2.6.1 双曲线的标准方程
分层练习
一、单选题
1 x
2 y2
．双曲线 C : - = 1的虚轴长为（
3 4 ）
A． 3 B．2 3 C．4 D．2
【答案】C
【详解】设双曲线C 的虚轴长为 2b，
因为b2 = 4，所以b = 2 ，所以双曲线的虚轴长为 2b = 4．
故选：C
2 y
2 x2
．双曲线 - =1的焦点坐标是（ ）
9 16
A． ±5,0 B． 0, ±5 C． ± 5,0 D． 0, ± 5
【答案】B
y2 x2
【详解】双曲线 - =1的焦点在 y 轴上，
9 16
Qa2 = 9，b2 =16，\c2 = a2 + b2 = 9 +16 = 25，
\c = 5，
则双曲线的焦点坐标为 0, ±5 ．
故选：B．
2 2
3 x y．已知曲线E : - =1(m R)，（ ）
m -1 m - 2
A．若 E 表示双曲线，则m>2 B．若1< m < 2，则 E 表示双曲线
C．若 E 表示椭圆，则m>2 D．若1< m < 2 m
3
且 ，则 E 表示椭圆
2
【答案】D
x2 y2
【详解】解：因为曲线E : - =1(m R)，当 m -1 m - 2 > 0解得m>2 或m <1时曲线表示双曲线；
m -1 m - 2
ìm -1 > 0
3
当 í2 - m > 0 即1< m < 2且m 时曲线表示椭圆；
2
m -1 2 - m
故选：D
x2 y2 2 24．已知椭圆 + =1(a > b > 0)过点 -3,2 x y2 2 且与双曲线 - =1有相同焦点，则椭圆的离心率为（ ）a b 3 2
A 3 3 3 3． B． C． D．
6 4 3 2
x2 y2
【答案】C【详解】因为椭圆与双曲线 - =1有相同焦点，所以椭圆两个焦点分别为
3 2
F (- 5,0), F ( 5,0) ，则 c2 = a2 - b21 2 = 5①，
又椭圆过点P -3, 2 9 4，所以 2 + =1②，a b2
结合①，②得， a2 =15,b2 =10 ，
a2 - b2 15 -10 3
所以 e = ，
a2
= =
15 3
故选：C
二、多选题
2
5 x y
2
．若方程 + =1所表示的曲线为C ，则下面四个命题中正确的是（ ）
3- t t -1
A．若C 为椭圆，则1< t < 3 B．若C 为双曲线，则 t > 3或 t <1
C．曲线C 可能是圆 D．若C 为椭圆，且长轴在 y 轴上，则1 < t < 2
【答案】BC
ì 3- t > 0
【详解】若C
为椭圆，则 í t -1 > 0 ，\1 < t < 3且 t 2 ，故 A 错误
3- t t -1
若C 为双曲线，则 (3 - t)(t -1) < 0 ，\t > 3或t <1 ，故 B 正确
若C 为圆，则3- t = t -1 ，\t = 2 ，故 C 正确
ì 3- t > 0
若C 为椭圆，且长轴在 y 轴上，则 í t -1 > 0 ，\2 < t < 3 ，故 D 错误
t -1 > 3- t
故选：BC
三、填空题
x2 y26．双曲线 - 2 = 1(b > 0)的焦点为F1, F2 ， P 为该双曲线上的一点，若 PF9 b 1
= 6，则 PF2 ＝ .
【答案】12
x2 y2
【详解】由题意，双曲线 - 2 = 1(b > 0)，可得 a
2 = 9，所以 a = 3，
9 b c = a
2 + b2 = 9 + b2 ，
又由点 P 为该双曲线上的一点，若 PF1 = 6，
因为 a + c = 3+ 9 + b2 > 6，所以点 P 在双曲线的左支上，
根据双曲线的定义，可得 PF2 - PF1 = 2a = 6，所以 PF2 = PF1 + 6 =12 .
故答案为：12 .
y2 87．设双曲线 C： x2 - =1的左焦点和右焦点分别是F1，F2 ，点 A 是 C 右支上的一点，则 AF1 +24 AF
的最
2
小值为 .
【答案】8
y2
【详解】解：由双曲线 C： x2 - =1，可得 a2 =1，b2 = 24 ，
24
所以 c2 = a2 + b2 = 25，所以 a =1， c = 5，由双曲线的定义可得 AF1 - AF2 = 2a = 2，
8 8
所以 AF1 = AF2 + 2，所以 AF1 + = AF2 + + 2AF AF ，2 2
由双曲线的性质可知： AF2 c - a = 4，令 AF2 = t ，则 t 4，
所以 AF
8 8 8
1 + = AF2 + + 2 = t + + 2AF AF t ，记 y t
8
= + + 2，
2 2 t
设 4 t1 < t2 ，则 y1 - y2 = t
8 2 (t 8 2) (t1 - t2 )(t1t2 -8)1 + + -t 2
+ + =
1 t2 t1t
< 0，
2
所以 y1 < y2 ，即 y
8
= t + + 2在 4, + 上单调递增，
t
8
所以当 t = 4时，取得最小值 4 + + 2 = 8，此时点 A 为双曲线的右顶点（1，0）．
4
故答案为：8．
四、解答题
2 2
8．m n x y， 为何值时，方程 + = 1表示下列曲线：
m n
（1）圆；
（2）椭圆；
（3）双曲线？
【答案】（1）m = n > 0 ；（2）m > 0， n > 0，且m n；（3）mn < 0
x21 y
2
【详解】（ ）若方程 + = 1表示圆，则m = n > 0 ，所以当m = n > 0 时，方程为圆；
m n
2 2
（2 x y）若方程 + = 1表示椭圆，则m > 0， n > 0，且m n，
m n
所以当m > 0， n > 0，且m n时，方程为椭圆；
x2 y 2
（3）若方程 + = 1表示双曲线，则mn < 0，所以当mn < 0时，方程为双曲线.
m n
9．已知F1 -5,0 、F2 5,0 两点，根据下列条件，写出动点M 的轨迹方程．
(1) MF1 - MF2 =10；
(2) MF1 - MF2 = 8；
(3) MF1 - MF2 = 6．
【答案】(1) y = 0 （ x≥5）
2 2
(2) x y- = 1（ x 4）
16 9
x2(3) y
2
- =1
9 16
【详解】（1）因为F1 -5,0 、F2 5,0 ，则 F1F2 =10 ，
又 MF1 - MF2 =10 = F1F2 ，
所以点M 的轨迹是 x 轴上以F2 为端点向右的一条射线，则轨迹方程为 y = 0 （ x≥5）.
（2）因为 MF1 - MF2 = 8 < F1F2 ，
所以点M 的轨迹是以F1 -5,0 、F2 5,0 为焦点的双曲线的右支，且 a = 4、 c = 5，
所以b = c2 - a2 = 3，
x2 y2
所以轨迹方程为 - = 1（ x 4）.
16 9
（3）因为 MF1 - MF2 = 6 < F1F2 ，
所以点M 的轨迹是以F1 -5,0 、F2 5,0 为焦点的双曲线，且 a = 3、 c = 5，
所以b = c2 - a2 = 4，
x2 y2
所以轨迹方程为 - =1.
9 16
一、单选题
x2 y21．设双曲线 - = 1的左、右焦点分别为F1，F2 ， P 为双曲线右支上一点， PF1 = 3 PF2 ，则 F4 3 1
PF2 的大
小为（ ）
A．30o B． 45o C．60o D．90o
【答案】C
【详解】根据双曲线的定义得 PF1 - PF2 = 4，
又因为 PF1 = 3 PF2 ，所以 PF1 = 6， PF2 = 2 ．
又因为 F1F2 = 2 7 ，
所以在△F1PF 中结合余弦定理的推论得：
2
cos F PF 6 + 2
2 - (2 7)2 1
1 2 = = ，2 6 2 2
o o
因为0 < F1PF2 <180 ，得 F1PF2 的大小为60o ．
故选：C
2．动点 P 到点M (1, 0)及点 N (3,0)的距离之差为 2，则点 P 的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线
【答案】D
【详解】由已知， PM - PN = 2 = MN ，所以点 P 的轨迹是一条以 N 为端点向 x 轴正方向的射线.
故选：D.
2 2
3．若 ab 0，则 ax - y + b = 0 x y和 + =1所表示的曲线只可能是下图中的（ ）
a b
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】因为 ab 0，
x2 y2
当 a<0，b < 0时， + =1不表示任何曲线，
a b
2 2
当 a > 0，b < 0 x y时， + =1表示焦点在 x 轴上的双曲线，直线 ax - y + b = 0表示过第一、三、四的直线，
a b
故选项 D 正确；
x2 y2
当 a<0，b > 0时， + =1表示焦点在 y 轴上的双曲线，直线 ax - y + b = 0表示过第一、二、四的直线，
a b
故选项 B 不正确；
2 2
当 a > 0 b > 0 x y， 时， + =1表示椭圆，直线 ax - y + b = 0表示过第一、二、三的直线，故选项 A、C 不正
a b
确；
故选：D.
4．已知 A(-2,0), B(2,0) ,若在斜率为 k 的直线 l上存在不同的两点M , N ，满足： MA - MB = 2 3 ，
NA - NB = 2 3 且线段MN 的中点为 (6,1)，则 k 的值为( )
1
A．-2 B 1．- C． 2 D． 22
【答案】D
【详解】∵ A(-2,0), B(2,0)，且 MA - MB = 2 3 ， NA - NB = 2 3 ，
∴M , N 在以 A, B为焦点的双曲线上，
2c = 4,2a = 2 3 ，∴ c = 2, a = 3 ，∴b2 = c2 - a2 =1，
x2
∴双曲线方程是 - y2 =1 .
3
ì x 21 2
- y1 =1
设M x1, y
3
1 , N x2 , y2 ，则 í 2 ，
x2
- y
2 =1
3 2
x1 + x x - x 两式相减得 2 1 2 - y1 + y2 y1 - y2 = 0 （*），3
∵线段MN 的中点为(6,1)，∴ x1 + x2 =12, y1 + y2 = 2，
12
（*）两边同时除以 x1 - x2 ，可得 - 2k = 0，解得 k = 2，3
故选：D.
二、多选题
5．已知 P 是圆O : x2 + y2 = 4上任意一点，定点A 在 x 轴上，线段 AP 的垂直平分线与直线OP相交于点Q，
当 P 在圆O上运动时，Q的轨迹可以是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】ABC
【详解】当点 A 在圆外，如下图所示：设 AP 中点为 B，过 B 作 AP 垂线交直线 OP 为 Q，连接 AQ，则
PQ = AQ ，则 QO - QA = OP = 2，又 AO > 2 ，则此时 Q 轨迹为以O, A为焦点的双曲线；
当点 A 在圆内（非原点），如下图所示，此时 QA + OQ = OQ + QP = 2，又 AO < 2，则此时 Q 轨迹
为以O, A为焦点的椭圆；
当 A 在坐标原点，如下图所示，此时 B，Q 重合，则 OQ = 2，则此时 Q 轨迹为以 O 为原点，半径为 2 的
圆；
当A 在圆上，由垂径定理，可知 Q 点与 O 重合，此时Q的轨迹为点 O.
故选：ABC
三、填空题
2 2
6 x y．已知双曲线 - =1的左、右集点分别为F1、F2 ，若双曲线上点 P 使 F1PF2 = 90°，则△F1PF2 的面积9 16
是 ．
【答案】16
【详解】由双曲线方程可知， a = 3,b = 4，所以 c = a2 + b2 = 5，设 | PF1 |= m,| PF2 |= n ，
由双曲线定义可得 | m - n |= 2a = 6，Q F1PF2 = 90°，\ 2c 2 = 102 = m2 + n2 = (m - n)2 + 2mn = 62 + 2mn ，
1 1
\mn = 32，\SVF PF = mn = 32 =16．1 2 2 2
故答案为: 16.
x2 y27．设双曲线 - =1的左、右焦点分别为F1，F2 ，过F1的直线 l交双曲线左支于A ， B 两点，则 AF2 + BF16 12 2
的最小值为 ．
【答案】22
x2 y2
【详解】根据双曲线 - =1，得 a = 4，b = 2 3 ，
16 12
由双曲线的定义可得： AF2 － AF1 = 2a = 8 ①，
BF2 － BF1 = 2a = 8 ②，
①+②可得： AF2 + BF2 － AF1 + BF1 =16，
由于过双曲线的左焦点F1的直线交双曲线的左支于A ， B 两点，
可得 AF1 + BF1 = AB ，即有 AF2 + BF2 － AF1 + BF1 = AF2 + BF2 － AB =16．
则 BF2 + AF2 = AB +16，当 AB 是双曲线的通径时 AB 最小，
2b2
故 BF2 + AF2 +16
2 12
= +16 = 22 .
a 4
故答案为：22
四、解答题
8．双曲线16x2 - 9y2 =144的左、右两焦点分别为F1, F2 ，点 P 在双曲线上，且 PF1 × PF2 = 64 ，求△PF1F2 的
面积．
【答案】16 3
2 2
【详解】双曲线方程16x2 - 9y2 =144 x y化为 - =1，即a2 = 9,b2 = 16，所以 c2 = 25，
9 16
解得 a = 3,c = 5，于是F1 -5,0 , F2 5,0 ，设 PF1 = m, PF2 = n，
由双曲线的定义知 m - n = 2a = 6，又mn = 64，
PF 2PF F + PF
2 - F 2
△ cos F PF = 1 2 1
F2
在 1 2 中，由余弦定理得 1 2 2 PF1 × PF2
m2 + n2 - (2c)2 (m - n)2 + 2mn - 4c2 36 + 2 64 - 4 25 1
= = = = ，
2mn 2mn 2 64 2
而0° < F1PF2 <180°，则 F1PF2 = 60°，
1
所以△PF1F2 的面积 SVPF F = PF1 × PF2 sin
1
F1PF2 = mnsin 60° =16 3 .1 2 2 2
一、单选题
1．已知平面上的定点F1，F2 及动点M ，甲： MF1 - MF2 = m （m 为常数），乙：点M 的轨迹是以F1，F2
为焦点的双曲线，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【详解】根据双曲线的定义，只有当0 < m < F1F2 时，点M 的轨迹才是双曲线，
所以乙 甲，但甲 乙，所以甲是乙的必要不充分条件.
故选：B
2．已知点 A(0,- 5), B(2,0) ，点 P 为函数 y = 2 1+ x2 图象上的一点，则 | PA | + | PB |的最小值为（ ）
A．1+ 2 5 B．7 C．3 D．不存在
【答案】B
y2
【详解】解： y = 2 1+ x2 ，得 - x2 = 1( y > 0)．
4
2
设点 A (0, 5)，即点 A (0, 5), A(0, 5) y- 为双曲线 - x2 =1的上、下焦点．
4
由双曲线的定义得 | PA | - PA = 4，
则 | PA | + | PB |= 4 + PA + | PB | 4 + BA = 7 .
故选：B．
3．已知圆 x2＋y2－4x－9＝0 与 y 轴的两个交点 A，B 都在某双曲线上，且 A，B 两点恰好将此双曲线的焦距
三等分，则此双曲线的标准方程为( )．
y2 x2 y2 x2 y2 x2 y2 x2A． - ＝1 B． - ＝1 C． - ＝1 D． - =1
9 36 9 72 36 9 72 9
【答案】B
【详解】在 x2＋y2－4x－9＝0 中，令 x＝0，得 y＝±3，
2 2 9
不妨设 A(0,－3)，B(0,3) y x，双曲线的标准方程 2 - 2 ＝1(a>0，b>0)，则 2 ＝1.a b a
又 A，B 两点恰好将此双曲线的焦距三等分，可得：双曲线的焦点为(0,－9)，(0,9)．
所以 a2＋b2＝81.
y2 x2
综上，a2＝9，b2＝72，此双曲线的标准方程为 - ＝1.
9 72
故选：B
p
4．过双曲线的一个焦点F2 作垂直于实轴的直线,交双曲线于P,Q , F1是另一焦点,若 PF1Q= ,则双曲线的离3
心率 e等于（ ）
A． 2 -1 B． 3 C． 2 +1 D． 2 + 2
【答案】B
【详解】由双曲线的对称性可知，DPF1F2 是以点F2 为直角顶点，且 PF1F
p
2 = ，则 PF1 = 2 PF2 ，6
由双曲线的定义可得 PF1 - PF2 = PF2 = 2a ，
PF
在RtDPF1F2 中， tan PF1F
2 2a 3 c
2 = = = ，\e = = 3 ，故选 B.F1F2 2c 3 a
二、多选题
5 x
2 y2
．已知 P 为双曲线 - =1（ a > 0，b > 02 2 ）右支上一点，F1，F2 分别为双曲线的左、右焦点， I 是a b
△PF1F2 的内心，双曲线的离心率为 e，△IPF1，△IPF2 ，△IF1F2 的面积分别为 S1， S2 ， S3 ，且 S1 = S2 + kS3 ，
下列结论正确的为（ ）
A． k = e B． k
1
=
e
C． I 在定直线 x = a上 D．若 PF1 = m，则 PF2 = m - 2a或 PF2 = m + 2a
【答案】BC
【详解】如图所示：
设三角形PF1F2内切圆半径为 r ，因为 S1 = S2 + kS3 ，则 PF1 = m + 2a， PF2 = m， F1F2 = 2c ，所以
1 2a + m r 1= mr 1+ kr 2c a 1，得 k = = ，故 A 错误，B 选项正确，D 选项显然错误；
2 2 2 c e
C 选项中，设圆 I 与三边PF1，PF2 ，F1F2 切点分别为A ， B ，C ，则 PA = PB ，由双曲线定义有
PF1 - PF2 = 2a ，从而 F1A - F2B = 2a .又 F1A = F1C ， F2B = F2C ，所以 F1C - F2C = 2a ，设 I s, t ，
F1A = s + c ， F2B = c - s （ c为双曲线的半焦距），所以 s + c - c - s = 2a ，解得 s = a，即点 I 在定直线
x = a上，所以 C 选项正确，
故选：BC.
三、填空题
x2 y26．已知 F 是双曲线 - =1的右焦点，若点 P 是双曲线的左支上一点， A(0,6 6)，则VAPF 周长的最小
4 5
值为 ．
【答案】34
x2 y2
【详解】双曲线 - =1中， a = 2,b = 5 ， c = 4 + 5 = 3，即F (3,0) ，
4 5
设F 是双曲线的左焦点，F (-3,0)，
2
则 AF = AF = 32 + -6 6 =15
∵ P 在双曲线的左支上，∴ PF - PF = 2a = 4，即 PF = PF + 4，
∴VAPF 周长为 l = PF + PA + AF = 4 + PF + PA +15 = PA + PF +19，
显然 PA + PF AF = 32 + (6 6)2 =15，当且仅当 P 是线段 AF 与双曲线的交点时等号成立．
∴VAPF 周长 l的最小值为15 +19 = 34．
故答案为：34．
四、解答题
7．双曲线型自然冷却通风塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴所在的直线旋转所成的曲面，如图所示．已
知它的最小半径为 12 米，上口半径为 13 米，下口半径为 25 米，高为 55 米，选择适当的平面直角坐标系，
求此双曲线的方程．（精确到 0.1 米）
x2 y2
【答案】
122
- 2 =124.5
x2 y2
【详解】如图，建立平面直角坐标系，并设双曲线的标准方程为 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 ，a b
点 B 、C 的坐标分别为 25, y1 、 13, y2 ，其中 y1 < 0， y2 > 0．
又因为塔高为 55 米，所以 y2 - y1 = 55．由 AA 是双曲线的实轴，得 a =12．
252C y
2 132 y2
因为 B 、 在双曲线上，所以 - 1 =1， - 22 2 2 =1．12 b 12 b2
y b= - 481 y 5解得 1 ， 2 = b ．12 12
5b b 481
代入 y2 - y1 = 55，得 + = 55．解得b 24.5．
12 12
x2 y2
因此所求双曲线的方程为 - =1．
122 24.522.6.1 双曲线的标准方程
分层练习
一、单选题
2 2
1．双曲线 C : x y- = 1的虚轴长为（
3 4 ）
A． 3 B．2 3 C．4 D．2
2 y
2 x2
．双曲线 - =1的焦点坐标是（ ）
9 16
A． ±5,0 B． 0, ±5 C． ± 5,0 D． 0, ± 5
x2 y23．已知曲线E : - =1(m R)，（ ）
m -1 m - 2
A．若 E 表示双曲线，则m>2 B．若1< m < 2，则 E 表示双曲线
3
C．若 E 表示椭圆，则m>2 D．若1< m < 2且m ，则 E 表示椭圆
2
x2 y2 x2 24 y．已知椭圆 + =1(a > b > 0)过点 -3,2 2 2 且与双曲线 - =1有相同焦点，则椭圆的离心率为（ ）a b 3 2
A 3． B 3 3． C． D 3．
6 4 3 2
二、多选题
5 x
2 y2
．若方程 + =1所表示的曲线为C ，则下面四个命题中正确的是（ ）
3- t t -1
A．若C 为椭圆，则1< t < 3 B．若C 为双曲线，则 t > 3或 t <1
C．曲线C 可能是圆 D．若C 为椭圆，且长轴在 y 轴上，则1 < t < 2
三、填空题
x26 y
2
．双曲线 - = 1(b > 0)的焦点为F1, F2 ， P2 为该双曲线上的一点，若 PF1 = 6，则 PF2 ＝ .9 b
2 8
7．设双曲线 C： x2 y- =1的左焦点和右焦点分别是F1，F2 ，点 A 是 C 右支上的一点，则 AF1 + AF 的最24 2
小值为 .
四、解答题
x2 y 28．m，n 为何值时，方程 + = 1表示下列曲线：
m n
（1）圆；
（2）椭圆；
（3）双曲线？
9．已知F1 -5,0 、F2 5,0 两点，根据下列条件，写出动点M 的轨迹方程．
(1) MF1 - MF2 =10；
(2) MF1 - MF2 = 8；
(3) MF1 - MF2 = 6．
一、单选题
1 x
2 y2
．设双曲线 - = 1的左、右焦点分别为F1，F2 ， P 为双曲线右支上一点， PF1 = 3 PF2 ，则 F1PF2 的大4 3
小为（ ）
A．30o B． 45o C．60o D．90o
2．动点 P 到点M (1, 0)及点 N (3,0)的距离之差为 2，则点 P 的轨迹是（ ）
A．双曲线 B．双曲线的一支 C．两条射线 D．一条射线
2 2
3．若 ab 0，则 ax - y + b = 0 x y和 + =1所表示的曲线只可能是下图中的（ ）
a b
A． B．
C． D．
4．已知 A(-2,0), B(2,0) ,若在斜率为 k 的直线 l上存在不同的两点M , N ，满足： MA - MB = 2 3 ，
NA - NB = 2 3 且线段MN 的中点为 (6,1)，则 k 的值为( )
1
A 1．-2 B．- C． 2 D． 22
二、多选题
5．已知 P 是圆O : x2 + y2 = 4上任意一点，定点A 在 x 轴上，线段 AP 的垂直平分线与直线OP相交于点Q，
当 P 在圆O上运动时，Q的轨迹可以是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
三、填空题
6 x
2 y2
．已知双曲线 - =1的左、右集点分别为F1、F2 ，若双曲线上点 P 使 F1PF2 = 90°，则△F1PF2 的面积9 16
是 ．
x2 y27．设双曲线 - =1的左、右焦点分别为F1，F2 ，过F1的直线 l交双曲线左支于A ， B 两点，则 AF16 12 2
+ BF2
的最小值为 ．
四、解答题
8．双曲线16x2 - 9y2 =144的左、右两焦点分别为F1, F2 ，点 P 在双曲线上，且 PF1 × PF2 = 64 ，求△PF1F2 的
面积．
一、单选题
1．已知平面上的定点F1，F2 及动点M ，甲： MF1 - MF2 = m （m 为常数），乙：点M 的轨迹是以F1，F2
为焦点的双曲线，则甲是乙的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知点 A(0,- 5), B(2,0) ，点 P 为函数 y = 2 1+ x2 图象上的一点，则 | PA | + | PB |的最小值为（ ）
A．1+ 2 5 B．7 C．3 D．不存在
3．已知圆 x2＋y2－4x－9＝0 与 y 轴的两个交点 A，B 都在某双曲线上，且 A，B 两点恰好将此双曲线的焦距
三等分，则此双曲线的标准方程为( )．
y2 x2 2 2A 1 B y x 1 C y
2 x2 y2 x2
． - ＝ ． - ＝ ． - ＝1 D． - =1
9 36 9 72 36 9 72 9
p
4．过双曲线的一个焦点F2 作垂直于实轴的直线,交双曲线于P,Q , F1是另一焦点,若 PF1Q= ,则双曲线的离3
心率 e等于（ ）
A． 2 -1 B． 3 C． 2 +1 D． 2 + 2
二、多选题
x2 y25．已知 P 为双曲线 - =1（ a > 0，b > 0）右支上一点，F2 2 1，F2 分别为双曲线的左、右焦点， I 是a b
△PF1F2 的内心，双曲线的离心率为 e，△IPF1，△IPF2 ，△IF1F2 的面积分别为 S1， S2 ， S3 ，且 S1 = S2 + kS3 ，
下列结论正确的为（ ）
1
A． k = e B． k =
e
C． I 在定直线 x = a上 D．若 PF1 = m，则 PF2 = m - 2a或 PF2 = m + 2a
三、填空题
6 F x
2 y2
．已知 是双曲线 - =1的右焦点，若点 P 是双曲线的左支上一点， A(0,6 6)，则VAPF 周长的最小
4 5
值为 ．
四、解答题
7．双曲线型自然冷却通风塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴所在的直线旋转所成的曲面，如图所示．已
知它的最小半径为 12 米，上口半径为 13 米，下口半径为 25 米，高为 55 米，选择适当的平面直角坐标系，
求此双曲线的方程．（精确到 0.1 米）
