第一章 空间向量与立体几何 单元测试
（时间：120 分，满分：150 分）
一、单选题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
uuur uuur
1．在空间四边形 ABCD 中，若向量 AB =（﹣3，5，2），CD =（﹣7，-1，﹣4），点 E，F 分别为线段 BC，
uuur
AD 的中点，则EF 的坐标为（ ）
A．（2，3，3） B．（﹣2，﹣3，﹣3）
C．（5，﹣2，1） D．（﹣5，2，﹣1）
【答案】B
【详解】如图，取 AC 中点M ，连接ME, MF , 如图，
uuur 1 uuurME AB ( 3 , 5
uuur uuur
则 = = - ,1)
1 7 1
, MF = CD = (- , - , -2) ,
2 2 2 2 2 2
uuur uuur uuur
而EF = MF - ME = (-2,-3,-3) ,
故选：B
2．已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 ，棱长为 1，E ，F 分别为棱 AB ，CC1 的中点，则（ ）
A．直线 AD1 与直线 EF 共面 B． A1E 不垂直于 AF
C．直线 A1E
1
与直线 BF 的所成角为 60° D．三棱锥C1 - ADF 的体积为12
【答案】D
【详解】如图，以D为原点，以DA，DC ，DD1所在直线分别为 x ， y ， z 建立空间直角坐标系，
则D 0,0,0 ， A 1,0,0 ，B 1,1,0 ，C 0,1,0 ，D1 0,0,1 ， A1 1,0,1 ，B1 1,1,1 ，C1 0,1,1 E
， 1,
1 ,0 ÷，
è 2
F 0,1, 1 2 ÷
，
è
对于 A，假设直线 AD1 与直线 EF 共面，
∵平面 ABB1A1 / / 平面DCC1D1 ，平面 AEFD1 I平面 ABB1A1 = AE ，平面DCC1D1 I 平面 ABB1A1 = D1F ，
∴ AE / /D1F ，
∵ AE / /C1D1，
∴C1D1 / /D1F ，矛盾，
∴直线 AD1 与直线 EF 不共面，A 错误；
uuur
A E 0, 1
uuur
对于 B，∵ 1 = , -1
AF = 1÷， -1,1,
2 ÷
，
è è 2
uuur uuur
∴ A1E × AF 0
1 1
= + - = 0 ，
2 2
uuur uuur
∴ A1E ^ AF ，
∴ A1E ^ AF ，B 错误，
对于 C，设直线 A1E 与直线 BF 所成的角为q ，
uuur 1 uuurA E = 0, , 1 BF 1,0, 1- = - ∵ 1 ， ，
è 2 ÷ 2 ÷ è
uuur uuur 1
uuur uuur A1E × BF
∴ cosq = cos A1E, BF = uuur uuur 2
2 1
= = ，
A1E BF 1 1 5 2+1 1+
4 4
∴q 60°，
∴C 错误，
对于 D，∵ AD ^ 平面DCC1D1 ，
∴V
1
C - ADF = VA-C DF = SVC DF × AD
1 1 1
= 1 1 1= ，D 正确．
1 1 3 1 3 2 2 12
故选：D．
uuur 1 uuuurABC A B C uuur3．已知三棱柱 - 1 1 1 ，点 P 为线段 B1C1 上一点，且B1P = B3 1
C1 ，则 AP =（ ）
1 uuur uuur 1 uuurAB AC AA AB 1 AC 1A． + + 1 B． + + AA2 2 2 2 1
1 uuurAB 2
uuur uuur 2 uuur 1 uuur uuur
C． + AC - AA1 D． AB + AC + AA3 3 3 3 1
【答案】D
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
【详解】由题意得 AP = AB + BP = AB + BB1 + B1P，
uuur 1 uuuur uuur uuur uuur uuur uuur 1 uuuur uuur uuur 1 uuur
因为B1P = B1C1 ， BB1 = AA1 ，所以 AP = AB + AA1 + B1C1 = AB + AA + BC3 3 1 3
uuur uuur 1 uuur uuur 2 uuur uuur 1 uuur= AB + AA1 + AC - AB = AB + AA1 + AC .3 3 3
故选：D.
4．下列命题正确的是（ ）
A．| a |-|
|<| b a -
b |是向量 a ， b 不共线的充要条件
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
B．在空间四边形 ABCD 中， AB ·CD + BC · AD + CA · BD =0
uuur uuur 1
C．在棱长为 1 的正四面体 ABCD 中， AB · BC = 2
uuur 1 uuur 2 uuur uuur
D．设 A B C 三点不共线，O 为平面 ABC 外一点，若OP = OA + OB + OC ，则 P A B C 四点共面
3 3
【答案】B
【详解】对于 A，由| a |-| b |<| a - b |，向量 a ， b 可能共线，比如同向的两个共线向量 a ， b 的模分别是
3 2 ，则| a |-| b |=| a - b |，故 A 错误；
对于 B，在空间四边形 ABCD 中，
uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur uuur
AB ·CD + BC · AD
+ CA · BD =（ AC + CB ）·CD - CB · AD - AC · BD
uuur uuur uuur uuur= AC ·（CD - BD ）+CB ·（CD - AD）
uuur uuur= AC ·CB + CB ·CA =0，故 B 正确；
uuur 1
对于 C，在棱长为 1 °的正四面体 ABCD 中， AB · BC =1 1 cos120 = - ，故 C 错误；2
uuur 1 uuurOP OA 2
uuur uuur
对于 D，因为 = + OB + OC
1 2
，而 + +1 = 2 1，所以 P A B C 四点不共面，故 D 错误.
3 3 3 3
故选：B
5．在三棱锥P - ABC 中，PC ^底面 ABC， BAC = 90o ， AB = AC = 4， PBC = 60o ，则点 C 到平面 PAB
的距离是 ( )
A 3 42 B 4 42 C 5 42 D 6 42． ． ． ．
7 7 7 7
【答案】B
【详解】Q在三棱锥P - ABC 中，PC ^底面 ABC， BAC = 90o ， AB = AC = 4， PBC = 60o ，
\以 A 为原点，AB 为 x 轴，AC 为 y 轴，
过 A 作平面 ABC 的垂线为 z 轴，建立空间直角坐标系，
则C(0, 4，0) ，P(0, 4， 4 6)， A(0, 0，0) ，
B(4, 0，0) ，
uuur uuur
AC = (0, 4，0) ， AB = (4, 0，0) ，
uuur
AP = (0, 4， 4 6)，
nr设平面 PAB 的法向量 = (x,y， z) ，
r uuurì n × AP = 4y + 4 6z = 0
则 í r uuur ，
n × AB = 4x = 0
r
取 z =1，得 n = 0, - 6,1 ，
uuur
AC ×nr
\ C PAB d 4 6 4 42点 到平面 的距离 = r = = ．n 7 7
故选 B．
6．已知在长方体ABCD - A1B1C1D1中，AB =1，BC = 2 ，AA1 = 4，E 是侧棱CC1的中点，则直线 AE 与平
面A1ED所成角的正弦值为 ( )
1 4 5 2
A． B． C． D．
3 9 9 3
【答案】B
【详解】
在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中， AB =1，BC = 2， AA1 = 4，E 是侧棱CC1的中点，
以D为原点，DA为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系，
A(2, 0，0) ，E 0,1, 2 ， A1(2,0， 4)，
D(0, 0，0) ，
uuur uuuur uuur
EA = 2, -1, -2 ，DA1 = (2, 0， 4)，DE = (0, 1， 2)，
r
设平面 A1ED 的法向量为 n = (x, y， z) ，
r uuuurì n × DA1 = 2x + 4z = 0 r
则 í r uuur ，取 z =1，得 n = -2, -2,1 ，
n × DE = y + 2z = 0
设直线 AE 与平面 A1ED 所成角为q ，
uuur
EA × nr
则 sinq
4 4
= uuur r = = ．EA × n 9 × 9 9
\ 4直线 AE 与平面 A1ED 所成角的正弦值为 ，故选 B．9
r r
7．已知直线m ， n的方向向量分别为 a = 1, -2,2 ，b = 1,3,0 ，则直线m ， n夹角的余弦值为（ ）
3 3
A 10 10．- B． C．- D．
6 6 5 5
【答案】B
r r
【详解】因为直线m ， n的方向向量分别为 a = 1, -2,2 ，b = 1,3,0 ，
r r r r
cos a,b a ×b所以 = r r
1- 6 10
= = -
a b 1+ 4 + 4 1+ 9 6 ，
则直线m n 10， 夹角的余弦值为 .
6
故选：B.
uuur uuur
8．在正三棱锥P - ABC 中，O是VABC 的中心，PA = AB = 2，则PO × PA = ( )
5 6 4 2 8A． B． C． D．
9 3 3 3
【答案】D
【详解】QP - ABC 为正三棱椎，O为VABC的中心，
∴PO ^平面 ABC ，△ABC 是等边三角形，∴PO⊥AO，
uuur uuur
∴PO ×OA = 0 AO 2 AB sin60o 2 3， = × × = ，
3 3
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
故PO × PA = PO × PO + OA = PO |2 = AP |2 - | AO |2 = 4 4 8- = ．3 3
故选：D.
二、多选题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
r
9．已知点P 1, -1,2 在平面a 内，平面a 法向量 n = 2,-1,2 ， 则下列点在a 内的是（ ）
A． 2,3,3 B． 3, -3,4 C． 1,3,4 D． 2,0,1
【答案】AC
uuur uuur r
【详解】对于 A 选项，记点 A 2,3,3 ，PA = 1,4,1 ，PA × n = 2 - 4 + 2 = 0 ，点 2,3,3 在平面a 内；
uuur
对于 B 选项，记点B uuur r3, -3,4 ，PB = 2,-2,2 ，PB ×n = 4 + 2 + 4 0，点 3, -3,4 不在平面a 内；
uuur uuur r
对于 C 选项，记点C 1,3,4 ，PC = 0,4,2 ，PC ×n = 0 - 4 + 4 = 0，点 1,3,4 在平面a 内；
uuur uuur r
对于 D 选项，记点D 2,0,1 ，PD = 1,1, -1 ，PD × n = 2 -1- 2 0，点 2,0,1 不在平面a 内.
故选：AC.
r
10．已知直线 l 的方向向量为 n = 1,2,-2 ， A 3,0,1 为直线 l 上一点，若点P 4,3,0 为直线 l 外一点，则 P
到直线 l 上任意一点 Q 的距离可能为（ ）
A．2 B． 3 C． 2 D．1
【答案】ABC
uuur uuur r
【详解】依题意， AP = 1,3, -1 ， | AP |= 12 + 32 + (-1)2 = 11 ，而直线 l 的方向向量为 n = 1,2,-2 ，
uuur r r
AP ×n =1 1+ 3 2 + (-1) (-2) = 9， | n |= 12 + 22 + (-2)2 = 3，
uuur uuur r
因此点 P l
AP ×n
到直线 的距离为 d = | AP |2 -( r )2 = 11- 32 = 2 ，即 PQ 的最小值为 2 ，
| n |
所以选项 A，B，C 可能，选项 D 不可能.
故选：ABC
11．已知 M，A，B，C 四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使 MA, MB, MC 成为空间的一个
基底的是（ ）
1 1 1
A OM = OA+ OB+ OC B ． ．
2 3 4 MA = MB+ MC
C ．OM = OA+ OB+ OC D．6OM = OA+ 2OB+ 3OC
【答案】AC
【详解】解：对于选项 ACD，由OM = xOA+ y OB+ z OC x + y + z =1 ，可得 M，A，B，C 四点共面，即
MA, MB, MC 共面，所以选项 A 中，MA, MB, MC 不共面，可以构成基底，选项 C 中，MA, MB, MC 不共面，
1 1 1
可以构成基底；选项 D 中，因为6OM = OA+ 2OB+ 3OC ，所以OM = OA+ OB+ OC ,可得 M，A，B，C6 3 2
四点共面，即MA, MB, MC 共面，无法构成基底，故选项 D 错误；
B B
对于选项 ，根据平面向量基本定理，选项 中，因为MA = MB+ MC ，得MA, MB, MC 共面，无法构成基
底，故选项 B 错误.
故选:AC.
12．如图，棱长为 2 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，E、F 分别为棱 A1D1、AA1的中点，G 为面对角线 B1C
上一个动点，则（ ）
A．三棱锥 A1 - EFG的体积为定值
B．线段 B1C 上存在点 G，使平面 EFG//平面 BDC1
C CG 3
1
．当 = CB4 1 时，直线 EG 与 BC1所成角的余弦值为 3
D 3 2．三棱锥 A1 - EFG的外接球半径的最大值为
2
【答案】ACD
1 1 1 1
【详解】对 A，VA1 -EFG = VG- A1EF = S3 VA1EF
A1B1 = 1 1 2 = ，故 A 正确；3 2 3
对 B，如图，以 D 为坐标原点，DA, DC, DD 所在方向分别为 x, y, z轴正方向建立空间直角坐标系，则1
A 2,0,0 , B 2,2,0 ,C 0,2,0 , D 0,0,0 , A1 2,0,2 ，B1 2,2,2 ,C1 0,2,2 , D1 0,0,2 , E 1,0,2 , F 2,0,1 ，
设平面BDC1 的法向量为m = x, y, z ，DB = 2,2,0 , DC1 = 0,2,2 ，
r uuurì m × DB = 0 ì2x + 2y = 0
所以 í r uuuur í2y + 2z 0，令 x=1，则= m = 1, -1,1m DC
.
× 1 = 0
EC = -1,2, -2 , CB1 = 2,0,2 , 设CG = l CB1 = 2l,0, 2l 0 l 1 ，
5
所以 EG = EC+ CG = 2l -1,2,2l - 2 ，若平面 EFG//平面 BDC1，则 m× EG = 2l -1- 2 + 2l - 2 = 0 l = ，4
故 B 错误；
1 1
对 C，设 EG 与 BC q
1所成角为 ，此时EG = , 2, -2 2 ÷
，BC1 = -2,0,2 ，è
EG× BC 2 1
所以 cosq =| cos < EG, BC >|=|
1
1 |= 3 = 3 .故 C 正确；| EG || BC1 | 2 22
对 D，因为 A1B1 ^平面 A1EF ，且 A1E = A1F ，所以根据球的性质容易判断，三棱锥 A1 - EFG的外接球球心
3 3
在过线段 EF 的中点且垂直于平面 ADD 1A1的直线上，记球心为O , t, ÷，由C 0,2,0 ，
è 2 2
CG = 2l,0, 2l 0 l 1 易得G 2l, 2, 2l 0 l 1 ,则外接球半径
2
r =| OA1 |=| OG |= t
2 1+ = 2 2l 3- + t - 2 2 t = 2l 2 - 3l + 2，2 è 2 ÷
2
而 t = 2l 2 - 3l 2 3 17 1 3+ = 2 t -
÷ + ，则当 l = 0 时， tmax = 2，即 rmax = 2
2 + = 2 .故 D 正确.
è 4 8 2 2
故选：ACD.
三、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．（2023 春·福建莆田·高二莆田华侨中学校考期末）如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中， BAC = 90°，
AA1 = A1B1 = A1C1 = 4
C E 1
，点 E 是棱CC 上一点，且 11 = ，则异面直线 ACE 3 1
B 与 AE 所成角的余弦值为 .
3 2
【答案】
10
【详解】解：如图建立空间直角坐标系，则 A1 0,0,0 ，B 4,0,4 ， A 0,0,4 ，E 0,4,1 ，所以
uuur uuur
A1B = 4,0,4 ， AE = 0,4,-3 ，设异面直线 A1B 与 AE 所成角为q ，则
uuur uuur
A1B × AE 4 -3
cosq = uuur uuur 3 2= =
A1B × AE 42 + 42 × 42 + -3 2 10
3 2
故答案为：
10
14．在空间直角坐标系中，点M (-2,4,-3)在 xOz平面上的射影为点M1 ，则M1 关于原点的对称点坐标
是 ．
【答案】 (2,0,3)
【详解】根据在 xOz平面上的点的性质可知，纵坐标为 0，其他坐标不变，
\ 点M 在 xOz平面上的射影M1 的坐标为 (-2,0,-3)，
M1 关于原点的对称点的坐标为 (2,0,3) ．
故答案为： (2,0,3)
uuur uuur
uuur uuur15．设向量 AB = 1,2,4 ，CD = m,1,1 ， AB ^ CD ，则实数m = .
【答案】-6
uuur uuur
【详解】因为 AB ^ CD ，
uuur uuur
所以 AB ×CD = m + 2 + 4 = 0，
解得m = -6 .
故答案为：-6 .
16．如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，点 P 在线段B1C 上运动，则下列结论正确的是 .
①直线 BD1 ^平面 A1C1D，
②三棱锥P - A1C1D 的体积为定值，
ép p ù
③异面直线 AP 与 A1D所成角的取值范围是 ê , 4 2 ú
④直线C1P与平面 A1C1D
6
所成角的正弦值的最大值为
3
【答案】①②④
【详解】对于①，连接 B1D1，则 A1C1 ^ B1D1，因为BB1 ^ 平面 A1B1C1D1， A1C1 平面 A1B1C1D1，所以
BB1 ^ A1C1，因为B1D1 BB1 = B1，B1D1, BB1 平面 BB1D1 ，所以 A1C1 ^ 平面 BB1D1 ，因为BD1 平面 BB1D1 ，
所以 A1C1 ^ BD1，同理可得DC1 ^ BD1，因为 A1C1 DC1 = C1， A1C1, DC1 平面 A1C1D，所以 BD1 ^平面
A1C1D，所以①正确，
对于②，因为 A1D∥B1C ， A1D 平面 A1C1D，B1C 平面 A1C1D，所以B1C ∥平面 A1C1D，因为点 P 在线段B1C
上运动，所以点 P 到平面 A1C1D距离为定值，因为VA1C1D的面积为定值，所以三棱锥P - A1C1D 的体积为定
值，所以②正确，
对于③，连接 AC, AB1，因为 A1D∥B1C ，所以异面直线 AP 与 A1D所成角即为 AP 与B1C 所成的角，因为
AC = CB1 = AB1 ，所以VACB
p
1为等边三角形，所以当点 P 位于C 点或B1点时， AP 与B1C 所成的角为 ，当3
点 P 位于B1C 的中点时， AP ^ B1C ，此时 AP 与B1C
p
所成的角为 ，所以异面直线 AP 与 A1D所成角的取值2
ép p ù
范围是 ê , ú，所以③错误， 3 2
对于④，如图，以D为原点，DA, DC, DD1所在的直线分别为 x, y, z轴，建立空间直角坐标系，设正方体的
棱长为 1，P(a,1,a)，则D(0,0,0), A1(1,0,1),C1(0,1,1)，
v uuuuvuuuur uuuur uuur r ìn × DA = x + z = 0
所以 DA1 = (1,0,1), DC1 = (0,1,1),C P = (a,0, a -1) AC D
n = (x, y, z) í uuuu11 ，设平面 1 1 的法向量为 ，则 v ， n
v × DC1 = y + z = 0
r
令 x =1，则 n = (1,1, -1)，
所以直线C1P与平面 A1C1D所成角的正弦值为
uuur r
Cuu1uPr × nr 1 1= =
C1P n 3 a2 + (a -1)2 23 2 a 1- 1
，
÷ +
è 2 2
1 6
当 a
1
= 时，直线C P
=
1 与平面 A1C1D所成角的正弦值最大，最大值为2 3 1
3 ，所以④正确，
2
故答案为：①②④
四、解答题（共 6 小题，17 题 10 分，其他每题 12 分，总分 70 分）
17．如图，在三棱锥P - ABC 中， AB = BC = 2，PA = PB = PC = 2，O 为 AC 的中点.
(1)证明：PB ^ AC ；
(2)再从条件① 条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角B - PC - A的余弦值及点 A 到平面 BPC
的距离.
① AC = 2 2 ；②PO ^ BC .
【答案】(1)证明见解析.
(2) 3 2 6二面角B - PC - A的余弦值为 ，点 A 到平面 BPC 距离为
3 3
【详解】（1）
证明：连接PO，OB，
因为 AB = BC ，所以OB ^ AC ，同理得：PO ^ AC ，
又因为 PO I OB = O，PO 平面POB ，BO 平面POB ，
所以 AC ^平面POB ，因为PB 平面POB ，
所以 AC ^ PB .
（2）选择①，
由题 AB2 + BC 2 = AC 2 ，所以 AB ^ BC ，同理得PA ^ PC ，
则OP = OB = 2 ，PO2 + OB2 = PB2 ，所以PO ^ OB ，由（1）可得PO ^ AC ，
所以OB，OC ，OP两两垂直，建立如图所示坐标系，
uuur uuur
则B( 2,0,0) ，C(0, 2,0)，P(0,0, 2) ， PB = ( 2,0,- 2) ， PC = (0, 2,- 2) ，
ur
设平面PBC 的一个法向量为 n1 = (x, y, z)，
uuur ur
ì PB ×n1 = 0 ì 2x - 2z = 0 ur
则 íuuur ur ，即 í ，取 n1 = (1,1,1)，
PC ×n1 = 0 2y - 2z = 0
uur uur uur
平面PAC 1 3的一个法向量 n2 = (1,0,0) ，可得， cos < n1,n2 >= = 3 ，3
所以二面角B - PC - A 3的余弦值为 .
3
uuur uur
uuur PA × n1 2 6
A(0, - 2,0)， PA = (0,- 2,- 2)，点A 到平面BPC 的距离 d = uur = 3 ，n1
A BPC 2 6所以 到平面 的距离为 .
3
选择②
由（1）得，PO ^ AC ，PO ^ BC ， AC 平面 ABC ，BC 平面 ABC ， AC IBC = C，所以
PO ^ 平面ABC ，
由题PA = PB = PC ，则BO = AO = CO，
可得VABC 为直角三角形， AB = BC = 2，得OB = OC = OA = 2 ，
所以OB，OC ，OP两两垂直，建立如图所示坐标系，
uuur uuur
则B( 2,0,0) ，C(0, 2,0)，P(0,0, 2) ， PB = ( 2,0,- 2) ， PC = (0, 2,- 2) ，
ur
设平面PBC 的一个法向量为 n1 = (x, y, z)，
uuur ur
ìPB ×n = 0 ì1 2x - 2z = 0 ur
则 íuuur ur ，即 í ，取 n1 = (1,1,1)，
PC ×n1 = 0 2y - 2z = 0
uur uur uur 1 3
平面PAC 的一个法向量 n2 = (1,0,0) ，可得， cos < n1,n2 >= = 3 ，3
所以二面角B - PC - A 3的余弦值为 .
3
uuur uur
uuur PA × n1 2 6
A(0, - 2,0)， PA = (0,- 2,- 2)，点A 到平面BPC 的距离 d = uur = 3 ，n1
所以 A 到平面 BPC 2 6的距离为 .
3
18．（用空间向量方法）如图，正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为 2，E 为棱CC1 的中点．
（1）求 AD1 与DB所成角的大小．
（2）求 AE 与平面 ABCD所成角的正弦值．
（3）求平面 AED1与平面 ABCD所成角的余弦值．
1
【答案】（1）60°，（2） ，（3 2） 3 .3
【详解】（1）如图，以D为坐标原点，以DC ，DA，DD1的在的直线分别为 x ， y ， z 轴，建立空间直角
坐标系，
则 D1 0,0,2 ，D 0,0,0 ， A 0,2,0 ，B 2,2,0 ．
uuuur uuur
所以 AD1 = (0, -2,2)，DB = (2, 2,0)，
设 AD1 与DB所成角为q ，则
uuuur uuur 0 - 2 2 + 0
cosq = cos AD , DB 11 = = ，
22 + 22 22 + 22 2
因为0° < q 90°，所以q = 60°，
所以 AD1 与DB成角为60°．
uuur
（2）因为E 2,0,1 ， A 0,2,0 ，所以 AE = (2,-2,1)，
r
平面 ABCD是一个法向量 n = 0,0,1 ，
设 AE 与平面 ABCD所成角为a ，则
uuur r uuur r
sina AE × n 1 1= cos AE, n = uuur r = = ，
AE n 4 + 4 +1 3
1
所以 AE 与平面 ABCD所成角的正弦值为 ．
3
（3） A 0,2,0 ，E 2,0,1 ， D1 0,0,2 ，
uuur uuuur
则 AE = 2,-2,1 ， AD1 = 0, -2,2 ，
ur
设平面 AED1的一个法向量m = x, y, z ，则
v uuuvì m × uAuEuuv= 2x - 2y = 0
ur
í ，令 x =1，则m = 1,2,2 ，
m
v × AD1 = -2y + 2z = 0
设平面 AED1与平面 ABCD所成角为b ，由图可知b 为锐角，则
ur r ur r
cos b cos m, n m= = ur × nr 2 2= =
m n 1+ 4 + 4 3
AED 2所以平面 1与平面 ABCD所成角余弦值为 3 ．
19．如图，在三棱锥 A - BCD中，已知VABD,VBCD 都是边长为 2的等边三角形，E 为BD中点，且 AE ^ 平
面BCD
BF
，F 为线段 AB 上一动点，记 = l .
BA
l 1（1）当 = 时，求异面直线DF 与BC 所成角的余弦值；
3
（2）当CF 与平面 ACD 15所成角的正弦值为 时，求l 的值.
10
5 28 1
【答案】（1） ；（2）l = .
56 2
【详解】连接 CE，以EB, EC, EA分别为 x, y, z轴，
建立如图空间直角坐标系，
则 A(0,0, 3), B(1,0,0),C(0, 3,0), D(-1,0,0)，
BF
因为 F 为线段 AB 上一动点，且 = l ，
BA
uuur uuur
则BF = lBA = l(-1,0, 3) = (-l,0, 3l)， 所以 F (1- l,0, 3l)．
1 2 3 uuur F ,0, DF 5
uuur
（1）当l = 时， ÷÷， = ,0,
3 ,CB = (1,- 3,0)，
3 è 3 3 è 3 3 ÷
÷
5
uuur uuur
cos(DF ,CBn 3 5 28= =
所以 2 ．
5
2 56
3 2 2 ÷ + ÷ × 1 + - 3
è 3 è 3
uuur
（2）CF = 1- l,- 3, 3l ，
设平面 ACD r的一个法向量为 n = x, y, z
r r ì (x, y, z) × (1,0, 3) = 0 ì x + 3z = 0 r
由 n ^ DA , n ^ DC得 í ，化简得 í ，取 n = ( 3,-1,-1)
(x, y, z) × (1, 3,0) = 0 x + 3y = 0
设CF 与平面 ACD所成角为q ，
uuur r 2 3 1- l 15
则 sinq = cosnCF , nn = = .
2
1- l 2 + 3 + 3l 5 10
l 1 1解得 = 或l = 2（舍去），所以l = ．
2 2
20．如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中， ACB = 90°， AC = BC = CC1，M 为 AB 的中点， D 在 A1B1 上且
A1D = 3DB1 ．
（1）求证：平面CMD⊥平面 ABB1A1；
（2）求直线CM 与平面CBD 所成角的正弦值．
2 34
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
17
【详解】（1）在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中， D 在 A1B1 上， AC = BC ，M 为 AB 的中点，则CM ^ AB，
因 AA1 ^ 平面 ABC ，CM 平面 ABC ，则CM ^ AA1，
而 AA1 I AB = A， AA1, AB 平面 ABB1A1，于是得CM ^平面 ABB1A1，又CM 平面CMD，
所以平面CMD ^平面 ABB1A1；
（2）依题意，以C 为原点，CA为 x 轴，CB为 y 轴，CC1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，如图，
令 AC = BC = CC1 = 4 ，则C(0，0，0)， B(0 ，4，0)， D(1，3，4)，M (2，2，0)，
uuur uuur uuuur
BD = (1， -1，4)， BC = (0 ，-4，0)，CM = (2， 2，0)，
r
设平面CBD 的法向量 n = (x ， y ， z)，
v uuuvìn·uBuDuv = x - y + 4z = 0 r则 í v ，取 z =1，得 n = (-4,0,1) ，
n·BC = -4y = 0
uuuur r uuuur r
sina cos CM ,n |uCuuMur × nr| | 2 (-4) | 2 34设直线CM 与平面CBD 所成角为a ， = < > = = =| CM | × | n | ，22 + 22 × (-4)2 +12 17
所以直线CM 与平面CBD 2 34所成角的正弦值 .
17
21．如图，已知四棱锥 P-ABCD，底面 ABCD 为菱形，AB＝ 2 3 ，∠ABC＝60°，PA⊥平面 ABCD，E，F
分别是 BC，PC 的中点.
（1）证明：AE⊥PD；
（2）若 H 为 PD 上的动点，EH 与平面 PAD 所成的角最大为 60°，求二面角 E-AF-C 的余弦值.
21
【答案】（1）证明见解析，（2）
7
【详解】（1）证明：因为四边形 ABCD 为菱形，∠ABC＝60°，
所以VABC 为正三角形，
因为E 为BC 的中点，所以 AE ^ BC ，
因为BC ∥ AD ，所以 AE ^ AD ，
因为 PA⊥平面 ABCD， AE 在平面 ABCD内，
所以PA ^ AE ，
因为 AP 在平面PAD 内， AD 在平面PAD 内，PA AD = A，
所以 AE ^ 平面PAD ，
因为PD在平面PAD 内，所以 AE ^ PD，
（2）解：以A 为原点， AE, AD, AP 分别为 x, y, z轴建立空间直角坐标系，设 AP = a ，
则 A(0,0,0), P(0,0, a), E(3,0,0),C(3, 3,0), D(0, 2 3,0), F (3 , 3 , a ) ，
2 2 2
uuur uuur
设PH = lPD ，点 H 为 (x, y, z)，则 (x, y, z - a) = l(0, 2 3, -a)，
uuur
所以H (0, 2 3l, (1- l)a) ，所以EH = (-3,2 3l, (1- l)a)，
设EH 与平面PAD 所成角为q ，
uur
因为平面PAD 的法向量为 n0 = (1,0,0)，
uuur uur
uuur uur EH ×n0 -3
所以 sinq = cos EH , n0 = uuur uur =
EH n 9 +12l 20 + (1- l)2 a2 ×1
3
=
a2 21a2 +12 9 ，(12 + a2 )(l - 22 ) +12 + a 12 + a2
因为EH 与平面PAD 所成角最大值为60°，
3 3
=
所以 21a2 +12 9 2 ，解得 a = 2，
12 + a2
uuur 3 3
所以 AF = ( , ,1)，
2 2
uuur
因为 AE = (3,0,0)，
ìr uuurr n 3 3× AF = x + y + z = 0
所以设平面 AEF 的法向量为 n = (x1, y , z )
1 1 1
1 1 ，则 í 2 2 ，
r uuur
n × AE = 3x1 = 0
令 y1 = 2，则 x1 = 0, z1 = - 3，
ur
同理可求得平面 ACF 的法向量为m = (1, - 3,0)，
ur r ur r
所以 cos m, n
mur × nr -2 3 21= = = -
m n 7 2 7
由图可知二面角 E-AF-C 为锐二面角，
所以二面角 E-AF-C 21的余弦值为
7
22．（2022·全国·高三专题练习）如图所示，在三棱锥 P - ABC 中， AB = BC = 2 2, PA = PB = PC = AC = 4，
O为 AC 的中点.
(1)证明：PO ^平面 ABC ；
(2)若点M 在棱BC 上，且二面角M - PA - C 为30o，求三棱锥 A - PMB 的体积.
【详解】（1）在三棱锥P - ABC 中，QPA = PC = AC = 4 ，O 为 AC 的中点.
\PO ^ AC ，且PO = 2 3 ，连接OB，
Q AB = BC = 2 2, AC = 4,\ AC 2 = AB2 + BC 2 ，得 AB ^ BC ，
则OB
1
= AC = 2，又PB = 4,\BO2 + PO2 = PB2 ，得PO ^ BO，
2
Q AC I BO = O，\PO ^ 平面 ABC.
（2）如图，以O为坐标原点，分别以OB,OC,OP所在直线为 x, y, z轴建立空间直角坐标系O - xyz.由已知得
O 0,0,0 , B 2,0,0 , A 0, -2,0 ,C 0, 2,0 , P 0,0, 2 3 ，
uuur
AP = uuur0,2,2 3 ，取平面PAC 的一个法向量OB = 2,0,0 .
uuuur
设M a, 2 - a,0 (0 < a 2)，则 AM = a, 4 - a,0 .
r
设平面PAM 的法向量为 n = x, y, z ，
ìnr
uuuv
× AP = 2y + 2 3z = 0
ínr
uuuuv
× AM = ax + 4 - a y = 0
r
取 z = -a ，得 n = 3a - 4 3, 3a,-a ，
Q二面角M - PA - C 为30o，
uuur 2 3 a - 4
\ cos OB, nr = = cos30o 3= ,
2 3(a - 4)2 + 3a2 + a2 2
4 2
a = -4 a = BM 2 4 4 2解得： （舍去）或 ，则3 = - ÷ + + 0 = 2
，所以
è 3 9 3
S 1 AB BM 1 2 2VABM = × = 2 2
4
= ，
2 2 3 3
\V 1 4A-PMB = VP- AMB = 2 3
8
= 3
3 3 9第一章 空间向量与立体几何 单元测试
（时间：120 分，满分：150 分）
一、单选题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
uuur uuur
1．在空间四边形 ABCD 中，若向量 AB =（﹣3，5，2），CD =（﹣7，-1，﹣4），点 E，F 分别为线段 BC，
uuur
AD 的中点，则EF 的坐标为（ ）
A．（2，3，3） B．（﹣2，﹣3，﹣3）
C．（5，﹣2，1） D．（﹣5，2，﹣1）
2．已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 ，棱长为 1，E ，F 分别为棱 AB ，CC1 的中点，则（ ）
A．直线 AD1 与直线 EF 共面 B． A1E 不垂直于 AF
1
C．直线 A1E 与直线 BF 的所成角为 60° D．三棱锥C1 - ADF 的体积为12
uuur uuuur
3．已知三棱柱 ABC A B C
1 uuur- 1 1 1 ，点 P 为线段 B1C1 上一点，且B1P = B1C1 ，则 AP =（ ）3
1 uuur uuur 1 uuur 1
A． AB + AC + AA1 B． AB + AC
1
+ AA
2 2 2 2 1
1 uuur 2 uuur uuur 2 uuur 1 uuur uuur
C． AB + AC - AA D． AB + AC + AA
3 3 1 3 3 1
4．下列命题正确的是（ ）
A．| a |-|
b |<|
a -
b |是向量 a ， b 不共线的充要条件
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
B．在空间四边形 ABCD 中， AB ·CD + BC · AD + CA · BD =0
uuur uuur 1
C．在棱长为 1 的正四面体 ABCD 中， AB · BC = 2
uuur 1 uuur 2 uuur uuur
D．设 A B C 三点不共线，O 为平面 ABC 外一点，若OP = OA + OB + OC ，则 P A B C 四点共面
3 3
5．在三棱锥P - ABC 中，PC ^底面 ABC， BAC = 90o ， AB = AC = 4， PBC = 60o ，则点 C 到平面 PAB
的距离是 ( )
A 3 42 B 4 42 C 5 42 D 6 42． ． ． ．
7 7 7 7
6．已知在长方体ABCD - A1B1C1D1中，AB =1，BC = 2 ，AA1 = 4，E 是侧棱CC1的中点，则直线 AE 与平
面A1ED所成角的正弦值为 ( )
1 4 5 2
A． B． C． D．
3 9 9 3
r r
7．已知直线m ， n的方向向量分别为 a = 1, -2,2 ，b = 1,3,0 ，则直线m ， n夹角的余弦值为（ ）
10 10 3 3A．- B． C．- D．
6 6 5 5
uuur uuur
8．在正三棱锥P - ABC 中，O是VABC 的中心，PA = AB = 2，则PO × PA = ( )
5 6 4 2 8A． B． C． D．
9 3 3 3
二、多选题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
r
9．已知点P 1, -1,2 在平面a 内，平面a 法向量 n = 2,-1,2 ， 则下列点在a 内的是（ ）
A． 2,3,3 B． 3, -3,4 C． 1,3,4 D． 2,0,1
r
10．已知直线 l 的方向向量为 n = 1,2,-2 ， A 3,0,1 为直线 l 上一点，若点P 4,3,0 为直线 l 外一点，则 P
到直线 l 上任意一点 Q 的距离可能为（ ）
A．2 B． 3 C． 2 D．1
11．已知 M，A，B，C 四点互不重合且任意三点不共线，则下列式子中能使 MA, MB, MC 成为空间的一个
基底的是（ ）
1 1
A．OM = OA+ OB
1
+ OC B ．
2 3 4 MA = MB+ MC
C D ．OM = OA+ OB+ OC ．6OM = OA+ 2OB+ 3OC
12．如图，棱长为 2 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，E、F 分别为棱 A1D1、AA1的中点，G 为面对角线 B1C
上一个动点，则（ ）
A．三棱锥 A1 - EFG的体积为定值
B．线段 B1C 上存在点 G，使平面 EFG//平面 BDC1
C CG 3
1
．当 = CB4 1 时，直线 EG 与 BC1所成角的余弦值为 3
D．三棱锥 A1 - EFG
3 2
的外接球半径的最大值为
2
三、填空题（共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13．（2023 春·福建莆田·高二莆田华侨中学校考期末）如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中， BAC = 90°，
AA = A B = AC = 4 C1E 11 1 1 1 1 ，点 E 是棱CC1 上一点，且 = ，则异面直线 A1B 与 AE 所成角的余弦值为 .CE 3
14．在空间直角坐标系中，点M (-2,4,-3)在 xOz平面上的射影为点M1 ，则M1 关于原点的对称点坐标
是 ．
uuur uuur uuur uuur
15．设向量 AB = 1,2,4 ，CD = m,1,1 ， AB ^ CD ，则实数m = .
16．如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，点 P 在线段B1C 上运动，则下列结论正确的是 .
①直线 BD1 ^平面 A1C1D，
②三棱锥P - A1C1D 的体积为定值，
ép p ù
③异面直线 AP 与 A1D所成角的取值范围是 ,
ê 4 2 ú
④直线C1P与平面 A1C1D
6
所成角的正弦值的最大值为
3
四、解答题（共 6 小题，17 题 10 分，其他每题 12 分，总分 70 分）
17．如图，在三棱锥P - ABC 中， AB = BC = 2，PA = PB = PC = 2，O 为 AC 的中点.
(1)证明：PB ^ AC ；
(2)再从条件① 条件②这两个条件中选择一个作为已知，求二面角B - PC - A的余弦值及点 A 到平面 BPC
的距离.
① AC = 2 2 ；②PO ^ BC .
18．（用空间向量方法）如图，正方体 ABCD - A1B1C1D1 的棱长为 2，E 为棱CC1 的中点．
（1）求 AD1 与DB所成角的大小．
（2）求 AE 与平面 ABCD所成角的正弦值．
（3）求平面 AED1与平面 ABCD所成角的余弦值．
19．如图，在三棱锥 A - BCD中，已知VABD,VBCD 都是边长为 2的等边三角形，E 为BD中点，且 AE ^ 平
面BCD
BF
，F 为线段 AB 上一动点，记 = l .
BA
l 1（1）当 = 时，求异面直线DF 与BC 所成角的余弦值；
3
15
（2）当CF 与平面 ACD所成角的正弦值为 时，求l 的值.
10
20．如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中， ACB = 90°， AC = BC = CC1，M 为 AB 的中点， D 在 A1B1 上且
A1D = 3DB1 ．
（1）求证：平面CMD⊥平面 ABB1A1；
（2）求直线CM 与平面CBD 所成角的正弦值．
21．如图，已知四棱锥 P-ABCD，底面 ABCD 为菱形，AB＝ 2 3 ，∠ABC＝60°，PA⊥平面 ABCD，E，F
分别是 BC，PC 的中点.
（1）证明：AE⊥PD；
（2）若 H 为 PD 上的动点，EH 与平面 PAD 所成的角最大为 60°，求二面角 E-AF-C 的余弦值.
22．如图所示，在三棱锥P - ABC 中， AB = BC = 2 2, PA = PB = PC = AC = 4，O为 AC 的中点.
(1)证明：PO ^平面 ABC ；
(2)若点M 在棱BC 上，且二面角M - PA - C 为30o，求三棱锥 A - PMB 的体积.
