苏科版八年级数学下册试题 11.2 反比例函数的图像与性质 （含详解）

11.2 反比例函数的图像与性质
一、单选题
1．函数y＝的图象大致是（　　）
A．B．C．D．
2．若函数的图像经过点，则下列各点中不在图像上的是（ ）.
A． B． C． D．
3．已知反比例函数，下列说法中正确的是（ ）
A．该函数的图象分布在第一、三象限 B．点在该函数图象上
C．随的增大而增大 D．该图象关于原点成中心对称
4．函数和在同一直角坐标系中的大致图像是（ ）
A．B．C． D．
5．正比例函数y＝kx和反比例函数的一个交点为（1，2），则另一个交点为（ ）
A．（－1，－2） B．（－2，－1） C．（1，2） D．（2，1）
6．点A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函数的图象上，若x1＜x2＜0，则（　　）
A．y2＞y1＞0 B．y1＞y2＞0 C．y2＜y1＜0 D．y1＜y2＜0
7．如图，函数y＝kx（k＞0）与函数的图象相交于A，C两点，过A作AB⊥y轴于B，连结BC，则三角形ABC的面积为（　　）
A．1 B．2 C．k2 D．2k2
8．若反比例函数在每个象限内的函数值y随x的增大而减小，则（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．已知反比例函数的图象经过点，则这个函数的图象位于第_______象限．
10．如图，正比例函数y＝k1x和反比例函数y＝图象相交于A、B两点，若点A的坐标是（3，2），则点B的坐标是___．
11．已知：是的反比例函数，当时，，当时，的取值范围是________．
12．在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图像交于，两点．若点，的纵坐标分别是，，则的值是________．
13．如图，已知函数，点A在正y轴上，过点A作轴，交两个函数的图象于点B和C，若，则k的值是_______．
14．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数的图象经过顶点D，分别与对角线AC，边BC交于点E，F，连接EF，AF．若点E为AC的中点， AEF的面积为1，则k的值为________．
三、解答题
15．已知：反比例函数的图象经过．
(1)求k的值；
(2)这个函数的图象在哪几个象限？y随x的增大怎样变化？
(3)画出函数的图象；
(4)点，在这个函数的图象上吗？
16．已知反比例函数（k为常数，）的图像经过点．
（1）求这个函数的表达式；
（2）判断点是否在这个函数的图像上，并说明理由；
（3）当时，直接写出y的取值范围_______．
17．如图，已知一次函数的图像与双曲线（为常数，）的图象相交于点，两点．
(1)求反比例函数和一次函数的解析式；
(2)求△的面积．
18．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图像上有一点，过点D作轴于点C，将点C向左平移2个单位长度得到点B，过点B作y轴的平行线交反比例函数的图像于点A，已知．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)设直线的解析式为（a，b为常数且）．则不等式的解集是__________．
19．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx+b的图象经过点A（2，0），B（0，1），交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点C（3，n），点E是反比例函数图象上的一动点，横坐标为t（0＜t＜3），EFy轴交直线AB于点F，D是y轴上任意一点，连接DE、DF．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)当t为何值时，△DEF为等腰直角三角形．
20．问题：我们已经知道反比例函数的图象是双曲线，那么函数y＝的图象是怎样的呢？
【经验】（1）我们在研究反比例函数的图象和性质的时候是从以下两个方面来探究的：
①由数想形：先根据表达式中x、y的数量关系，初步估计图象的基本概貌．如：形状（直线或曲线）；位置（所在区域、与直线或坐标轴的交点情况）；趋势（上升、下降）；对称性等．
②描点画图：根据已有的函数画图的经验，利用描点画图．
（2）我们知道，函数y＝的图象是如图1所示的两条曲线，一支在过点(﹣1，0)且平行于y轴的直线的右侧且在x轴的上方，另一支在过点(﹣1，0)且平行于y轴的直线的左侧且在x轴的下方．
【探索】请你根据以上经验，研究函数y＝的图象和性质并解决相关问题．
（1）由数想形： ； （请你写出两条）．
（2）描点画图：
①列表：如表是x与y的几组对应值，其中a＝ ；b＝ ；
x … ﹣7 ﹣6 ﹣5 ﹣4 ﹣2 ﹣1 0 1 2 4 5 6 7 …
y … a 2 3 6 ﹣6 ﹣3 b ﹣3 ﹣6 6 3 2 …
②描点：根据表中各组对应值(x，y)，在平直角坐标系中描出各点．
③连线：用平滑的曲线顺次连接备点，请你把图象（如图2）补充完整．
【应用】
观察你所画的函数图象，解答下列问题：
（3）若点A(a，c)，B(b，c)为该函数图象上不同的两点，则a+b＝ ；
（4）直接写出当≥﹣2时，x的取值范围为 ．
答案
一、单选题
1．B
【解析】
【分析】
根据反比例函数的性质，可以得到该函数图象在哪几个象限，从而可以解答本题．
【详解】
解：∵y＝，k＝2，
∴该函数的图象是位于第一、三象限的双曲线．
故选：B．
2．A
【解析】
【分析】
先由图象经过点A，确定k的值，然后再确定所给点的横纵坐标的积是否等于k即可．
【详解】
∵函数的图象经过点，
∴k=xy=（-3）×8=-24，
A. 4×6=24，故不在该函数图象上；
B. 3×( 8)= 24，在该函数图象上；
C. 4×( 6)=-24，在该函数图象上；
D. ( 4)×6=-24，在该函数图象上.
故选A.
3．D
【解析】
【分析】
根据反比例函数的解析式得出函数的图象在第二、四象限，函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，再逐个判断即可．
【详解】
解：A．∵反比例函数中-6＜0，
∴该函数的图象在第二、四象限，故本选项不符合题意；
B．把（2，3）代入得：左边=3，右边=-3，左边≠右边，
所以点（2，3）不在该函数的图象上，故本选项不符合题意；
C．∵反比例函数中-6＜0，
∴函数的图象在每个象限内，y随x的增大而增大，故本选项不符合题意；
D．反比例函数的图象在第二、四象限，并且图象关于原点成中心对称，故本选项符合题意；
故选：D．
4．B
【解析】
【分析】
根据题目中函数的解析式，利用一次函数和反比例函数图象的特点，可以解答本题．
【详解】
∵k<0，
∴函数的图象在第二、四象限，函数也必经过第二、四象限，
又∵函数过点(-1,0)，
∴的图象在第二、三、四象限，
故选：B．
5．A
【解析】
【分析】
根据反比例函数的关于原点对称的性质知，正比例函数y=2x和反比例函数的另一个交点与点（1，2）关于原点对称．
【详解】
解：∵正比例函数y=2x和反比例函数的一个交点为（1，2），
∴另一个交点与点（1，2）关于原点对称，
∴另一个交点是（-1，-2）．
故选：A．
6．C
【解析】
【分析】
由k＝2＞0，可得反比例函数图象在第一，三象限，根据函数图象的增减性可得结果．
【详解】
解：∵k＝2＞0，
∴此函数图象的两个分支分别位于一、三象限，且在每一象限内y随x的增大而减小，
∵x1＜x2＜0，
∴点A（x1，y1），B（x2，y2）位于第三象限，
∴y2＜y1＜0，
故选C．
7．B
【解析】
【分析】
设点A坐标，根据点A，C关于原点对称，可得出点C坐标，最后根据三角形的面积计算即可．
【详解】
设点A坐标，则点C坐标，
∵AB⊥y轴，
∴，
故选B．
8．C
【解析】
【分析】
根据反比例函数的性质，k＞0时，在每个象限内y随x增大而减小列不等式求解．
【详解】
解：∵反比例函数在每个象限内的函数值y随x增大而减小，
∴k-1＞0，
解得k＞1．
故选：C．
二、填空题
9．一、三
【解析】
【分析】
设这个反比例函数解析式为，把点A的坐标代入解析式求出k的值即可得解，再根据反比例函数图象的性质解答．
【详解】
解：设这个反比例函数解析式为，
∵反比例函数图象经过点A（-2，-2），
∴=-2，
∴k=4，
∴，
∵k=4＞0，
∴它的图象位于第一、三象限；
故答案为：一、三．
10．（﹣3，﹣2）
【解析】
【分析】
由于正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，所以A、B两点关于原点对称，由关于原点对称的点的坐标特点求出B点坐标即可．
【详解】
解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，
∴A、B两点关于原点对称，
∵A的坐标为（3，2），
∴B的坐标为（﹣3，﹣2）．
故答案为：（﹣3，﹣2）．
11．
【解析】
【分析】
首先设出函数解析式，再利用待定系数法把x=4，y=3代入解析式求得k的值，得到函数解析式后，因为k>0，所以图像在一三象限，且在每一象限内y都随x到增大而减小，据此可以求得y的取值范围．
【详解】
解：设函数解析式为：y=，
把x=4，y=3代入，
得k=12，
∴反比例函数的解析式为：y=．
∵k>0，
∴反比例函数y=的图像在一、三象限内，且y随x的增大而减小，
∴当2＜x＜3时，y的取值范围是4＜y＜6，
故答案为：412．0
【解析】
【分析】
根据正比例函数和反比例函数的性质，关于原点中心对称，则可知两点关于原点对称，进而根据关于原点对称的点的坐标特征即可求解．
【详解】
直线与反比例函数的图像关于原点中心对称，
点，关于原点中心对称，
．
故答案为：0．
13．
【解析】
【分析】
设B点坐标为(x，y)，根据AB:AC=1:3，即可得到C点坐标为( 3x，y)，再根据B、C两点的纵坐标相同求解即可.
【详解】
解：设B点坐标为(x，y)，
∵BC∥x轴，AB:AC=1:3，
∴C点坐标为( 3x，y)，
故，
解得k= 6.
故答案为：-6.
14．3
【解析】
【分析】
设A（a，0) ，表示出D（a，），再根据D、E、F都在函数图像上，以此表示出坐标，再由的面积为1，可知，列出等式即可求出结果．
【详解】
解：设A（a，0) ，
∵四边形ABCD是矩形，
∴D（a，），
∵矩形ABCD中，E为AC的中点，
则E也为BD的中点，
∵点B在x轴上，
∴ E的纵坐标为 ，
∴E （2a，），
∵E为AC的中点，
∴点C （3a，），
∴点F（3a，），
∵的面积为1，AE=EC，
∴ ，
∴，
解得：k＝3
故答案为：3．
三、解答题
15．(1)
解：∵反比例函数的图象经过点A（2，-4），
∴代入得：k=-4×2=-8；
(2)
∵反比例函数的解析式为，
k=-8＜0，
∴函数的图象在第二、四象限，在每个象限内，y随x增大而增大；
(3)
函数图像为：
(4)
∵，，
∴点B在函数图象上，C不在函数的图象上．
16．解：（1）反比例函数为常数，且的图象经过点，
，
该反比例函数解析式为：；
（2）点在函数图象上，理由如下：
由（1）知，．
点在这个函数的图象上；
（3）由（1）知，该反比例函数解析式为：，则该函数图象经过第二、四象限，且在第二象限内随的增大而增大．
当时，．
当时，，
在第二象限内，当时，．
17．(1)
双曲线过点，
，双曲线．
当时，，
．
，
．
(2)
由（1）知一次函数的解析式为，
当时，，．
，，
△的面积△△，
即△的面积．
18．
(1)
解：D（m,）,BC=2
∴OB=m-2， 又∵AB=4，AB⊥OC，
∴A（m-2，4），
反比例函数的图象上有A，D两点，
∴k=4×（m-2）=， 解得m=3，
∴k=4，
∴反比例函数的解析式为；
(2)
解：由（1）得：A（1,4），D（3,4），
∴不等式 的解集即不等式的解集，
所以结合图象可得：不等式的解集为0＜x＜1或x＞3．
故答案为：0＜x＜1或x＞3．
19．(1)
解：由题意得：，
解得，
∴，
∵点在一次函数图象上，
∴，
∴，
∴，
∴；
(2)
由题意得：，
，
∴，
①如图，当时，过作，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
整理得：，
解得：或，
∵，
∴；
②如图，当时，，
∴，
整理得：，
解得：或，
∵，
∴；
③如图，当时，，
∵等式同②，
∴；
综上所述，当或时，为等腰直角三角形．
20．解：探索：（1）由数想形：函数的图象关于轴对称；图象与轴的交点为，
故答案为函数的图象关于轴对称；图象与轴的交点为；
（2）描点画图：
①列表：把代入得，，
，
把入得，，
，
故答案为，；
②描点：根据表中各组对应值，在平直角坐标系中描出各点．
③连线：用平滑的曲线顺次连接备点，请你把图象补充完整如图．
应用：
（3）函数的图象关于轴对称，
而点，为该函数图象上两对称点，
所以；
故答案为0；
（4）由图象可知，当≥﹣2时，的取值范围为或或，
故答案为或或．