2023-2024学年福建省福州市山海联盟协作体高一（下）期末数学试卷(含答案）

2023-2024学年福建省福州市山海联盟协作体高一（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数满足为虚数单位，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.已知一组数据为，，，，，，，，其平均数、第百分位数和众数的大小关系是( )
A. 平均数第百分位数众数 B. 平均数第百分位数众数
C. 第百分位数众数平均数 D. 平均数第百分位数众数
3.已知平面直角坐标系内两向量，，则“”是“向量与夹角为锐角”的_____条件( )
A. 充分必要 B. 充分不必要 C. 必要不充分 D. 既不充分也不必要
4.已知一正方形在斜二测画法下的直观图的面积是，则该正方形的面积为( )
A. B. C. D.
5.中国古代数学著作九章算术中，记载了一种称为“曲池”的几何体，该几何体的上下底面平行，且均为扇环形扇环是指圆环被扇形截得的部分，现有一个如图所示的曲池，它的高为，，，，均与曲池的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为和，对应的圆心角为，则该几何体的表面积为( )
A. B. C. D.
6.在三棱锥中，，，则三棱锥外接球的表面积是( )
A. B. C. D.
7.已知向量，满足，，向量在向量方向上的投影向量为，则( )
A. B. C. D.
8.在中，角，，所对的边分别为，，，下列结论正确的是( )
A. 若，则为锐角三角形
B. 若为锐角三角形，有，则
C. 若，，，则符合条件的有两个
D. 若，则为等腰三角形
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.在中，，，为的中点，则以下结论正确的是( )
A. B.
C. D.
10.某圆锥的底面半径为，母线长为，则下列关于此圆锥的说法正确的是( )
A. 圆锥的侧面展开图的圆心角为
B. 圆锥的体积为
C. 过圆锥的两条母线作截面的面积最大值为
D. 圆锥轴截面的面积为
11.如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点、，且，则下列结论中正确的是( )
A.
B. 平面
C. 三棱锥的体积为定值
D. 的面积与的面积相等
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.一只田径队有男运动员名，女运动员有名，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量为的样本如果样本按比例分配，则男运动员应抽取______名、女运动员应抽取______名
13.在张彩票中有张有奖，甲、乙先后从中各任取一张，则乙中奖的概率为______．
14.已知、、分别为的三个内角、、的对边，且，点是边上的中点，若，则的面积最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知．
求与的夹角；
若，且，求实数及．
16.本小题分
在中，，，．
求的面积；
求及的值．
17.本小题分
习近平总书记指出：“要健全社会心理服务体系和疏导机制、危机干预机制，塑造自尊自信、理性平和、亲善友爱的社会心态”在年新冠肺炎疫情防控阻击战中，心理医生的相关心理疏导起到了重要作用某心理调查机构为了解市民在疫情期的心理健康状况，随机抽取位市民进行心理健康问卷调查，按所得评分满分分从低到高将心理健康状况分为四个等级：
调查评分
心理等级 有隐患 一般 良好 优秀
并绘制如图所示的频率分布直方图已知调查评分在的市民为人．
求的值及频率分布直方图中的值；
在抽取的心理等级为“有隐患”的市民中，按照调查评分分层抽取人，进行心理疏导据以往数据统计，经过心理疏导后，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，调查评分在的市民心理等级转为“良好”的概率为，若经过心理疏导后的恢复情况相互独立，试问在抽取的人中，经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为“良好”的概率为多少？
心理调查机构与该市管理部门设定的预案是以抽取的样本作为参考，若市民心理健康指数平均值不低于，则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂根据你所学的统计知识，判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由每组数据以区间的中点值代替，心理健康指数问卷调查评分
18.本小题分
如图所示，正四棱锥中，为底面正方形的中心，侧棱与底面所成的角的正切值为．
求侧面与底面所成的二面角的大小；
若是的中点，求异面直线与所成角的正切值；
在的条件下，问在棱上是否存在一点，使侧面，若存在，试确定点的位置；若不存在，说明理由．
19.本小题分
在复数集中有这样一类复数：与，我们把它们互称为共轭复数，时它们在复平面内的对应点关于实轴对称，这是共轭复数的特点它们还有如下性质：
当时，为纯虚数
．
两个复数和、差、积、商分母非零的共轭复数，分别等于两个复数的共轭复数的和、差、积、商．
请根据所学复数知识，结合以上性质，完成下面问题：
设，求证：是实数；
已知，，，求的值；
设，其中，是实数，当时，求的最大值和最小值．
参考答案
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15.解：因为，
所以，
所以，
所以，
所以，
因为，
所以；
若，且，
则，
所以，即，
此时，
所以，
所以．
16.解：由且，则，
所以．
由，则，
而，则．
17.解：调查评分在的市民为人，
，
每组的纵坐标的和乘以组距为，
，解得．
调查评分在的频率为，调查评分在的频率为，
调查评分在的人数占调查评分在人数的，
若按分层抽样抽取人，则查评分在的人数为人，调查评分在人数为人，
经过心理疏导后的恢复情况相互独立，
选出的人经过心里辅导后，心里等级均达不到的概率为，
经过心理疏导后，至少有一人心理等级转为“良好”的概率为．
由频率分布直方图可得，
，
估计市民心里健康问卷调查的平均评分为，
市民心里健康指数平均值为，
只需发放心里指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动．
18.解：取中点，连接，，
因为面，所以，
依条件可知，平面，
所以平面，则，
则为所求二面角的平面角．
又面，
为侧棱与底面所成的角．
，
设，，
，
．

连接，，
，
为异面直线与所成的角或其补角
，，平面，
平面．
又平面，
．
，
；
延长交于，取中点，连，，．
，，
平面
平面平面
又，，
为正三角形．
又平面平面，
平面
是的等分点，靠近点的位置．
19.解：证明：设，，，
，，
是实数；
设，
则，
，，，
；
又，
；
联立，解得，，
；
，设，，
则，
，
，
，．
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