭圆的离心率为 e = = ．
a 2
故选 D．
4 1．已知焦点在 x 轴上的椭圆的离心率为 2 ，它的长轴长等于圆 C：x
2＋y2－2x－15＝0 的半径，则椭圆的标
准方程是（ ）
A y
2 x2 x2 y2
． + =1 B． + =1
4 3 4 3
x2C y
2 y2 x2
． + =1 D． + = 1
4 2 4 2
【答案】B
【详解】圆 C：(x－1)2＋y2
c 1 c 1
＝16，∴ 2a＝4，即 a＝2．由 e = = = c =1，
a 2 2 2
2 2
而b2 = a2 - c2
x y
= 4 -1 = 3，所以椭圆的标准方程是： + =1，
4 3
故选：B
2 2
5．若二次函数 f (x) = k(x +1)(x - 2) x y的图象与坐标轴的交点是椭圆C ： + =1(a > b > 0)的顶点或焦点，
a2 b2
则 k =
A 3 B 3． ．± C． 3 D．± 3
2 2
【答案】B
【详解】分析：由题意首先确定椭圆的焦点和长轴端点，据此求得 b 的值，最后求解实数 k 的值即可.
详解：由题意得，椭圆 C 的一个焦点为 (-1,0) ，长轴的一个端点为（2，0），
所以 a = 2，b = 22 -12 = 3 ，由（0，-2k)是椭圆 C 的一个顶点，
得-2k = 3 或-2k = - 3 ，
3
所以 k = ± .
2
本题选择 B 选项.
二、多选题
2 2
6．已知椭圆C 21：5x + y2 = 5
x y
，C2 ： + =1，则（ ）16 12
A．C1，C2 的焦点都在 x 轴上 B．C1，C2 的焦距相等
C．C1，C2 没有公共点 D．C2 离心率 e2比C1离心率 e1 小
【答案】BCD
y2
【详解】因为椭圆C 的标准方程为 x21 + =1，所以C1的焦点在 y 上，所以 A 不正确；5
因为椭圆C1的焦距为 2 5 -1 = 4 ，椭圆C2 的焦距为2 16 -12 = 4，所以 B 正确；
ì5x2 + y2 = 5
联立椭圆C 21，C2 的方程 í x2 y2 ，消除 y ，得-17x2 = 28，所以 x 无解，故椭圆C1 1
，C2 没有公共点，
+ = 16 12
所以 C 正确；
5 -1 2 5
因为椭圆C1的离心率为 e1 = = ，C e
16 -12 1
2 的离心率为 2 = = ，所以 e1 > e2 ，所以 D 正确．5 5 16 2
故选：BCD.
三、填空题
7．已知点(m,n)在椭圆 8x2＋3y2＝24 上，则 m 的取值范围是 ．
【答案】 é- 3, 3ù
2 2
【详解】因为点(m,n)在椭圆 8x2＋3y2 24 x y＝ 上，即在椭圆 + =1上，
3 8
所以点(m,n)满足椭圆的范围 x 3, y 2 2 ，
因此 m 3 ，即- 3 m 3 ．
故答案为： é - 3, 3ù .
x2 y28．点 P 在以F1，F2 为焦点的椭圆 + =1上运动，则△PF F 的重心G 的轨迹方程是 .3 4 1 2
2
【答案】3x2 9y+ =1 x 0
4
【详解】设G x, y ，P m,n ，
x2 y2
由 + =1，得 c = 4 - 3 =1，
3 4
即F1(0, -1)，F2(0,1) ，
因为G 为△PF1F2 的重心，
x m 1-1+ n所以 = ， y = ，
3 3
即m = 3x， n = 3y，
x2 y2 9x2 9y2
代入 + =1，得 + =1，
3 4 3 4
3x2 9y
2
即 + =1，
4
因为 P ，F1，F2 三点不共线，所以 x 0，
9y2
则△PF1F2 的重心G 的轨迹方程是3x2 + =1 x 0 .4
3x2 9y
2
故答案为： + =1 x 0 .
4
四、解答题
9．分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：
14
(1)经过两点 2, - 2 ， -1, 2 ÷÷；è
(2)长轴长是短轴长的 2 倍，且过点 -2,-4 ．
x 2 y 2
【答案】(1) + = 1
8 4
x2 y2 2 2(2) + =1 y x或 + =1
68 17 32 8
ì 4 2
x2 y2 2
+ 2 =1a b ìa2 = 8
【详解】（1）①当焦点在 x 轴时，设椭圆方程为 2 + 2 =1，则 í 1 7 ，解得 í 2 ，所以此时椭圆a b + =1 b = 4
a2 2b2
x 2 y 2
方程为 + = 1；
8 4
ì 2 4
y2 x2
+ =1
y a
2 b2 ìa2 = 4
②当焦点在 轴时，设椭圆方程为 2 +a b2
=1，则 í 7 1 ，解得 í 2 ，不符合要求； + =1 b = 8
2a2 b2
x 2 y 2
所以椭圆方程为 + = 1.
8 4
x22 x y
2 4 16
（ ）①当焦点在 轴时，设椭圆方程为 + =12 + 2 =1，则 2 2 ，解得b
2 = 17 ，所以此时椭圆方程为
4b b 4b b
x2 y2
+ =1；
68 17
2 2
②当焦点在 y y x
16 4
轴时，设椭圆方程为 + =1，则 2 + 2 =1 22 2 ，解得b = 8，所以此时椭圆方程为4b b 4b b
y2 x2
+ =1，
32 8
x2 y2 y2 x2
所以椭圆方程为 + =1或 + =1.
68 17 32 8
一、单选题
x21 y
2
．已知椭圆 + =1的左顶点为 A，上顶点为 B，则 AB =（ ）
4 2
A． 2 2 B．3 C．4 D． 6
【答案】D
x2 y2
【详解】因为椭圆 + =1的左顶点为 A，上顶点为 B，
4 2
所以 A 2,0 ，B 0, 2 ，
AB = 2 - 0 2
2
所以 + 0 - 2 = 6 ．
故选：D
1
2．已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，且长轴长为 12，离心率为 ，则椭圆的标准方程为（
3 ）
x2 y2 x2 y2 x2 y2 2 2A． + =1 B． + =1 C． + = 1 D x y． + =1
36 24 36 20 36 26 36 32
【答案】D
c 1
【详解】由题意知， 2a =12， =a 3，
所以 a = 6， c = 2，
所以b2 = a2 - c2 = 32，
又焦点在 x 轴上，
x2 y2
所以椭圆的标准方程为 + =1．
36 32
故选：D．
2
3 x y
2
．已知椭圆E : 2 + 2 =1 a > b > 0 的中心是坐标原点O，F 是椭圆E 的焦点.若椭圆E 上存在点 P ，使a b
△OFP 是等边三角形，则椭圆E 的离心率为（ ）
A 1． 2 B． 4 - 2 3 C． 3 -1 D
3
．
2
【答案】C
【详解】设点 P 为椭圆E 上位于第一象限内的点，设F1为椭圆E 的左焦点，
因为△OFP 是等边三角形，则 PF = OF = OP = c ， POF = 60o，
Q OP = OF = c OPF = OF P = 30o1 ，所以， 1 1 ，\ FPF1 = OPF + OPF1 = 90
o
，
2 2
所以， PF1 = FF1 - PF = 3c ，
由椭圆的定义可得 2a = PF + PF1 = 3 +1 c，
c 2
因此，椭圆E 的离心率为 e = = = 3 -1a 3 .+1
故选：C.
2 2
4．已知F x y为椭圆 C： 2 + 2 =1 a > b > 0 的右焦点，P 为 C 上的动点，过 F 且垂直于 x 轴的直线与 C 交a b
于 M，N 两点，若 MN 等于 PF 的最小值的 3 倍，则 C 的离心率为（ ）
1
A 1． B． 2 C
3 D 3． ．
3 3 2
【答案】B
2 2
【详解】F x y为椭圆 C： 2 + 2 =1 a > b > 0 的右焦点，P 为 C 上的动点，a b
由椭圆的性质，可得 PF = a - cmin .
Q过 F 且垂直于 x 轴的直线与 C 交于 M，N 两点，
MN 2b
2
\ = .
a
Q MN 等于 PF 的最小值的 3 倍，
2b2
\ = 3 a - c .
a
Q椭圆中 a2 - b2 = c2 ，
\2 a2 - c2 = 3a2 - 3ac ，即 2c2 - 3ac + a2 = 0，
2c2 3ac a2
则 2 - 2 + 2 = 0 .a a a
Qe c= ，
a
1
\2e2 - 3e +1 = 0，解得 e = 或 e =1（舍）.
2
故选：B.
二、多选题
x2 y25．已知椭圆C : + =1, F1, F2分别为它的左 右焦点， A, B为椭圆的左 右顶点，点 P 是椭圆上异于 A, B25 9
的一个动点，则下列结论中正确的有（ ）
A．△F1PF2 的周长为 15 B．若 F1PF2 = 90
o
，则△F1PF2 的面积为 9
uuur uuuur uuur uuur
C．PF1 × PF2 - PA × PB 为定值 D．直线PA与直线 PB斜率的乘积为定值
【答案】BCD
2 2
【详解】对于 A x y，∵椭圆 C : + =1 ,
25 9
∴ a2 = 25,b2 = 9 ， c = a2 - b2 = 4 , | PF1 | + | PF2 |= 2a =10,| F1F2 |= 8 ,
∴△F1PF2 的周长为 | PF1 | + | PF2 | + | F1F2 |=18 ,故 A 错误，
o
对于 B，∵ F1PF2 = 90 ，
\| PF 21 | + | PF2 |
2 =| F 2 21F2 | = 4c = 64 ，
∵ | PF1 | + | PF2 |= 2a =10 | PF 2 2，故 1 | + | PF2 | +2 | PF1 || PF2 |=100，
∴ PF1 PF2 =18 ，
∴△F PF
1 1
1 2 的面积为 | PF1 || PF2 |= 18 = 9 ，故 B 正确；2 2
对于 C,由题意知F1(-4,0), F2 (4,0), A(-5,0), B(5,0) ,设P(x, y) ，
uuur uuuur uuur uuur
则PF1 × PF2 - PA × PB = -x - 4, -y × 4 - x, -y - -x - 5, -y × 5 - x, -y
= x2 -16 + y2 - (x2 - 25 + y2 ) = 9为定值，故 C 正确；
对于 D，设P(x0 , y0 ) （ x0 ±5 ），
2
则 k
y0 y0 y0
PA = ,k = k × k =x0 + 5
PB x0 - 5
，∴ PA PB ，x20 - 25
2
P(x , y ) x0 y
2
∵ 0
9
0 0 在椭圆上，则 + = 1
2
，即 y0 = - (x
2 - 25)，
25 9 25 0
9
∴。联立可得 kPAkPB = - ，故 D 正确25
故选：BCD ．
三、填空题
6．椭圆9x2 + 4y2 =1的短轴长为 .
2
【答案】 3
x2 y2
+ =1 1 1
【详解】椭圆的标准方程为 1 1 ，则 a = ，b = ，
2 3
9 4
因此，椭圆9x2
2
+ 4y2 =1的短轴长为 2b = .
3
2
故答案为： 3 .
x2 y27．已知椭圆 + F , F PF y Q Q PF
a2 b2
=1(a > b > 0)的左右焦点分别为 1 2 ，点 P 在椭圆上，连接 2 交 轴于点 ， 为 2
的中点且点Q恰好把椭圆的短半轴三等分，则椭圆的离心率是 ．
5 1
【答案】 / 5
3 3
【详解】Q为PF2 的中点，原点O为F1F2 的中点，则OQ / /PF1 ，即PF1 / / y轴，
b2
∴ PF1 = ，a
OQ b
2
从而 = ，又点Q恰好把椭圆的短半轴三等分，
2a
OQ 1 b
2
∴ = b = ，
3 2a
b 2 5= a = a2 - c2 c2， = a2 ，
3 9
∴ e c 5= = ．
a 3
5
故答案为： ．
3
四、解答题
x2 y28．设椭圆E : 2 + 2 =1的焦点在 x 轴上.a 1- a
(1)若椭圆E 的焦距为 1，求椭圆E 的方程；
(2)设F1、F2 分别是椭圆E 的左、右焦点， P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线F2P 交 y 轴于点Q，并且
F1P ^ F1Q .证明：当 a变化时，点 P 在定直线 x + y =1上.
8x2 8y2
【答案】(1) + =1
5 3
(2)证明见解析
2 2 1 2 5
【详解】（1）解：依题意， a - 1- a = ，即 a = ，4 8
E 8x
2 8y2
所以椭圆 的方程为 + =1.
5 3
（2）解：设P x0, y 0 ， F1 -c,0 ，F 22 c,0 ，其中 c = 2a -1，
因为直线F2P 交 y 轴于点Q，所以 x0 c ，
y0 y0
故直线 F1P 的斜率 kF1P = x + c ，直线
F2P 的斜率 kF =1P x - c ， 0 0
y0
直线F2P 的方程为 y = x - c
Q 0, cy0
x - c ， 点的坐标为 ÷，0 è c - x0
y
所以直线F1Q 的斜率为 kF Q =
0
1 c - x ， 0
y0
由于F1P ^ F1Q ，所以 kF P·kF Q = ·
y0 = -1
1 1 x + c c - x ，0 0
y2 = x2化简得 0 0 - 2a2 -1 ，
x 2 y 2
因为 P 为椭圆E 上第一象限内的点，所以 0 02 + 2 = 1，a 1- a
解得 x0 = a
2
， y0 =1- a
2
，所以 x0 + y0 =1，所以点 P 在定直线 x + y =1上.
一、单选题
1 2 5．设F1, F2 是椭圆E 的两个焦点， P 为椭圆E 上的点，以PF1为直径的圆经过F2 ,若 tan PF1F2 = ，则椭15
圆E 的离心率为
A 5 B 5． ． C 5． D 5．
6 5 4 3
【答案】D
【详解】由题设 PF2F1 = 90°，
因为 tan PF1F
2 5
2 = ，所以 PF2 = F F × tan PF F
4 5
= c
15 1 2 1 2 15
2
2 2 4 5
由勾股定理可得 PF1 = PF2 + F1F2 = c ÷÷ + (2c)
2 14 5= c ，
è 15 15
因为 PF2 + PF1 = 2a，
4 5 c 14 5所以 + c 3 5= 2a ，得 a = c ,
15 15 5
e c 5故离心率 = = ，
a 3
故选：D.
x2 y22．如图，焦点在 x 轴上的椭圆 F F P
a2
+ =1（ a > 0）的左、右焦点分别为 1， 2 ， 是椭圆上位于第一象限3
内的一点，且直线F2P 与 y 轴的正半轴交于A 点，DAPF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若 F1Q = 4，则
该椭圆的离心率为
1
A B 1 7． ． 2 C． D
13
．
4 4 4
【答案】D
【详解】由椭圆定义可得 PF1 + PF2 = 2a，即QF1 + QP + PF2 = 2a ，因为 PT = PQ，所以QF1 +TP + PF2 = 2a，
即TF2 = 2a - QF1 = 2a - 4，又 SF1 = QF1 = TF2 ，故 2a - 4 = 4，也即 a = 4，由于b2 = 3 c = 42 - 3 = 13 ，
c 13
故椭圆的离心率为 e = = ，应选答案 D．
a 4
3．已知 F 是椭圆的一个焦点，若存在直线 y = kx 与椭圆相交于 A，B 两点，且 AFB = 60° ，则椭圆离心率
的取值范围是（ ）．
3 é ù
A． ,1
3 3 3
÷÷ B． 0,2 2 ÷÷
C． ê ,1÷÷ D． 0, ú
è è 2 è 2
【答案】A
【详解】解：连接A ， B 与左右焦点F ，F 的连线，
由 AFB = 60° ，由椭圆及直线的对称性可得四边形 AFBF 为平行四边形， FAF =120°，
在三角形 AFF 中，FF 2 = AF 2 + AF 2 - 2AF × AF cos FAF = (AF + AF )2 - AF × AF ，
所以 (AF AF )2
AF + AF 3
+ - FF 2 = AF × AF ( )2 (AF + AF )2 FF 2，即 ，当且仅当 AF = AF 时等号成立，
2 4
又直线 y = kx 的斜率存在，故 AF AF ，
3
即 ×4a2 < 4c2 c 3，可得 e = > ，
4 a 2
3
所以椭圆的离心率 e ,12 ÷÷
.
è
故选：A．
2 2
4 x y．已知点 P 在椭圆 2 + 2 =1 a > b > 0 上，F1是椭圆的左焦点，线段PF1的中点在圆 x
2 + y2 = a2 - b2上．记
a b
直线PF1的斜率为 k ，若 k 3 ，则椭圆离心率的最小值为（ ）
A 3 2 1． 2 -1 B． C． D．
2 2 2
【答案】D
【详解】
设PF1的中点为Q，连接OQ ，
因为点Q在 x2 + y2 = a2 - b2上， OQ = c，
所以 PF2 = 2c ， PF1 = 2a - 2c ，
设 PF1F2 = q ，则 k = tanq 3 ，
ép p 1 ù
所以q ê , ÷， cosq 0, ， 3 2 è 2 ú
在△PF1F2 中，由余弦定理得
PF 2 2 2 21 + F1F2 - PF2 2a - 2c + 4c2 - 4c2 a - ccosq = = = ，
2 PF1 PF2 2 2a - 2c × 2c 2c
a - c 1
所以0 < ，
2c 2
所以 a - c c，
e 1离心率 ，
2
故选：D.
二、多选题
5．已知点F1 -1,0 ，F 1,0 PF2 ，动点 P 到直线 x = 2 2的距离为d ， 2 = ，则（ ）d 2
A 1．点 P 的轨迹是椭圆 B．点 P 的轨迹曲线的离心率等于 2
2
C x．点 P 的轨迹方程为 + y2 =1 D．△PF1F2 的周长为定值 4 22
【答案】AC
【详解】因为点F1 -1,0 ，F2 1,0 ，动点 P 到直线 x = 2的距离为d PF2 2， =d 2
x -1 2 + y2 2
设动点 P 的坐标为 x, y ，可得 = ，
2 - x 2
x2
化简可得 + y2 =1，所以点 P 的轨迹为椭圆，故 AC 正确；
2
c 2
离心率为 e = = ，故 B 错误；
a 2
△PF1F2 的周长为定值 2a + 2c = 2 + 2 2 ，故 D 错误；
故选:AC
x2 26 y．已知椭圆C : + =1(a > b > 0)的左、右焦点分别为F1、F2 ，且 | F2 2 1F2 |= 2，点P 1,1 在椭圆内部，点Qa b
在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）
A． QF1 + QP 的最小值为 2a -1
B．椭圆C 的短轴长可能为 2
3 -1
C．椭圆C 的离心率的取值范围为 0, 2 ÷÷è
uuur uuur
D．若PF1 = F1Q，则椭圆C 的长轴长为 5 + 17
【答案】AD
【详解】
由 | F1F2 |= 2可得F2 1,0 ，因为P 1,1 ，所以PF2 ^ x轴，
对于 A： QF1 + QP = 2a - QF2 + QP = 2a - QF2 - QP 2a - PF2 = 2a -1，当且仅当Q， P ，F2 三点共线
时取到最小值为 2a -1，故选项 A 正确；
对于 B：因为 P 在椭圆内所以b >1，所以短轴长 2b > 2，故选项 B 不正确；
2c 2 5 -1
对于 C：因为 P 在椭圆内，所以长轴长 2a > PF1 + PF2 =1+ 5 ，所以离心率 e = < = ，所以2a 5 +1 2
e 0,
5 -1
2 ÷÷
，故选项 C 不正确；
è
uuur uuur
对于 D：因为PF1 = F1Q，所以F1为 PQ的中点，而F1(-1,0)，F2 (1,0) ，P 1,1 ，所以Q -3, -1 ，所以长轴长
2a = QF1 + QF2 = -3+1
2 + -1 2 + -3-1 2 + -1 2 = 5 + 17 ，故选项 D 正确；
故选：AD.
三、填空题
2
7 x．已知椭圆Γ : + y2 =1，过椭圆右焦点 F 作互相垂直的两条弦 AB ，CD ，则 AB + 4 CD 的最小值
4
为 ．
36
【答案】
5
x2
【详解】由椭圆Γ : + y2 =1可知右焦点F ( 3,0) ，
4
当直线 AB 的斜率不存在时， AB 方程为 x = 3 ，
则CD∶y = 0 ，此时 AB =1，CD = 4 ， AB + 4 CD =17 ；
当直线 AB 的斜率存在时，
1
设 AB：y = k x - 3 k 0 ，则 CD : y = - (x - 3) ，k
又设点 A(x1, y1)，B(x2 , y2 ) ．
ì y = k(x - 3)
联立方程组 í 2 2 ，消去 y 并化简得 (4k
2 +1)x2 -8 3k 2x +12k 2 - 4 = 0 ，
x + 4y = 4
因为 AB 过椭圆右焦点 F，则必有D > 0 ，
x x 8 3k
2 2
\ 1 + 2 =
12k - 4
，
2 x × x = ，4k +1 1 2 4k 2 +1
\| AB |= (x1 - x )
2
2 + (y1 - y
2
2 ) = 1+ k
2 | x1 - x2 |
4 2 2 2
= 1 k 2 192k -16(3k -1)(4k +1)+ × 4(k +1)= ，
(4k 2 +1)2 4k 2 +1
1 4(1+ k 2 )
由题意知，直线CD 的斜率为- ，同理可得 | CD |= ，
k 4 + k 2
1 1 5k 2 + 5 5
所以 + = = ．
| AB | | CD | 4(k 2 +1) 4
AB 4 CD 4 (| AB | 4 | CD |)( 1 1所以 + = + + )5 | AB | | CD |
4 (5 4 | CD | | AB | 4 4 | CD | | AB | 36= + + ) (5 + 2 × ) = ，
5 | AB | | CD | 5 | AB | | CD | 5
AB 12 6当且仅当 = , CD = 时取得等号，
5 5
36
故综合以上， AB + 4 CD 的最小值为 ，
5
36
故答案为： .
5
四、解答题
8 x
2 y2
．已知F1 F2 是椭圆C ： + =1的左 右焦点，点P m,n n 0 是椭圆上的动点．4 3
(1)求△PF1F2 的重心G 的轨迹方程；
(2)设点Q s, t 是△PF1F2 的内切圆圆心，求证：m = 2s ．
9x2
【答案】(1) +3y2 =1 (y 0)
4
(2)答案见解析
【详解】（1）
连接PO，由三角形重心性质知G 在PO的三等分点处（靠近原点）
设G(x, y) ，则有m = 3x,n = 3y
m2 + n
2
1 9x
2 2
+ 9y 1 9x
2
又 = ，所以 = ，即 +3y2 =1
4 3 4 3 4
2
△PF1F
9x
2 的重心G 的轨迹方程为 +3y2 =1(y 0)；4
（2）根据对称性，不妨设点 P 在第一象限内，易知圆Q的半径为等于 t ，
1
利用等面积法有： SVPF F = | PF1 | ×t
1
+ | PF2 | ×t
1
+ | F1F2 | ×t
1
= | F
1 2 2 2 2 2 1
F2 | ×n
结合椭圆定义： | PF1 | + | PF2 |= 4,| F1F2 |= 2
1 4 t 1 1有 × × + ×2 × t = ×2
n
× n ，解得 t =
2 2 2 3
由P(m, n) F1(-1,0)两点的坐标可知直线PF1的方程为 nx - (m +1)y + n = 0
ns (m 1) n- + + n
根据圆心Q到直线PF1的距离等于半径，有 3 n=
n2 + (m +1)2 3
3s - m + 2
∴ =12 2 ，∴9s
2 - 6sm +12s - 6m + 3 - n2 = 0
n + (m +1)
n2 m2 n2
∴3s2 - 2sm + 4s - 2m +1- = 0，又 + =1
3 4 3
化简得12s2 -8sm +16s 2-8m + m2 = 0 ，即 12s -8sm + m2 + 16s -8m = 0
∴ 2s - m 6s - m + 8 2s - m = 0，即 2s - m 6s - m + 8 = 0
由已知得-2 < m < 2，-1 < s <1，则6s - m + 8 > 0
所以 2s - m = 0，即m = 2s ．2.5.2 椭圆的几何性质
分层练习
一、单选题
2
1 y．已知椭圆C : + x2 = 1，下列结论正确的是（ ）
4
A．焦点坐标 (±2,0) B．长轴长为 4
C．短轴长为 1 D．焦距为 2 5
2 2
2 y x．椭圆 + =1的焦距为（ ）
25 9
A．4 B．5 C．6 D．8
2 2
3．设点F1，F2 分别是椭圆C
x y
：2 + 2 =1(b > 0) 的左、右焦点，弦 AB 过点F1，若VABF2的周长为 8，则b + 3 b
椭圆 C 的离心率为 ( )
1 1
A B C 15 3． ． ． D．
2 4 4 2
4 1．已知焦点在 x 轴上的椭圆的离心率为 2 ，它的长轴长等于圆 C：x
2＋y2－2x－15＝0 的半径，则椭圆的标
准方程是（ ）
y2 x2 x2 y2A． + =1 B． + =1
4 3 4 3
x2 y2 2 2C． + =1 D y x． + = 1
4 2 4 2
2 2
5．若二次函数 f (x) = k(x +1)(x - 2) x y的图象与坐标轴的交点是椭圆C ： 2 + 2 =1(a > b > 0)的顶点或焦点，a b
则 k =
A 3 B 3． ．± C． 3 D．± 3
2 2
二、多选题
2 2
6．已知椭圆C 21：5x + y2 = 5 C
x y
， 2 ： + =1，则（ ）16 12
A．C1，C2 的焦点都在 x 轴上 B．C1，C2 的焦距相等
C．C1，C2 没有公共点 D．C2 离心率 e2比C1离心率 e1 小
三、填空题
7．已知点(m,n)在椭圆 8x2＋3y2＝24 上，则 m 的取值范围是 ．
2
8 x y
2
．点 P 在以F1，F2 为焦点的椭圆 + =1上运动，则△PF1F2 的重心G 的轨迹方程是 .3 4
四、解答题
9．分别求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)经过两点 2, 2 14- ， -1, ÷÷；
è 2
(2)长轴长是短轴长的 2 倍，且过点 -2,-4 ．
一、单选题
x2 y21．已知椭圆 + =1的左顶点为 A，上顶点为 B，则 AB =（ ）
4 2
A． 2 2 B．3 C．4 D． 6
1
2．已知椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，且长轴长为 12，离心率为 ，则椭圆的标准方程为（
3 ）
x2 y2 x2 y2 x2A y
2 x2 y2
． + =1 B． + =1 C． + = 1 D． + =1
36 24 36 20 36 26 36 32
2 2
3 x y．已知椭圆E : 2 + 2 =1 a > b > 0 的中心是坐标原点O，F 是椭圆E 的焦点.若椭圆E 上存在点 P ，使a b
△OFP 是等边三角形，则椭圆E 的离心率为（ ）
A 1． 2 B． 4 - 2 3 C
3
． 3 -1 D．
2
2 2
4．已知F C x y为椭圆 ： 2 + 2 =1 a > b > 0 的右焦点，P 为 C 上的动点，过 F 且垂直于 x 轴的直线与 C 交a b
于 M，N 两点，若 MN 等于 PF 的最小值的 3 倍，则 C 的离心率为（ ）
1
A． B 1． 2 C
3 D 3． ．
3 3 2
二、多选题
x25 y
2
．已知椭圆C : + =1, F , F 分别为它的左 右焦点， A, B1 2 为椭圆的左 右顶点，点 P 是椭圆上异于 A, B25 9
的一个动点，则下列结论中正确的有（ ）
A．△F1PF
o
2 的周长为 15 B．若 F1PF2 = 90 ，则△F1PF2 的面积为 9
uuur uuuur uuur uuur
C．PF1 × PF2 - PA × PB 为定值 D．直线PA与直线 PB斜率的乘积为定值
三、填空题
6．椭圆9x2 + 4y2 =1的短轴长为 .
7 x
2 y2
．已知椭圆 + =1(a > b > 0)的左右焦点分别为F1, F2 ，点 P 在椭圆上，连接PF2 交 y 轴于点Q，Q为PFa2 b2 2
的中点且点Q恰好把椭圆的短半轴三等分，则椭圆的离心率是 ．
四、解答题
2 2
8．设椭圆E : x y+ =1的焦点在 x
a2
轴上.
1- a2
(1)若椭圆E 的焦距为 1，求椭圆E 的方程；
(2)设F1、F2 分别是椭圆E 的左、右焦点， P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线F2P 交 y 轴于点Q，并且
F1P ^ F1Q .证明：当 a变化时，点 P 在定直线 x + y =1上.
一、单选题
1 F , F E P E PF F , tan PF F 2 5．设 1 2 是椭圆 的两个焦点， 为椭圆 上的点，以 1为直径的圆经过 2 若 1 2 = ，则椭15
圆E 的离心率为
A 5 B 5 5 5． ． C． D．
6 5 4 3
2 x
2 y2
．如图，焦点在 x 轴上的椭圆 2 + =1（ a > 0）的左、右焦点分别为F1，F2 ， P 是椭圆上位于第一象限a 3
内的一点，且直线F2P 与 y 轴的正半轴交于A 点，DAPF1的内切圆在边PF1上的切点为Q，若 F1Q = 4，则
该椭圆的离心率为
1
A B 1 C 7 D 13． ． 2 ． ．4 4 4
3．已知 F 是椭圆的一个焦点，若存在直线 y = kx 与椭圆相交于 A，B 两点，且 AFB = 60° ，则椭圆离心率
的取值范围是（ ）．
3 é ù
A． ,1÷÷ B． 0,
3 3 3
÷÷ C． ê ,12 2 2 ÷÷
D． 0, ú
è è è 2
2
4 x y
2
．已知点 P 在椭圆 2 + 2 =1 a > b > 0 上，F1是椭圆的左焦点，线段PF1的中点在圆 x
2 + y2 = a2 - b2上．记
a b
直线PF1的斜率为 k ，若 k 3 ，则椭圆离心率的最小值为（ ）
A 3 2 1． 2 -1 B． C． D．
2 2 2
二、多选题
5．已知点F1 -1,0 ，F2 1,0 PF，动点 P 到直线 x = 2 2的距离为d ， 2 = ，则（ ）d 2
A 1．点 P 的轨迹是椭圆 B．点 P 的轨迹曲线的离心率等于 2
C x
2
．点 P 的轨迹方程为 + y2 =1 D．△PF1F2 的周长为定值 4 22
2 2
6 C : x y．已知椭圆 2 + =1(a > b > 0)的左、右焦点分别为F 、F ，且 | F F |= 2，点P 1,1 在椭圆内部，点Qa b2 1 2 1 2
在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）
A． QF1 + QP 的最小值为 2a -1
B．椭圆C 的短轴长可能为 2
C．椭圆C 的离心率的取值范围为 0,
3 -1
2 ÷÷è
uuur uuur
D．若PF1 = F1Q，则椭圆C 的长轴长为 5 + 17
三、填空题
2
7．已知椭圆Γ : x + y2 =1，过椭圆右焦点 F 作互相垂直的两条弦 AB ，CD ，则 AB + 4 CD 的最小值
4
为 ．
四、解答题
2 2
8 x y．已知F1 F2 是椭圆C ： + =1的左 右焦点，点P m,n n 0 是椭圆上的动点．4 3
(1)求△PF1F2 的重心G 的轨迹方程；
(2)设点Q s, t 是△PF1F2 的内切圆圆心，求证：m = 2s ．
