14.3因式分解同步练习 人教版数学八年级上册（含解析）

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14.3因式分解
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ）．
A． B．
C． D．
2．下列变形，属因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
3．将用提公因式法分解因式，应提出的公因式是（ ）
A． B． C． D．
4．已知 y－x＝2，x－3y＝1，则 x2－4xy＋3y2 的值为( )
A．－1 B．－2 C．－3 D．－4
5．若是多项式因式分解的结果，则的值为（ ）．
A． B．3 C． D．6
6．一次课堂练习，小颖同学做了如下4道因式分解题，你认为小颖做得不够完整的一道题是
A．x3－4x2＋4x＝x（x2－4x＋4） B．x2y－xy2＝xy（x－y）
C．x2－y2＝（x－y）（x＋y） D．x2－2xy＋y2＝（x－y）2
7．多项式因式分解的结果是（ ）
A． B． C． D．
8．下列各式是因式分解且分解结果正确的是（ ）
A． B．
C． D．
9．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是( )
A． B． C． D．
10．下列因式分解结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题
11．因式分解： ．
12．分解因式： ．
13．有甲、乙、丙三种纸片若干张（数据如图，）．

（1）若用这三种纸片紧密拼接成一个边长为大正方形，则需要取乙纸片 张，丙纸片 张．
（2）若取甲纸片张，乙纸片张，丙纸片张紧密拼成一个长方形，则这个长方形的长为 ，宽为 ．
14．甲、乙两个大小不一样的正方形按如图所示的两种方式放置．，记图①中的阴影部分面积为，图②中的阴影部分面积为．
（1）若，则的值是 ；
（2）若，，则的值是 ．
15．已知关于x的多项式，下列四个结论：
①当时，，则；
②若，则多项式有一个因式是；
③若，则多项式的最小值是0；
④若，则．
其中正确的是 （填写序号）．
16．把多项式分解因式得，则 ．
17．已知，，则 ．
18．如图，将一张长方形纸板裁剪成十二块，其中有两块是边长都为m的大正方形，三块是边长都为n的小正方形，七块是长为m，宽为n的完全相同的小长方形．观察图形，可以发现代数式可以因式分解为 ．
19．已知a＋b＝5，a﹣b＝2，则a2﹣b2＝ ．
20．因式分解： ．
三、解答题
21．学习整式的乘法时可以发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题．

材料：如图，图形面积的两种计算方法如下，
第一种方法：
看成个正方形和个长方形的面积和，化简得．
第二种方法：
看成一个大的正方形计算面积，
得到一个等式．
根据上述材料的解题方法解决下列问题：
(1)如图是由边长分别为，的正方形和长为、宽为的长方形拼成的大长方形，根据图形的面积，可以把因式分解： ；
(2)①如图是由几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，得到的等式为 ；（求多个图形的面积和的式子要化简）
②已知，，利用①中所得到的等式，求代数式的值．
22．因式分解：
23．分解因式：
24．分解因式：（1） （2）
25．有足够多的长方形和正方形的卡片，如图①．

(1)如果选取1号，2号，3号卡片分别为1张，2张，3张（如图②），可拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．请画出这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系将多项式分解因式；
(2)小明想用类似的方法将多项式分解因式，那么需要1号卡片___________张，2号卡片___________张，3号卡片___________张．试画出草图，写出将多项式分解因式的结果．
参考答案：
1．A
【分析】本题考查了运用完全平方公式因式分解，根据完全平方公式逐一判断即可，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
【详解】、，能用完全平方公式分解因式，符合题意；
、不能用完全平方公式分解因式，不符合题意；
、不能用完全平方公式分解因式，不符合题意；
、不能用完全平方公式分解因式，不符合题意；
故选：．
2．A
【分析】依据因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式判断即可．
【详解】解：A、是因式分解，故此选项符合题意；
B、分解错误，故此选项不符合题意；
C、右边不是几个整式的积的形式，故此选项不符合题意；
D、分解错误，故此选项不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题主要考查的是因式分解的意义，掌握因式分解的定义是解题的关键．
3．C
【分析】根据确定公因式的方法进行判断即可．
【详解】解：将用提公因式法分解因式，应提出的公因式是，
故选：C．
【点睛】本题考查了用提取公因式进行因式分解，解题关键是明确公因式的确定方法．
4．B
【分析】先根据y-x=2，得出x-y=-2，再把x2-4xy+3y2分解为（x-y）（x-3y），最后把x-y=-2，x-3y=1代入即可.
【详解】解：∵y-x=2，x-3y=1，
∴x-y=-2，
∴x2-4xy+3y2=（x-y）（x-3y）=（-2）×1=-2.
故答案为B.
【点睛】本题考查了因式分解的应用；解题的关键是把x2-4xy+3y2分解为（x-y）（x-3y），在计算时要注意结果的符号.
5．C
【分析】先计算，由即可求得的值．
【详解】解：，
由题意得，，
，
，
故选：C．
【点睛】本题考查了多项式乘多项式，因式分解的定义，熟练掌握多项式的运算法则是解题的关键．
6．A
【分析】A．原式提取x，再利用完全平方公式分解得到结果，即可做出判断；
B．原式提取xy得到结果，即可做出判断；
C．原式利用平方差公式分解得到结果，即可做出判断；
D．原式利用完全平方公式分解得到结果，即可做出判断．
【详解】A．x3﹣4x2+4x=x（x2－4x+4）=x（x－2）2，过程不够完整．
B．x2y－xy2＝xy（x－y），正确；
C．x2－y2＝（x－y）（x＋y），正确；
D．x2－2xy＋y2＝（x－y）2，正确．
故选A．
【点睛】本题考查了提公因式与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键．
7．A
【解析】略
8．D
【分析】先正确利用因式分解的方法就那些分解因式，再判断即可．
【详解】解：A、，不是因式分解，故不符合；
B、，是因式分解，但不正确，故不符合；
C、，是因式分解，但不正确，故不符合；
D、，是因式分解，正确，故符合；
故选D．
【点睛】本题考查了因式分解的定义和因式分解的方法，能熟记知识点的内容是解此题的关键，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，因式分解的方法有：提取公因式法，公式法，十字相乘法等．
9．C
【分析】
】根据平方差公式解决此题．
【详解】A．无法分解因式，故此选项不合题意；
B．无法分解因式，故此选项不合题意；
C．，故此选项符合题意；
D．无法分解因式，故此选项不合题意；
故选：C．
【点睛】
此题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
10．D
【分析】根据因式分解－十字相乘法，提公因式法与公式法的综合运用，进行分解逐一判断即可．
【详解】解：A、，故本选项不符合题意；
B、，故本选项不符合题意；
C、，故本选项不符合题意；
D、，故本选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查了因式分解－十字相乘法，提公因式法与公式法的综合运用，一定要注意如果多项式的各项含有公因式，必须先提公因式．
11．
【分析】根据平方差公式因式分解即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握平方差公式因式分解是解题的关键．
12．
【分析】本题考查了因式分解，先提取公因式，再用平方差公式分解即可．
【详解】解：
；
故答案为：．
13． / /
【分析】（1）根据正方形的面积得出，即可求解；
（2）根据题意长方形的面积为，结合题意，即可求解．
【详解】解：（1）∵
∴需要取乙纸片张，丙纸片张
故答案为：，．
（2）依题意，，
∴这个长方形的长为，宽为，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了完全平方公式与图形面积，因式分解的应用，数形结合是解题的关键．
14． 20
【分析】（1）根据已知条件得到乙正方形的边长为，于是得到结论；
（2）根据阴影部分的面积可得，，两式相除得到a、b的关系，再代入求解即可．
【详解】解：（1）∵，
∴乙正方形的边长为，
∴，
故答案为：20；
（2）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
整理，得，
即，
∴或，
∴或（舍去）
∴，
故答案为：．

【点睛】本题考查了多项式与几何图形的面积以及因式分解，正确理解题意、灵活运用所学知识是解题的关键．
15．①②④
【分析】①将代入，即可判断；②当时，，即可判断；③，根据平方的非负性，即可判断；④当时，；时，，则，即可判断．
【详解】①将代入，得，所以①正确；
②若，则当时，，则多项式有一个因式是；所以②正确
③，
时，
时，
∴若，则多项式的最值是0，
所以③错误；
④
∴当时，
当时，
∴
∴
所以④正确
故答案为：①②④
【点睛】本题考查多项式求值、平方的非负性，因式分解的应用，解题的关键是明确．
16．
【分析】本题考查十字相乘法，掌握是正确解答的关键；根据十字相乘法得到，进而求出a、b的值即可．
【详解】解：由题意得：
解得，
故答案为：．
17．6
【分析】直接将已知提取公因式，进而分解因式得出答案．
【详解】解：，，
，
．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确将已知变形是解题关键．
18．
【分析】本题考查多项式乘多项式与几何图形的面积，因式分解．由图可知，是长方形纸板的面积，即可得出结论．
【详解】解：由图可知，长方形的两条邻边的长分别为：，，
∴长方形纸板的面积为：，
又长方形纸板的面积为：，
∴；
故答案为：．
19．10
【分析】根据平方差公式（）即可得．
【详解】解：，
，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了利用平方差公式进行运算、利用平方差公式进行因式分解，熟记平方差公式是解题关键．
20．
【分析】先提取公因式，后用公式法分解即可．
【详解】．
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握提取公因式，公式法分解因式是解题的关键．
21．(1)；
(2)①；②．
【分析】本题考查的知识点是因式分解的应用、完全平方公式，解题关键是利用图形面积的不同表示方法得到数学公式，再用代入法求值．
根据图的大长方形的长为：，宽为：，计算出面积，建立成等式即可求解；
①分别求出大正方形的面积、个正方形的面积和个长方形的面积，再建立等式的关系；②根据①中结果可得，代入求值即可．
【详解】（1）解：依图得：将该大长方形看作是长为，宽为的长方形计算面积可得，
另可将大长方形的面积看作个小正方形和个小长方形的面积和，即，
，
故答案为：．
（2）解：①依题得：该大正方形的边长为，则面积为，
另可将该大正方形的面积看作是三个小正方形和6个长方形的面积和，即，
，
故答案为：．
②，，
，
故的值为．
22．
【分析】运用平方差公式分解后再提取公因式．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题考查提公因式法与公式法的综合运用，，熟记分解方法是解题的关键，注意分解因式要分解到每个因式都不能再分解为止．
23．
【分析】先把第一二项相乘，第三四项相乘，然后把（x2＋x）看做一个整体，再利用多项式的乘法进行计算，再利用十字相乘法进行因式分解即可．
【详解】
=
=
令A=
原式=
=
=
=
∴原式==
【点睛】本题考查了运用十字相乘法进行因式分解，需要先利用整式的乘法整理，整体思想的利用使运算更加简便．
24．（1）；（2）
【分析】（1）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可；
（2）原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
．
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
25．(1)草图见解析，
(2)2，3，7，草图见解析，
【分析】（1）先根据题意画出图形，然后求出长方形的长和宽，长为，宽为，根据所画出图形从而得到；
（2）先根据，得到1号，2号，3号卡片的数量，再画出图形，根据所画出图形从而得到．
【详解】（1）解：如图所示，
或
．
（2）解： 1号卡片的面积为，2号卡片的面积为，3号卡片的面积为，
根据有2个，7个，3个，
需要1号卡片2张，2号卡片3张，3号卡片7张，
如图所示：
或
．
故答案为：2，3，7．
【点睛】本题主要考查了多项式乘多项式，因式分解，熟练掌握长方形的面积公式和正方形的面积公式以及多项式乘多项式的法则是解题的关键．
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