2.7.2 抛物线的几何性质
分层练习
一、单选题
1．已知抛物线方程为 y = 4x则焦点到准线的距离为（ ）
1 1
A． B． C．1 D．2
8 4
2．已知圆C : (x -1)2 + y2 =1与抛物线 x2 = 2 py( p > 0) 的准线相切，则 p = （ ）
1 1
A． B． C．8 D．2
8 4
3．已知点 F 是抛物线 C：y2＝8x 的焦点，M 是 C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N，若 M 是 FN 的中点，
则 M 点的纵坐标为（ ）
A．2 2 B．4 C．±2 2 D．±4
4．已知抛物线C : y2 = 4x 的焦点为 F，过原点 O 作斜率为 k k > 0 的直线交 C 于点 A，取 OA 的中点 B，过
点 B 作斜率为-k 的直线 l 交 x 轴于点 D，则 AF - OD =（ ）
A．1 B．2 C．4 D．与 k 值有关
二、多选题
5．下列四个方程所表示的曲线中既关于 x 轴对称，又关于 y 轴对称的是（ ）
x2 y2A． - = 0 B． 2y - x2 = 0 C 2． 4x + 9 y =1 D． x2 + y2 = 2
9 4
三、填空题
6．已知抛物线 x2 = 4y上一点 A(m, 4) ，则点 A 到抛物线焦点的距离为 .
7．已知 AB 是过抛物线 2x2＝y 的焦点的弦，若|AB|＝4，则 AB 的中点的纵坐标是 ．
四、解答题
8．已知直线 l 平行于 y 轴，且 l 与 x 轴的交点为 (4,0)，点 A 在直线 l 上，动点 P 的纵坐标与 A 的纵坐标相
uuur uuur
同，且OA ^ OP，求 P 点的轨迹方程，并说明轨迹方程的形状．
一、单选题
1．若点 (m, n)在抛物线 y2 = -13x 上，则下列点中一定在该抛物线上的是（ ）
A． (-m, -n) B． (m,-n) C．( - m, n) D． (-n, -m)
2．由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性
质：一束平行于抛物线轴的光线，经过抛物面的反射集中于它的焦点．用一过抛物线轴的平面截抛物面，
将所截得的抛物线放在直角坐标系中，对称轴与 x 轴重合，顶点与原点重合，如图，若抛物线过点
A 1 ,1 ，平行于对称轴的光线经过点A 反射后，反射光线交抛物线于点 B ，则线段 AB 的中点到准线的距
4
离为（ ）
17 25 25
A． 2 B． C． D．
4 8 4
3 2．设抛物线C : y = 2 px p > 0 的焦点为 F ，准线为 l，点A 为抛物线C 上第一象限上的点， B 为 l上一点，
uuur
AF 1
uuur
满足 = FB，则直线 AB 的斜率为（ ）
2
1
A 2． B． C．3 D．
3 2 24
4．设 F 为抛物线C : x2 = 16y 焦点，A 是C 上的一点，B 0, -4 ， AB = 2 AF ，则满足条件的点A 的个数
为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
二、多选题
5．已知抛物线 C： y2 = 2 px（p＞0）的焦点为 F，过 F 且斜率为 2 2 的直线交抛物线 C 于 A，B 两点，其
中点 A 在第一象限，若 | AF |= 3，则下列说法正确的是（ ）
p = 1 BF 3A． B． =
2
uuur uuur
C．OA ×OB = 3 D．以 AF 为直径的圆与 y 轴相切
三、填空题
3π
6．过抛物线 x2 = 4y的焦点且倾斜角为 的直线被抛物线截得的弦长为 .
4
2
7 2 3r．在平面直角坐标系 xOy 中， r > 0，⊙M： x - r + y2 = 与抛物线 C： y2 = 4x有且仅有两个公共点，
4
uuur uuur
直线 l 过圆心 M 且交抛物线 C 于 A，B 两点，则OA ×OB = ．
四、解答题
8．已知点F 为抛物线C : y2 = 2 px( p > 0) 的焦点，点M 4, a 在抛物线上，且 FM = 6 .
(1)求抛物线C 的方程；
(2)过点 F 分别作两条互相垂直的直线与抛物线C 分别交于 A, B与 P,Q ，记VAFP,VBFQ 的面积分别为 S1, S2，
求S1 +S2的最小值.
一、单选题
2
1 y
2
．已知双曲线 x2 - 3 =1(a > 0)的一条渐近线过点 (2, 3) ，且双曲线的一个焦点在抛物线 y
2 = 2 px( p > 0)的
a
准线上，则 p 等于（ ）
A． 7 B． 2 7 C．2 D．1
1
2．已知点P , y1 ，Q 2, y2 在抛物线C : y2 = 2 px x > 0 上，且与C 的焦点F 共线，则点 P ，Q到C 的准
2
线距离之和为（ ）
13 19
A．4 B． C
9
． D．
4 2 6
2 uuuur uuur3．过抛物线C ： y = 4x的焦点 F 的直线 l 与抛物线C 交于 P ，Q两点，与抛物线准线交于 M ，且 FM = 3FP，
uuur
则 FP =（ ）
3 2 4 3
A． B． C． D．
2 3 3 4
4 2．已知抛物线C : y = 2 px p > 0 ，F 为C 的焦点，过焦点F 且倾斜角为a 的直线 l与C 交于 A x1, y1 ，
B x2 , y2 两点，则下面陈述不正确的为（ ）
x x y y 3A 2． 1 2 + 1 2 = - p B． AB
2 p
=
4 sin2 a
1 1 2 2
C． + = pAF BF p D．记原点为O，则 S△AOB = sina
二、多选题
5．已知抛物线C ： y2 = -4x ，过抛物线的焦点F 作倾斜角为q 的直线 l交C 于M ， N 两点，则（ ）
uuuur uuur
A．OM × ON = 3 （O为原点） B．若q = 45°，则 MN = 8
1 1
C． + =1MF NF D．以MF 为直径的圆与
y 轴相切
三、填空题
6．已知抛物线 y2 = 4x与经过该抛物线焦点的直线 l在第一象限的交点为 A, A在 y 轴和准线上的投影分别为
AB
点B,C ， = 2BC ，则直线 l的斜率为 ．
π
7．已知抛物线 y2 = 4x的焦点为 F，点P,Q 在抛物线上，且满足 PFQ = ，设弦 PQ的中点 M 到 y 轴的距
3
PQ
离为 d，则 的最小值为 ．
d +1
四、解答题
8 2．已知抛物线C : y = 2 px p > 0 ，O为坐标原点，焦点在直线 2x + 4y -1 = 0上．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过点 4,0 作动直线 l 2与抛物线C 交于M ， N 两点，直线OM ，ON 分别与圆 x -1 + y2 =1交于点 P ，Q
两点（异于点O），设直线OM ，ON 斜率分别为 k1， k2 ．
①求证： k1 × k2 为定值；
②求证：直线 PQ恒过定点．2.7.2 抛物线的几何性质
分层练习
一、单选题
1．已知抛物线方程为 y = 4x则焦点到准线的距离为（ ）
1 1
A． B． C．1 D．2
8 4
【答案】D
【详解】因为抛物线方程为 y = 4x 2 p = 4 p = 2
p
，故 ，即 ， =1，
2
法一：所以抛物线的焦点为 1,0 ，准线为 x=-1，
所以焦点到准线的距离为 2；
法二：根据抛物线的几何意义，可知焦点到准线的距离为 p = 2 .
故选：D.
2．已知圆C : (x -1)2 + y2 =1与抛物线 x2 = 2 py( p > 0) 的准线相切，则 p = （ ）
1 1
A． B． C．8 D．2
8 4
【答案】D
p
【详解】Q 抛物线 x2 = 2 py( p > 0) 的准线为 y = - ，
2
又圆C : (x -1)2 + y2 =1 与该抛物线的准线相切,
\ p圆心C(1,0)到准线 y = - 的距离：
2
d p= = r =1,\ p = 2 .
2
故选： D.
3．已知点 F 是抛物线 C：y2＝8x 的焦点，M 是 C 上一点，FM 的延长线交 y 轴于点 N，若 M 是 FN 的中点，
则 M 点的纵坐标为（ ）
A．2 2 B．4 C．±2 2 D．±4
【答案】C
【详解】由题意，抛物线C : y2 = 8x 的焦点F (2,0)，M 是C 上一点， FM 的延长线交 y 轴于点 N ，
若M 为FN 的中点，如图所示，
可知M 的横坐标为 1，则M 的纵坐标为±2 2，
故选 C．
4．已知抛物线C : y2 = 4x 的焦点为 F，过原点 O 作斜率为 k k > 0 的直线交 C 于点 A，取 OA 的中点 B，过
点 B 作斜率为-k 的直线 l 交 x 轴于点 D，则 AF - OD =（ ）
A．1 B．2 C．4 D．与 k 值有关
【答案】A
【详解】抛物线C : y2 = 4x 的焦点F (1,0)，准线为 x=-1，
ì 4
ìy = kx x = 0 x =ì 2
直线OA： y = kx
k 4 4 2 2
，由 íy2 4x解得： íy 0或 í 4 ，即点
A( 2 , )，则点B( 2 , )，
= = y = k k k k
k
2 2 4 4 4
直线BD的方程为： y - = -k(x - 2 )，令 y = 0 ，得点D( 2 ,0)，因此 | AF |= 2 +1,| OD |= ，k k k k k 2
所以 AF - OD =1 .
故选：A
二、多选题
5．下列四个方程所表示的曲线中既关于 x 轴对称，又关于 y 轴对称的是（ ）
x2 y2A - = 0 B 2． ． 2y - x2 = 0 C． 4x + 9 y =1 D． x2 + y2 = 2
9 4
【答案】ACD
【详解】 x, y 关于 x 轴的对称点为 x,-y ，关于 y 轴的对称点为 -x, y ，
2 2
x, y , x,-y , -x, y x y 2同时满足方程 - = 0、 4x + 9 y =1、 x2 + y2 = 2，ACD 选项正确.
9 4
2y x2 0, y 1- = = x2，是开口向上的抛物线，关于 y 轴对称，不关于 x 轴对称，B 选项错误.
2
故选：ACD
三、填空题
6．已知抛物线 x2 = 4y上一点 A(m, 4) ，则点 A 到抛物线焦点的距离为 .
【答案】5
【详解】解：由题意得：
抛物线 x2 = 4y的准线方程为 y = -1
\点 A 到准线的距离为 4 - (-1) = 5
根据抛物线的定义可知点 A 与抛物线的距离就是点 A 与抛物线准线的距离
\点 A 与抛物线焦点的距离为5
故答案为：5
7．已知 AB 是过抛物线 2x2＝y 的焦点的弦，若|AB|＝4，则 AB 的中点的纵坐标是 ．
15
【答案】
8
1
【详解】设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线 2x2＝y，可得 p = .4
1 15 y + y 15
∵|AB|＝y1＋y2＋p＝4，∴ y1 + y2 = 4 - = ，故 AB 的中点的纵坐标是 1 2 = .4 4 2 8
15
故答案为：
8
四、解答题
8．已知直线 l 平行于 y 轴，且 l 与 x 轴的交点为 (4,0)，点 A 在直线 l 上，动点 P 的纵坐标与 A 的纵坐标相
uuur uuur
同，且OA ^ OP，求 P 点的轨迹方程，并说明轨迹方程的形状．
【答案】 y2 = -4x ，轨迹是开口向左的抛物线．
【详解】由条件可知，直线 l 的方程为 x = 4，因此点 A 的横坐标为 4．
设 P 的坐标为 (x, y)，则点 A 的坐标为 (4, y)．因此
uuur uuur
OA = (4, y),OP = x, y
uuur uuur uuur uuur
因为OA ^ OP的充要条件是OA × OP = 0 ，所以4x + y2 = 0 ，即动点 P 的轨迹方程为 y2 = -4x ．
从而可以看出，轨迹是开口向左的抛物线．
一、单选题
1．若点 (m, n)在抛物线 y2 = -13x 上，则下列点中一定在该抛物线上的是（ ）
A． (-m, -n) B． (m,-n) C．( - m, n) D． (-n, -m)
【答案】B
【详解】由抛物线关于 x 轴对称易知，点 (m,-n)一定在该抛物线上.
故选：B
2．由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面叫抛物面，用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性
质：一束平行于抛物线轴的光线，经过抛物面的反射集中于它的焦点．用一过抛物线轴的平面截抛物面，
将所截得的抛物线放在直角坐标系中，对称轴与 x 轴重合，顶点与原点重合，如图，若抛物线过点
A 1 ,1 ，平行于对称轴的光线经过点A 反射后，反射光线交抛物线于点 B ，则线段 AB 的中点到准线的距
4
离为（ ）
17 25 25
A． 2 B． C． D．
4 8 4
【答案】C
1 1
【详解】设抛物线方程为： y2 = 2 px，将点 A ,1 代入可得1 = 2 p ，解得： p = 2 ，
4 4
所以抛物线方程为： y2 = 4x，焦点为F 1,0 ， x=-1，
y 0 1- 0- = x -1 4
由题意可得：直线 AB 的方程为： 1 y = --1 ，即 x -1 ，
4 3
ì 4
y = - x -1 ìx = 4 ìx 1=
由 í 3 可得： y2 + 3y - 4 = 0 1
2
，解得： í 或 í 4 ，
y
2 = 4x y1 = -4 y2 =1
A 1 ,1 所以 ，B 4, 4
17 3- ，可得 AB 的中点为 ,-4
，
8 2
17 p 17 25
所以线段 AB 的中点到准线的距离为 + = +1 = ，
8 2 8 8
故选：C
3 2．设抛物线C : y = 2 px p > 0 的焦点为 F ，准线为 l，点A 为抛物线C 上第一象限上的点， B 为 l上一点，
uuur 1 uuur
满足 AF = FB，则直线 AB 的斜率为（ ）
2
1
A 2． B． C．3 D．
3 2 24
【答案】D
【详解】如下图所示：
设点 A x p p 0 , y0 ，则 x0 > 0 ， y0 > 0，设点B - , t ，易知F ,02 2 ，
uuur p uuur uuur 1 uuurAF = - x , -y FB p p则 0 0 ， = - p, t ，由 AF = FB，可得 - x0 = - ，\ x0 = p ， 2 2 2 2
y2 = 2 p20 ，从而 y0 = 2 p，即点 A p, 2 p ，
2 p
因此，直线 AB kAB = k = = 2 2的斜率为 AF .
p p-
2
故选：D.
4．设 F 为抛物线C : x2 = 16y 焦点，A 是C 上的一点，B 0, -4 ， AB = 2 AF ，则满足条件的点A 的个数
为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】D
【详解】过点 A 作抛物线准线 y = -4 的垂线，垂足为 D，则 AF = AD ．又 AB = 2 AF ，∴ AB = 2 AD ，
ì
y 3 = x - 4
∴ ABD = 30°，∴直线 AB 的方程为 y 3= ± x - 4，联立方程组 í 3 ，化简可得
3 2 x =16y
2
x2 16 3
16 3
- x + 64 0 3= ，由 - - 4 64 < 0，可得直线 y = x - 4与抛物线没有交点，由对称性可得3 3 3
y 3= - x - 4与抛物线没有交点，故满足条件的点A 不存在.
3
故选：D．
二、多选题
5．已知抛物线 C： y2 = 2 px（p＞0）的焦点为 F，过 F 且斜率为 2 2 的直线交抛物线 C 于 A，B 两点，其
中点 A 在第一象限，若 | AF |= 3，则下列说法正确的是（ ）
A． p = 1 B． BF
3
=
2
uuur uuur
C．OA ×OB = 3 D．以 AF 为直径的圆与 y 轴相切
【答案】BD
【详解】过点 A 作 x 轴的垂线，垂足为 C，设直线 AB 的倾斜角为a ，
则 tana = 2 2 ，∵a 是锐角，\cosa
1
= ,sina 2 2= ，
3 3
p
∵ AF = 3,\ AC = AF sina = 2 2, FC = AF cosa =1
，\ A +1,2 2
2
，
∵点 A 在抛物线上，\ 2 2 2 = 2 p p +1 ，解得 p = 2 或 p = -4（舍）；
2
则抛物线方程为 y2 = 4x，直线 AB 的方程为 y = 2 2 x -1 ，准线方程为 x=-1，故 A 错误；
ìy
2 = 4x 1
联立方程 í ，解得 x = 或 x = 2（A 点的横坐标），
y = 2 2 x -1 2
1 1 3
∴B ,- 2 ，∴ BF = +1 = ，故 B 正确；
2 2 2
uuur
OA = 2,2 2 uuur,OB = 1 uuur uuur则 ,- 2 ,OAgOB =1- 4 < 0，故 C 错误；
2
3 AF 3
以 AF 为直径的圆的圆心坐标为 , 2
3
2 ，半径为 = ，圆心到
y 轴的距离为 ，与 y 轴相切，故 D 正
2 2 2
确.
故选：BD.
三、填空题
6．过抛物线 x2
3π
= 4y的焦点且倾斜角为 的直线被抛物线截得的弦长为 .
4
【答案】8
3π
【详解】抛物线 x2 = 4y的焦点为F 0,1 ，准线方程为 y = -1，直线 l的倾斜角为 ，
4
设直线 l与抛物线交于M , N 两点，
则直线 l的方程为 y = -x +1，代入 x2 = 4y得 y2 - 6y +1 = 0，
则M (x1， y1)， N (x2， y2 )， y1 + y2 = 6 ，
则 MN = MF + NF = y1 + y2 + 2 = 8，
故答案为：8
3r 27 2．在平面直角坐标系 xOy 中， r > 0，⊙M： x - r + y2 = 与抛物线 C： y2 = 4x有且仅有两个公共点，
4
uuur uuur
直线 l 过圆心 M 且交抛物线 C 于 A，B 两点，则OA ×OB = ．
【答案】0
【详解】因⊙M 与抛物线 C 有且仅有两个公共点，而⊙M 与抛物线 C 都关于 x 轴对称，因此，两个公共点
的横坐标相同，并且唯一，
ì 2
x 3r- r 2 + y2 = 2
由 í 4 消去 y 并整理得： x2 - 2(r 2)x
r
- + = 0，且 x 0 ，
y2 = 4x 4
ìr - 2 0
于是得 íΔ = 4(r - 2)2 - r 2 2 = 3r -16r
，解得 r = 4，
+16 = 0
即点M (4,0)，显然直线 l 不垂直于 y 轴，设直线 l 的方程为 x = ty + 4，
ìx = ty + 4
由 í 2 消去 x 并整理得： y
2 - 4ty -16 = 0，设 A(x1, y1), B(x2 , y2 )，则 y1 + y2 = 4t, y y = -16y 4x 1 2 ， =
uuur uuur y2 2 2
所以OA ×OB = x x + y y 1 y2 (-16)1 2 1 2 = × + y1 y2 = + (-16) = 0 .4 4 16
故答案为：0
四、解答题
8．已知点F 为抛物线C : y2 = 2 px( p > 0) 的焦点，点M 4, a 在抛物线上，且 FM = 6 .
(1)求抛物线C 的方程；
(2)过点 F 分别作两条互相垂直的直线与抛物线C 分别交于 A, B与 P,Q ，记VAFP,VBFQ 的面积分别为 S1, S2，
求S1 +S2的最小值.
【答案】(1) y2 = 8x
(2)32
p
【详解】（1）由 FM = 6，知 4 + = 6，
2
所以 p = 4 ，所以抛物线C 的方程为 y2 = 8x .
（2）由题意知直线 AB 与 PQ的斜率均不为 0，
设 A x1, y1 , B x2 , y2 , P x3 , y3 ,Q x4 , y4 , lAB : x = my + 2，
ìx = my + 2,
联立 í 2 消去 x 得 y
2 -8my -16 = 0 y + y
y = 8x, ，则 1 2
= 8m, y1y2 = -16 ，
因为 AB ^ PQ
1 8
，用- 替换m 得 y3 + ym 4
= - , y3 y4 = -16m
1 1 1+ m2
所以 S1 = AF × PF
1
= 1+ m2 y1 1+ 2 y3 = y y ，2 2 m 2 m 1 3
S 1 BF QF 1 1 m2 y 1 1+ m
2
2 = × = + 2 1+ 2 y4 = y y ，2 2 m 2 m 2 4
2 2
所以 S1 + S
1 1+ m
2 = y1 y3 + y2 y4 1+ m ∣y1y2 m m 3 y2 y4∣
1+ m2 1
= 16 16 1= + m 32 ，当且仅当 = m , m = ±1 m 时等号成立.m m
所以S1 +S2的最小值为 32.
一、单选题
x21 y
2
．已知双曲线 2 - 3 =1(a > 0)的一条渐近线过点 (2, 3) ，且双曲线的一个焦点在抛物线 y
2 = 2 px( p > 0)的
a
准线上，则 p 等于（ ）
A． 7 B． 2 7 C．2 D．1
【答案】B
【详解】解：由题意得：
x2 y2 3
因为双曲线 - =1的渐近线方程为 y = ± x
a2 3 a
把点（2，3 3）代入渐近线方程 y = x ，得 a = 2
a
x2 y2
所以双曲线方程为 - = 1，其焦点坐标为
4 3 （ 7，0）、（- 7，0）
p p
抛物线 y2 = 2 px( p > 0)的焦点坐标为（ ,0），准线方程为 x = -
2 2
因为双曲线的一个焦点在抛物线的准线上
p
所以- = - 7 p = 2 7
2
故选：B
P 1 2．已知点 , y1 ，Q 2, y 22 在抛物线C : y = 2 px x > 0 上，且与C 的焦点F 共线，则点 P ，Q到C 的准
2
线距离之和为（ ）
13 19
A．4 B． C
9
． D．
4 2 6
【答案】C
1
【详解】不妨设 y1 > 0 ， y2 < 0，则P , p ，Q 2, -2 p2 ．
p p - 0 -2 p - 0
又F ,0 ，由 P ，Q，F 共线，得2 1 p
= p ，
- 2 -
2 2 2
解得 p = 2 ，
所以抛物线C 的方程为 y2 = 4x，其准线方程为 x=-1，
1 p
所以点 P ，Q到C 的准线距离之和为 + + 2
p 1 5 9
+ = + 2 + p = + 2 = ．
2 2 2 2 2 2
故选：C．
2 uuuur uuur3．过抛物线C ： y = 4x的焦点F 的直线 l 与抛物线C 交于 P ，Q两点，与抛物线准线交于M ，且FM = 3FP，
uuur
则 FP =（ ）
3 2 4 3
A． B． C． D．
2 3 3 4
【答案】C
【详解】设准线与 x 轴交于点E ,作PA,QB 分别垂直准线于 A,B，
uuuur uuur uuuur uuur
因为FM = 3FP，所以 FM = 3 FP ，
故设 FP = t ,则 PM = 2t, PA = t, EF = p = 2 ,
因为PA//EF ，所以VPAM :VFEM ，
PM PA
所以 =
2t t
= t 4MF EF 即 ，解得 = ，3t 2 3
故选：C.
4 2．已知抛物线C : y = 2 px p > 0 ，F 为C 的焦点，过焦点F 且倾斜角为a 的直线 l与C 交于 A x1, y1 ，
B x2 , y2 两点，则下面陈述不正确的为（ ）
x x y y 3A． 1 2 + 1 2 = - p
2 B． AB
2 p
=
4 sin2 a
1 1 2 2
C． + =AF BF p D
p
．记原点为O，则 S△AOB = sina
【答案】D
p
【详解】解：由题意知，令直线 x = my + ， A x1, y1 ，B x2 , y2 ，与抛物线C : y2 = 2 px联立方程，消去 x2
2
得 y2 - 2 pmy - p2 = 0，所以 y1 + y2 = 2 pm y y p2
p p= - p， 1 2 ，所以 x1x2 = my1 + 2
my2 + = ，则
2 4
3 2 tana 1 πx1x2 + y1 y2 = - p ，故 A 正确；由 =
a ，所以 AB = AF + BF = x + x4 m 2 1 2
+ p
= m y1 + y2 + 2 p = 2 pm2 + 2 p = 2 p m2 +1 = 2 p 1 1 2 p+ = a π AB 2 p，当 = 时，经检验 = 亦成
tan2 a sin2 a 2 sin2 a
1 1 1 1 x + x + p
+ = + = 1 2 x1 + x + p= 2 =
立，故 B 确； AF BF x p x p p p
2
1 + 2 + x1 +
x + p p
2 2 2 2 2 x1x2 + x1 + x2 + 2 4
x1 + x2 + p x1 + x2 + p 2
p2 p 2
= p =
x x p x + x + p p ，故 C 正确；如图，作OE垂直 AB 于E ，则+ + +
4 2 1 2 4 2 1 2
2 π 2
S 1 1 2 p p p a = p△AOB = AB ×OE = 2 × ×sina = ，当 时，经检验 S△AOB = 亦成立，故 D 错误，2 2 sin a 2 2sina 2 2sina
故选：D.
二、多选题
5．已知抛物线C ： y2 = -4x ，过抛物线的焦点F 作倾斜角为q 的直线 l交C 于M ， N 两点，则（ ）
uuuur uuur
A．OM × ON = 3 （O为原点） B．若q = 45°，则 MN = 8
1 1
C． + =1 yMF NF D．以MF 为直径的圆与 轴相切
【答案】BCD
【详解】由题意可知抛物线C ： y2 = -4x 的焦点为F (-1,0) , p = 2 ，
设M (x1, y1), N (x2 , y2 ), x1 0, x2 0，
对于 A，当q = 90o 时，直线 l的方程为 x=-1，
uuuur uuur
此时不妨设M (-1,2), N (-1, -2) ,则OM ×ON = (-1,2) × (-1,-2) = -3，A 错误；
对于 B, q = 45°时，直线 l的方程为 y = x +1，
联立 y2 = -4x 得： x2 + 6x +1 = 0，
则 x1 + x2 = -6，故 MN = p - (x1 + x2 ) = 2 - (-6) = 8，B 正确；
对于 C，当q = 90o 时，直线 l的方程为 x=-1，
1 1 1 1
此时 + = + =1MF NF 2 2 ；
当q 90o时，设直线 l的方程为 y = k(x +1)，由题意知 k 0，
联立 y2 = -4x 得： k 2x2 + (2k 2 + 4)x + k 2 = 0，D =16(k 2 +1) > 0，
x x 2k
2 + 4
则 1 + 2 = 2 , x1x2 =1，k
1 1 1 1 2 - (x1 + x2 ) 2 - (x1 + x )
则 + = + = =
2
MF NF 1- x1 1- x2 (1- x1)(1- x2 ) 1- (x1 + x2 ) + x1x2
2k 22 + 4- 2
= k
2k 2
=1，
1 + 4- 2 +1k
1 1
综合以上可得 + =1MF NF ，C 正确；
对于 D, | MF |=1- x M , F
-1+ x
， 的中点的横坐标为 11 ，2
| -1+ x | 1- x 1
故M , F 的中点到 y 轴的距离为 1 = 1 = | MF |，
2 2 2
即以MF 为直径的圆与 y 轴相切,D 正确，
故选：BCD
三、填空题
6．已知抛物线 y2 = 4x与经过该抛物线焦点的直线 l在第一象限的交点为 A, A在 y 轴和准线上的投影分别为
AB
点B,C ， = 2BC ，则直线 l的斜率为 ．
【答案】 2 2
AB x
【详解】设 A(x0 , y0 )，则 AB = x 00 , BC =1，由 = = 2BC 1 ，所以 x0 = 2, y0 = 4 2 = 2 2 ，又焦点
F (1,0)，
所以直线 l k 2 2的斜率为 = = 2 2 ．
2 -1
故答案为： 2 2 .
π
7．已知抛物线 y2 = 4x的焦点为 F，点P,Q 在抛物线上，且满足 PFQ = ，设弦 PQ的中点 M 到 y 轴的距
3
PQ
离为 d，则 的最小值为 ．
d +1
【答案】1
【详解】由抛物线 y2 = 4x可得准线方程为 x=-1，
设 | PF |= a,| QF |= b, (a > 0,b > 0)，由余弦定理可得
| PQ |2 =| PF |2 + | QF |2 -2 | PF | × | QF | cos PFQ = a2 + b2 - ab ,
由抛物线定义可得 P 到准线的距离等于 PF ，Q 到准线的距离等于 | QF |，
PQ 1 (| PF | | QF |) 1M 为 的中点，由梯形的中位线定理可得 M 到准线 x=-1的距离为 + = (a + b)，
2 2
则弦 PQ
1
的中点 M 到 y 轴的距离 d = (a + b) -1，
2
| PQ |2 4 a
2 + b2 - ab 4 (a + b)
2 - 3ab
故 = =
(d +1)2 (a + b)2 (a + b)2
，
a 0,b 0, ab a + b , (a + b)
2
又 > > \ \ab ，
2 4
3(a + b)2
| PQ |2 (a + b)
2 -
则 4 4 =1，当且仅当 a = b时，等号成立，
(d +1)2 (a + b)2
PQ
所以 的最小值为 1，
d +1
故答案为：1
四、解答题
8．已知抛物线C : y2 = 2 px p > 0 ，O为坐标原点，焦点在直线 2x + 4y -1 = 0上．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)过点 4,0 作动直线 l 2与抛物线C 交于M ， N 两点，直线OM ，ON 分别与圆 x -1 + y2 =1交于点 P ，Q
两点（异于点O），设直线OM ，ON 斜率分别为 k1， k2 ．
①求证： k1 × k2 为定值；
②求证：直线 PQ恒过定点．
【答案】(1) y2 = 2x
(2)①证明见解析；②证明见解析
1
【详解】（1）易知直线 2x + 4y -1 = 0与 x 轴交于 ,0 ，
2
1
即焦点坐标为 ,0 ，
2
p 1
所以 = ， p = 1，
2 2
则抛物线方程为 y2 = 2x．
（2）①设直线MN 方程为 x = my + 4，M x1, y1 ， N x2 , y2 ，
ìx = my + 4
联立方程组 í 2 ，得 y
2 - 2my - 8 = 0，
y = 2x
ìy2 = 2x
y y = -8 í 1 1所以 1 2 ，又 ，
y
2
2 = 2x2
y2 2所以 1 y2 = 4x1x2 = 64，即 x1x2 =16 ，
k k y1 y× 2 -8 1则 1 2 = × = = -x ．1 x2 16 2
②设直线 PQ方程为 x = ty + n ，P x3 , y3 ，Q x4 , y4
ìx = ty + n
联立方程组 í 2 2 ，得
(t 2 +1)y2 + 2t(n -1)y + n2 - 2n = 0，
x -1 + y =1
y y 2t(n -1)+ = - n
2 - 2n
所以 3 4 2 ， y y =t +1 3 4 t 2
，
+1
k × k y= 3 y× 4 y= 3 y4 y3 y4 11 2 = = -x3 x4 (ty3 + n)(ty4 + n) t
2 y 2 ．3 y4 + nt(y3 + y4 ) + n 2
n - 2 1 4 4
整理得 = - ， n = ，所以直线 PQ过定点 ,03 ．n 2 3
