2.7.1 抛物线的标准方程
分层练习
一、单选题
1．抛物线 y2 = x 的准线方程为（ ）
1 1
A． x=-1 B． x = - C． x 1= - D． x =
2 4 4
【答案】C
1
【详解】抛物线 y2 = x 的准线方程为 x = - 4
故选：C
2．已知抛物线 x2 = 2 py( p > 0) ，若抛物线上纵坐标为 2 的点到焦点的距离为 3，则 p = （ ）
A 1． 2 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【详解】根据题意作图如下：
因为抛物线上纵坐标为 2 的点到焦点的距离为 3，
又抛物线上一点到焦点的距离等于其到准线的距离，
p
所以 2 + = 3，解得 p = 2 .
2
故选：C
3 x
2 y2
．已知抛物线 y2 = 8x的准线经过双曲线 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 的一个焦点，且双曲线的两条渐近线相互垂a b
直，则双曲线的方程为（ ）
A x
2
y2 1 B y
2
． - = ． x2 - =1
2 2
2 2 2 2
C x y x y． - = 1 D． - =1
4 4 2 2
【答案】D
【详解】抛物线 y2 = 8x的准线方程为 x = -2，故双曲线的一个焦点坐标为 -2,0 ，
b b b
而双曲线的渐近线方程为 y = ± x，故
a a
-
a ÷
= -1即 a = b，故 a2 + b2 = 2a2 = 4，
è
x2 y2
故 a = 2 ，故双曲线方程为： - =1，
2 2
故选：D.
4．已知抛物线C : y2 = 2 px( p > 0) 的准线与坐标轴交于点M ， P 为抛物线第一象限上一点，F 为抛物线焦
PF
点， N 为 x
p uuuur uuur
轴上一点，若 PMF = ，PM × PN = 0，则 PN =（ ）6
3 4 3A． B． C． D．2
2 3 2
【答案】C
【详解】
设 | PM |= 2a，则 | PF |转化到 P 到准线的距离，则 | PF |= 3a，
2
在直角三角形 NMP 中 | PN |= 3a ，
3
| PF | 3
综上， =| PN | 2 .
故选：C
二、多选题
5．设抛物线的顶点在原点，焦点到准线的距离为 4，则抛物线的方程是（ ）
A． y2 = -8x B． y2 = 8x C． y2 = -4x D． y2 = 4x
【答案】AB
【详解】解：因为焦点到准线的距离为 4，
所以 p = 4 ，
根据四个选项可得 y2 = -8x ， y2 = 8x满足 p = 4 ，
故选：AB
三、填空题
6．已知抛物线C : y2 = 12x 的焦点为F ，点A ， B 在C 上， AF + BF =14，则线段 AB 的中点到准线的距离
为 .
【答案】7
【详解】设 A x1, y
p
1 ，B x2 , y2 ，易知 = 3，2
因为 AF + BF =14，所以 x1 + 3+ x2 + 3 =14，解得 x1 + x2 = 8，
则线段 AB 的中点的横坐标为 4，所以该中点到准线的距离为 4 + 3 = 7 .
故答案为：7
2 2
7．在平面直角坐标系中，抛物线 y2 = 4x x y的焦点 F 在双曲线 2 - =1 a > 0 上，则焦点 F 到该双曲线的渐a 4
近线的距离为 ．
2 5
【答案】
5
2 2
【详解】抛物线 y2 = 4x x y 1焦点坐标为F (1,0)，F (1,0)在双曲线上 - =1 - 0 =1 a =1
a2 4 a2
y2
\ x2 - =1，渐近线为 y = ±2x ，F (1,0)到 y = ±2x
2 2 5
距离为 d = =
4 5 5
2 5
故答案为：
5
一．单选题
1
1．抛物线 y = 2 px2 的焦点坐标 0,16 ÷，则
p = （ ）
è
A 1
1
． B． C．1 D．2
4 2
【答案】D
Q y 2 px2 x2 1 y, 1 1【详解】 = \ = \ =2 p 8p 16 ，解得：p=2.
故选：D
2．已知抛物线C : y2 =16x的焦点 F、M 是抛物线C 上位于第一象限内的一点，O 为坐标原点，若△OFM
的外接圆 D 与抛物线C 的准线相切，则圆 D 与直线 x - 3y - 2 = 0相交得到的弦长为（ ）
A． 2 3 B．4 C．2 6 D． 4 3
【答案】D
【详解】因为△OFM 的外接圆与抛物线C : y2 =16x的准线 x = -4相切，
所以△OFM 的外接圆的圆心到准线 l的距离等于圆的半径，
p
又因为圆心在OF 的垂直平分线上， OF = = 4，
2
所以圆的半径为6，圆心的横坐标为 2，所以圆心的纵坐标为± 36 - 4 = ±4 2 ，
2 - 4 6 - 2
所以圆心到直线的距离 d = = 2 6 ，
2
所以圆D与直线 x - 3y - 2 = 0相交得到的弦长为 2 36 - 24 = 4 3 .
故选：D.
x23 y
2
．双曲线 - =1 a > 0,b > 0 2的右焦点恰是抛物线 y = 2 px p > 0 2 2 的焦点F ，双曲线与抛物线在第一象a b
限交于点 A 2, m ，若 AF = 5，则双曲线的方程为（ ）
x2 y2 2 2 2 2A． - =1 B x y2 1 C x y． - = ． - =1 D x2 y． - =1
6 3 8 3 6 8
【答案】D
【详解】由抛物线的定义可得 AF = 2
p
+ = 5，可得 p = 6，故抛物线的方程为 y2 =12x，
2
将点A 的坐标代入抛物线方程可得m2 = 24，Qm > 0，解得m = 2 6 ，
抛物线 y2 =12x的焦点为F 3,0 ，故双曲线的左焦点为F -3,0 ，
2
则 AF = 2 + 3 2 + 2 6 = 7，\2a = AF - AF = 2，\a = 1，则b = 32 - a2 = 2 2 ，
y2
因此，双曲线的标准方程为 x2 - =1.
8
故选：D.
4．抛物线 y2＝x 上一点 P 到焦点的距离是 2，则 P 点坐标为( )
3 6
± 7 7 9 3 5A． ， ÷÷ B．( ，± ) C．( ，± ) D ( ±
10
． ， )
è 2 2 4 2 4 2 2 2
【答案】B
【详解】：∵抛物线方程为 y2=x
p 1
∴抛物线的 2p=1，得 = ，
2 4
设 P（x，y），
∵抛物线 y2=x 上的一点 P 到焦点的距离是 2，
x 1 7∴ + = 2，\ x =
4 4
7
∴ y = ±
2
7 7
因此，可得点 P 的坐标是( ，± )．
4 2
故选 B．
二、多选题
5．给出如下四个命题正确的是（ ）
A．方程 x2 + y2 - 2x +1 = 0表示的图形是圆
B x
2 y2 5
．椭圆 + =1的离心率 e =
3 2 3
1
C．抛物线 x = 2y2 的准线方程是 x = -
8
D y
2 x2 y 7．双曲线 - =1的渐近线方程是 = ± x
49 25 5
【答案】CD
2
【详解】对于 A， x2 + y2 - 2x +1 = 0 x -1 + y2 = 0，则方程表示的图形为坐标 1,0 ，则 A 错误；
B x
2 y2 c 1 3
对于 ，由 + =1可知 a = 3,b = 2,c =1，则离心率为 e = = = ，则 B 错误；
3 2 a 3 3
2 2 1 1 1 p 1
对于 C， x = 2y y = x ，则 2 p = p = ，则准线方程为 x = - = - C
2 2 4 2 8
，则 正确；
y2 x2 y a对于 D，由 - =1可知焦点在 轴上，且 a = 7，b = 5，则渐近线方程是 y = ± x
7
= ± x，则 D 正确.
49 25 b 5
故选：CD
三、填空题
6．已知抛物线C ： y2 = 4x， A 3,0 ， P 为C 上一点，则 PA 取最小值时点 P 的坐标为 ．
【答案】 (1,±2)
【详解】设点P(x, y) ，则 PA = (x - 3)2 + y2 = (x - 3)2 + 4x = (x -1)2 + 8 ，
当 x =1时， PA = 2 2min ，此时点 P(1,±2) .
故答案为： (1,±2) .
7 2．已知过抛物线 y = 2 px p > 0 的焦点 F 且斜率为 1 的直线交抛物线于 A，B 两点， AF × BF =16，则 p
的值为 ．
【答案】 2 2
【详解】设 A x1, y1 , B x2 , y2 , F
p p
,0÷，则直线 AB 的方程为 y = x - ，
è 2 2
ìy2 = 2 px
p2
联立直线与抛物线方程 í p ，消去 y 可得， x2 - 3px + = 0，
y = x - 4 2
p2
由韦达定理可得， x1 + x2 = 3p, x1 × x2 = ，4
AF x p , BF x p且 = 1 + = 2 + ，2 2
2
则 AF
p p p p
× BF = x1 +
2
÷ x2 + ÷ = x1 × x2 + x1 + x2 + = 2 p =16，
è 2 è 2 2 4
所以 p = 2 2 .
故答案为： 2 2 .
四、解答题
8 2．已知圆F : x + 3 + y2 =1，直线 l : x = 2，求与直线 l 相切且与圆 F 外切的圆的圆心 M 的轨迹方程．
【答案】 y2 = -12x
【详解】由图可知，M 到 F 的距离比到直线 l的距离大 1，
记直线 x = 3为直线 l ，则M 到 F 的距离等于到直线 l 的距离，
由抛物线定义可知，M 的轨迹为顶点在原点开口向左的抛物线，其中 p = 6，
所以 M 的轨迹方程为： y2 = -12x
一、单选题
uuuur uuur
1．已知点F 是抛物线 C： x2 = 4y的焦点，过F 的直线 l交抛物线 C 于不同的两点 M，N，设MF = 2FN ，
点 Q 为 MN 的中点，则 Q 到 x 轴的距离为（ ）
4 5 7 7
A． B． C． D．
3 4 3 4
【答案】B
x2 x2 uuur x2 uuur x2
【详解】依题意，点F (0,1)，设点M (x , 1 ), N (x , 2 )，则MF = (-x ,1- 11 2 1 ), FN = (x , 2 -1) ，4 4 4 2 4
uuuur uuur x2 x2
MF 2FN -x = 2x ,1- 1 = 2 - 2 x2由 = 得： 1 2 ，解得 2 = 2
2
， x1 = 8，4 2
1 x2 x2 5
因此点 Q 的纵坐标为 ( 1 + 2 ) = ，
2 4 4 4
5
所以 Q 到 x 轴的距离为 .
4
故选：B
2
2．已知抛物线C ： y2 = 4x的焦点为F ，圆M ： x2 + y - 15 =1，点 P ，Q分别为抛物线C 和圆M 上的
动点，设点 P 到直线 x = -3的距离为d ，则 d + PQ 的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
2
【详解】圆M ： x2 + y - 15 =1，圆心坐标M 0, 15 ，半径为 1，
抛物线C ： y2 = 4x的焦点为F 1,0 ，准线方程 x=-1，如图所示，
点 P 到直线 x = -3的距离比点 P 到准线 x=-1的距离大 2，即 d = PF + 2，
PQ 的最小值为 PM -1，当M , P, F 三点共线时 PF + PM 的最小值为 FM ，
所以 d + PQ PF + 2 + PM -1 FM +1 = 4 +1 = 5 .
故选：C.
2p
3．已知抛物线 C： y2 =12x的焦点为 F，准线为 l，点 A 在 C 上， AB ^ l ， FAB = ，则BF =（ ）
3
A 4 3 8 3． 3 B． 4 3 C． D．
3 3
【答案】B
【详解】
AF = AB FAB 2π由抛物线定义知 ，又 = ，所以 AFO
π
= ，
3 3
所以 AF = AB = A B = B F - A F = p - AF cos AFO
AF p 6= = = 4
即 1+ cos AFO 1 1+
2
2 2 2
所以在三角形 ABF 中，由余弦定理得 BF = AF + AB - 2 AF × AB cos FAB = 48
所以 BF = 4 3
故选：B
x2 y24．如图所示，双曲线C1 : 2 - 2 =1(a > 0,b > 0) C : y
2
与抛物线 2 = 2 px( p > 0) 有公共焦点F ，过F 作双曲线a b
uuur 1
一条渐近线的垂线，垂足为点A ，延长FA与抛物线C2 相交于点 B ，若OA = 2
uuur uuur
OF + OB ，双曲线C1的离心
率为 e，则 e2 =（ ）
A 3 +1 B 5 +1 C 5 +1 D 5 + 2． ． ． ．
2 2 3 3
【答案】B
【详解】根据题意，如图：
2
因为双曲线C1和抛物线C
p
2 共焦点，故可得 a2 + b2 = ，4
又F c,0 到 y b= x 的距离 d
bc
= = b，即 AF = b
a a2
，
+ b2
uuur 1 uuur uuur
又OA = OF + OB ，所以点A 为线段FB的中点，则 BF = 2b，2
设点B x, y ，由抛物线定义知 2b = x p p+ ，解得 x = 2b - ；
2 2
p2
由 a2 + b2 = 可得 OA = a，
4
1 1 y 4ab= B 2b p , 4ab
2ab
则由等面积可知： BF OA = OF y，解得 p ，则
- ÷，则 x = b, y =2 2 A Aè 2 p p
，
b b2 2ab
又点A 在渐近线 y = x 上，即 = ，即 2a2 = pb，
a a p
2 2 2
又 p2 = 4a2 + 4b2 ，联立得 a4 - a2b2
b a
b4 0 b 5 -1- = ，即
a2
-
b2
+1 = 0，解得 = ，
a2 2
b2 5 +1
故 e2 =1+ = .
a2 2
故选：B.
二、多选题
5．以下说法正确的是（ ）
A．以 A 1,2 ，B 3,4 为直径的圆方程是 x -1 x - 2 + y - 3 y - 4 = 0
B．已知 A 1,2 ，B 3,4 ，则 AB 的垂直平分线方程为 x + y - 5 = 0
y2 2x M
5
C = 21．抛物线 上任意一点到 ,0 的最小值为
è 3 ÷ 3
x2 2D y．双曲线C ： - =1上满足到左焦点F1 -3,0 的距离为 5 的点共有四个4 5
【答案】BC
【详解】A：以 A 1,2 ，B 3,4 为直径的圆：圆心为 (2,3) ，半径为 2 ，即方程为
(x - 2)2 + (y - 3)2 = x2 - 4x + 4 + y2 - 6y + 9 = 2， 而 x -1 x - 2 + y - 3 y - 4 = x2 - 3x + 2 + y2 - 7 y +12 = 0，
显然不是圆的方程，错误；
B： AB 中点为 (2,3) 且 kAB = 1，则 AB 的垂直平分线方程为 y - 3 = -(x - 2)，整理得 x + y - 5 = 0，正确；
C 2：设P(x, y) 在抛物线上，则PM = (x
5)2 y2 4 25 2 21 2- + = x2 - x + = (x - )2 + 21，故当 x = 有最小值 ，
3 3 9 3 9 3 PM = 3
正确；
D：由双曲线方程知： a = 2,c = 3，显然左焦点F1到右顶点的距离为 5，易知右分支上不存在其它点与F1的
距离为 5，而左分支上存在两个点与F1距离为 5，故共有 3 个点，错误.
故选：BC
三、填空题
6 x
2 y2
．已知双曲线 - =1上的一条渐近线方程为 y = 3x，则抛物线 y2 = 4ax 上一点M 2, y0 到该抛物线焦a 3
点F 的距离是 .
【答案】3
x2 y2
【详解】解：因为双曲线 - =1的一条渐近线方程为 y = 3x，所以 a > 0， a =1，
a 3
所以抛物线方程为 y2 = 4x，
所以M 2, y0 到该抛物线焦点F 1,0
p
的距离等于 xM + = 2 +1 = 3，2
故答案为：3.
2 2
7 2．已知抛物线C1： y = 2 px p > 0 x y的焦点F 恰好是双曲线C2 : 2 - 2 =1(a > 0,b > 0)的右焦点，且C1与Ca b 2
的交点的连线过点F ，设双曲线C 22 的渐近线的斜率为 k ，则 k 的值为 .
【答案】 2 + 2 2
【详解】设C1与C2 交点为 A, B .则 AB ^ x轴
F ( p ,0) p，∴ = c ，∴ p = 2c，
2 2
x p= 时可得 y22 = p
2 ，
c2 y2 b4
由 2 - 2 =1得 y
2 =
a b a2
| AF | b
2
∴ = = p ，∴b2 = 2ac
a
∴b4 = 4a2 (a2 + b2 )
∴b4 - 4a2b2 - 4a4 = 0
b2
令 t = 2 ∴ t
2 - 4t - 4 = 0
a
∴ (t - 2)2 = 8∴ t = 2 2 + 2
b2
∴ k 2 = 2 = 2 2 + 2a
故答案为： 2 + 2 2 .
四、解答题
8．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线 x - 2y - 4 = 0上，求抛物线的方程．
【答案】 y2 =16x 或 x2 = -8y
【详解】解：直线 x - 2y - 4 = 0交 x 轴于点 A(4,0)，与 y 轴交于点B 0, -2
①当抛物线的焦点在A 点时，设方程为 y2 = 2 px， ( p > 0)
p
，可得 = 4，所以 2 p =16，
2
\抛物线方程为 y2 =16x
p
②当抛物线的焦点在 B 点时，设方程为 x2 = -2 p y ， ( p > 0)，可得 = 22 ，所以
2 p = 8，
\抛物线方程为 x2 = -8y
综上所述，得此抛物线方程为 y2 =16x 或 x2 = -8y ；
9．已知抛物线Γ : y2 = 4x的焦点为F ，准线为 l．
(1) F C : 2x2 y
2
若 为双曲线 - =1 (b > 0)2 的一个焦点，求双曲线C 的渐近线方程；b
PE
(2)设 l与 x 轴的交点为E ，点 P 在第一象限，且在Γ 上，若 = 2PF ，求直线EP的方程；
(3)经过点F 且斜率为 k k 0 的直线 l1与G相交于A 、 B 两点，O为坐标原点，直线OA OB分别与 l相交
于点M N ．试探究：以线段MN 为直径的圆C 是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理
由．
【答案】(1) y = ±x；
(2) x - y +1 = 0 ；
(3)答案见解析.
【详解】（1）解：抛物线G : y2 = 4x的焦点为F 1,0 ，准线为 l : x = -1，
x2 y22
C 2x2 y 1 1 - 2 =1 2双曲线 的方程为 - = ，即 b ，则 a = ， c = b2
1
2 + ，b 2 2 2
1 2
由题意可知： c = b2 + =1，则b = ，
2 2
x2 y2
- = 1
故双曲线 C 的方程为 1 1 ，渐近线方程为 y = ±x .
2 2
（2）解：由（1）可知：E -1,0 ，
如图，过点 P 作直线 l的垂线，垂足为 M，由抛物线的定义可知 PF = PM ，
PM PF
因为 sin MEP
2 π
= = = ，且 MEP 0,
，
PE PE 2 ֏ 2
π
所以 MEP = ，
4
π
故直线 EP 的倾斜角a = ，斜率 k
4 EP
= tana =1，
所以直线 EP 的方程为 y = x +1，即 x - y +1 = 0 .
（3）解：以线段 MN 为直径的圆 C 过定点 1,0 ， -3,0 .
理由如下：
由已知可得直线 l1 : y = k x -1 ，设 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，
ìy = k x -1
联立方程 í 2 ，消去 y 可得： k
2x2 - 2 k 2 + 2 x + k 2 = 0，
y = 4x
2 k 2 + 2 k 2
则可得： x + x = ，1 2 x1x2 = 2 = 1，k 2 k
OA : y y y= 1 x y又直线 ，当 x=-1时， y = - 1 ，所以M -1, - 1
x ÷ .1 x1 è x1
y
同理可得： N -1, - 2x ÷
.
è 2
y1 y k x -1 k x -1 - ÷ + - 2
又 x ÷
1 + 2 k é2x1x2 - x1 + x2 ù
è 1 è x2 x1 x = -= - 2 2x x
2 2 1 2
é 2 k 2 + 2 ù
k ê2 - ú
ê k 2 ú ，
= -
2
=
2 k
y1 MN y2
k x1 -1 k x -1 k x= - - - = - 2 = 1 - x2 k= x + x 2 - 4x x 2 x ÷ ÷è 1 è x2 x1 x2 x1x2 x1x 1 2 1 22
2
é2 k 2 + 2 ù 2
= k 4 k +1ê 2 ú - 4 = ，
ê k ú k
2
则以线段 MN 为直径的圆 C 的圆心C -1,
2 r 1 MN 2 k +1
k ÷
，半径 = = ，
è 2 k
2 22 4 k 2 +1 4
故圆 C
的方程为 x +1 + y - ÷ = ，整理得 x2 + y2 + 2x - 3 - y = 0 ，
è k k 2 k
令 y = 0 ，则 x2 + 2x - 3 = 0 ，解得 x =1或 x = -3，
故以线段 MN 为直径的圆 C 过定点 1,0 ， -3,0 .2.7.1 抛物线的标准方程
分层练习
一、单选题
1．抛物线 y2 = x 的准线方程为（ ）
1 1
A． x=-1 B． x = - C x 1． = - 4 D． x =2 4
2．已知抛物线 x2 = 2 py( p > 0) ，若抛物线上纵坐标为 2 的点到焦点的距离为 3，则 p = （ ）
A 1． 2 B．1 C．2 D．3
2 2
3．已知抛物线 y2 = 8x x y的准线经过双曲线 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 的一个焦点，且双曲线的两条渐近线相互垂a b
直，则双曲线的方程为（ ）
x2 y2A． - y2 =1 B． x2 - =1
2 2
x2 y2 x2 y2C． - = 1 D． - =1
4 4 2 2
4．已知抛物线C : y2 = 2 px( p > 0) 的准线与坐标轴交于点M ， P 为抛物线第一象限上一点，F 为抛物线焦
uuuur uuur PF
点， N 为 x 轴上一点，若 PMF
p
= ，
6 PM × PN = 0
，则 PN =（ ）
A 3
4 3
． B． C． D．2
2 3 2
二、多选题
5．设抛物线的顶点在原点，焦点到准线的距离为 4，则抛物线的方程是（ ）
A． y2 = -8x B． y2 = 8x C． y2 = -4x D． y2 = 4x
三、填空题
6．已知抛物线C : y2 = 12x 的焦点为F ，点A ， B 在C 上， AF + BF =14，则线段 AB 的中点到准线的距离
为 .
2 2
7．在平面直角坐标系中，抛物线 y2 = 4x的焦点 F x y在双曲线 2 - =1 a > 0 上，则焦点 F 到该双曲线的渐a 4
近线的距离为 ．
一．单选题
1．抛物线 y = 2 px2
1
的焦点坐标 0,16 ÷，则
p = （ ）
è
1 1A． B． C．1 D．2
4 2
2．已知抛物线C : y2 =16x的焦点 F、M 是抛物线C 上位于第一象限内的一点，O 为坐标原点，若△OFM
的外接圆 D 与抛物线C 的准线相切，则圆 D 与直线 x - 3y - 2 = 0相交得到的弦长为（ ）
A． 2 3 B．4 C．2 6 D． 4 3
x23 y
2
2
．双曲线 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 的右焦点恰是抛物线 y = 2 px p > 0 的焦点F ，双曲线与抛物线在第一象a b
限交于点 A 2, m ，若 AF = 5，则双曲线的方程为（ ）
A x
2 y2 x2 2 2 2
． - =1 B． - y2 1 C x y y= ． - =1 D． x2 - =1
6 3 8 3 6 8
4．抛物线 y2＝x 上一点 P 到焦点的距离是 2，则 P 点坐标为( )
3 6
A． ，±
7 9 3 5
÷ 7 10÷ B．( ，± ) C．( ，± ) D．( ，± )
è 2 2 4 2 4 2 2 2
二、多选题
5．给出如下四个命题正确的是（ ）
A．方程 x2 + y2 - 2x +1 = 0表示的图形是圆
x2 y2B．椭圆 + =1的离心率 e 5=
3 2 3
1
C．抛物线 x = 2y2 的准线方程是 x = -
8
2 2 7
D y x．双曲线 - =1的渐近线方程是 y = ± x
49 25 5
三、填空题
6．已知抛物线C ： y2 = 4x， A 3,0 ， P 为C 上一点，则 PA 取最小值时点 P 的坐标为 ．
7．已知过抛物线 y2 = 2 px p > 0 的焦点 F 且斜率为 1 的直线交抛物线于 A，B 两点， AF × BF =16，则 p
的值为 ．
四、解答题
8．已知圆F : x + 3 2 + y2 =1，直线 l : x = 2，求与直线 l 相切且与圆 F 外切的圆的圆心 M 的轨迹方程．
一、单选题
uuuur uuur
1．已知点F 是抛物线 C： x2 = 4y的焦点，过F 的直线 l交抛物线 C 于不同的两点 M，N，设MF = 2FN ，
点 Q 为 MN 的中点，则 Q 到 x 轴的距离为（ ）
4 5 7 7
A． B． C． D．
3 4 3 4
2
2．已知抛物线C ： y2 = 4x的焦点为F ，圆M ： x2 + y - 15 =1，点 P ，Q分别为抛物线C 和圆M 上的
动点，设点 P 到直线 x = -3的距离为d ，则 d + PQ 的最小值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2p
3．已知抛物线 C： y2 =12x的焦点为 F，准线为 l，点 A 在 C 上， AB ^ l ， FAB = ，则BF =（ ）
3
A 4 3． 3 B． 4 3 C． D 8 3．
3 3
x2 y24．如图所示，双曲线C1 : 2 - 2 =1(a > 0,b > 0)
2
与抛物线C2 : y = 2 px( p > 0) 有公共焦点F ，过F 作双曲线a b
uuur 1 uuur uuur
一条渐近线的垂线，垂足为点A ，延长FA与抛物线C2 相交于点 B ，若OA = OF + OB ，双曲线C1的离心2
率为 e，则 e2 =（ ）
A 3 +1． B 5 +1． C 5 +1 D 5 + 2． ．
2 2 3 3
二、多选题
5．以下说法正确的是（ ）
A．以 A 1,2 ，B 3,4 为直径的圆方程是 x -1 x - 2 + y - 3 y - 4 = 0
B．已知 A 1,2 ，B 3,4 ，则 AB 的垂直平分线方程为 x + y - 5 = 0
5
C 21．抛物线 y2 = 2x上任意一点到M ,0÷的最小值为
è 3 3
D C x
2 y2
．双曲线 ： - =1上满足到左焦点F1 -3,0 的距离为 5 的点共有四个4 5
三、填空题
x2 y26．已知双曲线 - =1上的一条渐近线方程为 y = 3x，则抛物线 y2 = 4ax 上一点M 2, y0 到该抛物线焦a 3
点F 的距离是 .
2 2
7 C y2．已知抛物线 1： = 2 px p > 0 的焦点F x y恰好是双曲线C2 : 2 - 2 =1(a > 0,b > 0)的右焦点，且C 与Ca b 1 2
的交点的连线过点F ，设双曲线C2 的渐近线的斜率为 k ，则 k 2 的值为 .
四、解答题
8．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，焦点在直线 x - 2y - 4 = 0上，求抛物线的方程．
9．已知抛物线Γ : y2 = 4x的焦点为F ，准线为 l．
2
(1)若F 为双曲线C : 2x2 y- =1 (b > 0)2 的一个焦点，求双曲线C 的渐近线方程；b
PE
(2)设 l与 x 轴的交点为E ，点 P 在第一象限，且在Γ 上，若 = 2PF ，求直线EP的方程；
(3)经过点F 且斜率为 k k 0 的直线 l1与G相交于A 、 B 两点，O为坐标原点，直线OA OB分别与 l相交
于点 M N ．试探究：以线段 MN 为直径的圆C 是否过定点，若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由．
