2023-2024学年河北省衡水中学高二（下）第二次月考数学试卷（含答案）

2023-2024学年河北省衡水中学高二（下）第二次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若函数，则( )
A. B. C. D.
2.设曲线在点处的切线与直线垂直，则的值为( )
A. B. C. D.
3.函数在上是( )
A. 偶函数、增函数 B. 奇函数、减函数 C. 偶函数、减函数 D. 奇函数、增函数
4.如图是函数的导函数的图象，下列结论正确的是( )
A. 在处取得极大值
B. 是函数的极值点
C. 是函数的极小值点
D. 函数在区间上单调递减
5.函数在区间的极大值、极小值分别为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
6.已知直线与抛物线：交于，两点，为坐标原点，且，交于点，点的坐标为，则抛物线的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
7.若不等式对任意恒成立，则正实数的最大值为( )
A. B. C. D.
8.某种生命体在生长一天后会分裂成个生命体和个生命体，个生命体生长一天后可以分裂成个生命体和个生命体，每个新生命体都可以持续生长并发生分裂假设从某个生命体的生长开始计算，记表示第天生命体的个数，表示第天生命体的个数，则，，则下列结论中正确的是( )
A. B. 数列为速增数列 C. D. 若为等比数列，则
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设函数，若恒成立，则实数的可能取值是( )
A. B. C. D.
10.已知数列满足：，，，，，，的变化规律，记的前项和为，下列说法正确的是( )
A. B. 是一个等差数列
C. D.
11.已知，为双曲线的左、右焦点，为平面上一点，若，则( )
A. 当为双曲线上一点时，的面积为
B. 当点坐标为时，
C. 当在双曲线上，且点的横坐标为时，的离心率为
D. 当点在第一象限且在双曲线上时，若的周长为，则直线的斜率为
12.设，，且，则下列关系式可能成立的是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若函数的导函数为，且满足，则 ______．
14.已知等差数列中，，则数列的前项和等于______．
15.拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数在闭区间上连续，在开区间内可导，那么在区间内至少存在一点，使得成立，其中叫做在上的“拉格朗日中值点”根据这个定理，判断函数在区间上的“拉格朗日中值点”的个数为______．
16.已知函数，关于的不等式有且只有四个整数解，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知数列的前项和为，．
求的通项公式；
若，求数列的前项和．
18.本小题分
已知函数在和处取得极值．
求，的值．
若对任意，不等式恒成立，求的取值范围．
19.本小题分
已知函数，且．
Ⅰ求函数的单调区间；
Ⅱ设函数存在实数，，使得不等式成立，求的取值范围．
20.本小题分
已知椭圆的右焦点为，且过．
求的方程；
若过点的直线与交于，两点，为坐标原点，求面积的最大值．
21.本小题分
已知函数．
若函数有两个零点，求的取值范围；
设，是函数的两个极值点，证明：．
22.本小题分
已知函数，．
当时，求函数在处的切线方程；
讨论在区间上的零点个数．
参考答案
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17.解：且，有，
当，时，有，
两式相减得．
当时，由适合，
所以；
由知，，
所以．
18.解：由，可得，
由在和处取得极值，可得，，
解得，．
代入检验，可得，令，
解得，．
所以时，，函数单调递增，
时，，函数单调递减，
时，，函数单调递增，
所以是的极大值点，是的极小值点，符合题意．
所以，．
由可得，在单调递减，在单调递增．
要使对任意，不等式恒成立，只需恒成立，即大于的最大值．
令，显然在单调递减，在单调递增，所以．
所以，解得或．
所以的取值范围为．
19.解：Ⅰ，．
当时，，时，，当时，，
的减区间为，增区间为；
当时，，在上恒成立，则的减区间为；
当时，，的减区间为；
当时，，时，，当时，，
的增区间为，减区间为．
综上，当时，的减区间为，增区间为；
当时，的减区间为；
当时，的增区间为，减区间为；
Ⅱ，
存在实数，，使得不等式成立，
，
，
，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
，，
，得，
又，
20.解：因为椭圆的右焦点为，且过，
所以，
解得，，
则椭圆的方程为；
依题意，直线的斜率存在且不为，
不妨设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
则的面积，
因为，
不妨令，
此时，
则，
因为，
当且仅当，时，等号成立，
则，
故面积．
21.解：函数的定义域为，，，则，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以函数的增区间为，减区间为，的最大值为；
当时，，在上无零点；
当时，，在上有一个零点；
当时，，，，
，
存在，，使得，在上有两个零点，
综上，当时，在上有两个零点，
的取值范围为；
证明：由及有两个极值点，，且，可得，在上有两个零点，且，
，两式相减得，，即，
，
，
下面证明，即证，
令，即证，
令，则，
在上单调递增，则，故，
又，
，
，即得证．
22.解：当时，，函数定义域为，
可得，
此时，
又，
所以函数在处的切线方程为，
即；
令，函数定义域为，
可得，
因为，
所以，，
可得，
当时，，，单调递减，
又，
所以当时，，
则在区间上无零点；
当时，令，函数定义域为，
可得，
因为，
所以，，在上单调递减；
又，，
所以存在唯一的，使得，
当时，；当时，，
即当时，，单调递增；
当时，，单调递减，
又，
所以，
令，
此时，
所以存在唯一的，使得，
即在区间上有唯一零点．
综上所述，当时，在上有唯一的零点；
当时，在上没有零点．
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