(共23张PPT)
人教版 八年级数学上
12.3 角平分线的性质
学习目标
1.经历用尺规作角平分线的过程,探究角平分线的性质的推导过程,掌握角平分线的性质并学会应用.(重、难点)
2.掌握角的平分线的判定,并能利用其证明角的平分线. (重、难点)
3.理解证明一个几何命题的过程.
合作探究---作一个角的平分线
思考:如图,是一个平分角的仪器,其中AB=AD,BC=DC.将点A放在角的顶点,AB和AD沿着角的两边放下,沿AC画一条射线AE,AE就是角平分线,你能说明它的道理吗
A
B
C
(E)
D
证明: 在△ACD和△ACB中
AD=AB(已知)
DC=BC(已知)
CA=CA(公共边)
∴∠CAD=∠CAB
∴AC平分∠DAB
∴ △ACD≌ △ACB(SSS)
如果我们用直尺、圆规作图工具,根据该角平分仪的设计思路,能作出一个角的平分线吗?
合作探究---作一个角的平分线
A
B
M
N
C
O
已知:∠AOB.
求作:∠AOB的平分线.
作法:
(1)以点O为圆心,适当的长为半径画弧,交OA于点M,交OB于点N.
(2)分别以点MN为圆心,大于
MN的长为半径画弧,两弧在∠AOB的内部相交于点C.
(3)画射线OC.射线OC即为所求.
合作探究---角平分线的性质
测量验证:取点P的三个不同的位置,分别过点P作PD⊥OA,
PE⊥OB,点D、E为垂足,测量PD、PE的长.将数据填入下表:
2.观察测量结果,猜想线段PD与PE的大小关系:__________
PD PE
第一次
第二次
第三次
P
PD=PE
如图:OC是∠AOB的平分线,点P是射线OC上的任意一点
猜想:角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
A
B
.
O
E
D
合作探究---角平分线的性质
已知:如图, ∠AOC=∠BOC,点P是OC上任意一点,PD⊥OA,PE⊥OB,
垂足分别为D,E.求证:PD=PE.
P
A
O
B
C
D
E
证明:
∵ PD⊥OA,PE⊥OB,
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °
在△PDO和△PEO中,
∠PDO= ∠PEO,
∠AOC= ∠BOC,
OP= OP,
∴ △PDO ≌△PEO(AAS)
∴PD=PE.
3.推理证明:角的平分线上的点到角的两边的距离相等
合作探究---角平分线的性质
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
★符号语言:
∵OP 是∠AOB的平分线,
∴PD = PE
PD⊥OA,PE⊥OB,
B
A
D
O
P
E
C
角的平分线的性质:
证明线段相等!.
合作探究---角平分线的性质
归纳总结:
一般情况下,我们要证明一个几何命题时,可以按照类似的步骤进行,即:
1.明确命题中的已知和求证;
2.根据题意,画出图形,并用符号表示已知和求证;
3.经过分析,找出由已知推出要证的结论的途径,写出证明过程.
小试牛刀
1.如图,点P是∠AOB的角平分线OC上的一点,PE⊥OB,垂足为点E,若PE=6,则点P到边OA的距离是_______.
6
A
B
.
O
E
C
P
2.如图,△ABC中,∠C=90°,AD是∠CAB的平分线,DE⊥AB于E.已知AC=8,DE=3,△ACD的面积为 .
A
E
D
C
B
12
小试牛刀
3.已知:如图,在△ABC中,AD是它的角平分线,且BD=CD,
DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分别为E,F.求证:EB=FC.
A
B
C
D
E
F
证明:∵AD是∠BAC的角平分线,
DE⊥AB, DF⊥AC,
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °
在Rt△BDE 和 Rt△CDF中,
DE=DF,
BD=CD,
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
∴ EB=FC.
合作探究---角平分线的判定
思考:我们知道,角平分线上的点到角的两边的距离相等.那么到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢?
猜测:到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
该命题什么是已知,什么是求证?
合作探究---角平分线的性质
已知:如图,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,PD=PE.
求证:点P在∠AOB的角平分线上.
证明:
作射线OP,
∴点P在∠AOB 角的平分线上.
在Rt△PDO和Rt△PEO 中,
OP=OP
PD= PE
B
A
D
O
P
E
∵PD⊥OA,PE⊥OB.
∴∠PDO=∠PEO=90°,
∴Rt△PDO≌Rt△PEO( HL).
∴∠AOP=∠BOP
合作探究---角平分线的性质
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
★符号语言:
B
A
D
O
P
E
C
角的平分线的判定:
判定角相等!.
∵ PD⊥OA,PE⊥OB,PD=PE.
∴点P 在∠AOB的平分线上.
典例精析
∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,
∴PD=PE.
同理,PE=PF.
∴PD=PE=PF.
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
证明:过点P作PD⊥AB于D,
PE⊥BC于E,PF⊥AC于F,
例1.如图,△ABC的角平分线BM,CN相交于点P。求证:点P到三边
AB、BC、CA的距离相等。
D
P
M
N
A
B
C
F
E
结论:三角形的三条角平分线交于一点,并且这点到三边的距离相等.
想一想,点P在角A的平分线上吗?这说明三角形的三条角平分线有什么关系?
小试牛刀
2.如图,在△ABC中,点O是△ABC内一点,
且点O到△ABC三边的距离相等.若∠A=60°,
则∠BOC的度数为 .
C
1.如图,∠BAC=66°,HE⊥AB于点E,HD⊥AC于D,
若EH=DH,则∠BOC的度数为( )
A.24° B.66° C.33° D.34°
A
D
B
C
E
H
120°
小试牛刀
3.如图,要在S区建一个贸易市场,使它到铁路和公路距离相等, 并且离公路与铁路交叉处500米,这个集贸市场应建在何处(比例尺为1︰20000)?
D
C
S
解:作夹角的角平分线OC,
截取OD=2.5cm ,
D即为所求.
O
实战演练
C
2.如图,在△ABC中,AN=MN,ME=MF,ME⊥AB于E,MF⊥AC于F,则三个结论①AB=AC;②AE∥MN
③△BME≌△CMN中正确的有 .
①、②
1.如图,∠C=∠D=90°,点E是CD的中点,BE是∠ABC
的平分线,且∠ABC=110°则∠EAD度数为( )
A.30° B.60° C.35° D.45°
D
C
E
A
B
A
B
C
M
N
E
F
实战演练
3.如图所示,在△ABC中,PE∥AB交BC于点E,PF∥AC交BC于点F,点
P是AD上一点,且点D到PE的距离与到PF的距离相等,判断AD是否
平分∠BAC,并说明理由.
解:AD平分∠BAC.理由如下:
∵D到PE的距离与到PF的距离相等,
∴点D在∠EPF的平分线上.
∴∠1=∠2.
∵PE∥AB,∴∠1=∠3.
同理,∠2=∠4.∴∠3=∠4,∴AD平分∠BAC.
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
3
4
1
2
P
实战演练
4.如图,△ABC的∠ABC的外角的平分线BD与∠ACB的的外角的平分线相CE交于点P,求证:点P到AB,BC,CA所在直线的距离相等.
证明:
过点P作PG⊥AE于G,PH⊥AD于H,PM⊥BC于M.
∵点P在∠BCE的平分线上,
∴PG=PM.
∵点F在∠CBD的平分线上,
∴PM=PH,
∴PG=PH=PM.
∴点P到AB,BC,CA所在直线的距离相等.
G
H
M
A
B
C
P
E
D
拓广探索
如图,∠B=∠C=90°,E是BC的中点,DE平分∠ADC,求证AE是∠DAB的平分线.
解:过点E作EP⊥AD于点P.
∵ ∠C=90°且DE平分∠ADC ,
∴ CE=PE.
∵ E是BC的中点
∴ CE=BE.
∴ PE=BE ∵∠B=90°, EP⊥AD
∴ AE是∠DAB的平分线.
E
D
C
B
A
P
课堂小结
本节课你收获了什么知识?(畅所欲言)
1.尺规作图,作已知角的角平分线的步骤是什么?
2.角平分线的性质是什么?如何用几何语言来表示?判定呢?
3.角平分线的性质和判定的作用是什么?
课后作业
习题12.3 课本教材第51页:1、2、3题
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