2.6.2 双曲线的几何性质
分层练习
一、单选题
x21．已知双曲线 22 - y =1(a > 0)的焦距为 4，则该双曲线的离心率为（ ）a
A 2 B 2 3 C 2 3
4
． ． ． D．
3 3
【答案】C
x2
【详解】由双曲线 22 - y =1(a > 0)的焦距为 4 可得 c = 2，b =1，a
c 2 3
则 a = c2 - b2 = 3，所以 e = = ．
a 3
故选：C
2
2 x y
2
1 x
2
．已知双曲线 - = 的焦点与椭圆 + y2 =1的焦点相同，则m =（ ）
m 2 4
A．1 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【详解】由题意可得m + 2 = 4 -1，则m =1.
故选：A.
x2 y2 p3．若双曲线C : - 2 = 1(b > 0) 的一条渐近线与 x 轴的夹角是 ，则 C 的虚轴长是（ ）9 b 3
A．3 3 B．6 3 C．2 D 2 3．
3
【答案】B
x2 y2
【详解】因为双曲线C : - 2 = 1(b > 0) ，9 b
b
所以双曲线的渐近线方程为 y = ± x，
3
p
因为一条渐近线与 x 轴的夹角是 ，
3
y b p所以直线 = x的倾斜角为 ，
3 3
b p
则 = tan = 3 ，解得
3 3 b = 3 3
，
故双曲线C 的虚轴长是 2b = 6 3 .
故选：B
4 x
2 y2
．若双曲线 - = 1 0 < m < 12 渐近线的斜率为 k，且 k 2 > 3，则 m 的取值范围是（ ）
m 12 - m
A．（0，2） B．（1，2） C．（0，3） D．（1，3）
【答案】C
k 2 12 - m【详解】由题意得： = > 3
m
解得：0 < m < 3
故选：C
二、多选题
5．将离心率为 e1 的双曲线C1的实半轴长 a和虚半轴长b a b 同时增加m m > 0 个单位长度，得到离心率
为 e2的双曲线C2 ，则（ ）
A．当 a > b时， e1 > e2 B．当 a < b 时， e1 < e2
C．当 a > b时， e1 < e2 D．当 a < b 时， e1 > e2
【答案】CD
a2 + b2 b (a + m)2 + (b + m)2 b + m
【详解】依题意得 e1 = = 1+ ( )
2 ， e2 = = 1+ ( )
2 ，
a a a + m a + m
b b + m ab + bm - ab - am m(b - a)
∵ - = = b > 0a a ，由于m > 0， a > 0， ，+ m a(a + m) a(a + m)
b b + m b b + m
∴当 a > b < 2 2时 ， ( ) < ( ) ，即 e1 < e ，a a + m a a + m 2
b b + m b
当 a < b 时 > ， ( )2 > (
b + m )2，即 e > e ，
a a + m a a + m 1 2
∴当 a > b时 e1 < e2，当 a < b 时 e1 > e2 ，
故选：CD.
三、填空题
6．在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C1与双曲线 C2共焦点，双曲线 C2实轴的两顶点将椭圆 C1的长轴
三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则双曲线 C2的离心率为 ．
【答案】 5
【详解】不妨设焦点F1，F2 在 x 轴上，两者在第一象限的公共点为 P，
设C2 的实半轴长为 a，则C1的长半轴长为 3a，半焦距为 c，
设PF1 = x ，PF2 = y，
ìx + y = 6a ìx = 4a
则 í
x - y
，
= 2a í y = 2a
由题意知：P 在F1F2 为直径的圆上，
所以 x2 + y2 = 4c2 = 20a2 ，
解得： e = 5 ．
故答案为： 5
x27 C y
2
．以双曲线 ： - =1的一个焦点为圆心，以 5 为半径的圆，截该双曲线的一条渐近线所得的弦长
4 9
为 ．
【答案】8
【详解】 a = 2,b = 3，则 c = 13 ，渐近线方程为 y 3= ± x ．2
取一焦点F ( 13,0) ，任取一条渐近线方程为3x - 2y = 0，
3 13
则F 到渐近线的距离为 d = = 3，所以弦长为 l = 2 52 22 2 - 3 = 8．3 + (-2)
故答案为：8．
四、解答题
2 2
8 x y 3．已知双曲线C 与椭圆E : + = 1有公共焦点，且它的一条渐近线方程为 y = x .
16 12 3
(1)求椭圆E 的焦点坐标；
(2)求双曲线C 的标准方程．
【答案】(1) (±2,0) ；
x2(2) - y2 =1 .
3
【详解】（1）由题设， c = a2 - b2 = 16 -12 = 2，又 a = 4 > b = 2 3，
所以椭圆E 的焦点坐标为 (±2,0) .
（2）由题设，令双曲线C 为 x2 - 3y2 = l(l > 0)，
l
由（1）知：l + = c2 = 4，可得l = 3，
3
x2
所以双曲线C 的标准方程为 - y2 =1 .
3
一、单选题
2 2
1．已知双曲线 C x y： 2 - 2 = 1(a > 0,b > 0) ，F 为 C 的右焦点，过点 F 的直线与 C 的一条渐近线垂直，垂足为a b
点 M，与另一条渐近线的交点为 N．若直线 MN 的斜率为 3，则其渐近线方程为（ ）
1
A 3 3．y＝± x B．y＝±3x C．y＝± x D．y＝± x
3 3 2
【答案】A
【详解】由题意可知 kMN = 3，
b
所以与直线 MN 垂直的双曲线 C 的渐近线方程为 y = - x，
a
b 1
所以- = - ，
a 3
1
所以双曲线的渐近线方程为： y = ± x3 ．
故选：A．
x2 y22．已知双曲线 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 的两条渐近线分别为 l1、 l2，经过右焦点 F 垂直于 l1的直线分别交 l1、a b
l2于A 、 B 两点．若 OA AB OB
uuuv uuuv
、 、 成等差数列，且 AF 与FB反向，则该双曲线的离心率为
A． 5 B 6． 3 C． D． 3 +1
2
【答案】A
b
【详解】如下图所示，设 AOF = q ，则 = tanq ，
a
AB
DAOB 中， AOB = p - 2q ，则 tan AOB = - tan 2q = OA .
Q OA 、 AB 、 OB 成等差数列，设 OA = m - d ， AB = m， OB = m + d ，
2 2 2 m d 2 m2 m d 2 d 1QOA ^ BF ，\ OA + AB = OB ，即 - + = + ，整理得 = m，4
OA m d 3 m tan 2q 2 tanq 4则 = - = ，所以，- = - = ，
4 1- tan2 q 3
b 2Q tanq >1 tanq = 2 = 2 b ，解得 ，即 ，因此，双曲线的离心率为 .
a e = 1+ ÷ = 5è a
故选：A.
2 2
3 x y．已知双曲线 - = 1(a > 0,b > 0) 的焦距为 2 5 ，且双曲线的一条渐近线与直线 2x + y = 02 2 平行，则双曲线a b
的方程为（ ）
x2A y2 y
2
． - =1 B． x2 - =1
4 4
x2 y2C 1 D 3x
2 3y2
． - = ． - =1
16 4 5 20
【答案】B
x2 y2
【详解】∵双曲线 2 - 2 = 1(a＞0，b＞0)的焦距为 2 5 ，a b
且双曲线的一条渐近线与直线 2x＋y＝0 平行，
b
∴- = -2，∴b＝2a，
a
∵c2＝a2＋b2，∴a＝1，b＝2，
y2
∴双曲线的方程为 x2 - =1．
4
故选：B．
4 x
2 y2
．过双曲线 2 - 2 = 1(a > 0,b > 0) 的右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A, B两点，与双曲线的渐近线a b
交于C, D 两点，若 AB
3
CD ，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
5
é5 , 5 5 5A． ê +
÷ B
é
． ê ,+
÷ C． 1,
ù ù
D．
3 4
1,
è 3ú è 4 ú
【答案】B
ì x2 y2
- = 1 b2 2
【详解】联立双曲线与 x = c， ía2 b2 ，解得 A(c, ), B(c, b- )
x = c a a
AB 2b
2
∴ =
a
b
联立双曲线的渐近线 y = ± x与 x = c，解得C(c,
bc ), D(c, bc- )，
a a a
\ CD 2bc= ，
a
AB 3 CD 2b
2 3 2bc 3 9 2
由 则 ，b c ，b2 c2 ， c2 - a2
9
c2 c 25，
5 a 5 a 5 25 25 a2 16
c 5
所以 .
a 4
故选:B．
二、多选题
5．已知椭圆与双曲线有共同的左右焦点F1，F2 ，设椭圆和双曲线其中一个公共点为 P，且满足
F1PF2 = 90°，若椭圆的离心率为 e1 ，双曲线的离心率为 e2，则关于 e1 和 e2，下列说法正确的是（ ）
1 1 1 1
A． + = 2 + = 2 e e >1 e e <1e 2 e 2 B． e e C． 1 2 D． 1 21 2 1 2
【答案】AC
【详解】根据椭圆和双曲线的对称性，不妨设点 P 在第一象限，设椭圆与双曲线的半焦距为 c，椭圆的长半
轴长和双曲线的实半轴长分别为 a, a ，根据题意， | PF1 | + | PF2 |= 2a,| PF1 | - | PF2 |= 2a ，联立方程组解得：
| PF1 |= a + a ,| PF
2 2
2 |= a - a ,而 F1PF2 = 90°，则 a + a + a - a = 4c2 a2 + a 2 = 2c2，于是
a 2 2 + a
1 1 1 1 1 1 2
÷ ÷ = 2 + = 2，由基本不等式 2 + 2 = 2 2 = e2 1e2 1，易知 ec c e e2 e e e e e e 1
e2 ，所以
è è 1 2 1 2 1 2 1 2
e1e2 >1 .
故选：AC.
三、填空题
2 2
6．已知圆 x2 + y2 x y- 2x + 4y = 0关于双曲线C ： - =1 m > 0 的一条渐近线对称，则m = .
2m m+1
1
【答案】
7
【详解】由题可知圆的圆心在双曲线的一条渐近线上.
x2 + y2 - 2x + 4y = 0 x -1 2 + y + 2 2 = 5，故圆的圆心为(1,－2)，
(1,－2)在第四象限，故(1, 2)
b m +1
－ 在双曲线的渐近线 y = - x = - x上，
a 2m
m +1 1
∴- = -2，解得 m＝ .
2m 7
1
故答案为： .
7
2
7．已知坐标平面 xOy F x中，点 ，F 分别为双曲线C : - y21 2 2 =1 a > 0 的左、右焦点，点 M 在双曲线 C 的a
左支上，MF2 与双曲线 C 的一条渐近线交于点 D，且 D 为MF2 的中点，点 I 为△OMF2 的外心，若 O、I、D
三点共线，则双曲线 C 的离心率为 ．
【答案】 5
1
【详解】由题意知，双曲线的渐近线方程为 y = ± x，F2 c,0 ，a
不妨设点M m, n n在第二象限，则 kMF =2 ，m - c
由 D 为MF2 的中点，O、I、D 三点共线知直线 OD 垂直平分MF2 ，
则OD : y
1 x n 1 1 m + c= ，有 = -a ，且 n = ，
a m - c 2 a 2
2
m a -1
2
解得 = ， n
2a
= ，所以M
a -1, 2a c c ÷，c c è
M a
2 -1 2a 2, 2a - c
2 2a
将 ,c c ÷即 ÷，代入双曲线的方程，è è c c
2 2 22a - c得 4a2
2 2 - 2 =1，化简可得 c
2 = 5a2，即 e = 5 ；
a c c
当点 M 在第三象限时，同理可得 e = 5 ．
故答案为： 5 .
四、解答题
2 2
8．已知双曲线C : x y2 - 2 =1过点 2, 3 ，给出以下 2 个条件：a b
2
①离心率为 2 y，②与双曲线 - x2 = 1有相同的渐近线．
3
(1)选一个条件，求出双曲线的方程．
(2)直线 l 与直线 4x - 2y -1 = 0 平行，l 被 C 截得的弦长为 4 5 ，求直线 l 的方程．
2
【答案】(1) x2 y- =1
3
(2) 4x - 2y 2 21 0 4x 2y 2 21- = 或 - + = 0．
3 3
ì 2 3
a2
- =1
b
2
ìa2 =1
【详解】（1）解：若选①，则 íe
c
= = 2 ，解得 í ，
a b
2 = 3
c2 = a2 + b2
y2
所以双曲线C 的方程为 x2 - =1；
3
y2 2 3若选②，设双曲线方程为 - x = n ，依题意可得 - 2 = n ，即 n = -1，
3 3
2
所以双曲线C 的方程为 x2 y- =1；
3
（2）解：由题意设直线 l的方程为 4x - 2y + m = 0，
ì y2
x2 - =1
联立 í 3 ，得 4x2 + 8mx + m2 +12 = 0 ．
4x - 2y + m = 0
由D = 64m2 -16(m2 +12) = 48m2 -192 > 0 ，解得m < -2或m>2 ．
设 l交C 于 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，
2
则 x1 + x2 = -2m x x
m +12
， 1 2 = ，4
\| AB |= 1+ 4 | x1 - x2 |= 5 (x1 + x )
2
2 - 4x1x2 = 5 4m
2 - (m2 +12) = 4 5 ，
2 21
解得m = ± ．
3
\ l 2 21 2 21直线 的方程为 4x - 2y - = 0或 4x - 2y + = 0．
3 3
1 F F x2 y
2
．已知 1， 2 分别是双曲线 - =1的左、右焦点，A 为一条渐近线上的一点，且 AF1 ^ AF2 ，则△AF1F24
的面积为（ ）
A． 5 B． 2 5 C．5 D 5．
2
【答案】B
y2
【详解】双曲线 x2 - =1的渐近线方程 y = ±2x ，不妨设 A 在 y = 2x上，则 A x0 , y0 ，根据 AF1 ^ AF2 可得4
y0 y 0 = -1 y = 2x y = 2 1△AF F 2 5 2 = 2 5
x0 + 5 x
，且 ，解得 ，所以 的面积为 ．
0 - 5
0 0 0 1 2 2
故选：B
2 2
4．设F x y1, F2 分别是双曲线 2 - 2 = 1(a > 0,b > 0) 的左、右焦点， P 是双曲线右支上的点，射线PT 是 F PFa b 1 2 的
1
角平分线，过原点O作PT 的平行线交PF1于点M ，若 | MP |= | F1F2 |，则双曲线的离心率是（ ）3
3
A． 3 B． 2 C．3 D． 2
【答案】D
MP OT 2 c
【详解】由题意可得： =PF FT ，则
3 OT= ，
1 1 PF1 c + OT
2 c c + OT
∴ PF = 3 ，1 OT
PF1 PF2 PF1 MP
由角平分线的性质可得： = =F1T F
，结合 ，
2T F1T OT
2 c
故 3 PF1 - 2a= ，
OT c - OT
2 c c - OT
∴ PF 31 = + 2a，OT
2 c c + OT 2 c c - OT
所以 3 = 3 + 2a ，
OT OT
2
整理可得： c c + OT 2= c c - OT + 2a OT ，
3 3
4
即 c = 2a，
3
e c 3∴ = = .
a 2
故选；D.
x2 26 y．已知圆锥曲线 + =1的离心率 e为方程 2x2 - 5x + 2 = 0的根，则满足条件的不同m 值有（ ）
m 2
A．1个 B． 2个 C．3个 D． 4个
【答案】C
1 1
【详解】解方程 2x2 - 5x + 2 = 0可得 x = 2或 x = ，所以， e = 2或 .2 2
x2 y2
①若 e = 2，则曲线 + =1表示焦点在 y 轴上的双曲线，
m 2
则 e 2 - m= = 2，解得m = -6；
2
1 x2 y2
②若 e = ，则曲线 + =1为椭圆，
2 m 2
x2 y2 1 m - 2 1
8
若椭圆 + = 的焦点在 x 轴上，则 e = = 且m>2 ，解得m = ；
m 2 m 2 3
x2 y2 y 2 - m 1 0 m 2 m 3若椭圆 + =1的焦点在 轴上，则 e = = 且 < < ，解得 = .
m 2 2 2 2
综上所述，满足条件的m 的值有3个.
故选：C.
4．设F1, F2 是双曲线 x2 - y2 = 4 的两个焦点， P 是双曲线上任意一点，过F1作 F1PF2 平分线的垂线，垂足
为M ，则点M 到直线 x + y - 2 2 = 0的距离的最大值是（ ）.
A．4 B．5 C．6 D．3
【答案】A
x2 y2
【详解】双曲线的方程为： - = 1，可得 c2 = 8 c = 2 2 ，则 F1 -2 2,0 , F2 2 2,0 ，设M x0, y 0 ，4 4
不妨设点 P 在双曲线的右支上，延长F1M 交PF2 于 N，则 N 2x0 + 2 2,2y0 .
由题意， | PF1 |=| PN |，由双曲线的定义： | PF1 | - | PF2 |= 2a = 4，则 NF2 = 4，于是，
22x0 + 2 2 - 2 2 + 2y0 - 0 2 = 4 x20 + y20 = 4，即点 M 在以原点为圆心，2 为半径的圆上，而圆心
（0,0
| -2 2 |
）到直线 x + y - 2 2 = 0的距离为： = 2，该直线与圆相切，则点 M 到该直线的距离的最大值为：
2
2+2=4.
故选：A.
5 C : x
2 y2
．设双曲线 - = 1的左 右焦点分别为F1, F2 ，点 P 在C 的右支上，且不与C 的顶点重合．则下列命
9 4
题中正确的是（ ）
A 3．双曲线C 的两条渐近线的方程是 y = ± x
2
B．双曲线C 13的离心率等于
3
C．若PF1 ^ PF2，则△F1PF2 的面积等于 4
D．若 PF1 = 2 PF cos F PF
8
2 ，则 1 2 = 9
【答案】BCD
【详解】由双曲线标准方程知 a = 3,b = 2， c = a2 + b2 = 9 + 4 = 13 ， F1F2 = 2 13
2
A 选项：知双曲线的渐近线方程为 y = ± x，故 A 错误；
3
B e c 13选项：双曲线的离心率 = = ，故 B 正确；
a 3
C 2 2选项：由双曲线定义知 PF1 - PF2 = 6，若PF1 ^ PF2，则 PF1 + PF2 = 52，
2即 PF1 - PF2 + 2 PF1 PF2 = 52 ，即36 + 2 PF1 PF2 = 52，得 PF1 PF2 = 8，
1
所以 SVF PF = PF1 PF2 = 4，故 C 正确；1 2 2
D 选项：若 PF1 = 2 PF2 ，则 PF2 = 6， PF1 =12．在△F1PF2 中，由余弦定理，
PF 21 + PF
2
2 - F F
2
cos F PF 1 2 144 + 36 - 52 8得 1 2 = = = ，故 D 正确；2 PF1 PF2 2 12 6 9
故选：BCD
x2 y2 6 a26 + 4．已知双曲线 2 - 2 =1(a,b > 0)的离心率为 ,则 的最小值为 a b 2 b
【答案】 4 2
c 6 a2 + 4 2b2 + 4 2
【详解】由 = ，可得 a = 2b，所以 = = 2(b + ) 2 2 2 ，
a 2 b b b
a2 + 4
故 的最小值为 4 2 ．
b
2 2
7．已知F x y为双曲线C ： - =1（ a > 0，b > 0）的右焦点，O为坐标原点，点A 是以OF 为直径的圆与
a2 b2
双曲线C 的一个公共点.若点F 关于点A 的对称点也在双曲线C 上，则双曲线C 的渐近线的斜率为 .
【答案】±2 3
【详解】因点A 是以OF 为直径的圆与双曲线C 的一个公共点，则OA ^ AF ，
设点F 关于点A 的对称点为 B ，双曲线C 的左焦点为F ，则OA / /F B，有BF ^ BF，如图，
令 AF = m，则 AF = m+ 2a， BF = 2m， BF = 2m-2a，又 OF = c，
在RtVBF F 中， | BF |2 + | BF |2 =| F F |2 ，即 2m - 2a 2 + 4m2 = 4c2，
在RtVBF A 2 2中， | BF |2 + | AB |2 =| AF |2 ，即 2m - 2a + m2 = m + 2a
ì 2m - 2a 2 + 4m2 = 4c2
于是得 í 2m - 2a 2 + m2 = m + 2a 2 b，解得b = 2 3a ，即 = 2 3，
2 a
c = a
2 + b2
所以双曲线C 的渐近线的斜率为±2 3 .
故答案为：±2 3
x2 y28．设双曲线C : 2 - 2 = 1(a > 0,b > 0)的右焦点为F ，点O为坐标原点，过点F 的直线 l与C 的右支相交于 A, Ba b
两点.
(1)当直线 l与 x 轴垂直时，OA ^ OB，求C 的离心率；
(2)当C 的焦距为 2 时， AOB 恒为锐角，求C 的实轴长的取值范围.
【答案】(1) 5 +1
2
(2) 5 -1,2
【详解】（1）当直线 l与 x 轴垂直时，由对称性知VOAB是等腰直角三角形，
2
OF = AF = BF c b c 1 b
2 c2 - a2
于是 ，即 = 2 - = = ，a a a
e c 5 +1解得离心率 = = .
a 2
（2）若C 的焦距为 2，则 c =1，即F 1,0 .
由于直线 l的斜率不为零，可设其方程为 x = my +1 .
ì x = my +1,
结合b2 =1- a2 (0
< a <1)，联立 í x2 y2
2 - 2 =1, a 1- a
得 éa2 m2 +1 - m2 ù 2 y2 + 2m a2 -1 y - a2 -1 = 0 .
设 A x1, y1 , B x2 , y2 .由韦达定理，
ì -2m a2 -1
y1 + y2 = ,
a
2 m2 +1 - m2
í 2
- a2 -1
y1y2 = ,
a
2 m2 +1 - m2
由于 A, B两点均在C 的右支上，
2
y y < 0 a2 m2故 1 2 +1 - m2 > 0 m2 a，即 < .1- a2
uuur uuur
OA OB = x1x2 + y1y2 = my1 +1 my2 +1 + y1y2
= m2 +1 y1 y2 + m y1 + y2 +1
- a2 2-1 -2m a2 -1 2 = m +1 + m +1
a2 m2 +1 - m2 a2 m2 +1 - m2
m2a2 1- a2 - a4 + 3a2 -1
=
a2 m2 +1 - m2 .
2
由 AOB 恒为锐角，得"m2 a
uuur uuur
< 2 ，均有OA OB > 0 ，1- a
m2a2 1- a2 - a4 + 3a2即 -1 > 0恒成立.
a2由于 1- a2 > 0，因此不等号左边是关于m2 的增函数，
所以只需m2 = 0时，-a4 + 3a2 -1 > 0成立即可.
5 -1
解得 < a 5 +1< ，结合 0 < a < 1，
2 2
a 5 -1
可知 的取值范围是 ,12 ÷÷
.
è
综上所述，C 的实轴长的取值范围是 5 -1,2 .2.6.2 双曲线的几何性质
分层练习
一、单选题
1 x
2
．已知双曲线 2 - y
2 =1(a > 0)的焦距为 4，则该双曲线的离心率为（ ）
a
4
A．2 B 2 3． 2 3 C． D．
3 3
2 x
2 y2 x2
．已知双曲线 - =1的焦点与椭圆 + y2 =1的焦点相同，则m =（ ）
m 2 4
A．1 B．3 C．4 D．5
2 2 p
3．若双曲线C : x y- = 1(b > 0) 的一条渐近线与 x 轴的夹角是 ，则 C 的虚轴长是（ ）
9 b2 3
A 3 3 B 6 3 C 2 D 2 3． ． ． ．
3
2 2
4 x y．若双曲线 - = 1 0 < m < 12 渐近线的斜率为 k，且 k 2 > 3，则 m 的取值范围是（ ）
m 12 - m
A．（0，2） B．（1，2） C．（0，3） D．（1，3）
二、多选题
5．将离心率为 e1 的双曲线C1的实半轴长 a和虚半轴长b a b 同时增加m m > 0 个单位长度，得到离心率
为 e2的双曲线C2 ，则（ ）
A．当 a > b时， e1 > e2 B．当 a < b 时， e1 < e2
C．当 a > b时， e1 < e2 D．当 a < b 时， e1 > e2
三、填空题
6．在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C1与双曲线 C2共焦点，双曲线 C2实轴的两顶点将椭圆 C1的长轴
三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则双曲线 C2的离心率为 ．
x27 y
2
．以双曲线 C： - =1的一个焦点为圆心，以 5 为半径的圆，截该双曲线的一条渐近线所得的弦长
4 9
为 ．
四、解答题
2
8 C E : x y
2 3
．已知双曲线 与椭圆 + = 1有公共焦点，且它的一条渐近线方程为 y = x .
16 12 3
(1)求椭圆E 的焦点坐标；
(2)求双曲线C 的标准方程．
一、单选题
2 2
1．已知双曲线 C x y： 2 - 2 = 1(a > 0,b > 0) ，F 为 C 的右焦点，过点 F 的直线与 C 的一条渐近线垂直，垂足为a b
点 M，与另一条渐近线的交点为 N．若直线 MN 的斜率为 3，则其渐近线方程为（ ）
1
A y ± x B y ±3x C y ± 3 3． ＝ ． ＝ ． ＝ x D．y＝± x
3 3 2
2 x
2 y2
．已知双曲线 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 的两条渐近线分别为 l1、 l2，经过右焦点 F 垂直于 l1的直线分别交 l1、a b
l OA AB OB uuuv uuuv2于A 、 B 两点．若 、 、 成等差数列，且 AF 与FB反向，则该双曲线的离心率为
A． 5 B C 6． 3 ． D． 3 +1
2
x2 y23．已知双曲线 2 - 2 = 1(a > 0,b > 0) 的焦距为 2 5 ，且双曲线的一条渐近线与直线 2x + y = 0 平行，则双曲线a b
的方程为（ ）
A x
2 2
． - y2 =1 B． x2 y- =1
4 4
x2 y2 3x2 3y2C． - = 1 D． - =1
16 4 5 20
4 x
2 y2
．过双曲线 2 - 2 = 1(a > 0,b > 0) 的右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A, B两点，与双曲线的渐近线a b
3
交于C, D 两点，若 AB CD ，则双曲线离心率的取值范围为（ ）
5
é5
A ,+ B é
5 ,+ 5ù 5 ù． ê ÷ ． ê ÷ C． 1, 3 4 è 3ú
D． 1,
è 4 ú
二、多选题
5．已知椭圆与双曲线有共同的左右焦点F1，F2 ，设椭圆和双曲线其中一个公共点为 P，且满足
F1PF2 = 90°，若椭圆的离心率为 e1 ，双曲线的离心率为 e2，则关于 e1 和 e2，下列说法正确的是（ ）
1 1 2 1 1A． 2 + 2 = B． + = 2 C． e1e2 >1 D． e1ee e e e 2
<1
1 2 1 2
三、填空题
2 2
6．已知圆 x2 + y2 2x x y- + 4y = 0关于双曲线C ： - =1 m > 0 的一条渐近线对称，则m = .
2m m+1
2
7．已知坐标平面 xOy 中，点F1，F
x
2 分别为双曲线C : 2 - y
2 =1 a > 0 的左、右焦点，点 M 在双曲线 C 的
a
左支上，MF2 与双曲线 C 的一条渐近线交于点 D，且 D 为MF2 的中点，点 I 为△OMF2 的外心，若 O、I、D
三点共线，则双曲线 C 的离心率为 ．
四、解答题
x2 y28．已知双曲线C : 2 - 2 =1过点 2, 3 ，给出以下 2 个条件：a b
y2
①离心率为 2，②与双曲线 - x2 = 1有相同的渐近线．
3
(1)选一个条件，求出双曲线的方程．
(2)直线 l 与直线 4x - 2y -1 = 0 平行，l 被 C 截得的弦长为 4 5 ，求直线 l 的方程．
2
1．已知F1，F
y
2 分别是双曲线 x2 - =1的左、右焦点，A 为一条渐近线上的一点，且 AF1 ^ AF2 ，则△AF1F24
的面积为（ ）
A 5 B 2 5 C 5 D 5． ． ． ．
2
2 2
2 x y．设F1, F2 分别是双曲线 2 - 2 = 1(a > 0,b > 0) 的左、右焦点， P 是双曲线右支上的点，射线PT 是 F1PF2 的a b
1
角平分线，过原点O作PT 的平行线交PF1于点M ，若 | MP |= | F1F2 |，则双曲线的离心率是（ ）3
3
A． 3 B． 2 C．3 D． 2
x2 y23．已知圆锥曲线 + =1的离心率 e为方程 2x2 - 5x + 2 = 0的根，则满足条件的不同m 值有（ ）
m 2
A．1个 B． 2个 C．3个 D． 4个
4．设F1, F 是双曲线 x2 - y22 = 4 的两个焦点， P 是双曲线上任意一点，过F1作 F1PF2 平分线的垂线，垂足
为M ，则点M 到直线 x + y - 2 2 = 0的距离的最大值是（ ）.
A．4 B．5 C．6 D．3
x2 25．设双曲线C : y- = 1的左 右焦点分别为F1, F2 ，点 P 在C 的右支上，且不与C 的顶点重合．则下列命
9 4
题中正确的是（ ）
A 3．双曲线C 的两条渐近线的方程是 y = ± x
2
B．双曲线C 13的离心率等于
3
C．若PF1 ^ PF2，则△F1PF2 的面积等于 4
D．若 PF1 = 2 PF
8
2 ，则 cos F1PF2 = 9
x2 y2 26．已知双曲线 2 - 2 =1(a,b > 0)
6 a + 4
的离心率为 ,则 的最小值为
a b 2 b
x2 y27．已知F 为双曲线C ： - =1（ a > 0，b > 02 2 ）的右焦点，O为坐标原点，点A 是以OF 为直径的圆与a b
双曲线C 的一个公共点.若点F 关于点A 的对称点也在双曲线C 上，则双曲线C 的渐近线的斜率为 .
8 x
2 y2
．设双曲线C : 2 - 2 = 1(a > 0,b > 0)的右焦点为F ，点O为坐标原点，过点F 的直线 l与C 的右支相交于 A, Ba b
两点.
(1)当直线 l与 x 轴垂直时，OA ^ OB，求C 的离心率；
(2)当C 的焦距为 2 时， AOB 恒为锐角，求C 的实轴长的取值范围.
