2023-2024学年湖南省长沙市明德中学高一（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年湖南省长沙市明德中学高一（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1.已知复数，则( )
A. B. C. D.
2.有一组互不相等的样本数据，，，，平均数为，若随机删去其中一个数据，得到一组新数据，记为，，，，平均数为，则下列说法错误的是( )
A. 新数据的极差可能等于原数据的极差
B. 新数据的中位数可能等于原数据的中位数
C. 若，则新数据的方差一定大于原数据方差
D. 若，则新数据的分位数一定大于原数据的分位数
3.设的内角、、所对边分别为，，，若，且不等式的解集为，则( )
A. B. C. 或 D.
4.在侧棱长为的正三棱锥中，，过作截面，则截面的最小周长为( )
A. B. C. D.
5.已知，是两个非零向量，则“存在实数，使得”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.如图，在直三棱柱中，，，点是的中点，则直线和平面所成角的正切值为( )
A.
B.
C.
D.
7.在正方体中边长为，点是上底面内一动点，若三棱锥的外接球表面积恰为，则此时点构成的图形面积为( )
A. B. C. D.
8.已知平面向量若对区间内的三个任意的实数，，，都有，则向量与夹角的最大值的余弦值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
9.一个正八面体的八个面上分别标以数字到，将其随机抛掷两次，记与地面接触面上的数字依次为，，事件“”，事件“”，事件“”，则( )
A. B. C. ，互斥 D. ，独立
10.已知函数的图象在区间上有且仅有三个对称中心，则( )
A. 的取值范围是
B. 的图象在区间上有条或条对称轴
C. 在区间上的最大值不可能为
D. 在区间上为增函数
11.如图，已知正方体的棱长为，，，分别为棱，，上的点，，则( )
A.
B. 平面经过棱中点
C. 平面截该正方体，截面面积的最大值为
D. 点到平面距离的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.如图，函数的图象与坐标轴交于点，，，直线交的图象于点，坐标原点为的重心三条边中线的交点，其中，则的面积为______．
13.厦门一中为提升学校食堂的服务水平，组织全校师生对学校食堂满意度进行评分，按照分层抽样方法，抽取位师生的评分作为样本，在这个样本中，所有学生评分样本的平均数为，方差为，所有教师评分样本的半均数为，方差为，总样本的平均数为，方差为，若，抽取的学生样本多于教师样本，则总样本中学生样本的个数至少为______．
14.正四棱锥的外接球半径与内切球半径之比的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15.（13分）在四棱锥中，平面平面，，，为棱的中点．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
16.（15分）在中，角，，的对边分别为，，，且满足．
求的大小；
若的面积为，且，当线段的长最短时，求的长．
17.（15分）袋中装有除颜色外完全相同的黑球和白球共个，其中白球个，现有甲、乙两人从袋中轮流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取，，取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止每个球在每一次被取出的机会是等可能的．
求取球次即终止的概率；
求甲取到白球的概率．
18.（17分）如图，已知四边形为菱形，四边形为平行四边形，且，．
证明：直线平面；
设平面平面，且二面角的平面角为，，设为线段的中点，求与平面所成角的正弦值．
19.（17分）点是直线外一点，点在直线上点与，两点均不重合，我们称如下操作为“由点对施以视角运算”：若点在线段上，记；若点在线段外，记．
若在正方体的棱的延长线上，且，由对施以视角运算，求；的值；
若在正方体的棱上，且，由对施以视角运算，得到，求的值；
若，，，，是的边的等分点，由对施以视角运算，证明：；，；，，，，．
参考答案
1.
2.D
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：证明：取的中点，连接，，则，且，
又且，所以且，
故四边形为平行四边形，所以，
又平面，平面，
所以平面；
由，，得，
所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，
所以，
由，，，
得，
所以，，，
得，则，
所以．
又，
设到平面的距离为，直线与平面的所成角为，
则，
所以，解得，
所以，
即直线与平面所成角的正弦值为．
16.解：由正弦定理为三角形外接圆半径，可得，，，
因为，
则，
即，
又因为，
所以，
所以，
因为，
所以，即，
所以；
因为的面积为，即，
所以，
则，，
因为，所以，
则，
所以，
又因为，
所以，
根据基本不等式，可得，当且仅当时等号成立，
所以，即，
当且仅当时，最短，此时．
17.解：设事件为“取球次即终止”，即甲第一次摸到黑球乙第二次摸到白球，
总的结果为种，事件包含的情况共有种，
所以所求事件的概率为：，
设事件为“甲取到白球”，“第次取到白球”为事件，，，，，
因为甲先取，所以甲只可能在第，，次取到白球，分三类：
甲第一次摸到白球的概率为，
甲第二次摸到白球的概率为，
甲第三次摸到白球的概率为，
由互斥事件概率加法公式可得：所求事件的概率为．
18.解：证明：设，连接，，
根据题意可得，
又四边形为菱形，
，，，
又，
≌，
，，
，，平面，
直线平面；
过点作于点，过点作于点，连接，过点作于点，连接，
由易证，，，
为二面角的平面角，
在直角三角形中，，
又，，
设，则，
在直角三角形中，，，
又为线段的中点，到平面的距离为，
又，
设直线与平面所成角为，
则，
直线与平面所成角的正弦值为．
19.解：如图，
因为，所以，
由正方体的定义可知，则，
故，
，
因为，
所以，
则；
如图，设，
则，
因为，
所以，
则，解得，
故；
证明：如图，
因为，，，，是的等分点，所以
．
在中，由正弦定理可得，
则B.
在中，同理可得C.
因为，所以，
则．
同理可得．
故．
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