2023-2024学年北京市顺义区高一（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年北京市顺义区高一（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.已知向量，，那么向量可以是( )
A. B. C. D.
3.在中，已知，，，则( )
A. B. C. D.
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.以一个等腰直角三角形的直角边所在直线为轴，其余两边旋转一周形成的面围成一个几何体，若该等腰直角三角形的直角边长度为，则该几何体的体积为( )
A. B. C. D.
6.已知直线，，与平面，则下列四个命题中正确的是( )
A. 若，，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
7.下列函数中，以为最小正周期，且在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
8.一个人骑自行车由地出发向东骑行了到达地，然后由地向北偏西方向骑行了到达地，此时这个人由地到地位移的大小为，那么的值为( )
A. B. C. 或 D.
9.已知，且点是所在平面内的动点，满足则的最小值为( )
A. B. C. D.
10.如图，在扇形中，半径，圆心角，是上的动点点不与、及的中点重合，矩形内接于扇形，且，设矩形的面积与的关系为，则最大值为( )
A.
B.
C.
D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.设复数满足，则 ______．
12.在锐角中，，，的面积为，则 ______．
13.在长方形中，，，点满足，则 ______， ______．
14.已知函数为常数，的部分图象如图所示，则 ______；若将函数图象上的点向右平移个单位长度得到点，且点仍在函数的图象上，则的最小值为______．
15.已知正方体的边长为，且为棱的中点，点在正方形的边界及其内部运动，且满足与底面所成的角为，给出下列四个结论：
存在点使得；
点的轨迹长度为；
三棱锥的体积的最小值为；
线段长度最小值为．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知，是两个单位向量，其夹角为，，．
Ⅰ求，；
Ⅱ求与的夹角．
17.本小题分
设函数，从条件、条件、条件这三个条件中选择两个作为已知，使函数存在且唯一确定．
条件：；
条件：的最大值为；
条件：直线是函数的图象的一条对称轴．
Ⅰ求函数的最小正周期；
Ⅱ求函数在区间上的单调递增区间．
18.本小题分
如图，在正方体中，为的中点．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求证：平面；
Ⅲ写出直线与平面所成角的正弦值只需写出结论．
19.本小题分
已知函数在中，，且．
Ⅰ求的大小；
Ⅱ若，，求的面积．
20.本小题分
如图，在五面体中，底面为正方形，，，，为的中点，为的中点，，．
Ⅰ求证：；
Ⅱ求证：平面平面；
Ⅲ求五面体的体积．
21.本小题分
对于数集，其中，定义向量集，，若对于任意，存在，使得，则称具有性质．
已知数集，请你写出数集对应的向量集，是否具有性质？
若，且具有性质，求的值；
若具有性质，求证：，且当时，．
参考答案
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16.解：Ⅰ已知，为单位向量，夹角为，故，故；
同理，故；
Ⅱ由已知条件得：，
故，
由于，
故．
17.解：Ⅰ若选条件：因为，
所以，与矛盾，
所以所选条件是：根据题意可得
，其中，，
所以的最大值为，
所以，
当时，，
所以令，，
所以，，
当时，的对称轴为，
当时，，
所以令，，
所以，，
不会有对称轴为，
所以，
所以最小正周期为．
Ⅱ由Ⅰ知，
令，，
所以，，
又，
所以或，
所以的单调递增区间为，．
18.解：证明：在正方体中，
且，
所以四边形为平行四边形，所以．
又因为平面，平面，
所以平面；
证明：在正方体中，
因为平面，平面，
所以，
又因为，且，，平面，
所以平面；
直线与平面所成角的正弦值为，理由如下：
取的中点，连接，，
易知平面，
令正方体棱长为则，
，
设直线与平面所成角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
19.解：Ⅰ
，
因为，且，
所以，
又，即，且，，
所以，即，
所以．
Ⅱ由余弦定理知，，
所以，
所以，解得，
所以的面积．
20.解：Ⅰ证明：因为，平面，平面，
所以平面，
又，平面，平面平面，
所以．
Ⅱ证明：，
取的中点，连接，，
因为是中点，是中点，所以，
又底面为正方形，所以，
因为，所以，
又，
所以平面，
又因为平面，
所以，
又，且与是相交线，
所以平面，
平面，
所以平面平面；
Ⅲ过点作，
因为，为中点，为中点，
所以，，
又，
由Ⅱ可知，平面，
四棱锥体积，
因为，，且，
所以四边形为平行四边形，
四边形也是平行四边形，
所以，
平面，平面，
所以平面，
同理平面，，平面，
，
所以平面平面，
所以五面体为三棱柱，
在三棱柱中，，
平面，平面，
，，平面，
，
所以五面体的体积为．
21.解：具有性质．
选取，中与垂直的元素必有形式．
所以，从而；
证明：取，设满足．
由得，所以、异号．
因为是中唯一的负数，所以、中之一为，另一为，
故．
假设，其中，则．
选取，并设满足，
即，则，异号，从而，之中恰有一个为．
若，则，显然矛盾；
若，则，矛盾．
所以．
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