九年级数学下册试题 5.2.3 二次函数的图像与性质（y=ax2 bx c，a≠0）-苏科版（含详解）

5.2.3 二次函数的图像与性质（y=ax2+bx+c，a≠0）
一．单选题
1．抛物线y＝x2﹣2x﹣m2（m是常数）的顶点在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．将抛物线y＝2x2+2向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（　　）
A．y＝2（x+3）2+4 B．y＝2（x+3）2
C．y＝2（x﹣3）2+4 D．y＝2（x﹣3）2
3．将抛物线y＝x2﹣6x绕原点旋转180度，则旋转后的抛物线解析式为（　　）
A．y＝（x﹣3）2+9 B．y＝（x+3）2+9
C．y＝﹣（x+3）2+9 D．y＝﹣（x﹣3）2+9
4．关于二次函数y＝2x2+4x﹣1，下列说法正确的是（　　）
A．图象与y轴的交点坐标为（0，1）
B．当x＜1时，y的值随x值的增大而减小
C．图象的顶点坐标为（﹣1，﹣3）
D．图象的对称轴在y轴的右侧
5．函数数y＝ax+c与二次函数y＝ax2+bx+c在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
6．在同一平面直角坐标系中，若抛物线W1：y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与抛物线W2：y＝x2﹣（3m+n）x+n关于直线x＝﹣1对称，则抛物线W1上的点A（0，y）在抛物线W2上的对应点A′坐标是（　　）
A．（﹣2，8） B．（﹣2，10） C．（﹣2，12） D．（﹣2，14）
7．当a≤x≤a+1时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为（　　）
A．﹣1 B．2 C．0或2 D．﹣1或2
8．若二次函数y＝﹣x2+mx在﹣2≤x≤1时的最大值为5，则m的值是（　　）
A．﹣2或6 B．2或6 C．﹣或6 D．﹣或﹣2
二．填空题
9．二次函数y＝﹣（x﹣1）2+2（x﹣1）﹣3图象的顶点坐标为　　．
10．抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），对称轴是直线x＝﹣1，则a+b+c＝　　．
11．若二次函数y＝mx2+4x+m﹣1的最小值为2，则m的值是　　．
12．已知二次函数y＝x2﹣4x﹣6，若﹣1＜x＜6，则y的取值范围为　　．
13．a，b，c是实数，点A（a﹣1，b），B（a﹣2，c）在二次函数y＝x2﹣2ax+1的图象上，则b，c的大小关系是：b　　c（用“＞”或“＜”号填空）．
14．点A（a，m），B（2﹣a，m），P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是　　．
15．二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，有如下结论：
①abc＞0；②2a﹣b＝0；③3b+2c＞0；④am2+bm≤a﹣b（m为实数）．
其中正确结论是　　（只填序号）．
三．解答题
16．已知二次函数y＝﹣x2+x+4．
（1）试确定抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；
（2）x为何值时，y有最值？
（3）在如图所示的坐标系中，画出函数的图象，并说明该抛物线是由抛物线y＝﹣x2怎样平移得到的？
（4）根据图象回答，x取何值时，y＞0，y＝0，y＜0？
（5）根据图象回答，x取何值时，y随x的增大而增大？x取何值时，y随x的增大而减小？
17．已知二次函数y＝2x2﹣4x+3的图象为抛物线C．
（1）抛物线C顶点坐标为　　；
（2）将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线C1，请判断抛物线C1是否经过点P（2，3），并说明理由；
（3）当﹣2≤x≤3时，求该二次函数的函数值y的取值范围．
18．如图，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣1与y轴相交于点A，其对称轴与抛物线相交于点B，与x轴相交于点C．
（1）求AB的长；
（2）平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为P．若新抛物线经过原点O，且∠POA＝∠ABC，求新抛物线对应的函数表达式．
19．在平面直角坐标系中，已知抛物线G：y＝x2﹣2（k﹣1）x+k（k为常数）．
（1）若抛物线G经过点（2，k），求k的值；
（2）若抛物线G经过点（k+1，y1），（1，y2），且y1＞y2，求出k的取值范围；
（3）若将抛物线G向右平移1个单位长度，所得图象的顶点为（m，n），当k≥0时，求n﹣m的最大值．
20．已知点A（2，﹣3）是二次函数y＝x2+（2m﹣1）x﹣2m图象上的点．
（1）求二次函数图象的顶点坐标；
（2）当﹣1≤x≤4时，求函数的最大值与最小值的差；
（3）当t≤x≤t+3时，若函数的最大值与最小值的差为4，求t的值．
21．如图，已知抛物线y＝﹣x2+mx+3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点B的坐标为（3，0）．
（1）求m的值及抛物线的顶点坐标；
（2）点P是抛物线对称轴l上的一个动点，当PA+PC的值最小时，求点P的坐标．
（3）设点F是抛物线上一点，其横坐标为﹣2，在抛物线上是否存在一点M，使得AM被直线BF平分？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
22．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+4的图象与直线l交于A（﹣1，2）、B（3，n）两点，点P是x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线l于点M，交抛物线于点N，设点P的横坐标为m．
（1）b＝　　，n＝　　；
（2）将直线AB向上平移4个单位长度，分别与x轴、y轴交于点C、D，将线段MA绕点M顺时针旋转90°得到线段MF．当＜m＜3时，求△AMF与△DBC重叠部分的面积S与m的函数表达式．
答案
一．单选题
1．
【详解】解：∵y＝x2﹣2x﹣m2＝（x﹣1）2+（﹣m2﹣1），
∴顶点坐标为：（1，﹣m2﹣1），
∵1＞0，﹣m2﹣1＜0，
∴顶点在第四象限．
故选：D．
2．
【详解】解：将抛物线y＝2x2+2向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度所得图像解析式为：y＝2（x+3）2+2+2＝2（x+3）2+4．
故选：A．
3．
【详解】解：抛物线y＝x2﹣6x＝（x﹣3）2﹣9的顶点坐标为（3，﹣9），
抛物线y＝x2﹣6x绕原点旋转180度后抛物线的顶点坐标为（﹣3，9），并且开口方向相反，
∴旋转后的抛物线解析式为y＝﹣（x+3）2+9．
故选：C．
4．
【详解】解：∵y＝2x2+4x﹣1＝2（x+1）2﹣3，
∴当x＝0时，y＝﹣1，故选项A错误；
∵该函数的对称轴是直线x＝﹣1，当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，
∴当x＜1时，y随x的增大而减小是错误的，故选项B错误；
图象的顶点坐标为（﹣1，﹣3），故选项C正确；
图象的对称轴在y轴的左侧，故选项D错误．
故选：C．
5．
【详解】解：∵一次函数和二次函数都经过y轴上的（0，c），
∴两个函数图象交于y轴上的同一点，排除A；
当a＞0时，二次函数开口向上，一次函数经过一、三象限，排除B；
当a＜0时，二次函数开口向下，一次函数经过二、四象限，排除C；
故选：D．
6．
【详解】解：∵抛物线W1：y＝x2+（2m﹣1）x+2m﹣4与抛物线W2：y＝x2﹣（3m+n）x+n关于直线x＝﹣1对称，
∴（﹣+）＝﹣1，抛物线W1上的点A（0，y）在抛物线W2上的对应点A′坐标是（﹣2，y），
∴m+n＝﹣5，
∵抛物线W1上的点A（0，y）在抛物线W2上的对应点A′坐标是（﹣2，y），
∴2m﹣4＝4+2（3m+n）+n，
∴4m+3n＝﹣8，
解得：m＝7，
∴y＝2m﹣4＝10，
∴在抛物线W2上的对应点A′坐标是（﹣2，10）．
故选：B．
7．
【详解】解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，解得：x1＝0，x2＝2，
∵当a≤x≤a+1时，函数有最小值1，
∴a＝2或a+1＝0，即a＝2或a＝﹣1．
故选：D．
8．
【详解】解：∵y＝﹣x2+mx，
∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为x＝﹣＝，
①当≤﹣2，即m≤﹣4时，当x＝﹣2时，函数最大值为5，
∴﹣4﹣2m＝5，解得：m＝﹣4.5；
②当≥1，即m≥2时，当x＝1时，函数最大值为5，
∴﹣1+m＝5，解得：m＝6；
③当﹣2＜＜1，即﹣4＜m＜2时，当x＝时，函数最大值为5，
∴﹣+＝5，解得：m＝2（舍去）或m＝﹣2（舍去）．
综上，m＝﹣4.5或m＝6．
故选：C．
二．填空题
9．
【详解】解：∵y＝﹣（x﹣1）2+2（x﹣1）﹣3＝﹣（x﹣2）2﹣2，
∴次函数y＝﹣（x﹣1）2+2（x﹣1）﹣3的顶点坐标为（2，﹣2）．
故答案为：（2，﹣2）．
10．
【详解】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），对称轴是直线x＝﹣1，
∴y＝ax2+bx+c与x轴的另一交点为（1，0），
∴a+b+c＝0．
故答案为：0．
11．
【详解】解：∵y＝mx2+4x+m﹣1的对称轴为x＝﹣，
∴当x＝﹣时，y有最小值，
∴m （﹣）2﹣4×+m﹣1＝2，
整理得：m2﹣3m﹣4＝0，解得：m＝﹣1或m＝4，
又∵函数有最小值，
∴m＝4．
故答案为：4．
12．【详解】解：y＝x2﹣4x﹣6＝x2﹣4x+4﹣10＝（x﹣2）2﹣10，
∴当x＝2时，y有最小值，最小值为﹣10．
∵﹣1＜x＜6，
∴当x＝6时，y有最大值，最大值为y＝（6﹣2）2﹣10＝6，
∴y的取值范围为﹣10≤y＜6．
故答案为：﹣10≤y＜6．
13．
【详解】解：∵点A（a﹣1，b），B（a﹣2，c）在二次函数y＝x2﹣2ax+1的图象上，
∴对称轴为直线x＝﹣＝a，
∵二次函数y＝x2﹣2ax+1的图象开口向上，
∴x＜a时，y随x的增大而减小，
∵a﹣1＞a﹣2，
∴b＜c．
故答案为：＜．
14．
【详解】解：∵点A（a，m），B（2﹣a，m）在二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象上，
∴对称轴为直线x＝＝1，
∵二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象开口向下，
∴x＞1时，y随x的增大而减小，
∵P1（﹣1，y1），P2（3，y2），P3（5，y3）均在二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象上，
∴P1（﹣1，y1）关于对称轴的对称点（3，y1）也在二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象上，
∵3＝3＜5，
∴y1＝y2＞y3．
故答案为：y1＝y2＞y3．
15．
【详解】解：∵开口向下，∴a＜0，
∵抛物线和y轴的正半轴相交，∴c＞0，
∵对称轴为x＝﹣＝﹣1，∴b＝2a＜0，
∴abc＞0，故①正确；
∵b＝2a，∴2a﹣b＝0，故②正确；
∵当x＝1时，a+b+c＜0，b＝2a，
∴b+b+c＜0，即3b+2c＜0，故③错误；
∵当x＝﹣1时，二次函数有最大值，
∴对任意m有am2+bm+c≤a﹣b+c，
∴am2+bm≤a﹣b，故④正确．
故答案为：①②④．
三．解答题
16．解：y＝﹣x2+x+4＝﹣（x﹣1）2+，
（1）抛物线的开口方向向下、顶点坐标（1，），对称轴为x＝1；
（2）当x＝1时，y有最大值，最大值为；
（3）如图所示：
y＝﹣x2向右平移1个单位，向上平移个单位即可得到：y＝﹣x2+x+4．；
（4）由图象或﹣x2+x+4＝0得：x1＝﹣2，x2＝4，
∴当x＜﹣2或x＞4时，y＞0，
当x＝﹣2或4，y＝0，
当﹣2＜x＜4时，y＜0；
（5）当x＜1时，y随x的增大而增大，当x＞1时，y随x的增大而减小．
17．解：（1）∵y＝2x2﹣4x+3＝2（x﹣1）2+1，
∴抛物线C的开口向上，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，1）．
故答案为：（1，1）；
（2）∵将抛物线C先向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到抛物线C1，
∴C1：y＝2x2+3，
把x＝2代入得：y＝2×22+3＝11≠3，
∴抛物线C1不经过点P（2，3）；
（3）∵y＝2（x﹣1）2+1，
∴当x＞1时，y随x的增大而增大，当x＜1时，y随x的增大而减小，
当x＝1时，y＝1，
当x＝﹣2时，y＝19，
当x＝3时，y＝9，
∴当﹣2≤x≤3时，二次函数的函数值y的取值范围为1≤y≤19．
18．解：（1）令x＝0，则y＝﹣1，
∴A（0，﹣1），
∵y＝x2﹣2x﹣1＝（x﹣1）2﹣2，
∴B（1，﹣2），
∴AB＝＝；
（2）∵A（0，﹣1），顶点B（1，﹣2），
∴①抛物线向上平移1个单位经过原点，此时四边形ABPO是平行四边形，∠POA＝∠ABC，
此时新抛物线对应的函数表达式为y＝x2﹣2x；
②抛物线y＝x2﹣2x关于y轴对称的抛物线为y＝x2+2x，图象经过原点，∠POA＝∠ABC．
综上，新抛物线对应的函数表达式为y＝x2﹣2x或y＝x2+2x．
19．解：（1）∵y＝x2﹣2（k﹣1）x+k的图象经过（2，k），
∴k＝4﹣4（k﹣1）+k，解得：k＝2；
（2）∵y1＞y2，
∴（k+1）2﹣2（k﹣1）（k+1）+k＞1﹣2（k﹣1）+k，
整理得：k2﹣4k＜0，解得：0＜k＜4；
（3）∵y＝x2﹣2（k﹣1）x+k的顶点坐标（k﹣1，），
∴将抛物线G向右平移1个单位长度，所得图象的顶点为（k，），
∴n﹣m＝﹣k＝﹣k2+2k﹣1＝﹣（k﹣1）2，
∵﹣1＜0，
∴n﹣m有最大值，当k＝1时，最大值为0．
20．解：（1）∵已知A（2，﹣3）是二次函数y＝x2+（2m﹣1）x﹣2m图象上的点，
∴4+4m﹣2﹣2m＝﹣3，解得：m＝﹣，
∴此二次函数的解析式为：y＝x2﹣6x+5＝（x﹣3）2﹣4，
∴顶点坐标为（3，﹣4）；
（2）∵抛物线开口向上，对称轴为x＝3，顶点坐标为（3，﹣4），
∴当x＝3时，y最小值＝﹣4，
当x＝﹣1时，y最大值＝12，
∴当﹣1≤x≤4时，函数的最大值与最小值的差为16；
（3）当t≤x≤t+3时，对t进行分类讨论，
①当t+3＜3时，即t＜0，y随着x的增大而减小，
当x＝t时，y最大值＝t2﹣6t+5，
当x＝t+3时，y最小值＝（t+3）2﹣6（t+3）+5＝t2﹣4，
t2﹣6t+5﹣（t2﹣4）＝4，整理得：﹣6t+9＝4，解得：t＝（不合题意，舍去）；
②当0≤t＜3时，顶点的横坐标在取值范围内，
∴y最小值＝﹣4，
i）当0≤t≤时，在x＝t时，y最大值＝t2﹣6t+5，
∴t2﹣6t+5﹣（﹣4）＝4，解得：t1＝1，t2＝5（不合题意，舍去）；
ii）当＜t＜3时，在x＝t+3时，y最大值＝t2﹣4，
∴t2﹣4﹣（﹣4）＝4，解得：t1＝2，t2＝﹣2（不合题意，舍去）；
③当t＞3时，y随着x的增大而增大，
当x＝t时，y最小值＝t2﹣6t+5，
当x＝t+3时，y最大值＝t2﹣4，
∴t2﹣4﹣（t2﹣6t+5）＝4，解得：t＝（（不合题意，舍去）．
综上所述，t＝1或2．
21．解：（1）把点B（3，0）代入解析式中得：0＝﹣32+3m+3，解得：m＝2，
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2+2x+3，
顶点坐标横坐标为：x＝﹣＝1，代入解析式中得：y＝4，
∴抛物线的顶点坐标为：（1，4）；
（2）∵根据A、B关于抛物线的对称轴对称，∴PA＝PB，
如图，连接BC交抛物线对称轴于点P，则此时PA+PC的值最小，
将x＝0代入y＝﹣x2+2x+3中，得y＝3，
∴点C的坐标为（0，3），
设直线BC的解析式为：y＝kx+b，
∴，解得：，
∴直线BC的解析式为：y＝﹣x+3，
将x＝1代入求得：y＝2，
∴P点坐标为（1，2）；
（3）存在，点M（，﹣）或M（，﹣），理由如下：
∵点F是抛物线上一点，其横坐标为﹣2，
∴y＝﹣4﹣4+3＝﹣5，
∴F（﹣2，﹣5），
设直线BF的解析式为y＝kx+b，将点B、F代入可得：
，解得：，
∴y＝x﹣3，
由点B（3，0）及对称轴为x＝1得：点A（﹣1，0），
设点M（m，﹣m2+2m+3），
∴线段AM的中点G坐标为（，），
∵直线BF平分线段AM，
∴直线BF过点G，代入y＝x﹣3，
＝﹣3，解得：m1＝，m2＝，
当m＝时，y＝﹣，
当m＝时，y＝﹣，
∴点M（，﹣）或M（，﹣）．
22．解：（1）将点A（﹣1，2）代入二次函数y＝﹣x2+bx+4得：﹣1﹣b+4＝2，
∴b＝1，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+4，
将点B（3，n）代入二次函数y＝﹣x2+x+4得：n＝﹣9+3+4＝﹣2，
故答案为：1，﹣2；
（2）设直线AB的解析式为y＝kx+c，
∵A（﹣1，2），B（3，﹣2），
∴，解得：，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+1，
∴直线AB向上平移4个单位长度后的解析式为y＝﹣x+5，
令y＝0，得0＝﹣x+5，解得：x＝5，∴C（5，0），
令x＝0，得y＝5，∴D（0，5），
∴直线BD的解析式为y＝﹣x+5，
∵直线AB的解析式为y＝﹣x+1，
∴直线AB与x轴的交点为（1，0），与y轴的交点为（0，1），
①当＜m＜1时，如图1，重叠部分为△FRT，
∵线段MA绕点M顺时针旋转90°得到线段MF，
∴△AFM是等腰直角三角形，
∴∠FAM＝45°，
∵直线AB与x轴、y轴的交点分别为（1，0）和（0，1），
∴直线AB与x轴的夹角为45°，
∴AF∥x轴，
∴点R的纵坐标为2，
∴R（，2），
∵AF＝AM＝ （xM﹣xA）＝ （m+1）＝2m+2，AR＝﹣（﹣1）＝，
∴RF＝AF﹣AR＝2m+2﹣＝2m﹣，
∵M（m，﹣m+1），F（2m+1，2），
∴直线FM的解析式为：y＝x﹣2m+1，
联立方程组得：，解得：，
∴T（，），
∴S＝×（2m﹣）×（2﹣）＝m2﹣m+；
②当1≤m＜3时，如图2，重叠部分为四边形RTHK，
∵点K的纵坐标为2，
∴K（3，2），AK＝4，
联立方程组得：，解得：，
∴H（m+2，﹣m+3），
∴S＝S△FRT﹣S△FKH＝S△FRT﹣×（AF﹣AK）
＝m2﹣m+﹣×（2m+2﹣4）×[2﹣（﹣m+3）]＝m2+m﹣．
综上，S＝．