11.2 锥体（第 2 课时）
分层练习
题型 1：锥体的体积计算
1．正四棱锥的所有棱长均为 1，则它的体积是 .
2
【答案】
6
【分析】根据题意，结合正四棱锥的性质，即可求得 AO 、PO的长，根据椎体体积公式，即可得答案.
【解析】
如图所示，正四棱锥P- ABCD棱长均为 1，连接 AC、BD 交于点 O，连接 PO
根据正四棱锥的性质，可得PO ^平面 ABCD.
所以 AO 1= AB2 + BC 2 2= ，PO = PA2 - AO2 2= ，
2 2 2
所以正四棱锥P- ABCD V 1的体积 = 1 1 2 2 = .
3 2 6
2
故答案为: .
6
2．底面边长和侧棱长都是 a的正三棱锥的体积是 ．
2
【答案】 a3
12
【分析】分别计算底面积和高，然后代入体积公式即可完成求解.
【解析】
如图，记底面 ABC 的中心为O，则PO为正三棱锥的高.
3 1 3
因为 AD = a ，所以 AO = AD = a ，
2 3 3
2
所以PO = a2 3 6 3- a ÷÷ = a，又因为底面积为： a
2 ，
è 3 3 4
V 1 3 a2 6 a 2所以 = = a3 .
3 4 3 12
2
故答案为： a3
12
3．已知圆锥侧面展开图的周长为 4 + 2p ，面积为2p ，则该圆锥的体积为 ．
3 4 π4 - 4
【答案】 π 或
3 3π2
【分析】根据给定条件，求出圆锥底面圆半径、母线长，进而求出高即可计算作答.
【解析】设圆锥的底面圆半径为 r ，母线长 l，则圆锥侧面展开图扇形弧长为 2πr ，
ì2πr + 2l = 4 + 2π ìπr + l = 2 + π ìr =1 ì r
2
=
依题意， íπrl ，即= 2π í
π
πrl 2π
，解得 íl 2或 í ，= = l = π
ìr =1 1 3
当 íl 2时，圆锥的高= h = l
2 - r 2 = 3 ，体积为V = πr 2h = π，
3 3
ì 2
r = 4
当 í π 时，圆锥的高 h
1
= l 2 - r 2 = π4 - 4 V 1 πr 2h 4 π - 4，体积为 = = ，
2 l = π
π 3 3π
3 4 π4 - 4
所以该圆锥的体积为 π 或 .
3 3π2
3 4 π4 - 4
故答案为： π 或
3 3π2
4．已知正三棱锥P - ABC 的底面边长为 2 3 ，体积为3 5 ，则底面VABC 的中心O到侧面PAB的距离是 .
15 1
【答案】 / 15
4 4
【分析】延长CO交 AB 于D，则D是 AB 中点，过O作OE ^ PD于E ，可证明OE ^ 平面PAB，在正棱锥
中求得OE长即可．
【解析】如图，延长CO交 AB 于D，则D是 AB 中点，且CD ^ AB ，连接DP，
PO ^平面 ABC ， AB 平面 ABC ，∴ PO ^ AB ，同理PO ^ OD ，
PO ICD = O，PO,CD 平面PCD，∴ AB ^ 平面PCD，
过O作OE ^ PD于E ，即OE 平面PCD，则 AB ^ OE ，
PD I AB = D，PD, AB 平面PAB，∴ OE ^ 平面PAB，OE的长即为 O 到侧面 PAB 的距离，
由已知 S
1 1
= (2 3)2!ABC sin 60° × PO = 3 5 ，3 2 PO = 15
,
在VABC OD 1 1 3中， = CD = 2 3 =1，
3 3 2
PO ×OD 15 1 15
PD = PO2 + OD2 = 15 +1 = 4，OE = = = ．
PD 4 4
15
故答案为： ．
4
5．如图，已知正三棱锥 S - ABC 的顶点 S 在一个半球面上，底面VABC 的三个顶点 A, B,C 在半球底面的圆
周上，若 AB = a ，则该三棱锥的体积为 ．
a3 1 3
【答案】 / a
12 12
【分析】根据题意求出半球的半径，根据棱锥的体积公式即可求得答案。
【解析】设半球的半径为 R，
∵底面为正三角形，正三棱锥 S - ABC 各顶点都在半球面上，
其中 A, B,C 三顶点在底面圆周上，设 O 为底面三角形的中心，
SO 为正三棱锥 S - ABC 的高，连接 AO , AO = SO = R ,
∴ AB = 2R cos30o = 3R = a ,即R 3= a ，
3
S - ABC V 1 3 a3 R 1 3 a2 3 a a
3
所以三棱锥 的体积为 S - ABC = = = ，3 4 3 4 3 12
a3
故答案为：
12
6．把 y = x 和 y =1所围成的封闭图形绕 y 轴旋转一周，所得几何体体积为 .
p 1
【答案】 / p
3 3
【分析】根据 y =| x |和 y =1的图象围成的封闭平面图形是等腰三角形，且该三角形绕 y 轴旋转一周所得几
何体为圆锥，由此求出该几何体的体积．
【解析】因为 y =| x |和 y =1的图象围成的封闭平面图形是等腰三角形，将 y =1代入 y =| x |可得 x = ±1，
则等腰三角形的底面边长为 2，高为 1，
该三角形绕 y 轴旋转一周所得几何体是一个圆锥，
1 2 π
所以该几何体的体积为V = × π ×1 ×1 = ．
3 3
π
故答案为： .
3
7．现有一个帐篷，它下部分的形状是高为1 m的正六棱柱，上部分的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥（如
图所示）当帐篷的体积最大时，帐篷的顶点 O 到底面中心O1的距离为（ ）
2
A． m
3
B．1 m C． m D． 2m
3 2
【答案】D
【分析】设OO1 为 xm ，则1< x < 4，根据题意，可得正六边形的面积为 S 的表达式，进而可得帐篷的体积
为 V 的表达式，利用导数，即可求得 V 的单调性和极值点，即可求得答案.
【解析】设OO1 为 xm ，则1< x < 4，
设底面正六边形的面积为 Sm2，帐篷的体积为Vm3 .
则由题设可得，正六棱锥底面边长为 32 - (x -1)2 = 8 + 2x - x2 (m)，
2
于是 S 6 3 8 2x x2 3 3= + - = 8 + 2x - x2 ，4 2
1 3 3
所以V = 8 + 2x - x2 (x -1) 3 3+ 8 + 2x - x23 2 2
3
= 8 + 2x - x2 [(x -1) + 3] 3= 16 +12x - x3 (1 < x < 4) ，2 2
3
则V = 12 - 3x2 .2
令V = 0，解得 x = 2或 x = -2（舍去）.
当1< x < 2时，V > 0，V 单调递增；
当 2 < x < 4 时，V < 0，V 单调递减.
所以当 x = 2（m）时，V 最大.
故选：D.
8．已知某几何体由两个有公共底面的圆锥组成，两个圆锥的顶点分别为A ， B ，底面半径为 R ．若
AB + 3R = 9，则该几何体的体积最大时，以 R 为半径的球的体积为（ ）
32π
A．4π B．8π C． D．16π
3
【答案】C
【分析】由题意可知该几何体的体积为V = π(-R3 + 3R2 ) ，令 f (R) = π(-R3 + 3R2 ) ，求导得到当R = 2时 f (R)
取得最大值，从而利用球的体积公式即可求解.
1 2 1 2 3 2
【解析】由题意可知该几何体的体积为V = × πR × AB = × πR (9 - 3R) = π(-R + 3R )，
3 3
令 f (R) = π(-R3 + 3R2 ) ，则 f (R) = π(-3R2 + 6R) ，
令 f (R) = 0，得R = 2（R = 0 舍去），
则0 < R < 2时， f (R) > 0， f (R) 单调递增，R > 2时， f (R) < 0， f (R) 单调递减，
故当R = 2时， f (R) 取得最大值，此时该几何体的体积最大．
4 4
2 3 3
32π
则以 为半径的球的体积为 πR = π 2 = ．
3 3 3
故选：C．
9．如图，点 C 在圆锥 PO 的底面圆 O 上，AB 是直径，AB=8，∠BAC=30°，圆锥的母线与底面成的角为 60°，
则点 A 到平面 PBC 的距离为（ ）
8
A． 5 B5 ．2 6
8
C． 15 D．
5 15
【答案】C
【分析】根据线面夹角分析可得圆锥的母线PA = 8，利用等体积法求点到面的距离.
【解析】因为 AB 是直径，则 AC ^ BC ，且 AB=8，∠BAC=30°，
可得 AC = 4 3, BC = 4，
又因为PO ^底面圆 O，则圆锥的母线与底面成的角为 PAO = 60°，
可知VPAB 为等边三角形，所以圆锥的母线PA = 8, PO = 4 3，
设点 A 到平面 PBC 的距离为 h，
V = V 1 4 3 1 4 4 3 1 1 4
2
利用等体积法 P- ABC A-PBC ，即 = h 4 82 - ，
3 2 3 2 2 ֏
h 8 15 8 15解得 = ，即点 A 到平面 PBC 的距离为 h = .
5 5
故选：C.
10．《算数书》竹简于 20 世纪 80 年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的成系统的数学典籍，
其中记载有求“困盖”的术：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”该术相当于给出了由圆锥的
1 2
底面周长 L 与高 h 计算其体积 V 的近似公式V L h．它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率p 近似取为
36
7
3．那么，近似公式V L2h相当于将圆锥体积公式中的p 近似取为（
264 ）
22 25 157 355
A． B． C． D．
7 8 50 113
【答案】A
【分析】由圆锥的体积公式结合题设公式得出p 的近似值.
1 2 7
【解析】依题意，设圆锥的底面半径为 r，则V = p r h L2h
7 2p r 2 h p 22= ，解得 ．
3 264 264 7
故选：A.
题型 2：锥体的表面积计算
11．棱长都是 3 的三棱锥的侧面积 S 为 ．
27 3 27
【答案】 / 3
4 4
【分析】三棱锥的四个面是全等的正三角形，求解即可.
3 27 3
【解析】因为三棱锥的四个面是全等的正三角形，所以 S = 3 32 = .
4 4
27 3
故答案为： .
4
12．已知正三棱锥的侧面积是 27cm2 ，底面边长是 6cm，则它的高是 cm．
【答案】 6
【分析】根据正三棱锥的性质，先求一个侧面三角形的面积，进而求得三棱锥的斜高，再结合勾股定理求
解三棱锥的高即可.
【解析】如图，设正三棱锥P - ABC ，VABC 的中心为O，则PO ^平面 ABC ，取BC 中点E ，则
PE ^ BC ，连接如图.
1
由题意， SVPAB = SVPBC = SVPAC = 27 = 9
1
，即 BC PE = 9，故PE = 3 .
3 2
OE 1 BE BC= OB = = = 3
又 2 3 2 3 ，所以高2 PO = 3
2 - 3 = 6 .
2
故答案为： 6
13．已知三棱锥 A - BCD中， AB = CD = 2， AD = AC = BC = BD = 3，则该三棱锥内切球的表面积
为 ．
7p
【答案】
8
【分析】将四面体 ABCD补为长方体，求出长方体棱长进而求出四面体的体积，利用等体积法求出三棱锥
的内切球的半径，结合球的表面积公式计算即可．
【解析】如图，在长方体 AHDG - EBFC 中，设EC = c，EB = b，EA = a，
则 a2 + b2 = 4，c2 + b2 = 9，a2 + c2 = 9，
所以 a = b = 2，c = 7 ，
故四面体 ABCD的体积V = abc - 4 1 1 abc 2 7= ，
3 2 3
ABCD S 4S 4 1= = 2 32 -12四面体 的表面积 VABC = 8 2 ，2
设三棱锥内切球的半径为 r ，
2 7 1 7
由等体积可得 = 8 2r ，解得 r = ，
3 3 4 2
7 7p
所以三棱锥内切球的表面积为 4p ( )2 = .
4 2 8
7p
故答案为： .
8
14．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，若四棱锥 S - ABCD
为阳马，侧棱 SA ^ 底面 ABCD，且 SA = BC = AB = 2，则该阳马的表面积为 ．
【答案】8 + 4 2 / 4 2 + 8
【分析】由题意知该几何体是底面为正方形的四棱锥，结合图形求出它的表面积,即得答案．
【解析】由题意知侧棱 SA ^ 底面 ABCD，且 SA = BC = AB = 2，底面 ABCD 为正方形，
且 SA ^ BC.BC ^ AB , SAI AB = A, SA, AB 平面 SAB,
故BC ^平面 SAB, SB 平面 SAB，故BC ^ SB ,同理可证CD ^ SD ,
且VSAB≌VSAD,VSBC ≌VSDC ,
故几何体的表面积为：
S四棱锥 = 2SVSAB + 2SVSBC + S正方形ABCD
2 1= × SA × AB + 2 1 × BC × SB + AB × BC
2 2
2 1 1= 2 2 + 2 2 2 2 + 2 2
2 2
= 8 + 4 2 ，
故答案为：8 + 4 2
15．已知球 O 半径为 4，球面上存在三点 A，B，C 构成以 BC 为斜边的直角三角形，且BC=4 3，P 为球
面上区别于 A，B，C 的另一点，当三棱锥 P-ABC 体积最大时，其表面积为 ．
【答案】12 7 +12 3 +12
【分析】根据球的几何性质可算得O到平面 ABC 的距离为 2，当三棱锥P - ABC 体积最大时， P 到平面 ABC
的距离最大，且 SVABC 最大，此时VABC 为等腰直角三角形， P 到平面 ABC 的距离为 6， P 在平面 ABC 上的
投影为BC 中点，根据此时三棱锥P - ABC 的相关数据得其表面积．
【解析】解：Q球O半径为 4，球面上存在三点A ， B ，C 构成以BC 为斜边的直角三角形，且BC=4 3，
\根据球的几何性质可算得：
O到平面 ABC 的距离为 d = 42 - (2 3)2 = 2 ，
当三棱锥P - ABC 体积最大时，
P 到平面 ABC 的距离最大，且 SVABC 最大，
此时VABC 为等腰直角三角形，
P 到平面 ABC 的距离为 R + d = 4 + 2 = 6， P 在平面 ABC 上的投影为BC 中点，
2
此时三棱锥P - ABC 中， PA = PB = PC = 62 + (2 3)2 = 4 3 ， AB = AC BC= = 2 6 ，
2
\三棱锥P - ABC 表面积为：
S = SVPAB + SVPAC + SVPBC + SVABC
1
= 2 6 (4 3)2 1- ( 6)2 + 2 6 (4 3)2 1- ( 6)2 + 4 3 6 1+ 4 3 2 3
2 2 2 2
= 12 7 +12 3 +12．
故答案为：12 7 +12 3 +12 ．
16．已知正四棱柱 ABCD - A1B1C1D1 中， AB = 2 ， AA1 = 3，O为上底面中心.设正四棱柱 ABCD - A1B1C1D1 与
S
正四棱锥O - A1B1C1D1的侧面积分别为 S1， S
2
2 ，则 =S .1
10
【答案】
6
【分析】根据几何体的结构特征，由棱柱和棱锥的侧面积公式，分别求得正四棱柱 ABCD - A1B1C1D1 和正四
棱锥O - A1B1C1D1的侧面积，即可求解.
【解析】如图所示，正四棱柱 ABCD - A1B1C1D1 中， AB = 2 ， AA1 = 3，
则正四棱柱 ABCD - A1B1C1D1 的侧面积分别为 S1 = 4 2 3 = 24，
正四棱锥O - A1B1C1D1的斜高为 12 + 32 = 10 ，
1
所以正四棱锥O - A1B1C1D1的侧面积 S2 = 4 2 10 = 4 102 ，
S
所以 2
4 10 10
= = .
S1 24 6
10
故答案为： .
6
【点睛】本题主要考查棱柱和棱锥的几何结构特征，以及棱柱和棱锥的侧面积的计算，其中解答中熟记几
何体的结构特征，利用侧面积公式准确计算是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
17．已知四面体各棱的长均为 1，则这个四面体的表面积为 .
【答案】 3
【分析】四个面均为正三角形，计算出三角形面积后可得四面体的表面积．
1
【解析】由题意四面体的表面积为 S = 4 12 sin 60° = 3．
2
故答案为： 3．
【点睛】本题考查正四面体的表面积，掌握表面积的概念是解题基础．本题属于基础题．
18．正三棱锥的一个侧面与底面的面积之比为 2 : 3，则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的大小
为 ．
【答案】 60°
【分析】由题意作出正三棱锥 S - ABC ，设O为底面 VABC 的中心，过S 作 SE ^ AB交 AB 于点 E ,连接 EO，
S 2 SE
可得 SEO VSAB为侧面和底面所成二面角的平面角，由条件 = ，得出 = 2S 3 OE ，从而得出答案.V ABC
【解析】如图在正三棱锥 S - ABC 中，设O为底面VABC 的中心，连接 SO ,则 SO ^ 平面 ABC .
过S 作 SE ^ AB交 AB 于点E ,连接EO
则 SO ^ AB ,又 SE ^ AB，且 SE SO = S ,所以 AB ^ 平面 SEO
则OE ^ AB ,所以 SEO为侧面和底面所成二面角的平面角.
3
在正三角形VABC 中，O为中心， SV ABC = SVOBC +SVOAB +SVOAC = 3SVOAB = AB OE2
1
S AB × SEVSAB 2 2 SE
由条件有 = 3 =S 3 ，可得
= 2
V ABC AB × OE OE
2
EO 1
在直角三角形 SOE 中， cos SEO = =ES 2
所以 SEO = 60°
故答案为：60°
【点睛】本题考查三棱锥的线面关系，正三棱锥的侧面面积与底面积的关系，考查二面角，属于中档题.
19 3．已知正三棱锥P - ABC 的侧面与底面所成的二面角为60°，且正三棱锥的体积为 ，则其侧面积
24
为 ．
3
【答案】
2
【解析】设 AB 的中点为 M,连接CM , PM ,可知 PMC 即为侧面与底面所成的二面角.点 P 在平面 ABC 上的
射影为 H , AB = a .则利用三棱锥的体积可求得 AB ,即可求得三角形PAB的面积,进而求得侧面积.
【解析】如图所示,设 AB 的中点为 M,连接CM , PM
由正三棱锥的性质可知PM ^ AB,CM ^ AB,所以 PMC = 60°
设点 P 在平面 ABC 上的射影为 H ,则 H 是 CM 靠近 M 的三等分点,设 AB = a
1
则MH 3= a ,在直角三角形PMH 中, PH = a
6 2
故三棱锥P - ABC 1 3的体积为 a2 1 3 a = a3 3=
3 4 2 24 24
3
解得 a =1 ,则PM =
3
S 1 3 3故 DPAB = 1 =2 3 6
3 3
所以三棱锥的侧面积为3SDPAB = 3 =6 2
【点睛】本题考查了三棱锥的体积应用,三棱锥表面积的求法,二面角的应用,属于中档题.
20．若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为120°，半径为 1 的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是 .
【答案】 4 : 3
1
【分析】根据圆锥侧面展开图即可求得圆锥底面圆半径 r = ，分别求得这个圆锥的表面积和侧面积即可求
3
出结果.
【解析】设圆锥底面圆的半径为 r，则底面圆的周长为 2πr ，即展开后的扇形弧长为 2πr ，
又扇形的圆心角为120o，半径为 1，
120o 1
所以 o 2π 1 = 2πr ，所以 r = ，360 3
1
故圆锥的侧面积为 1
2π π
= ，
2 3 3
π π 1
2
4π
表面积为 + ÷ = ，3 è 3 9
4π
9 4
所以这个圆锥的表面积与侧面积的比为 π = ，3
3
即这个圆锥的表面积与侧面积的比是 4 : 3 .
故答案为： 4 : 3
21．如图所示，以圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，则该圆锥与圆柱等底等高.
若圆锥的轴截面是一个正三角形，则圆柱的侧积面与圆锥的侧面积之比为 .
【答案】 3
【分析】设圆锥的底面半径为 r ，求出圆锥与圆柱的侧面积，即可求解
【解析】设圆锥的底面半径为 r ，
由题意圆锥的轴截面是一个正三角形，
可知圆锥的侧面积为 πr × 2r = 2πr 2 ，
圆柱的侧面积为 2πr × 3r = 2 3πr 2，
2 3πr 2
所以圆柱的侧积面与圆锥的侧面积之比为 2 = 3，2πr
故答案为： 3
22．半径为 3 的半圆形纸片卷成一个无盖圆锥筒，则圆锥筒的高为 ．
3 3 3
【答案】 / 3
2 2
【分析】根据扇形弧长公式和勾股定理即可求解.
【解析】如图所示：图 1 是圆锥(图 2)的侧面展开图.
OA = OB = 3，则扇形弧长 L = 3p ，
3
设圆锥底面圆周长为 r ，则 2p r = 3p ，得 r = ，
2
则在 Rt△OAD 3 3 3中，高 h = 32 - ( )2 = ，
2 2
3 3
故答案为：
2
23．等腰直角三角形直角边长为 1，现将该三角形绕其某一边所在直线旋转一周，则所形成的几何体的表面
积为 .
【答案】 2 +1 p 或 2p
【分析】分两种情况：①若绕直角边所在直线旋转，则形成的几何体为圆锥，直接求表面积；②若绕斜边
所在直线旋转，则形成的几何体是同底的两个圆锥的组合体，分别求出两个圆锥的侧面积，即可求出表面
积
【解析】若绕直角边所在直线旋转，则形成的几何体为圆锥，圆锥底面半径为 1，高为 1，母线长就是直角
三角形的斜边长，为 2 ，
2
所以所形成的几何体的表面积 S = p 1 2 +p 1 = 2 +1 p .
若绕斜边所在直线旋转，则形成的几何体是同底的两个圆锥的组合体，圆锥的半径是直角三角形斜边的高
2
，两个圆锥的母线都是直角三角形的直角边，母线长是 1，
2
2
所以几何体的表面积 S = 2 p 1 = 2p .
2
综上，所形成的几何体的表面积是 2 +1 p 或 2p .
故答案为： 2 +1 p 或 2p .
题型 3：锥体的体积与表面积计算难点突破
24．已知圆锥的底面半径为 3，侧面积是6p ，在其内部有一个正方体可以任意转动，则正方体的体积的最
大值是 ．
8 3 8
【答案】 / 3
9 9
【分析】根据给定条件求出圆锥的内切球半径，再求出此球的内接正方体的棱长即可作答.
【解析】正方体木块可以在一个圆锥形容器内任意转动，则当正方体棱长 a 最大时，正方体的外接球恰为
圆锥的内切球，
设圆锥的母线长为 l，底面半径为 r ，则 r = 3 ，p rl = 6p
所以 l = 2 3
如图圆锥轴截面VSAB为等边三角形，其内切圆 O 是该圆锥的内切球 O 大圆截面，
VSAB 3 1的高 SO1 = SA = 3，则内切圆 O 的半径即球半径R = SO1 =1，2 3
2 3
于是得球 O 的内接正方体棱长 a 满足： 3a = 2R = 2，解得： a = ，
3
3
a 2 3 2 3 8 3所以 的最大值为 V
3 max
= 3 ÷÷
= .
è 9
8 3
故答案为： .
9
【点睛】作出轴截面，借助平面几何知识解题是解决问题的关键.
25．如图圆锥内的球O与圆锥的侧面与底面都相切，且球的半径为1，则圆锥侧面积的最小值为 ．
【答案】 (3 + 2 2)p
2 y +1
【分析】设圆锥的底面圆半径为 x ， SO = y ，根据题意得到 x = y 1，而圆锥的侧面积-
S p y +1
2 3
= × x × SA = p x +(y +1)2 p (y +1) (y +1)转化为 2 + ，最后利用换元法求解最小值即可.y -1 (y -1) y -1
【解析】设圆锥的底面圆半径为 x ， SO = y ，
设球与侧面相切于点C ，在RtDSCO 中， SC = y2 -1．
CO SC
因为DSCO ~ DSO1A，则 =O A SO ，1 1
1 y2 -1
即 = ，所以 x2
y +1
= ．
x y +1 y -1
在RtDSAO SA = x2
y +1
1 中， + (y +1)
2 = + (y +1)2 ，
y -1
故圆锥的侧面积 S = p × x × SA = p x
y +1 +(y +1)2
y -1
p x2 é y +1 (y 1)2 ù p y +1 é y +1 (y 1)2 ù p (y +1)
2
+ (y +1)
3
= × ê + + ú = ê + + =
y -1
ú
y -1 y -1 (y -1)
2 y -1
令 y -1 = t ， t > 0，则 y +1 = t + 2 ，
S p (t + 2)
2 (t + 2)3 2 2 2
故 = 2 + = p
t + + 3
÷ = p
t + + 3
(3+ 2 2)p
t t è t è t ÷
2
当且仅当 t = ，即 t = 2 ， y = 2 +1时，取等号，所以圆锥侧面积S 的最小值为 (3 + 2 2)p ．t
【一题多解】解法一：设 ASO1 = q ，在RtDSCO 中，
SO 1 1= ， SC = ．
sinq tanq
因为DSCO ~ DSO1A，
1
CO SC
= 1 = tanq则 O1A SO
，即 ，
1 O1A 1 +1
sinq
O A sinq +1 SA sinq +1所以 1 = ， = ，cosq sinq ×cosq
于是圆锥的侧面积
S p O A SA p sinq +1 sinq +1 p (sinq +1)
2
p sinq +1= × 1 × = × × = × = × ，cosq sinq ×cosq sinq ×cos2 q sinq × (1- sinq )
S = p t p p× = = (3 + 2 2)p
令 sinq +1 = t ，则 sinq = t -1(1< t < 2) ，则 (t -1)(2 - t) 3- t 2+ 3- 2 2 ， ÷
è t
2
当且仅当 t = ，即 t = 2 时取等号，所以圆锥侧面积S 的最小值为 (3 + 2 2)p ．t
解法二：设 SO = h， AO1 = BO1 = r ．
QDSOC ~ DSAO1 ，且OC = OO1 =1，
OC AO
\ = 1
SO SA
1 r
即 =h r 2 + (h +1)2 ，
2 2 r 2 h +1\hr = r + (h +1) ， = ，h -1
\ S = p r r 2 + (h +1)2 p r hr p r 2h h +1 2圆锥的侧面积 = × = = p h × = p
h -1+ + 3
÷ p (2 2 + 3)h -1 è h -1
当且仅当 h = 2 +1时等号成立，故圆锥侧面积S 的最小值为 (3 + 2 2)p ．
故答案为： (3 + 2 2)p .
【点睛】本题考查圆锥的内切球、圆锥中相关量的计算，考查运算求解能力、空间想象能力，考查化归与
转化思想、函数与方程思想，考查数学运算直观想象核心素养．
26．圆锥W的底面半径为 2，其侧面展开图是圆心角大小为180o 的扇形.正四棱柱 ABCD- A B C D 的上底面
的顶点 A , B ,C , D 均在圆锥W的侧面上，棱柱下底面在圆锥W的底面上，则此正四棱柱体积的最大值为 ．
64 3
【答案】
27
【分析】设圆锥的母线长为 l，由侧面展开图求得 l = 4 ,进而得圆锥高为 2 3 ，设正四棱柱 ABCD - A B C D
2 - 2a h 2 2
的底面边长为 2a,高为 h,进而得 = ，正四棱柱体积 V= 4a h = 4a 2 3 - 6a ,设函数 f a =
2 2 3
4a2 2 3 - 6a ，求导求其最值即可
【解析】设圆锥的母线长为 l,圆锥底面周长为 2π 2 = 4π =p l,\l = 4,\圆锥高为 42 - 22 = 2 3
设正四棱柱 ABCD - A B C D 2 - 2a h的底面边长为 2a,高为 h,则 = , 得 2 3 - 6a = h, 正四棱柱体积 V=
2 2 3
4a2h = 4a2 2 3 - 6a ,设 f a = 4a2 2 3 - 6a , f a = 4a 4 3 - 3 6a ,令 f a = 0 2 2得 a = ,当
3
2 2 0 a , f a 0;a 2 2 , f a < 0 f a f 2 2 64 3,故 的最大值为
3 3 ÷÷
=
è 3 27
64 3
故答案为
27
【点睛】本题考查棱柱的体积，圆锥的侧面积公式，正四棱柱的基本性质，利用导数求最值问题，考查空
间想象及计算求解能力，是中档题
27 3．已知一正三棱锥的体积为 ，设其侧面与底面所成锐二面角为q ，则当 tanq 等于 时，侧面积最
2
小．
【答案】 2
【分析】画出正三棱锥，设底面边长为 a，高为b ，结合体积公式列出关系式，三角函数表示出 tanq ，面
积公式表示出侧面积，结合函数与导函数性质即可求解.
【解析】
1 3 3
如图：设正三棱锥底面边长为 a，高为b ， P 在底面投影为O，则V = × a2 ×b = ，化简得 a2b = 6，由二
3 4 2
tanq PO b 2 3b3 = = =
面角定义可知， PDO应为侧面与底面所成锐二面角的平面角， DO = a ，即 DO
6 3a
a ，
6
2
PD b2
3a
= + 6 ÷÷
，
è
2
S 3 1
3a 3 a2 6
侧面积为： = × a × b2 + ÷
2 2 b =
÷ = a b + ，结合 a b = 6得 2 ，代入侧面积公式得2 è 6 2 12 a
2 23 6 3a 3 36 a4 3 36 t2 36 t2 36 t t3 - 63S = a × 2 ÷ +2 a
2
è 6
÷÷ = 2 + ，令 t = a ，则 S = + ，令 f t = + ，则 f t = -2 a 12 2 t 12 t 12 t2
+ = 2 ，
è 6 6t
当 t 0,6 时， f t < 0， f t 单减， t 6,+ 时， f t > 0， f t 单增，故 f t min = f 6 ，此时侧面积有
2 3b 2 3
最小值，即 a2 = 6 ，b =1，此时 tanq = = = 2 .a 6
故答案为： 2
28．两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放入棱长为 2 的正方体中，重合的底面与正方体的
某一个面平行，且八面体的各顶点均在正方体的表面上，将满足上述条件的八面体称为正方体的“正子体”.
则此正子体的表面积 S 的取值范围是
【答案】[4 3,8 2]
【分析】如图正子体，设 AB=a，由正四棱锥的性质可求 S = 2a 4 + a2 ，再结合条件及二次函数的性质可求
a [ 2, 2]，进而即得.
【解析】
如图正子体，由题可知 PQ=2，取 PQ,BC 的中点分别为 O，E，连接 OE，PE，设 AB=a，
a
由正四棱锥的性质可知，OE = 2 ，
PO=1，
∴ PE 1 (a )2 4 + a
2
= + = ，
2 2
∴ S 1
2
BC PE 1 a 4 + a a 4 + a
2
VPBC = × = × × = ，2 2 2 4
∴此正子体的表面积 S = 8SVPBC = 2a 4 + a
2 ，
如图设平面 ABCD 截正方体所得截面为 A1B1C1D1，设 AB1 = x, (0 x 2)，则BB1 = 2 - x ，
AB2 = AB 2由 + B B2，可得 a = x2 2 2 21 1 + (2 - x) = 2x - 4x + 4 = 2(x -1) + 2 ，
由0 x 2可知 a = 2(x -1)2 + 2 [ 2, 2]，
∴ S = 2a 4 + a2 [4 3,8 2] .
故答案为：[4 3,8 2]
一、填空题
1．已知一个圆锥的体积为3π，高为 3，则该圆锥的母线与底面所成角的大小是 .
p
【答案】 / 60°
3
【分析】根据题意，由圆锥的体积公式即可得到其底面圆的半径，从而得到结果.
【解析】
设圆锥底面圆半径 AO = OB = r ，母线为 SA = SB ，高 SO = 3，
1 2
因为圆锥的体积为3π，即3π = πr 3，解得 r = 3 ，3
tan SAB SO 3则 = = = 3
π
OA ，所以
SAB = .
3 3
π
故答案为： .
3
2．如图，在正四棱锥P- ABCD中， AP = AB = 4，则正四棱锥的体积为 .
32 2 32
【答案】 / 2
3 3
【分析】首先求四棱锥的高，再根据体积公式，即可求解.
【解析】作PO ^平面 ABCD，垂足为点O，点O为正方形 ABCD的中心，连结OA，
2 2 2
OA 4 + 4= = 2 2 ， AP = 4 ，所以PO = 42 - 2 2 = 2 2 ，2
1 32 2
所以四棱锥的体积V = 4 4 2 2 = .
3 3
32 2
故答案为：
3
3．若圆锥的侧面展开图是一个半径为 2圆心角为120o的扇形，则该圆锥的体积为 ．
16 2
【答案】 π
81
【分析】计算出圆锥的底面半径，进而可求得该圆锥的高，利用锥体的体积公式可求得该圆锥的体积.
2π 2π 2
【解析】设圆锥的底面半径为 r ，扇形的圆心角为 ，由题意可得 2 = 2πr ，解得 r = ，
3 3 3
2
该圆锥的高为 h = 22 - 2 4 2 ÷ = ,
è 3 3
1 1 2 2V πr 2h π 4 2 16 2因此，该圆锥的体积为 = = ÷ = π .3 3 è 3 3 81
16 2
故答案为： π .
81
4．已知正三棱锥P - ABC 的底面边长为 6，点 P 到底面 ABC 的距离为 3，则三棱锥的表面积是
【答案】 27 3
【分析】先求出底面三角形的中心到底面三角形的边的距离及正三棱锥的斜高，再根据棱锥的表面积公式
即可求解.
1 3
【解析】由题意可知底面三角形的中心到底面三角形的边的距离为 6 = 3 ，
3 2
2
所以正三棱锥的斜高为 32 + 3 = 2 3 ，
1 1 2
所以这个正三棱锥的侧面积为3 6 2 3 = 18 3 ，底面积为 6 sin 60° = 9 3 ， 2 2
所以正三棱锥P - ABC 的表面积为18 3 + 9 3 = 27 3 .
故答案为: 27 3 .
5．正四棱锥的底面边长为 2，侧面与底面成角为45°，则它的表面积为 ．
【答案】 4 2 + 4
【分析】先证明 PGO 为侧面与底面成角的平面角，再利用边角关系计算表面积.
【解析】如图所示：PO ^平面 ABCD，G 为 AD 中点，连接PG,OG
易知： AD ^ PG, AD ^ OG，故 PGO 为侧面与底面成角的平面角
则PO = GO =1, PG = 2
S = 4S 1DPAD + SABCD = 4 2 2 + 2 2 = 4 2 + 4 2
故答案为 4 2 + 4
【点睛】本题考查了表面积的计算，找到二面角的平面角是解题的关键.
6．某几何体的三视图如图所示(单位： cm )，则该几何体的表面积(单位： cm2 )为 ．
【答案】32
【分析】根据俯视图发现几何体底面为直角三角形，有一条棱与底面垂直，那么四个面都是直角三角形，
画出几何体的直观图，求四个直角三角形面积之和即为表面积．
1 1 1 1
【解析】该几何体的直观图如图所示，表面积为 S = 3 4 + 5 4 + 3 4 + 4 5
2 2 2 2
= 6 +10 + 6 +10 = 32 .
故答案为：32 .
7．已知在正四棱锥P- ABCD 2中，底面是边长为1的正方形，棱锥的高为 ，则该四棱锥的侧面积等于 ．
2
【答案】 3
【分析】由正四棱锥的性质结合已知条件求出正四棱锥的侧棱长，可知其侧面为等边三角形，从而求得侧
面积.
【解析】如图，由正四棱锥的性质知，PO ^平面 ABCD
2 2
△POC PO 2
在直角 中， = ，CO 1= 12 +12 2= ，则PC 2= + 2 =1
2 2 2 2 ÷÷ 2 ÷÷è è
所以该正四棱锥的侧面为边长为 1 的等边三角形，
S 4 1所以侧面积 = 1 1 sin 60o 3= 2 = 3
2 2
故答案为： 3
8．棱长为 1 的正方体纸盒展开后如图所示，则在原正方体纸盒上，分别将M , N ,C, D 四点两两相连，构成
的几何体的表面积为 ．
【答案】 2 3
【分析】在原正方体纸盒上，分别将M , N ,C, D 四点两两相连，即可得出D - MNC 为正四面体，求出表面
积即可．
【解析】在原正方体纸盒上，分别将M , N ,C, D 四点两两相连，如图所示，
因为MN , MC, MD, ND, NC,CD 为正方体的面对角线，
所以MN = MC = MD = ND = NC = CD = 2 ，
所以D - MNC 为正四面体，
3
所以表面积为： ( 2)2 4 = 2 3 ，
4
故答案为： 2 3 ．
9．陕西历史博物馆收藏的“独孤信多面体煤精组印”是一枚形状奇特的印信（如图 1），它的形状可视为一个
26面体，由18个正方形和8个正三角形围成（如图2）． 已知该多面体的各条棱长均为1，则其体积
为 ．
4 10+ 2 10/ 2 + 4 / 10 2 4 / 4 10 2【答案】 3 3 + +3 3
【分析】该多面体可以看作为正方体截取一部分构成，把复杂的几何体转化为简单几何体构成即可.
【解析】
如图，该多面体可以看做由一个棱长为 2 +1的正方体截去 8 个如①三棱柱和 8 个如②四棱锥和 12 个如③
三棱柱构成，
① 2 2为底面为以两直角边为 的等腰直角三角形，高为 的直三棱柱，其体积为：
2 2
V 1 2 2 2 21 = =2 2 2 2 8
② 2 1为底面为以棱长为 和 1 的矩形，高为 2 的四棱锥其体积为：2
V2 =
1 2 1 2
1 =
3 2 2 12
③ 2为底面为以两直角边为 的等腰直角三角形，高为1的直三棱柱，其体积为：
2
V3 =
1 2 2
1= 1
2 2 2 4
2 1 3 8V 8V 12V 4 10所求多面体体积为： + - 1 - 2 - 3 = + 23
4 10故答案为： + 2 .3
10．正方体 ABCD - A1B1C1D1 为不计容器壁厚度的密封容器，里面盛有体积V 的水，已知 AB =1，若将该密
封容器任意摆放均不使水面呈三角形，则V 的取值范围为 .
1 , 5 【答案】 6 6 ÷è
【分析】分别计算水量较少和水量较多时，水面呈三角形时的水的体积，然后可得答案.
1 1 1
【解析】水量较少，水面恰好为正方体的截面 ACB1时，V = AB × BC × BB1 = ；3 2 6
水量较多，水面恰好为正方体的截面 A1C1D 时，V =1 1
1 1 5
1- A D × D C × DD = .
3 2 1 1 1 1 1 6
1 5
因为该密封容器任意摆放均不能使水面呈三角形，所以 V 的取值范围为 ,6 6 ÷
.
è
1 5
故答案为： ,6 6 ÷
.
è
11．已知三棱锥P - ABC 的三条侧棱两两垂直，且其外接球半径为 2，则 SVPAB + SVPAC + SVPBC 的最大值
为 ．
【答案】8
【分析】由长方体模型得出 a2 + b2 + c2 =16，再由基本不等式得出最值.
【解析】设PA = a, PB = b, PC = c ，因为三棱锥P - ABC 的三条侧棱两两垂直，
a2 + b2 + c2
所以由长方体模型可知， = 2，即 a2 + b2 + c2 =16 .
2
S S S 1 1+ + é 2 2 2 2 2 2 ù 1VPAB VPAC VPBC = ab + ac + bc a + b + a + c + b + c = 32 = 8，当且仅当2 4 4
a 4 3= b = c = 时，取等号.
3
即 SVPAB + SVPAC + SVPBC 的最大值为8 .
故答案为：8
12．两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放入棱长为 2 的正方体中，重合的底面与正方体的
某一个面平行，且八面体的各顶点均在正方体的表面上，将满足上述条件的八面体称为正方体的“正子体”.
则此正子体的表面积 S 的取值范围是
【答案】[4 3,8 2]
【分析】如图正子体，设 AB=a，由正四棱锥的性质可求 S = 2a 4 + a2 ，再结合条件及二次函数的性质可求
a [ 2, 2]，进而即得.
【解析】
如图正子体，由题可知 PQ=2，取 PQ,BC 的中点分别为 O，E，连接 OE，PE，设 AB=a，
a
由正四棱锥的性质可知，OE = 2 ，
PO=1，
∴ PE 1 (a )2 4 + a
2
= + = ，
2 2
∴ S 1 BC PE 1
2 2
VPBC = × = ×a
4 + a a 4 + a
× = ，
2 2 2 4
∴此正子体的表面积 S = 8SVPBC = 2a 4 + a
2 ，
如图设平面 ABCD 截正方体所得截面为 A1B1C1D1，设 AB1 = x, (0 x 2)，则BB1 = 2 - x ，
由 AB2 = AB 21 + B B
2
1 ，可得 a = x2 + (2 - x)2 = 2x2 - 4x + 4 = 2(x -1)2 + 2 ，
由0 x 2可知 a = 2(x -1)2 + 2 [ 2, 2]，
∴ S = 2a 4 + a2 [4 3,8 2] .
故答案为：[4 3,8 2]
二、单选题
13．已知圆锥的侧面展开图为一个半径为 18，圆心角为 120°的扇形，则该圆锥的体积为（ ）
A． 432 2π B． 216 2π C．144 2π D．12 2π
【答案】C
【分析】分别求出圆锥的底面半径和高即可求出圆锥的体积.
【解析】解：由题意
在圆锥中，设底面半径为 r
圆锥的侧面展开图为一个半径为 18，圆心角为 120°的扇形
∴ 2πr
120°
= 2π 18
360°
解得： r = 6
由几何知识得
圆锥的高： h = 182 - 62 =12 2
1 1
∴ 2圆锥体积：V = πr h = π 62 12 2 =144 2π
3 3
故选：C.
14．在三棱锥 P-ABC 中，D、E 分别是 PB、PC 的中点，记三棱锥 D-ABE 的体积为V1，三棱锥 P-ABC 的体
V
V 1积为 2，则V 的值为（ ）2
1 1 1 1
A． B． C． D．
3 4 6 12
【答案】B
【分析】两个同底的棱锥的体积比等比它们的高的比，而高的比又可转化为与底面相交的棱长的比，得出
VP- ADE = VB- ADE ，VP- ABE = VC- ABE ，进一步计算得出结果.
【解析】由于D是 PB中点，所以P, B到平面 ADE 的距离相等，∴VP- ADE = VB- ADE ，
同理E 是PC 中点，VP- ABE = VC- ABE ，
V 1
V V 1
∴ = V
1 1 = D- ABE =
D- ABE 2 P- ABE
= V
4 P- ABC
，V ．2 VP- ABC 4
故选：B.
3
15．已知四面体 ABCD的外接球的球心为O，点O在四面体 ABCD内部， BC = OA2 ， AB = AC = AD .过点A
作平面a 截球O得到圆面O ，若圆O 的面积的最大值为16p ，且DBCD为等边三角形，则四面体 ABCD的
表面积为（ ）
A．18( 13 + 3) B．18( 39 + 3) C．9( 39 + 3) D．9( 13 + 3)
【答案】C
3
【解析】易得球O的半径为R = 4，BC = OA = 6，设DBCD的中心为E ，
2 OE = R
2 - BE 2 = 2，
BE BC
2
= 2 3 ， AE = 6，则 AB = AE 2 + BE 2 = 4 3，进一步得到BC 边上的高h = AB2 - 2 ÷
，从而使问题
è
得以解决.
【解析】设球O的半径为 R ，因为圆O 的面积的最大值为16p ，所以 pR2 = 16p ，解得R = 4 .
因为 AB = AC = AD ，DBCD为等边三角形，所以四面体 ABCD为正三棱锥，
因为 BC
3
= OA，OA = R = 4 ，所以BC = 6，设DBCD2 的中心为E ，则BE = 2 3 ，
易知 AE ^ 平面BCD，所以OE = R2 - BE2 = 42 - (2 3)2 = 2，
由点O在四面体 ABCD内部，可得 AE = OA + OE = 6，所以 AB = AE2 + BE2 = 62 + (2 3)2 = 4 3 .
在DABC中， AB = AC = 4 3 ，BC = 6，所以BC 边上的高
h AB2 BC
2
= - ÷ = (4 3)
2 - 32 = 39 ，
è 2
1 1 o
所以四面体 ABCD的表面积为 3 6 39 + 6 6sin 60 = 9( 39 + 3) .2 2
故选：C.
【点睛】本题考查三棱锥与球的切接问题，考查学生的空间想象能力以及数学运算能力，是一道中档题.
16．如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，动点E 在棱BC 上，动点F 在线段 A1C1上，O为底面 ABCD的中
心，若 BE = x, A1F = y ，则四面体O - AEF 的体积（ ）
A．与 x, y都有关 B．与 x 有关，与 y 无关
C．与 y 有关，与 x 无关 D．与 x, y都无关
【答案】B
1
【分析】作出辅助线，求出 SVAOE = a a - x ，点F 到平面 ABCD的距离为定值 a，故四面体O - AEF 体积4
为V
1
= a2 a - x ，得到体积与 x 有关，与 y 无关.
4
【解析】连接 AC，BD 相交于点 O，过点 E 作 EG⊥AC 于点 G，
设正方体 ABCD - A1B1C
2
1D1 的边长为 a，则 AO = BO = a，
2
因为平面 A1B1C1D1 / / 平面 ABCD， A1C1 平面 A1B1C1D1，
所以 A1C1 / / 平面 ABCD，
因为动点F 在线段 A1C1上，所以点F 到平面 ABCD的距离为定值 a，
因为BE = x ，故CE = a - x ，
GE a - x
GE CE =
由相似知识可知： = ，即 2 a ，BO BC a
2
所以GE 2= a - x ，
2
S 1 1 2 2VAOE = AO × EG = a a
1
- x = a a - x ，
2 2 2 2 4
O AEF V 1 S a 1故四面体 - 的体积为 = VAOE × = a
2 a - x ，
3 12
故体积与 x 有关，与 y 无关.
故选：B
三、解答题
3
17．如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中，已知 AC = BC = 2， AA1 = ， AB = 2 2 .2
(1)求四棱锥 A - BCC1B1 的体积；
(2)求直线 AC1与平面 ABB1A1所成的角的余弦值.
【答案】(1) 2；
(2) 17 .
5
【分析】（1）由题意可证 AC ^面BCC1B1，则四棱锥 A - BCC1B
1
1 的体积为VA-BCC B = SBCC B × AC ，即可得到1 1 3 1 1
答案.
（2）取 A1B1 的中点为D，连接C1D ， AD ，可证得 C1AD 为直线 AC1与平面 ABB1A1所成的角，设为q ，
则 cosq
AD
=
AC ，即可得到答案.1
【解析】（1）由题意知，三棱柱 ABC - A1B1C1 为直三棱柱，
故C1C ^面 ABC
AC 面 ABC
C1C ^ AC
AC = BC = 2， AB = 2 2
\ AC ^ BC
C1C I BC = C ，C1C, BC 面BCC1B1
\ AC ^面BCC1B1
S 3BCC B = 2 = 31 1 2
V 1 1A-BCC1B = SBCC B × AC = 3 2 = 21 3 1 1 3
（2）取 A1B1 的中点为D，连接C1D ， AD
由题意知 AA1 ^ 面 A1B1C1，C1D 面 A1B1C1
\ AA1 ^ C1D
Q A1B1C1 为等腰直角三角形，D为 A1B1 的中点
\C1D ^ A1B1
AA1 I A1B1 = A1, AA1, A1B1 面 ABB1A1
\C1D ^ 面 ABB1A1
\ C1AD为直线 AC1与平面 ABB1A1所成的角，设为q
AC 22 3
2
5
1 = + ÷ =
è 2 2
3
2
2AD 2 17= ÷ + =
è 2 2
cosq AD 17= =
AC1 5
故直线 AC1与平面 ABB1A
17
1所成的角的余弦值为 .
5
18．如图，三棱锥P - ABC 的主视图由两个相同的等腰直角三角形组成，左视图和俯视图均是等腰直角三
角形.
(1)求三棱锥P - ABC 的体积;
(2)求三棱锥P - ABC 的表面积.
1
【答案】(1)V = ；
3
(2) S = 2 + 3 .
【分析】(1)由三视图确定几何体的直观图，结合锥体体积公式求解.
(2)分别求锥体各面的面积，由此可得其表面积.
【解析】（1）由三视图可得该三棱锥的直观图如下：
其中VABC 为直角三角形， ABC = 90o ，OA = OC = OP = OB =1，
PO ^平面 ABC ，
底面VABC 面积 S△ABC =1，
三棱锥P - ABC 的高 h =1，
1 1
三棱锥P - ABC 的体积V = SVABCh = ；3 3
（2）△PAC 面积 S△PAC =1，
VPAB 与VPBC各边长均为 2 ，
SVPAB = S
3
VPBC = ，又VABC 面积 S△ABC =1，2
所以三棱锥P - ABC 的表面积. S = 2 + 3 .
19．如图，圆锥的底面直径与母线长均为 4，PO 是圆锥的高，点 C 是底面直径 AB 所对弧的中点，点 D 是
母线 PA 的中点.
(1)求该圆锥的体积；
(2)求直线 CD 与平面 PAB 所成角的大小.
【答案】(1) 8 3p
3
p
(2)
4
【分析】（1）根据圆锥的体积公式计算出圆锥的体积.
（2）作出直线 CD 与平面 PAB 所成角，解直角三角形求得角的大小.
【解析】（1）依题意可知圆锥的底面半径 r = 2，高OP = 42 - 22 = 2 3 ，
1 8 3p
所以圆锥的体积为 p 22 2 3 = .
3 3
1
（2）连接OD ，由于D是PA的中点，所以OD = PA = 2，
2
由于C 是弧 AB 的中点，所以OC ^ AB，
根据圆锥的几何性质可知OC ^ OP, AB OP = O ，
所以OC ^平面PAB，所以 ODC 是直线 CD 与平面 PAB 所成角的平面角.
p p
在RtVODC 中， COD = ,OD = OC = 2，所以 ODC = .
2 4
p
即直线 CD 与平面 PAB 所成角的大小为 .
4
20．如图，正方体 ABCD- A B C D 的棱长为 a，连接 A C , A D, A B, BD, BC ,C D，，得到一个三棱锥；求：
(1)三棱锥 A - BC D的表面积与正方体表面积的比值；
(2)三棱锥 A - BC D的体积．
3
【答案】(1)
3
3
(2) a
3
【分析】（1）利用正三棱锥及正方体的表面积公式计算即可；
（2）利用割补法求体积即可.
【解析】（1）∵ ABCD- A B C D 是正方体，
∴六个面都是正方形，
∴ A C = A B = A D = BC = BD = C D = 2a，即三棱锥 A′-BC′D 为正三棱锥，
2
∴ S = 4 3 2a = 2 3a2，S正方体 = 6a2 ，三棱锥 4
S
∴ 三棱锥
3
= .
S正方体 3
（2）显然，三棱锥 A - ABD,C - BCD, D - A D C , B - A B C 是完全一样的，
∴V三棱锥A -BC D = V正方体 - 4V三棱锥A - ABD
a3 1 a
2 a3
＝ - 4 a = .
3 2 3
21．如图，四棱锥P- ABCD的底面是直角梯形， AD / /BC ， AD = 3BC = 6，
PB = 6 2 ，点M 在线段 AD 上，且MD = 4， AD ^ AB，PA ^平面 ABCD .
（1）求证：平面PCM ^平面PAD ；
（2）当四棱锥P- ABCD的体积最大时，求四棱锥P- ABCD的表面积.
【答案】（1）见解析.
（2）6 10 + 22 + 2 .
【解析】【试题分析】（1）利用 AM / /BC, AM = BC 结合直角梯形，可知四边形 ABCM 是矩形，故
CM ^ AD ，由于PA ^平面 ABCD，所以PA ^ CM ，故CM ^平面PAD .由此证得平面PCM ^平面PAD .
4
（2）根据体积公式计算得V = AB × PA，即只需 AB × PA取得最大值.利用基本不等式可求得 AB × PA的最大
3
值为36，再通过体积公式可计算得表面积.
【试题解析】（1）由 AD = 6, DM = 4可得 AM = 2，
易得四边形 ABCM 是矩形，∴ CM ^ AD ，
又PA ^平面 ABCD，CM 平面 ABCD，∴ PA ^ CM ，
又PM AD = M ，PM , AD 平面PAD ，∴ CM ^平面PAD ，
又CM 平面PCM ，∴平面PCM ^平面PAD
1 1 4
（2）四棱锥P - ABCD 的体积为V = × × AD + BC × AB × PA = × AB × PA，
3 2 3
要使四棱锥P - ABCD 的体积取最大值，只需 AB × PA取得最大值.
由条件可得PA2 + AB2 = PB2 = 72，∴ 72 2PA × AB，即PA × AB 36，
当且仅当PA = AB = 6时，PA × AB取得最大值 36.
PC = 2 19 ，PD = 6 2 ，CD = 2 13 ，
2 2 2
cos CPD PC + PD - CD 2 2= = ，则 sin CPD 11= ，
2 × PC × PD 19 19
1
∴ SDPCD = × PC × PD ×sin CPD = 6 22 ，2
则四棱锥P - ABCD 的表面积为
1 6 2 6 1× + × + ×6 ×6 ×2 + 1 ÷ ×2 ×6 2 + 6 22 = 6 10 + 22 + 2 .2 è 2 2
22．如图 1，正四棱锥P- ABCD， AB = PA = 4 .
(1)求此四棱锥的外接球的体积；
(2)M 为 PC 上一点，求MA + MB的最小值；
(3)将边长为 4 的正方形铁皮用剪刀剪切后，焊接成一个正四棱锥（含底面），并保持正四棱锥的表面与正方
形的面积相等，在图 2 中用虚线画出剪刀剪切的轨迹，并求焊接后的正四棱锥的体积.
(1) 64 2【答案】 π
3
(2) 2 6 + 2 2
(3) 8 2
3
【分析】(1)根据外接球与正四棱锥的关系，利用勾股定理求出外接球半径即可求解；（2）将空间图形转化
为平明图形，根据两点间线段最短即可求解；(3)结合勾股定理确定四棱锥的底面边长和高即可求解.
【解析】（1）
如图,设外接球的半径为 R ,
AC = AB2 + BC 2 = 4 2 , PO1 = PA
2 - AO21 = 2 2 ,
2
所以R2 = AO21 + PO
2
1 - R ,即R2 = 8 + 2 2 - R ,解得R = 2 2 ,
4π 64 2
所以外接球体积V = R3 = π .
3 3
（2）
如图，将VPBC展开到与平面PAC 在同一个平面，
此时MA + MB AB ,
在VPAB 中， AB2 = 42 + 42 - 2 4 4 cos150o = 32 +16 3 ，
AB 4 2 3 4 4 + 2 3 4( 3 +1)所以 = + = = = 2 6 + 2 2 ,
2 2
所以MA + MB的最小值为 2 6 + 2 2 .
（3）
联想到勾股定理证明，可设直角三角形的两条直角边长为 x, y(y > x) ，
ìx + y = 4 ìx =1
于是 íy x ，解得 ， - = 2
í
y = 3
则构成以 2为底面边长，高为 2 2 的正四棱锥，
V 1所以 = 4 ×2 2 8 2= .
3 311.2 锥体（第 2 课时）
分层练习
题型 1：锥体的体积计算
1．正四棱锥的所有棱长均为 1，则它的体积是 .
2．底面边长和侧棱长都是 a的正三棱锥的体积是 ．
3．已知圆锥侧面展开图的周长为 4 + 2p ，面积为2p ，则该圆锥的体积为 ．
4．已知正三棱锥P - ABC 的底面边长为 2 3 ，体积为3 5 ，则底面VABC 的中心O到侧面PAB的距离是 .
5．如图，已知正三棱锥 S - ABC 的顶点 S 在一个半球面上，底面VABC 的三个顶点 A, B,C 在半球底面的圆
周上，若 AB = a ，则该三棱锥的体积为 ．
6．把 y = x 和 y =1所围成的封闭图形绕 y 轴旋转一周，所得几何体体积为 .
7．现有一个帐篷，它下部分的形状是高为1 m的正六棱柱，上部分的形状是侧棱长为3 m的正六棱锥（如
图所示）当帐篷的体积最大时，帐篷的顶点 O 到底面中心O1的距离为（ ）
2 3
A． m B．1 m C． m D． 2m
3 2
8．已知某几何体由两个有公共底面的圆锥组成，两个圆锥的顶点分别为A ， B ，底面半径为 R ．若
AB + 3R = 9，则该几何体的体积最大时，以 R 为半径的球的体积为（ ）
32π
A．4π B．8π C． D．16π
3
9．如图，点 C 在圆锥 PO 的底面圆 O 上，AB 是直径，AB=8，∠BAC=30°，圆锥的母线与底面成的角为 60°，
则点 A 到平面 PBC 的距离为（ ）
8
A． 5 B5 ．2 6
8
C． 15 D．
5 15
10．《算数书》竹简于 20 世纪 80 年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的成系统的数学典籍，
其中记载有求“困盖”的术：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”该术相当于给出了由圆锥的
1
底面周长 L h 2与高 计算其体积 V 的近似公式V L h．它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率p 近似取为
36
7
3 2．那么，近似公式V L h相当于将圆锥体积公式中的p 近似取为（ ）
264
22 25 157 355
A． B． C． D．
7 8 50 113
题型 2：锥体的表面积计算
11．棱长都是 3 的三棱锥的侧面积 S 为 ．
12．已知正三棱锥的侧面积是 27cm2 ，底面边长是 6cm，则它的高是 cm．
13．已知三棱锥 A - BCD中， AB = CD = 2， AD = AC = BC = BD = 3，则该三棱锥内切球的表面积
为 ．
14．在《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，若四棱锥 S - ABCD
为阳马，侧棱 SA ^ 底面 ABCD，且 SA = BC = AB = 2，则该阳马的表面积为 ．
15．已知球 O 半径为 4，球面上存在三点 A，B，C 构成以 BC 为斜边的直角三角形，且BC=4 3，P 为球
面上区别于 A，B，C 的另一点，当三棱锥 P-ABC 体积最大时，其表面积为 ．
16．已知正四棱柱 ABCD - A1B1C1D1 中， AB = 2 ， AA1 = 3，O为上底面中心.设正四棱柱 ABCD - A1B1C1D1 与
S
正四棱锥O - A1B1C1D1的侧面积分别为 S S
2
1， 2 ，则 =S .1
17．已知四面体各棱的长均为 1，则这个四面体的表面积为 .
18．正三棱锥的一个侧面与底面的面积之比为 2 : 3，则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的大小
为 ．
19．已知正三棱锥P - ABC 3的侧面与底面所成的二面角为60°，且正三棱锥的体积为 ，则其侧面积
24
为 ．
20．若一个圆锥的侧面展开图是圆心角为120°，半径为 1 的扇形，则这个圆锥的表面积与侧面积的比是 .
21．如图所示，以圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，则该圆锥与圆柱等底等高.
若圆锥的轴截面是一个正三角形，则圆柱的侧积面与圆锥的侧面积之比为 .
22．半径为 3 的半圆形纸片卷成一个无盖圆锥筒，则圆锥筒的高为 ．
23．等腰直角三角形直角边长为 1，现将该三角形绕其某一边所在直线旋转一周，则所形成的几何体的表面
积为 .
题型 3：锥体的体积与表面积计算难点突破
24．已知圆锥的底面半径为 3，侧面积是6p ，在其内部有一个正方体可以任意转动，则正方体的体积的最
大值是 ．
25．如图圆锥内的球O与圆锥的侧面与底面都相切，且球的半径为1，则圆锥侧面积的最小值为 ．
26．圆锥W的底面半径为 2，其侧面展开图是圆心角大小为180o 的扇形.正四棱柱 ABCD- A B C D 的上底面
的顶点 A , B ,C , D 均在圆锥W的侧面上，棱柱下底面在圆锥W的底面上，则此正四棱柱体积的最大值为 ．
27 3．已知一正三棱锥的体积为 ，设其侧面与底面所成锐二面角为q ，则当 tanq 等于 时，侧面积最
2
小．
28．两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放入棱长为 2 的正方体中，重合的底面与正方体的
某一个面平行，且八面体的各顶点均在正方体的表面上，将满足上述条件的八面体称为正方体的“正子体”.
则此正子体的表面积 S 的取值范围是
一、填空题
1．已知一个圆锥的体积为3π，高为 3，则该圆锥的母线与底面所成角的大小是 .
2．如图，在正四棱锥P- ABCD中， AP = AB = 4，则正四棱锥的体积为 .
3．若圆锥的侧面展开图是一个半径为 2圆心角为120o的扇形，则该圆锥的体积为 ．
4．已知正三棱锥P - ABC 的底面边长为 6，点 P 到底面 ABC 的距离为 3，则三棱锥的表面积是
5．正四棱锥的底面边长为 2，侧面与底面成角为45°，则它的表面积为 ．
6．某几何体的三视图如图所示(单位： cm )，则该几何体的表面积(单位： cm2 )为 ．
7 2．已知在正四棱锥P- ABCD中，底面是边长为1的正方形，棱锥的高为 ，则该四棱锥的侧面积等于 ．
2
8．棱长为 1 的正方体纸盒展开后如图所示，则在原正方体纸盒上，分别将M , N ,C, D 四点两两相连，构成
的几何体的表面积为 ．
9．陕西历史博物馆收藏的“独孤信多面体煤精组印”是一枚形状奇特的印信（如图 1），它的形状可视为一个
26面体，由18个正方形和8个正三角形围成（如图2）． 已知该多面体的各条棱长均为1，则其体积为 ．
10．正方体 ABCD - A1B1C1D1 为不计容器壁厚度的密封容器，里面盛有体积V 的水，已知 AB =1，若将该密
封容器任意摆放均不使水面呈三角形，则V 的取值范围为 .
11．已知三棱锥P - ABC 的三条侧棱两两垂直，且其外接球半径为 2，则 SVPAB + SVPAC + SVPBC 的最大值
为 ．
12．两个相同的正四棱锥底面重合组成一个八面体，可放入棱长为 2 的正方体中，重合的底面与正方体的
某一个面平行，且八面体的各顶点均在正方体的表面上，将满足上述条件的八面体称为正方体的“正子体”.
则此正子体的表面积 S 的取值范围是
二、单选题
13．已知圆锥的侧面展开图为一个半径为 18，圆心角为 120°的扇形，则该圆锥的体积为（ ）
A． 432 2π B． 216 2π C．144 2π D．12 2π
14．在三棱锥 P-ABC 中，D、E 分别是 PB、PC 的中点，记三棱锥 D-ABE 的体积为V1，三棱锥 P-ABC 的体
V1
积为V2，则V 的值为（ ）2
1 1 1 1
A． B． C． D．
3 4 6 12
15．已知四面体 ABCD的外接球的球心为O，点O在四面体 ABCD内部， BC 3= OA， AB = AC = AD .2 过点A
作平面a 截球O得到圆面O ，若圆O 的面积的最大值为16p ，且DBCD为等边三角形，则四面体 ABCD的
表面积为（ ）
A．18( 13 + 3) B．18( 39 + 3) C．9( 39 + 3) D．9( 13 + 3)
16．如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，动点E 在棱BC 上，动点F 在线段 A1C1上，O为底面 ABCD的中
心，若 BE = x, A1F = y ，则四面体O - AEF 的体积（ ）
A．与 x, y都有关 B．与 x 有关，与 y 无关
C．与 y 有关，与 x 无关 D．与 x, y都无关
三、解答题
3
17．如图，在直三棱柱 ABC - A1B1C1 中，已知 AC = BC = 2， AA1 = ， .2 AB = 2 2
(1)求四棱锥 A - BCC1B1 的体积；
(2)求直线 AC1与平面 ABB1A1所成的角的余弦值.
18．如图，三棱锥P - ABC 的主视图由两个相同的等腰直角三角形组成，左视图和俯视图均是等腰直角三
角形.
(1)求三棱锥P - ABC 的体积;
(2)求三棱锥P - ABC 的表面积.
19．如图，圆锥的底面直径与母线长均为 4，PO 是圆锥的高，点 C 是底面直径 AB 所对弧的中点，点 D 是
母线 PA 的中点.
(1)求该圆锥的体积；
(2)求直线 CD 与平面 PAB 所成角的大小.
20．如图，正方体 ABCD- A B C D 的棱长为 a，连接 A C , A D, A B, BD, BC ,C D，，得到一个三棱锥；求：
(1)三棱锥 A - BC D的表面积与正方体表面积的比值；
(2)三棱锥 A - BC D的体积．
21．如图，四棱锥P- ABCD的底面是直角梯形， AD / /BC ， AD = 3BC = 6，
PB = 6 2 ，点M 在线段 AD 上，且MD = 4， AD ^ AB，PA ^平面 ABCD .
（1）求证：平面PCM ^平面PAD ；
（2）当四棱锥P- ABCD的体积最大时，求四棱锥P- ABCD的表面积.
22．如图 1，正四棱锥P- ABCD， AB = PA = 4 .
(1)求此四棱锥的外接球的体积；
(2)M 为 PC 上一点，求MA + MB的最小值；
(3)将边长为 4 的正方形铁皮用剪刀剪切后，焊接成一个正四棱锥（含底面），并保持正四棱锥的表面与正方
形的面积相等，在图 2 中用虚线画出剪刀剪切的轨迹，并求焊接后的正四棱锥的体积.
