2023-2024学年广西崇左市大新县民族高级中学高二（下）期末数学试卷（含答案）

2023-2024学年广西崇左市大新县民族高级中学高二（下）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，那么复数等于( )
A. B. C. D.
2.集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知，则下列不等式成立的是( )
A. B.
C. D.
4.若直线与平面不垂直，那么在平面内与直线垂直的直线( )
A. 只有一条 B. 无数条
C. 是平面内的所有直线 D. 不存在
5.已知，，且，则( )
A. B. C. D. ，
6.某厂去年的产值记为，计划在今后五年内每年的产值比上年增长，则从今年起到第五年，这个厂的总产值为( )
A. B. C. D.
7.已知，则( )
A. B. C. D.
8.已知随机变量，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图图象中，表示函数关系的有( )
A. B.
C. D.
10.如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中正确的序号是( )
A. 直线与直线相交
B. 直线与直线平行
C. 直线与直线是异面直线
D. 直线与直线成角
11.已知曲线表示椭圆，则下列说法正确的是( )
A. 的取值范围为
B. 若该椭圆的焦点在轴上，则
C. 若，则该椭圆的焦距为
D. 若椭圆的离心率为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.两条平行直线与的距离是______．
13.不等式的解集为，则不等式的解集是______．
14.已知随机变量的分布列为，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在中，已知，，，求和．
16.本小题分
如图，棱锥的底是一个矩形，与交于，是棱锥的高，若，，，求棱锥的体积．
17.本小题分
一种卫星接收天线的轴截面如图所示，卫星波束呈近似平行状态射入轴截面为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点处，已知接收天线的口径直径为，深度为．
试建立适当的坐标系，求抛物线的标准方程和焦点坐标．
为了增强卫星波束的接收，拟将接收天线的口径增大为，求此时星波束反射聚集点的坐标．
18.本小题分
某校为了解学生对食堂的满意程度，做了一次问卷调查，对三个年级进行分层抽样，共抽取名同学进行询问打分，将最终得分按，，，，，，分成段，并得到如图所示的频率分布直方图．
求频率分布直方图中的值，以及此次问卷调查分数的中位数；
若从打分区间在的同学中随机抽出两位同学，求抽出的两位同学中至少有一位同学来自打分区间的概率．
19.本小题分
已知数列，都是等差数列，公差分别为，，数列满足．
数列是否是等差数列？若是，证明你的结论；若不是，请说明理由；
若，的公差都等于，，求数列的通项公式．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.解：，，，
，
由正弦定理，可得，
．
16.解：由题意棱锥的底是一个矩形，与交于，是棱锥的高，若，，，可知，，，，棱锥的底面面积为：，
所以棱锥的体积为：
17.解：以顶点为原点，焦点所在直线为轴，
建立直角坐标系，
设抛物线的方程为，
代入点，
可得，
解得，
即抛物线的方程为，
焦点为；
设抛物线的方程为，
代入点，
可得，
解得，
即有抛物线的方程为，
焦点为．
18.解：频率分布直方图中所有小矩形的面积和为，
即，得，
的频率为，
的频率为，
中位数为．
打分区间在的同学共有人，分别记为，，
打分区间在的同学共有人，分别记为，，，，
从这人中随机抽出位同学，共有以下种情况：
，，，，，，，，，，，，，，，
其中，至少有一位同学来自打分区间共有种情况，分别为：
，，，，，，，，，，，，，，
所以至少有一位同学来自打分区间的概率为．
19.解：数列是等差数列，证明如下：
由题意得，，
所以，
故数列是等差数列；
由得，，
故．
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