2.8 直线与圆锥曲线的位置关系
分层练习
一、单选题
1．已知直线 l 2与抛物线 x = 2 py p > 0 只有一个公共点，则直线 l与抛物线的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切
C．相离 D．相交或相切
【答案】D
【详解】直线 l与抛物线的对称轴平行或 l与抛物线相切时有一个公共点，
所以 D 选项正确.
故选：D
2 2
2．在平面直角坐标系 xOy 中，F x y为椭圆C ： + =1的左焦点，点A 在椭圆C 上，点B -2,1 ，线段OB
5 4
与 AF 交于点M ，若M 为 AF 的中点，则 cos FBA的值为（ ）
1
A．0 B 1． -2 C． D．无法确定2
【答案】A
【详解】椭圆的右焦点为F2 ，连接F2 A、OM ，
因为O、M 分别为FF2 、 AF 的中点，
所以OB / / AF k k
1 1
2， AF = OB = - ，故直线 AF2 的方程为 y = - x -1 ，2 2 2
x2 y2 5 4
与 + =1联立，解得 A - , ，5 4 è 3 3 ÷
因为B -2,1 、F -1,0 ，
uuur uuur
所以BF = 1, -1 , BA 1 , 1= ，
è 3 3 ÷
uuur uuur
所以BF × BA = 0，
故 cos FBA = 0 .
3．已知F 为抛物线 y2
uuur uuur
= x 的焦点，点 A，B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧，OA ×OB = 2（其中 O 为坐标
原点），则△AFO 与△BFO 面积之和的最小值是
A 2． B 2 2． C． D．
8 24 2
【答案】B
uuur uuur
【详解】试题分析：由题意，设 A(a2 ,a) ， B(b2 ,b)， (ab < 0) ∴OA ×OB = a2b2 + ab = 2 ab = -2，
1 1 1
又∵F 为抛物线 y2 = x 的焦点，∴F ( ,0)，∴ S
4 DAFO
+ SDBFO = b - a ，2 4
∵ | b - a |2 = a2 + b2 - 2ab -2ab - 2ab = -4ab = 8，当且仅当 a = -b 时，等号成立，∴ | b - a |min = 2 2 ，
∴ (S 2DAFO + SDBFO )min = ．4
考点：1．抛物线的标准方程；2．基本不等式．
x2 y24．已知双曲线C : 2 - 2 = 1(a > 0,b > 0)的焦距为 2c，它的两条渐近线与直线 y = 2(x - c)的交点分别为 A，B，a b
uuur uuur 10
若 O 是坐标原点，OB × AB = 0，且 OAB的面积为 ，则双曲线 C 的焦距为（ ）3
5 25
A．5 B． 5 C． D．2 4
【答案】A
【详解】如图，
设双曲线的右焦点为F2 ，则直线 y = 2(x - c)）过右焦点F2 ，
uuur uuur 1
由OB × AB = 0，得OB ^ AB ，直线OB的斜率为- ，2
b 1
所以 = ,a = 2b, tan F OB
1
2 = ，a 2 2
1 2
在Rt△OF B中，cos F2OB = =2 1 ，+ tan2 F2OB 5
|OB |= OF2 cos F2OB
2c
= ，
5
tan AOB = tan 2 F2OB
2 tan F OB 4
= 2
1- tan2
=
F OB 3 ，2
在Rt△AOB 中，
| AB |=|OB | tan AOB 4= |OB |，
3
1
所以 S AOB = OB AB
2
= | OB |2 10= , OB 5 2c= = c 5=
2 3 3 2 ，5
所以 2c = 5，
故选：A．
二、多选题
5．已知双曲线C 过点 3, 2 且渐近线方程为 y 3= ± x，则下列结论正确的是（ ）
3
2
A x．C 的方程为 - y2 =1 B．C 的离心率为 3
3
C．曲线 y = ex-2 -1经过C 的一个焦点 D．直线 x - 3y -1 = 0与C 有两个公共点
【答案】AC
3
【分析】由双曲线的渐近线为 y = ± x，设出双曲线方程，代入已知点的坐标，求出双曲线方程判断 A；
3
再求出双曲线的焦点坐标判断 B，C；直线与双曲线的渐近线的关系判断 D．
3 x2
【详解】对于 A：由双曲线的渐近线方程为 y = ± x，可设双曲线方程为 - y2 = l l 0 ，把点 (3, 2)
3 3
9 x2
代入，得 - 2 = l ，即l = 1．所以双曲线C 的方程为 - y23 =1，故 A 选项正确；3
对于 B：由 a2
2 2 3
= 3，b2 = 1，得 c = a2 + b2 = 2，所以双曲线C 的离心率为 = ，故 B 选项错误；
3 3
对于 C：取 x + 2 = 0，得 x = -2， y = 0 ，曲线 y = ex-2 -1过定点 (-2,0) ，故 C 选项正确；
对于 D：双曲线的渐近线 x ± 3y = 0，直线 x - 3y -1 = 0与双曲线的渐近线平行，直线 x - 3y -1 = 0与C
有 1 个公共点，故 D 不正确．
故选：AC．
三、填空题
6．已知抛物线C : y2 = 2x的焦点为 F ，过点 F 分别作两条直线 l1， l2， l1直线与抛物线C 交于A 、 B 两点，
直线 l2与抛物线C 交于D、E 两点，若 l1与 l2的斜率的平方和为 2，则 AB + DE 的最小值为 ．
【答案】8
【分析】设出两条直线，分别和抛物线联立，根据抛物线的弦长公式得到
AB = x1 + x2 +1 = m y1 + y2 + 2, CD = n y3 + y4 + 2 2 2，再由韦达定理得到 AB + CD = 2 m + n + 4，利用均
值不等式得到最值.
【详解】设 A x1, y1 , B x2 , y2 ,C x3 , y3 , D x4 , y4 ，
设直线 l1为 x = my
1
+ , l2 : x = ny
1
+ ,联立直线 l1和抛物线得到 y2 - 2my -1 = 0，两根之和为： y1 + y2 = 2m ,同2 2
理联立直线 l2和抛物线得到 y3 + y4 = 2n
由抛物线的弦长公式得到 AB = x1 + x2 +1 = m y1 + y2 + 2, CD = n y3 + y4 + 2
AB + CD = 2 m2 2代入两根之和得到 + n + 4，已知
1 1 1 2 2
2 + 2 = 2, m
2 + n2 =
m n 2 m
2 + n2 1 1 1 m n 2 + 2 ÷ =m n 2 2 + + ÷ 2，è n2è m2
AB + CD = 2 m2 + n2 + 4 8.
故答案为 8.
1
7 2．已知直线 y = x +1与抛物线 y = 2 px p > 0 相交于 A, B两点，设M p,0 ，若直线 x = p 恰好平分
2
AMB ，则 p = .
【答案】 2
【分析】将直线方程代入抛物线方程可得韦达定理的形式，根据直线 x = p 恰好平分 AMB 可知 kAM + kBM = 0，
利用两点连线斜率公式表示出 kAM + kBM = 0，代入韦达定理的结论可构造方程求得结果.
ìy 1 = x +1 2
【详解】由 í 2 得： x + 4 1- 2 p x + 4 = 0，
y
2 = 2 px
2
由D =16 1- 2 p -16 > 0得： p >1，
A x , 1 1设 1 x1 +1
2 ÷
, B x2 , x2 +1÷，则 x1 + x2 = 4 2 p -1 ， x1x2 = 4，
è è 2
Q直线 x = p 恰好平分 AMB ，\直线 AM 与直线 BM 的倾斜角互补，
\直线 AM 斜率与直线 BM 斜率互为相反数，即 kAM + kBM = 0，
1 x 11 +1 x即 2 2 2
+1 1
+ = 0，整理得： x1x2 - p x1 + x2 + x1 + x2 - 2 p = 0 ，
x1 - p x2 - p 2
\4 - 2 p 2 p -1 + 4 2 p -1 - 2 p = 0，又 p >1，解得： p = 2 .
故答案为： 2 .
四、解答题
8 C : y2．已知抛物线 = 2 px p > 0 上任意一点P x0, y 0 到直线 x = -2的距离比到焦点的距离大 1.
(1)求 C 的标准方程；
(2)若倾斜角为 30°的直线 l 经过 C 的焦点并与 C 相交于 A，B 两点，求以 AB 为直径的圆的标准方程.
【答案】(1) y2 = 4x
(2) x - 7 2 + 2y - 2 3 = 64
【分析】（1）根据题意可得点 P 到直线 x=-1的距离等于到焦点的距离，然后利用抛物线的定义进行求解即
可；
（2）将直线 l的方程与抛物线C 的方程联立，利用韦达定理结合抛物线的焦点弦长公式和中点坐标公式可
求得结果.
2
【详解】（1）由抛物线C : y = 2 px p > 0 可得 x0 0，
故点 P 到直线 x = -2的距离比到焦点的距离大 1，即点 P 到直线 x=-1的距离等于到焦点的距离，
p
所以 =1，即 p = 2 ，所以 C 的标准方程 y2 = 4x
2
（2）抛物线C : y2 = 4x 的焦点为F 1,0 ，设点 A x1, y1 、B x2 , y2 ，
ì
3 y
3
= x -1
直线 l的方程为 y = x -1 ，联立 í 3 ，可得 x2 -14x +1 = 0，
3
y
2 = 4x
D =142 - 4 1 > 0 ，所以 x1 + x2 =14，
3 3 3
所以 AB = x1 + x2 + 2 =16 ， y1 + y2 = x1 -1 + x2 -1 = x1 + x2 - 2 = 4 3 ，3 3 3
所以线段 AB 的中点为 7,2 3 ，
2
所以以 AB 为直径的圆的标准方程为 x - 7 + 2y - 2 3 = 64
一、单选题
1．直线 l过点M 2,1 且与椭圆 x2 + 4y2 =16 相交于A ， B 两点，若点M 为弦 AB 的中点，则直线 l的斜率为
（ ）
1
A．- B 1． 2 C． -1 D．12
【答案】A
【分析】根据点M 2,1 为弦 AB 的中点，利用“点差法”求解.
【详解】设 A x1, y1 , B x2 , y2 ， 因为点 A，B 在椭圆上，
ìx 2 2
í 1
+ 4y1 =16
所以
x 2 2
，
2 + 4y2 =16
x 2 - x 2 + 4(y 2两式相减得 1 2 1 - y
2
2 ) = 0，
y1 - y2 1 x= - × 1 + x2即 x1 - x2 4 y1 + y
，
2
因为点M 2,1 为弦 AB 的中点，
y1 - y2 1 4 1
所以直线 l的斜率为 k = = - × = -x1 - x 4 2 2
，
2
故选：A
y2 22．已知 P 是双曲线 E : x- =1上任意一点， M ， N 是双曲线上关于坐标原点对称的两点，且直线 PM ，
4 m
PN 的斜率分别为 k1,k2 k1k2 0 ，若 k1 + 2 k2 的最小值为 1，则实数m 的值为（ ）
A．16 B．32 C．1 或 16 D．2 或 8
【答案】B
y2 - y2 4 4
【分析】设M x 1 21, y1 ， N -x1, -y1 ，P x2 , y2 ，代入双曲线方程相减得 x2 - x2 = ，计算得 k1k2 = ，利1 2 m m
用基本不等式可得 k1 + 2 k2 的最小值，从而求得参数m 值．
y2 x2 2 2
【详解】双曲线E : - =1中m > 0，设M x1, y1 ， N -x1, -y P x , y y x1 ， 2 2 ，则 1 - 1 =1，4 m 4 m
y2 x2 y2 - y2 x2 2 2 22 - 2 =1，所以相减得 1 2 - 1 - x2
y - y 4
= 0，∴ 1 2
4 m 4 m x2
= ，
1 - x
2
2 m
k k y - y y + y
2 2
因此 = 2 1 × 2 1
y2 - y1 4
1 2 =x x x x x2 x2
= ．从而
m k1 + 2 k2 2 2 k1 k2 = 2
8
=1，所以m = 32（当且仅当
2 - 1 2 + 1 2 - 1 m
k1 = 2 k2 时取等号）．
故选：B．
2 2
3．直线 l : y - kx -1 = 0 x y与椭圆 + =1恒有公共点，则m 的取值范围是（ ）
5 m
A．( 0, 1) B． (0,5) C．[1,5) (5,+ ) D．[1, + )
【答案】C
2 2
【解析】由于直线 l : y - kx -1 = 0恒过点( 0, 1)，所以要使直线 l : y - kx -1 = 0 x y与椭圆 + =1恒有公共点，只
5 m
要点( 0, 1)椭圆上或椭圆内即可，从而可求得m 的取值范围
【详解】解：直线 l : y - kx -1 = 0恒过点( 0, 1)，
x2 y2
因为直线 l : y - kx -1 = 0与椭圆 + =1恒有公共点，
5 m
所以点( 0, 1)椭圆上或椭圆内即可，
ì
m > 0
所以 ím 5 ，解得m 1且m 5，
0 1+ 1
5 m
所以m 的取值范围是[1,5) (5,+ )，
故选：C
4 2．过抛物线 C： y = 2 px, p > 0 3焦点 F 且斜率为 的直线与 C 交于 A、B 两点（点 A 在 x 轴上方），已
4
p AM
知点M - ,0÷ ，则 =BM （ ）è 2
6 4
A． B．4 C． D．9
5 3
【答案】D
【分析】由题可得 AB : y
3 p
= x - 9 1 1 ÷，联立抛物线方程可得 A p,3p ÷ , B p, - p4 2 2 ÷
，然后利用两点间距
è è è18 3
离公式即得.
p 3 p 4 p
【详解】由题可得F ,0÷，故直线 AB : y = x - ÷，即 x = y + ，
è 2 4 è 2 3 2
ìx 4 y p = + 8
由 í 3 2 y2 - px - p2，可得 = 0，
y2 = 2 px 3
解得 y = 3p
1
或 y = - p，又点 A 在 x 轴上方，
3
A 9 p,3p 所以 , B
1 p, 1- p ，又M
p- ,0 ，
è 2 ÷ è18 3 ÷ 2 ÷ è
2 2 2
AM = 9 p 2 1 p 1 34∴ p + ÷ + 3p = 34 p ， BM = p + + - p = p ，
è 2 2 è18 2 ÷ ÷ è 3 9
AM
所以 = 9BM .
故选：D.
二、多选题
5．如图，过点 P(2,0)作两条直线 x = 2和 l : x = my + 2(m > 0) 分别交抛物线 y2 = 2x于 A，B 和 C，D（其中 A，
C 位于 x 轴上方），直线 AC，BD 交于点 Q．则下列说法正确的是（ ）
A．C，D 两点的纵坐标之积为-4
B．点 Q 在定直线 x = -2上
C． | PC |最小值是 2
D．无论CD 旋转到什么位置，始终有 CQP = BQP
【答案】AB
【解析】设点C x1, y1 ， D x2 , y2 ，直线方程代入抛物线方程后应用韦达定理得 y1 + y2 ， y1y2，可判断 A；
写出直线 AC, BD 方程联立后求得Q点横坐标，代入 y1y2可判断 B；由 PA = PO = 2，而C 的从A 运动到O
时，中间一定有最小值，判断 C，由 QA QB ，判断 D．
【详解】设点C x1, y1 ，D x2 , y2 ，
将直线 l 的方程 x = my + 2代入抛物线方程 y2 = 2x得：
y2 - 2my - 4 = 0．则 y1y2 = -4．故 A 正确；
由题得 A(2, 2) ，B(2,-2)，
2 2
直线 AC 的方程为 y - 2 = (x - 2)y + 2 ，直线BD的方程为
y + 2 = (x - 2)
1 y - 2
，
2
2 y y
y x = 1 2
- y1 + y2
消去 得 ，
y1 - y2 + 4
将 y1y2 = -4代入上式得 x = -2，
故点 Q 在直线 x = -2上，故 B 正确；
计算 PA = 2， OP = 2 ，C 在抛物线上运动时，2 不是最小值，可知选项 C 错误；
因为 PA = PB ，但 QA QB ，所以 D 错误．
故选：AB．
【点睛】关键点点睛：本题考查直线与抛物线相交的弦的性质，解题方法一是直线方程代入抛物线方程后
应用韦达定理，二是利用运动的观点以及平面几何的方法进行判断．
三、填空题
6．双曲线定位是通过测定待定点到至少三个已知点的两个距离差所进行的一种无线电定位．定位参数是距
离差，位置线是双曲线，定位时需由至少三个已知点的组合，在待定点到三个已知点的三个距离中，取其
中两个距离差，此时形成两条位置双曲线，两者相交便可确定待定点的位置．例如图所示，F1，F2，F3 为
三个已知点，点 M 即为两条位置双曲线C1，C2 确定的待定点．现海上有三个两两相距 180 公里的岸台 A，
B，C 三个岸台同时发射电磁波，远离岸台 A，B，C 的船只 S 同时接收到了来自岸台 A，B 的电磁波信号，
而接收到岸台C 的信号比接收到岸台 A，B 的信号早了 200 3 微秒（已知 1 微秒等于10-6 秒，且电磁波在空
气中 1 微秒传播距离为 300 米），则船只 S 与岸台 C 的距离为 公里．
【答案】 24 3
【分析】以 CA 所在直线为 x 轴，以线段 CA 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系，由题意可得
SA - SC = 60 3 ，则船只 S 在以 C，A 为焦点的双曲线的左支上，结合双曲线的定义可求出其标准方程，
船只 S 也在线段 AB 的垂直平分线 x = 3y - 90 上，联立方程组可点S 的坐标，进而求得船只 S 与岸台 C 的
距离．
【详解】以 CA 所在直线为 x 轴，以线段 CA 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系如图，
AB = BC = CA =180 , A(90,0),C(-90,0)，
船只 S 距离岸台 C 比岸台 A，B 近 200 3 300 = 60000 3 米，即60 3 公里，
即船只 S 到岸台 C 比到岸台 A 的距离近60 3 公里，即 SA - SC = 60 3 ，
x2 y2
则船只 S 在以 C，A 为焦点的双曲线的左支上，设双曲线的方程为 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 ，则a b
2a = 60 3,2c =180，故b2 = c2 - a2 = 5400，
x2 y2
则船只 S 的位置双曲线的方程为 - =1 x < 0 ，
2700 5400
又因为船只 S 到岸台 A，B 距离相等，所以船只 S 也在线段 AB 的垂直平分线上，
3
设线段 AB 的中点 D，则 DCA = 30°， kCD = tan 30° = ，3
则线段 AB 的垂直分线 CD 3的方程为 y = (x + 90)，即 x = 3y - 90 ，
3
ì x2 y2
- =1 ì x = -54 ìx = 90
联立 í2700 5400 ，解得 í 或 í （舍），故 S(-54,12 3) ，
y =12 3 y = 60 3
x = 3y - 90
2
所以船只 S 到岸台 C 的距离为 CS = -54 + 90 2 + 12 3 = 24 3 公里．
故答案为： 24 3 ．
7 E : x -1 2．已知圆 + y2 =1 2的圆心与抛物线C : y = 2 px p > 0 的焦点F 重合，过点F 的直线 l与抛物线C
交于A ， B 两点，与圆E 交于M ， N 两点（其中A 点和M 点在第一象限），则 AM × BN = ．
【答案】1
【解析】由题意，求得抛物线方程为 y2 = 4x，设直线 l : x = ty +1，联立方程组，求得 y1y2 = -4，结合抛物
2 2 2
线的定义求得 AM = x y y， BN = x ，根据 AM × BN = x x = 1 × 2 y1 y2 1 2 = ，即可求解.1 2 4 4 16
2 p
【详解】由题意，圆E : x -1 + y2 =1的圆心坐标为 (1,0)，可得 =1，即 p = 2 ，
2
所以抛物线方程为 y2 = 4x，
设 A x1, y1 ，B x2 , y2 ，直线 l : x = ty +1，
代入抛物线方程，得 y2 - 4ty - 4 = 0 ，所以 y1y2 = -4，
因为圆E 的圆心为抛物线焦点F ，
根据抛物线的定义知， AF = x +1， BF = x2 +1，故 AM = x1， BN = x2 ，
2 2 y y 2
所以 AM × BN = x x y1 y2 = × = 1 2 ，1 2 4 4 16
因为 y1y2 = -4，所以 AM × BN =1．
故答案为：1.
【点睛】与抛物线的焦点有关问题的解题策略：
1、与抛物线的焦点有关的问题，一般情况下都与抛物线的定义有关：“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，
这是解决与过抛物线焦点的弦有关问题的重要途径；
p p
2、特别提醒：主要灵活运用抛物线上一点P(x, y) 到焦点F 的距离： PF = x + 或 PF = y + .
2 2
四、解答题
x2 y28 1．已知椭圆C : 2 + 2 =1(a > b > 0)的短轴长为 2 3 ，且离心率为a b 2
.
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过椭圆C 上的点A (不是椭圆顶点)作两条相互垂直的直线，分别与C 交于另外两点 B ，D，直线 AB 经
过原点O，直线BD与 x 轴 y 轴分别交于M ， N 两点，求 OMN 面积的最大值.
x2 y2
【答案】（1） + =1；（2 3） .
4 3 24
【分析】（1）根据题意，列出方程求得 a,b的值，即可求得椭圆C 的方程；
（2）设 A x1, y1 ， D x2 , y2 ，得到 B -x1,-y1 ，设直线 AD 的方程为 y = kx + m ，联立方程组，得到 x1 + x2 ，
6m y x
求得 y1 + y = AB AD k =
1 k = - 12 ，根据直线 和 的斜率分别为 和 ，求得直线BD的方程为3 4k 2 AB+ x1 y1
y y 3y+ 11 = x + x1 ，得到点M , N 14x 的坐标，利用面积公式 S = x1 y1 ，结合基本不等式，即可求解.1 24
2
1 C : x y
2
【详解】（ ）由题意，椭圆 2 + 2 =1的短轴长为 2 3 ，可得 2b = 2 3 ，所以b = 3 ，a b
1 a2 - b2e a
2 - 3 1
离心率为 2 ，可得 = = = ，解得 a = 2，a a 2
2 2
所以椭圆C x y的方程为 + =1 .
4 3
（2）设 A x1, y1 x1 y1 0 ，D x2 , y2 ，则B -x1,-y1 ，
设直线 AD 的方程为 y = kx + m ，其中 k 0，m 0 ，
ìy = kx + m
2 2 2
由 í x2 y2 ，整理得 3+ 4k x + 8mkx + 4m -12 = 0 ，
+ =1 4 3
x x 8mk 6m所以 1 + 2 = - 2 ，因此 y1 + y2 = k x1 + x2 + 2m = .3 + 4k 3+ 4k 2
y x
因为直线 AB k 1 1的斜率 AB = x ，所以直线 AD 的斜率
k = -
1 y
，
1
y + y 3 3y
由题意知 x1 -x2 ，所以 kBD =
1 2 = - = 1
x1 + x2 4k 4x
，
1
3y
所以直线BD的方程为 y + y1 = 1 x + x 4x 1 ，1
y
令 x 0 y
y
= ，可得 = - 1
，即 N 0, - 14 ÷，4 è
x x
令 y = 0
，可得 x = 1 ，即M 1
3
,0÷，
è 3
x y
可得 OMN S 1 1的面积 = 1 1 = x
2 3 4 24 1
y1 ，
1 x
2
1 y
2 x y
因为 = + 1 2 1 1 ，所以 x y
4 3 2 3 1 1
3，
x
当且仅当 1
y
= 1
2
= 3时等号成立，此时S 取得最大值 ，
2 3 2 24
所以 OMN 3面积的最大值为 .
24
【点睛】求解圆锥曲线的最值问题的解答策略：
1、若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图形，以及几何
性质求解；
2、当题目给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个目标函数的最值（或值
域），常用方法：①配方法；②基本不等式；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量
的取值范围.
一、单选题
1 x
2 y2
．已知双曲线 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 ，M 、 N 是双曲线上关于原点对称的两点， P 是双曲线上的动点，a b
且直线PM , PN 的斜率分别为 k1, k2 ,k1k2 0 ，若 k1 + k2 的最小值为 1,则双曲线的离心率为
A． 2 B 5．
2
C 3
3
． D．
2 2
【答案】B
2 2 2 2 t2 - q2 b2
【详解】试题分析：设M ( p,q), N (- p,-q), P(s, t), p q s t\ 2 - 2 =1, 2 - =a b a b2
=1 ,两式相减得 s2 - p2 a2 ,由斜率公
t 2 - q2 b2 2b 2b 5
式可得 k1k2 = 2 = ,Q k + k ,\ =1,\e = ,故选 B.s - p2 a2 1 2 a a 2
考点：双曲线的性质,基本不等式.
【易错点睛】本题主要考查了双曲线的性,基本不等式等知识.基本不等式求最值应注意的问题：(1)使用基本
不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这
三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中
“正”“定”“等”的条件．
2．直线 y = k(x - 2) 交抛物线 y2 = 8x于 A, B两点，若 AB 中点的横坐标为 3，则弦 AB 的长为（ ）
A．10 B．6 C． 4 D．3
【答案】A
【分析】利用抛物线焦点弦公式即可求解.
【详解】抛物线 y2 = 8x的焦点为 (2,0) .
直线 y = k(x - 2) 过定点 (2,0)，即为抛物线的焦点.
设 A(x1, y1), B(x2 , y2 )，则 x1 + x2 = 6， AB = x1 + x2 + 4 =10 ．
故选：A．
3 x
2 y2
．已知双曲线C : 2 - 2 = 1(a > 0,b > 0)的左、右焦点分别为F1, Fa b 2 ，过
F1的直线与C 的左、右两支分别交于点
M , N ，且 F1M : F2N :| MN |=1: 3 : 4，则C 的离心率为（ ）
A 21 B 21 C 14 D 14． ． ． ．
3 2 3 2
【答案】D
【分析】由 F1M : F2N :| MN |=1: 3 : 4，设 F1M = t, F2N = 3t,| MN |= 4t ，利用双曲线的定义得到 | MN |= 4a，
然后设 lF M : my = x + c1 ，与双曲线方程联立，利用弦长公式求解.
【详解】解：因为 F1M : F2N :| MN |=1: 3 : 4，
所以 F1M = t, F2N = 3t,| MN |= 4t ，
由双曲线的定义得 NF1 - F2N = 2t = 2a ，
解得 t = a，
则 | MN |= 4a，
设 lF M : my = x + c ，M x1, y1 , N x2 , y2 ， y1, y2 > 0,m > 01 ，
ìmy = x + c
联立 í x2 y2 ，消去 x 得 b2m2 - a2 y2 - 2mcb2 y + b4 = 0，
- =1
a2 b2
2mcb2 b4
由韦达定理得： y1 + y2 = b2m2 - a2
, y1 × y2 = b2m2 - a2
，
2
由 F1M :| MN |=1: 4
1
，得 y1 = y2 ，解得m2
9a
= ，
5 9b2 - 5c2
所以 MN = 1+ m2 y1 + y
2
2 - 4y1 × y2 ，
é 4m2c2 4 4 ù
= 1+ m2 ê b 4b- ú = 4a ，
ê
b2m2 - a2
2 b2m2 - a2 ú
b2 5
解得 = ，
a2 2
c b2
则 = 1 14+ 2 = ，a a 2
故选：D
4 2．设抛物线C ： y = 2 px p > 0 的焦点为F ，点P 4, m 是抛物线C 上一点，且 PF = 5．设直线 l与抛物线
C 交于A 、 B 两点，若OA ^ OB（O为坐标原点）．则直线 l过定点（ ）．
A． (1,0) B． (2,0) C． (4,0) D． (3, 0)
【答案】C
【分析】先结合抛物线的定义求得抛物线方程，设出直线 l的方程并与抛物线方程联立，化简写出根与系数
关系，由OA ^ OB列方程，化简求得 s = 4，由此求得直线 l过定点 4,0 .
p
【详解】∵P(4,m)是抛物线C 上一点，且 | PF |= 5．∴ + 4 = 5，
2
解得 p = 2 ，即抛物线C 的方程为 y2 = 4x．
依题意可知直线 l的斜率不为 0 ，设直线 l的方程为 x = ty + s ， A(x1, y1)，B(x2 , y2 ) ，
ìx = ty + s
由 í 消去 x 得 y22 - 4ty - 4s = 0，则 y1 + y2 = 4t ， y1 × y2 = -4sy 4x ． =
2 2
因为OA ^ OB，所以 x1 × x2 + y1 × y2 = 0
y1 y，即 × 2 + y × y = 0．
4 4 1 2
化简得 y1 × y2 = -16 ．由-4s = -16得 s = 4，所以直线 l的方程为 x = ty + 4，
所以直线 l经过定点 (4,0)．
故选：C
二、多选题
5 2．已知抛物线 y = 2 px p > 0 的焦点F 到准线的距离为 4，过F 的直线与抛物线交于 A,B两点，M 为 A,B
的中点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A．以 AB 为直径的圆与 x = -2相离；
uuur uuur
B．当 AF = 2FB， AB = 9；
C． AB 最小值为 8；
D．M 的坐标可为 (6,4)
【答案】BCD
【分析】由题意可得 p=4 ，有抛物线的定义与直线与圆的位置关系可判断 A；将直线与抛物线联立，由根
与系数之间的关系，结合抛物线的定义可判断 BD，由抛物线的通径可判断 C
2
【详解】因为抛物线 y = 2 px p > 0 的焦点F 到准线的距离为 4，
所以 p=4 ，
所以抛物线 y2 = 8x，抛物线的准线方程为 x = -2，焦点为F 2,0 ，
设 A x1,y1 ,B x2 ,y2 ,M x0 ,y0 ，
对于 A：由抛物线的定义易知： 2 x0 + 2 = x1 + 2 + x2 + 2 = AF + BF = AB ，
所以以 AB 为直径的圆与 x = -2相切，故 A 错误；
ìy2 =8x 2 2 2
对于 B：由 í 得 k x - 4k + 8y=k x- 2 x + 4k
2 = 0，
2
x x 4k + 8 4 8则 1 + 2 = 2 = + 2 ，k k
如图，过点 A,B分别作准线得垂线，垂足分别为 A1, B1 ,过 B 作BD ^ AA1 ,垂足为D，
uuur uuur
由 AF = 2FB得 AF = 2 FB = 2t ，则 A1D = BB1 = FB = t, AA1 = AF = 2t, AD = AA1 - A1D = 2t - t = t ，
BD = AB 2 - AD 2 = 2 2t ，
k 2 2t所以 AB = = 2 2 ，t
AB x x 4 4 8所以 = 1 + 2 + = + 2 + 4 = 9，故 B 正确；k
对于 C：当 AB 为抛物线的通径时， AB = 8min ，故 C 正确；
8
对于 D：令 x1 + x2 = 4 + 2 =12，解得 k = ±1，k
所以当 k = ±1
x + x
时， x = 1 20 = 6 ，2
y1 + y2 ky x1 - 2 + k x2 - 2 k x1 + x2 - 4k0 = = = = 4k ，2 2 2
当 k=1时，则有 y0 = 4，即M 6,4 ，故 D 正确，
故选：BCD
三、填空题
6．已知抛物线C : y2 = 4x 的焦点为F ，过点F 的直线 l与抛物线C 交于 A, B两点，且 AF = 5，则
AB = .
25
【答案】 / 6.25
4
【分析】设 A m, n ì
m +1 = 5
由 í A l B
n
2 4m 求得 点坐标，可得到直线 的方程，与抛物线方程联立求出 点坐标，由=
抛物线弦长公式可得答案.
ìm +1 = 5 ìm = 4
【详解】由题意可得F 1,0 ，设 A m, n ，则 ín2 4m 解得= í n = ±4
，
由抛物线的对称性，不妨设点A 在第一象限，即 A 4,4 ，
则直线 l的方程为 4x - 3y - 4 = 0，
ì4x - 3y - 4 = 0
联立 í 2 ，整理得 y
2 - 3y - 4 = 0
y = 4x
，
解得 y = -1或 y = 4 ，则B
1
,-1
÷，故 AB = xA + x p
1 4 25+ = + + 2 = .
è 4 B 4 4
25
故答案为： .
4
y y
7．已知实数 x、y 满足 x x + =1，则 3x + y - 6 的取值范围是
3
【答案】 é 6 - 6,6
【分析】讨论范围得到图像，根据图像考虑直线与椭圆相切和直线与渐近线重合两种情况，分别计算得到
范围.
y | y |
【详解】实数 x, y 满足 x | x | + = 1，
3
2
当 x > 0, y > 0 y时，方程为 x2 + =1，图象为椭圆在第一象限的部分；
3
x > 0, y < 0 x2 y
2
当 时，方程为 - =1，图象为双曲线在第四象限的部分；
3
2
当 x < 0, y > 0时，方程为-x2 y+ =1，图象为双曲线在第二象限的部分；
3
2
当 x < 0, y < 0 y时，方程为-x2 - =1，图象不存在，
3
在同一坐标系中作出图象，如图所示：
根据双曲线的方程可知，两条双曲线的渐近线方程都是 y = ± 3x ，
令 z = 3x + y - 6，即直线 y = - 3x + z + 6与渐近线平行，
ì 2
x2
y
+ =1
当 z 最大时，为图中①的情况， 即直线与椭圆相切，联立方程组 í 3 ，
y = - 3x + z + 6
可得6x2 - 2 3(z + 6)x + (z + 6)2 - 3 = 0，
D = [-2 3(z + 6)]2 - 4 6 é(z + 6)2 - 3ù = 0，解得 z = -6 ± 6 ，
又因为椭圆的图象只有第一象限的部分，故 z = -6 + 6 ，
当 z 最小值时，恰在图中②的位置，且取不到这个最小值，
此时 y = - 3x + z + 6 = - 3x，则 z > -6，
综上所述： z 的取值范围为-6 < z -6 + 6 ，所以 z 的取值范围为 é 6 - 6,6 ，
即 3x + y - 6 的取值范围是 é 6 - 6,6 .
故答案为： é 6 - 6,6
【点睛】关键点睛：本题考查了椭圆和双曲线的综合应用，意在考查学生的计算能力，转化能力和综合应
用能力，其中画出图像，根据图像解决最值问题是解题的关键.
四、解答题
x2 y28．已知椭圆C : 2 + 2 =1 a > b > 0 的左焦点为F -2,0 ，不过坐标原点 O 且不平行于坐标轴的直线 l 与椭a b
1
圆 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 Q，直线OQ 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值- .
3
(1)求椭圆 C 的方程；
uuuuv uuuv
(2)若过点 F 4 6的直线 m 交椭圆 C 于点 M，N，且满足OM ×ON = ，求直线 m 的方程.
3tan MON
x2 y2
【答案】(1) + =1
6 2
(2) x ± 3y + 2 = 0 或 x = -2
2
【分析】（1）设 A x1, y1 ，B x2 , y b 12 ，代入椭圆的方程，利用点差法求得- = - ，进而求得 a,b的值，a2 3
即可求得椭圆的方程；
（2）当直线 m 的斜率存在时，设直线m : y = k x + 2 ，联立方程组求得 x3 + x4 , x3x4，利用弦长公式，结合
点到直线的距离公式，结合三角形面积列出方程，求得 k 的值，得出直线方程，当直线m 的斜率不存在时，
得到直线m 为 x = -2，即可求解.
【详解】（1）解：由题意，椭圆 C 的左焦点为F -2,0 ，所以 c = 2，
x2 y2 x2 y2
设 A x 1 1 21, y1 ，B x2 , y2 ，由题意可得 2 + 2 =1， 2 + 2 =1，a b a b2
x1 + x2 x1 - x2 y1 + y2 y - y y1 + y2 y1 - y 22 b则 2 + 1 22 = 0，即 = - .a b x 21 + x2 x1 - x2 a
k k 1× = - b
2 1
因为 ，所以- = - ，即 a2 = 3b2，所以 a2OQ l 2 = 6,b
2 = 2，
3 a 3
x2C y
2
所以椭圆 的方程为 + =1 .
6 2
（2）解：当直线 m 的斜率存在时，设直线m : y = k x + 2 ，点M x3 , y3 ， N x4 , y4 ，
ìy = k x + 2
2 2 3k 2 +1 x2 +12k 2x +12k 2联立方程组 í x y ，整理得 - 6 = 0，
+ =1 6 2
x x 12k
2
x 12k
2 - 6
可得 3 + 4 = - ，3k 2 +1 3
x4 = 2 ，3k +1
2 6 1+ k 2
所以 MN = 1+ k 2 x - x 2 2 ，3 4 = 1+ k × x3 + x4 - 4x3x4 = 3k 2 +1
2k
点 O 到直线 m 的距离为 d = 2 ，1+ k
uuuur uuur 4 6 uuuur uuur
因为OM ×ON = ，即 OM × ON cos MON 4 6 cos MON = × ，
3tan MON 3 sin MON
uuuur uuur 4 6 2 6
所以 OM × ON sin MON = ，即 S
3 △MON
= ，
3
S 1
6 1+ k 2 2k
又因为 △MON = MN × d = × ，2 3k 2 +1 1+ k 2
6 1+ k 2 2k 2 6 3
所以 2 × = ，即 k = ± ，3k +1 1+ k 2 3 3
所以直线 m 为： y 3= ± x + 2 .
3
2 6
当直线m 的斜率不存在时，直线m 的方程为 x = -2，此时 S△MON = 满足题目条件，3
综上可得，直线m 的方程为： x ± 3y + 2 = 0 或 x = -2 .2.8 直线与圆锥曲线的位置关系
分层练习
一、单选题
1 l x2．已知直线 与抛物线 = 2 py p > 0 只有一个公共点，则直线 l与抛物线的位置关系是（ ）
A．相交 B．相切
C．相离 D．相交或相切
x2 y22．在平面直角坐标系 xOy 中，F 为椭圆C ： + =1的左焦点，点A 在椭圆C 上，点B -2,1 ，线段OB
5 4
与 AF 交于点M ，若M 为 AF 的中点，则 cos FBA的值为（ ）
1
A 0 B 1． ． -2 C． D．无法确定2
uuur uuur
3．已知F 为抛物线 y2 = x 的焦点，点 A，B 在该抛物线上且位于 x 轴的两侧，OA ×OB = 2（其中 O 为坐标
原点），则△AFO 与△BFO 面积之和的最小值是
A 2． B 2 2． C． D．
8 24 2
2 2
4 x y．已知双曲线C : 2 - 2 = 1(a > 0,b > 0)的焦距为 2c，它的两条渐近线与直线 y = 2(x - c)的交点分别为 A，B，a b
uuur uuur 10
若 O 是坐标原点，OB × AB = 0，且 OAB的面积为 ，则双曲线 C 的焦距为（ ）3
5 25
A．5 B． 5 C． D．2 4
二、多选题
5．已知双曲线C 过点 3, 2 3且渐近线方程为 y = ± x，则下列结论正确的是（ ）
3
2
A．C x的方程为 - y2 =1 B．C 的离心率为 3
3
C．曲线 y = ex-2 -1经过C 的一个焦点 D．直线 x - 3y -1 = 0与C 有两个公共点
三、填空题
6．已知抛物线C : y2 = 2x的焦点为 F ，过点 F 分别作两条直线 l1， l2， l1直线与抛物线C 交于A 、 B 两点，
直线 l2与抛物线C 交于D、E 两点，若 l1与 l2的斜率的平方和为 2，则 AB + DE 的最小值为 ．
1
7．已知直线 y = x +1 2与抛物线 y = 2 px p > 0 相交于 A, B两点，设M p,0 ，若直线 x = p 恰好平分
2
AMB ，则 p = .
四、解答题
8．已知抛物线C : y2 = 2 px p > 0 上任意一点P x0, y 0 到直线 x = -2的距离比到焦点的距离大 1.
(1)求 C 的标准方程；
(2)若倾斜角为 30°的直线 l 经过 C 的焦点并与 C 相交于 A，B 两点，求以 AB 为直径的圆的标准方程.
一、单选题
1．直线 l过点M 2,1 且与椭圆 x2 + 4y2 =16 相交于A ， B 两点，若点M 为弦 AB 的中点，则直线 l的斜率为
（ ）
1
A 1．- B． 2 C． -1 D．12
2 2
2．已知 P 是双曲线 E : y x- =1上任意一点， M ， N 是双曲线上关于坐标原点对称的两点，且直线 PM ，
4 m
PN 的斜率分别为 k1,k2 k1k2 0 ，若 k1 + 2 k2 的最小值为 1，则实数m 的值为（ ）
A．16 B．32 C．1 或 16 D．2 或 8
2 2
3 x y．直线 l : y - kx -1 = 0与椭圆 + =1恒有公共点，则m 的取值范围是（ ）
5 m
A．( 0, 1) B． (0,5) C．[1,5) (5,+ ) D．[1, + )
y2 = 2 px, p > 0 34．过抛物线 C： 焦点 F 且斜率为 的直线与 C 交于 A、B 两点（点 A 在 x 轴上方），已
4
p AM
知点M - ,0÷ ，则 =BM （ ）è 2
6 4
A． B．4 C． D．9
5 3
二、多选题
5．如图，过点 P(2,0)作两条直线 x = 2和 l : x = my + 2(m > 0) 分别交抛物线 y2 = 2x于 A，B 和 C，D（其中 A，
C 位于 x 轴上方），直线 AC，BD 交于点 Q．则下列说法正确的是（ ）
A．C，D 两点的纵坐标之积为-4
B．点 Q 在定直线 x = -2上
C． | PC |最小值是 2
D．无论CD 旋转到什么位置，始终有 CQP = BQP
三、填空题
6．双曲线定位是通过测定待定点到至少三个已知点的两个距离差所进行的一种无线电定位．定位参数是距
离差，位置线是双曲线，定位时需由至少三个已知点的组合，在待定点到三个已知点的三个距离中，取其
中两个距离差，此时形成两条位置双曲线，两者相交便可确定待定点的位置．例如图所示，F1，F2 ，F3 为
三个已知点，点 M 即为两条位置双曲线C1，C2 确定的待定点．现海上有三个两两相距 180 公里的岸台 A，
B，C 三个岸台同时发射电磁波，远离岸台 A，B，C 的船只 S 同时接收到了来自岸台 A，B 的电磁波信号，
而接收到岸台C 的信号比接收到岸台 A，B 的信号早了 200 3 微秒（已知 1 微秒等于10-6 秒，且电磁波在空
气中 1 微秒传播距离为 300 米），则船只 S 与岸台 C 的距离为 公里．
7 E : x -1 2．已知圆 + y2 =1 2的圆心与抛物线C : y = 2 px p > 0 的焦点F 重合，过点F 的直线 l与抛物线C
交于A ， B 两点，与圆E 交于M ， N 两点（其中A 点和M 点在第一象限），则 AM × BN = ．
四、解答题
2 2
8．已知椭圆C : x y2 + 2 =1(a > b > 0)
1
的短轴长为 2 3 ，且离心率为 2 .a b
（1）求椭圆C 的方程；
（2）过椭圆C 上的点A (不是椭圆顶点)作两条相互垂直的直线，分别与C 交于另外两点 B ，D，直线 AB 经
过原点O，直线BD与 x 轴 y 轴分别交于M ， N 两点，求 OMN 面积的最大值.
一、单选题
1 x
2 y2
．已知双曲线 2 - 2 =1 a > 0,b > 0 ，M 、 N 是双曲线上关于原点对称的两点， P 是双曲线上的动点，a b
且直线PM , PN 的斜率分别为 k1, k2 ,k1k2 0 ，若 k1 + k2 的最小值为 1,则双曲线的离心率为
A． 2 B 5．
2
3
C 3． D．
2 2
2．直线 y = k(x - 2) 交抛物线 y2 = 8x于 A, B两点，若 AB 中点的横坐标为 3，则弦 AB 的长为（ ）
A．10 B．6 C． 4 D．3
x2 y23．已知双曲线C : 2 - 2 = 1(a > 0,b > 0)的左、右焦点分别为F1, F2 ，过F1的直线与C 的左、右两支分别交于点a b
M , N ，且 F1M : F2N :| MN |=1: 3 : 4，则C 的离心率为（ ）
A 21 B 21 14 14． ． C． D．
3 2 3 2
4 2．设抛物线C ： y = 2 px p > 0 的焦点为F ，点P 4, m 是抛物线C 上一点，且 PF = 5．设直线 l与抛物线
C 交于A 、 B 两点，若OA ^ OB（O为坐标原点）．则直线 l过定点（ ）．
A． (1,0) B． (2,0) C． (4,0) D． (3, 0)
二、多选题
5 2．已知抛物线 y = 2 px p > 0 的焦点F 到准线的距离为 4，过F 的直线与抛物线交于 A,B两点，M 为 A,B
的中点，O为坐标原点，则下列结论正确的是（ ）
A．以 AB 为直径的圆与 x = -2相离；
uuur uuur
B．当 AF = 2FB， AB = 9；
C． AB 最小值为 8；
D．M 的坐标可为 (6,4)
三、填空题
6．已知抛物线C : y2 = 4x 的焦点为F ，过点F 的直线 l与抛物线C 交于 A, B两点，且 AF = 5，则
AB = .
y y
7．已知实数 x、y 满足 x x + =1，则 3x + y - 6 的取值范围是
3
四、解答题
x28 C : y
2
．已知椭圆 + =1 a > b > 0 的左焦点为F -2,0 2 2 ，不过坐标原点 O 且不平行于坐标轴的直线 l 与椭a b
1
圆 C 有两个交点 A，B，线段 AB 的中点为 Q，直线OQ 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值- .
3
(1)求椭圆 C 的方程；
uuuuv uuuv
(2)若过点 F 4 6的直线 m 交椭圆 C 于点 M，N，且满足OM ×ON = ，求直线 m 的方程.
3tan MON
