12. 3 频率与概率
分层练习
题型 1：计算频率
1． n次实验中，由于事件A 发生的次数至少为 0，至多为 n，因此事件A 的频率范围为 ．
【答案】 0,1
【分析】根据频率的计算方法即可得到答案.
é0 n ù
【解析】根据频率的范围可知事件A 的频率范围为 ê , ú，即 0,1 ， n n
故答案为： 0,1 .
2．“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现
象．某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的 50 人中，有 14 人持认可态
度，其余持反对态度，若该地区有 7600 人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有 人．
【答案】5472
【分析】求出在随机抽取的 50 人中，持反对态度的有 36 人，即可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的人数.
【解析】由题意，在随机抽取的 50 人中，持反对态度的有 36 人，
36
故可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的约有7600 = 5472 .
50
故答案为：5472 .
3．投掷硬币的结果如下表：
投掷硬币的次数 200 500 c
正面向上的次数 102 b 404
正面向上的频率 a 0.482 0.505
则a = ，b = ， c = ．
据此可估计若掷硬币一次，正面向上的概率为 ．
51 1
【答案】 0.51/ 241 800 0.5/
100 2
【分析】由频数、试验次数与频率的关系求 a,b,c，再由频率的稳定性估计概率.
102
【解析】 a = = 0.51，b = 500 0.482 = 241，
200
c 404= = 800 .
0.505
三组试验正面向上的频率都在 0.5 附近，
由频率的稳定性，估计若掷硬币一次，正面向上的概率应为 0.5.
故答案为：0.51；241；800；0.5.
题型 2：频率与概率的关系
4．某事件A 的概率是0.97 ，下列说法正确的是 ．
（1）A 发生的可能性是97%；
（2）在 10000 个试验中，事件A 发生 9700 次；
（3）随着试验次数的不断增大，A 发生的频率逐渐稳定到0.97 ，且在它附近摆动．
【答案】（1）（3）
【分析】根据频率和概率的定义，依次判断即可．
【解析】事件A 的概率是0.97 ，A 发生的可能性是97%，（1）正确；
通过概率定义可以分析出，出现的事件是在一个固定值波动，并不是一个确定的值，则在 10000 个试验中，
应该事件A 发生 9700 次左右，不一定发生 9700 次，（2）错误；
因为频率随着实验的次数的不同而不同，随着试验次数的增大，
频率逐渐趋向于概率的值，随着试验次数的不断增大，A 发生的频率逐渐稳定到0.97 ，且在它附近摆
动．（3）正确；
故答案为：（1）（3）.
5．下列说法：①设有一批产品，其次品率为 0.05，则从中任取 200 件，必有 10 件次品；②做 100 次抛硬
币的试验，有 51 次出现正面.因此出现正面的概率是 0.51；③随机事件 A 的概率是频率的稳定值；④随机
事件 A 的概率趋近于 0，即P A 趋近于 0，则 A 是不可能事件；⑤抛掷骰子 100 次，得点数是 1 的结果是
9
18 次，则出现 1 点的频率是 ；⑥随机事件的频率就是这个事件发生的概率；其中正确的有 .
50
【答案】③⑤
【分析】根据概率、频率的定义逐一分析判断即可.
【解析】概率指的是无穷次试验中，出现的某种事件的频率总在一个固定的值的附近波动，这个固定的值
就是概率.
①通过概率定义可以分析出，出现的事件是在一个固定值波动，并不是一个确定的值，则本题中从该批产
品中任取 200 件，应该是 10 件次品左右，不一定出现 10 件次品，错误；
②100 次抛硬币的试验并不是无穷多次试验，出现的频率也不是概率，事实上硬币只有两个面，每个面出
现的概率是相等的，所以因此出现正面的概率是 0.5，错误；
③随机事件的概率是通过多次试验，算出频率后来估计它的概率的，当试验的次数多了，这个频率就越来
越接近概率，所以随机事件 A 的概率是频率的稳定值，正确；
④随机事件 A 的概率趋近于 0，说明事件 A 发生的可能性很小，但并不表示不会发生，错误；
18 9
⑤抛掷骰子 100 次，得点数是 1 的结果是 18 次，则出现 1 点的频率是 =100 50 ，正确；
⑥根据概率的定义，随机事件的频率只是这个事件发生的概率的近似值，它并不等于概率，错误；
综上，正确的说法有③⑤.
故答案为：③⑤
6．下列说法中，正确的序号是 ．
①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；
m
②做 n 次试验，事件 A 发生 m 次，则事件 A 发生的频率 就是事件 A 的概率；
n
③频率是不能脱离 n 次试验的试验值，而概率是具有稳定性的不依赖于试验次数的理论值；
④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．
【答案】①③④
【分析】根据频率、概率的知识逐一判断即可.
【解析】频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小，故①正确，
频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值，故④正确②错误，
频率是不能脱离 n 次试验的试验值，而概率是具有稳定性的，不依赖于试验次数的理论值，故③正确，
故答案为：①③④
7．关于频率和概率，下列说法中正确的是 ．（填序号）
2
①某同学在罚球线投篮三次，命中两次，则该同学每次投篮的命中率为 3 ；
②数学家皮尔逊曾经做过两次试验，抛掷 12000 次硬币，得到正面向上的频率为 0.5016；抛掷 24000 次硬
币，得到正面向上的频率为 0.5005．如果他抛掷 36000 次硬币，正面向上的频率可能大于 0.5005；
③某类种子发芽的概率为 0.903，当我们抽取 2000 粒种子试种，一定会有 1806 粒种子发芽；
④将一颗均匀的骰子抛掷 6000 次，则出现点数大于 2 的次数大约为 4000 次．
【答案】②④
【分析】根据频率和概率的定义对各个选项进行判断即可.
2
【解析】①某同学投篮三次，命中两次，只能说明在这次投篮中命中的频率为 3 ，不能说概率，故错误；
②进行大量的实验，硬币正面向上的频率在 0.5 附近摆动，可能大于 0.5，也可能小于 0.5,故正确；
③只能说明可能有 1806 粒种子发芽，具有随机性，并不是一定有 1806 粒种子发芽，故错误；
④出现点数大于 2 的次数大约为 4000 次，故正确.
故答案为：②④
题型 3：用频率估计概率
8．一个不透明的盒子中装有若干个红球和 5 个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸
到黑球的频率稳定在 0.25 左右，则盒子中红球的个数约为 ．
【答案】15
【分析】根据频率与概率的关系得出概率，再据此即可列式求红球的个数.
【解析】设盒子中红球的个数为 n，
由摸到黑球的频率稳定在 0.25 左右知，摸到黑球的概率为 0.25，
5
则 = 0.25，
n + 5
解得n =15，
即盒子中红球个数大约 15 个.
故答案为：15
9．在一个不透明的纸盒中装有 2 个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个
球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在 0.8 附近，则袋子中红球约有
个.
【答案】8
【分析】利用频率结合古典概型的计算公式代入即可得出答案.
【解析】因为摸到红球的频率稳定在 0.8 附近，
估计袋中红球个数是 x,Q0.8=
x ,\ x = 8 .
x + 2
故答案为：8 .
10．在一次男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛（比赛采用 3 局 2 胜制），假设每局比赛甲获
胜的概率为 0.6，现采用随机模拟方法估计甲获得冠军的概率，先由计算机产生 1~5 之间的随机数，指定 1，
2，3 表示一局比赛中甲胜，4，5 表示一局比赛中乙胜 经随机模拟产生了如下 20 组随机数：
334 221 433 551 454 452 315 142 331 423
212 541 121 451 231 414 312 552 324 115
据此估计甲获得冠军的概率为 .
【答案】0.65
【分析】由 13 组数据表示甲获得冠军，从而估计出概率.
【解析】20 组数据中，334,221,433,315,142,331,423,212,121,231,312,324,115共 13 组数据表示甲获得冠军，
13
故估计甲获得冠军的概率为 = 0.65 .
20
故答案为：0.65
11．某同学做立定投篮训练，共做 3 组，每组投篮次数和命中的次数如下表所示．
第一组 第二组 第三组 合计
投篮次数 100 200 300 600
命中的次数 68 125 176 369
命中的频率 0.68 0.625 0.587 0.615
根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，那么使误差较小的可能性大的估计值是 ．
【答案】0.615
【分析】根据试验中频率与概率的关系，即可求解.
【解析】由题意知，试验次数越多，频率越接近概率，对可能性的估计误差就越小.
所以使误差较小的可能性大的估计值是0.615 .
故答案为：0.615 .
12．某个地区从某年起几年内的新生婴儿数及其中男婴数如下表：
（1）填写表中的男婴出生频率；（保留两位有效数字）
时间范围 1 年内 2 年内 3 年内 4 年内
新生婴儿数 5544 9013 13520 17191
男婴数 2716 4899 6812 8590
男婴出生频率
（2）这一地区男婴出生的概率约是 .
【答案】 0.49 0.54 0.50 0.50 0.50
【分析】（1）直接计算频率即可；
（2）根据频率估计概率计算即可.
男婴数
【解析】（1）根据男婴出生频率 = 得：
新生婴儿数
2716
1 年内男婴出生频率为 0.49；
5544
4899
2 年内男婴出生频率为 0.54；
9013
6812
3 年内男婴出生频率为 0.50；
13520
8590
4 年内男婴出生频率为 0.50；
17191
（2）根据频率估计概率，频率的稳定值为0.50 ，
所以，这一地区男婴出生的概率约是0.50 .
故答案为：0.49 ；0.54 ；0.50 ；0.50 ；0.50 .
二、解答题
13．某医院对患者就诊后的满意度进行问卷调查，患者在问卷上对就诊满意度进行打分，分值为 0~5 分，
其中满意度打分不低于 4 分表示满意.现随机抽取了 100 位患者的调查问卷，其满意度打分情况统计如下：
满意度打分 0 1 2 3 4 5
人数 1 3 6 10 56 24
(1)估计患者对该医院满意度打分的平均值；
(2)若该医院一周内共有 6000 名患者就诊，估计其中表示满意的患者人数；
(3)医院对抽取的调查问卷中 1 位满意度打 0 分的患者和 3 位满意度打 1 分的患者进行电话回访，并将这四
人随机分成 A，B 两组，每组各两人，求 A 组的两人满意度打分均为 1 分的概率.
【答案】(1)3.89 分
(2)4800 人
(3) 12
【分析】（1）由样本平均数估计总体平均数.
（2）通过样本估计出总体满意的患者占比，即可求出答案.
（3）列出样本空间，由古典概型计算概率即可.
【解析】（1）由列表可知，100 位患者的满意度打分的平均分为：
1 0 + 3 1+ 6 2 +10 3 + 56 4 + 24 5
= 3.89分.
100
所以估计患者对该医院满意度打分的平均值：3.89 分.
56 + 24 4
（2）由列表可知，表示满意的患者占比为 = ，
100 5
4
所以 6000 名患者中表示满意的人数为6000 = 4800人.
5
（3）设打 0 分的患者为 M，打 1 分的患者为 N1， N2 ， N3 ，
则 A 组的两位患者可以为 M , N1 ， M , N2 ， M , N3 ， N1, N2 ， N1, N3 ， N2 , N3 共 6 种组合，
其中两个均为打 1 分的患者共有 3 种组合，
3 1
设事件 C 表示“A 组的两位患者满意度打分均为 1 分”，则P C = = .
6 2
1
所以 A 组的两位患者满意度打分均为 1 分的概率为 2 .
14．一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑球、白球共 20 个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从
中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数 n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的频数 m 58 96 116 295 484 601
m
摸到白球的频率 0.580 0.640 0.580 0.590 0.605 0.601
n
(1)试估计当 n 很大时，摸到白球的频率将会接近多少；
(2)假如你去摸一次，摸到白球或黑球的概率分别约是多少？
【答案】(1)0.6
(2)估计摸到白球的概率是 0.6，摸到黑球的概率约为 0.4
【分析】（1）根据频率估计概率的知识，看随着实验次数的增多，频率在那个值附近即可；
（2）根据频率估计概率的知识和对立事件的概率计算；
【解析】（1）由表可知当 n≥500时，频率值稳定在 0.6 左右，由此可估计，当 n 很大时，摸到白球的频率
将会接近 0.6．
（2）由（1）可知，摸到白球的频率约为 0.6，因此可估计摸到白球的概率是 0.6．由对立事件的概率加法
公式可得，摸到黑球的概率约为1- 0.6 = 0.4 ．
15．某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为 A, B,C 三个等级．加工业务约定：
对于A 级品、 B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费 80 元，50 元，30 元．该厂有甲、乙两个分厂可
承接加工业务，甲分厂加工成本费为 40 元/件，乙分厂加工成本费为 35 元/件．该厂家为决定由哪个分厂承
接加工业务，在两个分厂各试加工了 100 件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C
频数 45 30 25
乙分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C
频数 40 10 50
(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率；
(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的 100 件产品的平均利润，以平均利润为依据，该厂家应选哪个分厂承接
加工业务？
【答案】(1)0.45；0.4
(2)厂家应选甲分厂承接加工业务
【分析】（1）用频率来估算概率，然后求解即可；
（2）根据题意计算平均利润即可.
45
【解析】（1）解：（1）由表可知，甲分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率为 = 0.45，
100
40
乙分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率为 = 0.4．
100
（2）甲分厂加工 100 件产品的总利润为 45 (80 - 40) + 30 (50 - 40) + 25 (30 - 40) =1850元，
所以甲分厂加工 100 件产品的平均利润为 18.5 元，
乙分厂加工 100 件产品的总利润为 40 (80 - 35) +10 (50 - 35) + 50 (30 - 35) =1700元，
所以乙分厂加工 100 件产品的平均利润为 17 元．
故该厂家应选甲分厂承接加工业务．
16．某学生兴趣小组随机调查了某市 100 天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据
得到下表（单位：天）：
锻炼人次
空气质量等级
0,200 200,400 400,600
1（优） 2 16 25
2（良） 5 10 12
3（轻度污染） 6 7 8
4（中度污染） 7 2 0
(1)分别估计该市一天的空气质量等级为 1，2，3，4 的概率；
(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．
【答案】(1)答案见解析
(2) 350
【分析】（1）由表格计算频数，直接计算频率，用频率估计概率即可得结果；
（2）根据题意结合平均数的计数公式运算求解.
【解析】（1）由所给数据，得该市一天的空气质量等级为 1，2，3，4 的频数依次为 43,27,21,9，
则频率依次为0.43,0.27,0.21,0.09，
用频率估计概率，可得概率的估计值如下表：
空气质量等级 1 2 3 4
概率的估计值 0.43 0.27 0.21 0.09
（2）由题意可得：在 0,200 ， 200,400 ， 400,600 内的人次依次为 20，35，45，
1
所以一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为 (100 20 + 300 35 + 500 45) = 350．
100
一、填空题
1．已知随机事件 A 发生的频率是 0.02，事件 A 出现了 10 次，那么可能共进行了 次试验．
【答案】500
【解析】设共进行了 n 次试验，则 ＝0.02，解得 n＝500.
考点：随机事件的试验次数.
2．为了调查某野生动物保护区内某种野生动物的数量,调查人员逮到这种动物 1 200 只作过标记后放回,一星
期后,调查人员再次逮到该种动物 1 000 只,其中作过标记的有 100 只,估算保护区有这种动物 只.
【答案】12 000
【解析】设保护区内有这种动物 x 只,每只动物被逮到的概率是相同的,
1 200 100
∴ = ,
x 1 000
解得 x=12 000.
即估算保护区有这种动物 12000 只.
3．一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，公司收集了 1500 辆汽车的相关信息，时间是从某年
的 5 月 1 日到下一年的 5 月 1 日，共发现有 60 辆汽车的挡风玻璃破碎，则一辆汽车在一年内挡风玻璃破碎
的概率大约是 ．
1
【答案】0.04/
25
【分析】由题中所给数据可算出答案.
【解析】因为公司收集了 1500 辆汽车的相关信息，时间是从某年的 5 月 1 日到下一年的 5 月 1 日，共发现
有 60 辆汽车的挡风玻璃破碎，
60
所以一辆汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率大约是 = 0.04
1500
故答案为：0.04
4．鱼池中共有 N 条鱼，从中捕出 n 条并标上记号后放回池中，经过一段时间后，再从池中捕出 M 条，其
中有记号的有 m 条，则估计 N = ．
nM
【答案】
m
【分析】根据样本中带记号的鱼所占的比例等于总体中带记号鱼所占的比例，即可计算出鱼池中鱼的总条
数.
n m nM
【解析】解：依题意可得 = ，所以 N = ；
N M m
nM
故答案为：
m
5．某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果．某采购商从采购的一批水果中
随机选取 100 个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
等级 标准果 优质果 精品果 礼品果
个数 10 30 40 20
若从这批水果中随机选取 1 个，则这个水果是礼品果的概率为 ．
1
【答案】 / 0.2
5
【分析】由表中数据，结合古典概型的概率计算公式可得答案.
20 1
【解析】由题意，随机选取 100 个水果，其中礼品果有 20 个，即选得礼品果的概率为 = ，
100 5
1
所以这批水果中随机选取 1 个，是礼品果的概率为 ．
5
1
故答案为： .
5
6．甲、乙两名运动员进入男子羽毛球单打决赛，假设比赛打满 3 局，赢得 2 局或 3 局者胜出，用计算机产
生 1~5 之间的随机数，当出现随机数 1，2，3 时，表示一局比赛甲获胜；否则，乙获胜.由于要比赛 3 局，
所以每 3 个随机数为一组，产生 20 组随机数：
423 123 423 344 114 453 525 332 152 342
534 443 512 541 125 432 334 151 314 354
据此估计甲获得冠军的概率为 ；
13
【答案】0.65/
20
【分析】根据题意找出甲获胜的情况，然后利用古典概型的概率公式求解.
【解析】由题意得甲获胜的情况有: 423， 123， 423， 114， 332， 152， 342，
512， 125， 432， 334， 151， 314， 共 13 种，
13
所以估计甲获得冠军的概率为P = = 0.65 .
20
故答案为：0.65
7．在一次男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛（比赛采用 3 局 2 胜制），假设每局比赛甲获
胜的概率为 0.6，现采用随机模拟方法估计甲获得冠军的概率，先由计算机产生 1~5 之间的随机数，指定 1，
2，3 表示一局比赛中甲胜，4，5 表示一局比赛中乙胜 经随机模拟产生了如下 20 组随机数：
334 221 433 551 454 452 315 142 331 423
212 541 121 451 231 414 312 552 324 115
据此估计甲获得冠军的概率为 .
【答案】0.65
【分析】由 13 组数据表示甲获得冠军，从而估计出概率.
【解析】20 组数据中，334,221,433,315,142,331,423,212,121,231,312,324,115共 13 组数据表示甲获得冠军，
13
故估计甲获得冠军的概率为 = 0.65 .
20
故答案为：0.65
8．袋子中有四个小球，分别写有“中 华 民 族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“华”两个字
都取到才停止.用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生 0 到 3 之间取整数值的
随机数，分别用0,1,2,3代表“中 华 民 族”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随
机模拟产生了以下 18 组随机数：
232 321 230 023 123 021 132 220 001
231 130 133 231 031 320 122 103 233
由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为 .
2
【答案】 9
【分析】利用古典概型的随机数法求解.
【解析】由随机产生的随机数可知恰好抽取三次就停止的有021,001,130,031，共 4 组随机数，
4 2
所以恰好抽取三次就停止的概率约为 = ，
18 9
2
故答案为： 9
二、单选题
9．已知使用一剂某种药物治愈某种疾病的概率为 90%，则下列说法正确的是（ ）
A．如果有 100 个这种病人各使用一剂这样的药物，那么有 90 人会被治愈；
B．如果一个患有这种疾病的病人使用两剂这样的药物就一定会被治愈；
C．使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是 90%；
D．以上说法都不对．
【答案】C
【分析】根据概率的定义判断即可；
【解析】解：使用一剂某种药物治愈某种疾病的概率为90%，即使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性
是90%，故 C 正确；
如果有 100 个这种病人各使用一剂这样的药物，被治愈的人数理论预测值为100 90% = 90 人，不一定必有90
人被治愈，故 A 错误；
2
如果一个患有这种疾病的病人使用两剂这样的药物被治愈的概率为1- 1- 90% = 99%，也可能不被治愈，
故 B 错误；
故选：C
10．某市交警部门在调查一起车祸过程中,所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳出租车,但由于天
黑,均未看清该车的车牌号码及颜色.该市有两家出租车公司,其中甲公司有 100 辆桑塔纳出租车,3 000 辆帕萨
特出租车,乙公司有 3 000 辆桑塔纳出租车,100 辆帕萨特出租车,交警部门应认定肇事车为哪个公司的车辆较
合理( )
A．甲公司 B．乙公司
C．甲与乙公司 D．以上都对
【答案】B
【解析】该市两家出租车公司共有桑塔纳出租车 3100 辆，
100 1 3000 30
则甲公司出租车肇事的概率为 P = = ，乙公司出租车肇事的概率为 P = =3100 31 3100 31 ，
显然乙公司肇事的
概率远大于甲公司肇事的概率．
故认定乙公司肇事较合理．
故选 B
11．在高考数学试题中有 12 道选择题，每道选择题有 4 个选项，其中只有 1 个选项是正确的，则随机选择
1
其中 1 个选项正确的概率是 ，某学生家长说：“要是都不会做，每题都随机选择其中 1 个选项，则一定有 3
4
道题答对.”这句话（ ）
A．正确 B．错误 C．不一定 D．无法解释
【答案】B
【分析】每题都选择第一个选择支，则 3 个题中选择结果正确的题数的可能性分别为 0，1，2，3．
1 1
【解析】把解答一道选择题作为一次试验，选择正确选项的概率是 ，说明答对的可能性大小是 .做 12 道
4 4
选择题，即进行了 12 次试验，每次试验的结果都是随机的，那么答对 3 道题的可能性较大；但是并不一定
答对 3 道题，可能都选错，也可能有 1，2，3，4，…，甚至 12 个题都选择正确.
故选：B.
【点睛】本题主要考查了对概率的理解，属于基础题.
12．某学校共有教职工 120 人，对他们进行年龄结构和受教育程度的调查，其结果如下表：
本科 研究生 合计
35 岁以下 40 30 70
35-50 岁 27 13 40
50 岁以上 8 2 10
现从该校教职工中任取 1 人，则下列结论正确的是（ ）
A．该教职工具有本科学历的概率低于 60％
B．该教职工具有研究生学历的概率超过 50％
C．该教职工的年龄在 50 岁以上的概率超过 10％
D．该教职工的年龄在 35 岁及以上且具有研究生学历的概率超过 10％
【答案】D
【分析】根据表中数据，用频率代替概率求解.
75 5
【解析】A.该教职工具有本科学历的概率 p = = = 62. 5% > 60% ，故错误；
120 8
45 3
B.该教职工具有研究生学历的概率 p = = = 37. 5% < 50% ，故错误；
120 8
10 1
C.该教职工的年龄在 50 岁以上的概率 p = = 8. 3% < 10% ，故错误；
120 12
15 1
D.该教职工的年龄在 35 岁及以上且具有研究生学历的概率 p = = = 12. 5% > 10% ，故正确.
120 8
【点睛】本题主要考查概率的求法，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.
三、解答题
13．如下图，从A 地到火车站共有两条路径 L1和 L2，现随机抽取 100 位从A 地到火车站的人进行调查，调
查结果如下表：
所用时间
10,20 20,30 30,40 40,50 50,60
分组/分
选择 L1的人数 6 12 18 12 12
选择 L2的人数 0 4 16 16 4
(1)试估计 40 分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)分别求通过路径 L1和 L2所用时间落在上表中各时间段内的频率．
【答案】(1)0.44
(2)答案见解析
【分析】先依题意把所用时间落在 40,50 和 50,60 这两个区间段内的人数相加（包括选择 L1的人数以及选
择 L2的人数）再除以总人数来算出频率，以此来估计概率即可.
由频率定义或者公式结合表中数据即可得解
【解析】（1）由题意一共调查了 100 人，其中共有12 +12 +16 + 4 = 44（人）40 分钟内不能赶到火车站，对
44
应的频率为 f = = 0.44 ，故用频率估计相应的概率为0.44
100
（2）调查人数中有 60 人选择路线 L1，40 人选择路线 L2，所以由调查结果得频率如下表所示：
所用时间
10,20 20,30 30,40 40,50 50,60
分组/分
选择 L1的人数 0.1 0.2 0.3 0.2 0.2
选择 L2的人数 0 0.1 0.4 0.4 0.1
14．为推动文明城市创建，提升城市整体形象，2018 年 12 月 30 日盐城市人民政府出台了《盐城市停车管
理办法》，2019 年 3 月 1 日起施行.这项工作有利于市民养成良好的停车习惯，帮助他们树立绿色出行的意
识，受到了广大市民的一致好评.现从某单位随机抽取 80 名职工，统计了他们一周内路边停车的时间 t（单
位：小时），整理得到数据分组及频率分布直方图如下：
组号 分组 频数
1 2,4 6
2 4,6 8
3 6,8 22
4 8,10 28
5 10,12 12
6 12,14 4
(1)从该单位随机选取一名职工，试估计这名职工一周内路边停车的
时间少于 8 小时的概率；
(2)求频率分布直方图中 a,b的值.
9
【答案】(1)
20
a 1 3(2) = ，b = .
20 40
【分析】（1）先求出样本中一周内路边停车的时间少于 8 小时的频率，再利用频率估计所选职工一周内路
边停车的时间少于 8 小时的概率即可；
（2）估计频率分布直方图的性质求 a,b .
【解析】（1）由已知，所选的80名职工中有36名职工一周内路边停车的时间少于 8 小时，
36 9
所以样本中一周内路边停车的时间少于 8 小时的频率为 = ，
80 20
记 “从该单位随机选取一名职工，这名职工该周路边停车的时间少于 8 小时”为事件 A，
则P(A)
9
= ，
20
9
所以从该单位随机选取一名职工，所选职工一周内路边停车的时间少于 8 小时的概率为 ；
20
8 12
（2）由频率分布直方图的性质可得 2a = , 2b = ，
80 80
8 12
所以 a 1 3= 80 = ，b = 80 = .
2 20 2 40
15．某商场计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 8 元，售价每瓶 10 元，未售出的酸奶
降价处理，以每瓶 4 元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）
有关.如果最高气温不低于 25，需求量为 600 瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为 400 瓶；如果最
高气温低于 20，需求量为 300 瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，
得下面的频数分布表：
最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40）
天数 1 17 38 22 7 5
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过 400 瓶的概率，并求出前三年六月份这种酸奶每天平均的需求
量；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为 550 瓶时，写出
Y 的所有可能值，并估计 Y 大于零的概率.
28
【答案】(1) ； 456
45
4
(2)Y 值见解析，
5
【分析】（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，求出最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于 20 的
天数，由此能求出六月份这种酸奶一天的需求量不超过 400 瓶的概率；利用平均数公式可求前三年六月份
每天平均需求量；
（2）分别求当温度大于等于 25℃时，温度在[20，25）℃时，以及温度低于 20℃时的利润，从而估计 Y 大
于零的概率．
【解析】（1）由前三年六月份各天的最高气温数据，
得到最高气温位于区间[20，25）和最高气温低于 20 的天数为 1+17+38＝56，
56 28
∴六月份这种酸奶一天的需求量不超过 300 瓶的概率 P = = ；
90 45
22 + 7 + 5 600 + 38 400 + 1+17 300 41000
前三年六月份这种酸奶每天平均的需求量为 = 456（瓶）；
90 90
（2）当温度大于等于 25℃时，需求量为 600，
Y＝550×2＝1100 元，
当温度在[20，25）℃时，需求量为 400，
Y＝400×2﹣（550﹣400）×4＝200 元，
当温度低于 20℃时，需求量为 300，
Y＝600﹣（550﹣300）×4＝﹣400 元，
当温度大于等于 20 时，Y＞0，
由前三年六月份各天的最高气温数据，得当温度大于等于 20℃的天数有：
90 - 1+17 = 72，
72 4
∴估计 Y 大于零的概率 P = = ．
90 512. 3 频率与概率
分层练习
题型 1：计算频率
1． n次实验中，由于事件A 发生的次数至少为 0，至多为 n，因此事件A 的频率范围为 ．
2．“键盘侠”一词描述了部分网民在现实生活中胆小怕事、自私自利，却习惯在网络上大放厥词的一种现
象．某地新闻栏目对该地区群众对“键盘侠”的认可程度进行调查：在随机抽取的 50 人中，有 14 人持认可态
度，其余持反对态度，若该地区有 7600 人，则可估计该地区对“键盘侠”持反对态度的有 人．
3．投掷硬币的结果如下表：
投掷硬币的次数 200 500 c
正面向上的次数 102 b 404
正面向上的频率 a 0.482 0.505
则a = ，b = ， c = ．
据此可估计若掷硬币一次，正面向上的概率为 ．
题型 2：频率与概率的关系
4．某事件A 的概率是0.97 ，下列说法正确的是 ．
（1）A 发生的可能性是97%；
（2）在 10000 个试验中，事件A 发生 9700 次；
（3）随着试验次数的不断增大，A 发生的频率逐渐稳定到0.97 ，且在它附近摆动．
5．下列说法：①设有一批产品，其次品率为 0.05，则从中任取 200 件，必有 10 件次品；②做 100 次抛硬
币的试验，有 51 次出现正面.因此出现正面的概率是 0.51；③随机事件 A 的概率是频率的稳定值；④随机
事件 A 的概率趋近于 0，即P A 趋近于 0，则 A 是不可能事件；⑤抛掷骰子 100 次，得点数是 1 的结果是
9
18 次，则出现 1 点的频率是 ；⑥随机事件的频率就是这个事件发生的概率；其中正确的有 .
50
6．下列说法中，正确的序号是 ．
①频率反映事件发生的频繁程度，概率反映事件发生的可能性大小；
m
②做 n 次试验，事件 A 发生 m 次，则事件 A 发生的频率 就是事件 A 的概率；
n
③频率是不能脱离 n 次试验的试验值，而概率是具有稳定性的不依赖于试验次数的理论值；
④频率是概率的近似值，概率是频率的稳定值．
7．关于频率和概率，下列说法中正确的是 ．（填序号）
2
①某同学在罚球线投篮三次，命中两次，则该同学每次投篮的命中率为 3 ；
②数学家皮尔逊曾经做过两次试验，抛掷 12000 次硬币，得到正面向上的频率为 0.5016；抛掷 24000 次硬
币，得到正面向上的频率为 0.5005．如果他抛掷 36000 次硬币，正面向上的频率可能大于 0.5005；
③某类种子发芽的概率为 0.903，当我们抽取 2000 粒种子试种，一定会有 1806 粒种子发芽；
④将一颗均匀的骰子抛掷 6000 次，则出现点数大于 2 的次数大约为 4000 次．
题型 3：用频率估计概率
8．一个不透明的盒子中装有若干个红球和 5 个黑球，这些球除颜色外均相同．经多次摸球试验后发现，摸
到黑球的频率稳定在 0.25 左右，则盒子中红球的个数约为 ．
9．在一个不透明的纸盒中装有 2 个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个
球，记下颜色后再放回袋中，通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在 0.8 附近，则袋子中红球约有
个.
10．在一次男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛（比赛采用 3 局 2 胜制），假设每局比赛甲获
胜的概率为 0.6，现采用随机模拟方法估计甲获得冠军的概率，先由计算机产生 1~5 之间的随机数，指定 1，
2，3 表示一局比赛中甲胜，4，5 表示一局比赛中乙胜 经随机模拟产生了如下 20 组随机数：
334 221 433 551 454 452 315 142 331 423
212 541 121 451 231 414 312 552 324 115
据此估计甲获得冠军的概率为 .
11．某同学做立定投篮训练，共做 3 组，每组投篮次数和命中的次数如下表所示．
第一组 第二组 第三组 合计
投篮次数 100 200 300 600
命中的次数 68 125 176 369
命中的频率 0.68 0.625 0.587 0.615
根据表中的数据信息，用频率估计一次投篮命中的概率，那么使误差较小的可能性大的估计值是 ．
12．某个地区从某年起几年内的新生婴儿数及其中男婴数如下表：
（1）填写表中的男婴出生频率；（保留两位有效数字）
时间范围 1 年内 2 年内 3 年内 4 年内
新生婴儿数 5544 9013 13520 17191
男婴数 2716 4899 6812 8590
男婴出生频率
（2）这一地区男婴出生的概率约是 .
二、解答题
13．某医院对患者就诊后的满意度进行问卷调查，患者在问卷上对就诊满意度进行打分，分值为 0~5 分，
其中满意度打分不低于 4 分表示满意.现随机抽取了 100 位患者的调查问卷，其满意度打分情况统计如下：
满意度打分 0 1 2 3 4 5
人数 1 3 6 10 56 24
(1)估计患者对该医院满意度打分的平均值；
(2)若该医院一周内共有 6000 名患者就诊，估计其中表示满意的患者人数；
(3)医院对抽取的调查问卷中 1 位满意度打 0 分的患者和 3 位满意度打 1 分的患者进行电话回访，并将这四
人随机分成 A，B 两组，每组各两人，求 A 组的两人满意度打分均为 1 分的概率.
14．一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑球、白球共 20 个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从
中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数 n 100 150 200 500 800 1000
摸到白球的频数 m 58 96 116 295 484 601
m
摸到白球的频率 0.580 0.640 0.580 0.590 0.605 0.601
n
(1)试估计当 n 很大时，摸到白球的频率将会接近多少；
(2)假如你去摸一次，摸到白球或黑球的概率分别约是多少？
15．某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品（单位：件）按标准分为 A, B,C 三个等级．加工业务约定：
对于A 级品、 B 级品、C 级品，厂家每件分别收取加工费 80 元，50 元，30 元．该厂有甲、乙两个分厂可
承接加工业务，甲分厂加工成本费为 40 元/件，乙分厂加工成本费为 35 元/件．该厂家为决定由哪个分厂承
接加工业务，在两个分厂各试加工了 100 件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C
频数 45 30 25
乙分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C
频数 40 10 50
(1)分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A 级品的概率；
(2)分别求甲、乙两分厂加工出来的 100 件产品的平均利润，以平均利润为依据，该厂家应选哪个分厂承接
加工业务？
16．某学生兴趣小组随机调查了某市 100 天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据
得到下表（单位：天）：
锻炼人次
空气质量等级
0,200 200,400 400,600
1（优） 2 16 25
2（良） 5 10 12
3（轻度污染） 6 7 8
4（中度污染） 7 2 0
(1)分别估计该市一天的空气质量等级为 1，2，3，4 的概率；
(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．
一、填空题
1．已知随机事件 A 发生的频率是 0.02，事件 A 出现了 10 次，那么可能共进行了 次试验．
2．为了调查某野生动物保护区内某种野生动物的数量,调查人员逮到这种动物 1 200 只作过标记后放回,一星
期后,调查人员再次逮到该种动物 1 000 只,其中作过标记的有 100 只,估算保护区有这种动物 只.
3．一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，公司收集了 1500 辆汽车的相关信息，时间是从某年
的 5 月 1 日到下一年的 5 月 1 日，共发现有 60 辆汽车的挡风玻璃破碎，则一辆汽车在一年内挡风玻璃破碎
的概率大约是 ．
4．鱼池中共有 N 条鱼，从中捕出 n 条并标上记号后放回池中，经过一段时间后，再从池中捕出 M 条，其
中有记号的有 m 条，则估计 N = ．
5．某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果．某采购商从采购的一批水果中
随机选取 100 个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：
等级 标准果 优质果 精品果 礼品果
个数 10 30 40 20
若从这批水果中随机选取 1 个，则这个水果是礼品果的概率为 ．
6．甲、乙两名运动员进入男子羽毛球单打决赛，假设比赛打满 3 局，赢得 2 局或 3 局者胜出，用计算机产
生 1~5 之间的随机数，当出现随机数 1，2，3 时，表示一局比赛甲获胜；否则，乙获胜.由于要比赛 3 局，
所以每 3 个随机数为一组，产生 20 组随机数：
423 123 423 344 114 453 525 332 152 342
534 443 512 541 125 432 334 151 314 354
据此估计甲获得冠军的概率为 ；
7．在一次男子羽毛球单打比赛中，运动员甲和乙进入了决赛（比赛采用 3 局 2 胜制），假设每局比赛甲获
胜的概率为 0.6，现采用随机模拟方法估计甲获得冠军的概率，先由计算机产生 1~5 之间的随机数，指定 1，
2，3 表示一局比赛中甲胜，4，5 表示一局比赛中乙胜 经随机模拟产生了如下 20 组随机数：
334 221 433 551 454 452 315 142 331 423
212 541 121 451 231 414 312 552 324 115
据此估计甲获得冠军的概率为 .
8．袋子中有四个小球，分别写有“中 华 民 族”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“华”两个字
都取到才停止.用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率，利用电脑随机产生 0 到 3 之间取整数值的
随机数，分别用0,1,2,3代表“中 华 民 族”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随
机模拟产生了以下 18 组随机数：
232 321 230 023 123 021 132 220 001
231 130 133 231 031 320 122 103 233
由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为 .
二、单选题
9．已知使用一剂某种药物治愈某种疾病的概率为 90%，则下列说法正确的是（ ）
A．如果有 100 个这种病人各使用一剂这样的药物，那么有 90 人会被治愈；
B．如果一个患有这种疾病的病人使用两剂这样的药物就一定会被治愈；
C．使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是 90%；
D．以上说法都不对．
10．某市交警部门在调查一起车祸过程中,所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳出租车,但由于天
黑,均未看清该车的车牌号码及颜色.该市有两家出租车公司,其中甲公司有 100 辆桑塔纳出租车,3 000 辆帕萨
特出租车,乙公司有 3 000 辆桑塔纳出租车,100 辆帕萨特出租车,交警部门应认定肇事车为哪个公司的车辆较
合理( )
A．甲公司 B．乙公司
C．甲与乙公司 D．以上都对
11．在高考数学试题中有 12 道选择题，每道选择题有 4 个选项，其中只有 1 个选项是正确的，则随机选择
1
其中 1 个选项正确的概率是 ，某学生家长说：“要是都不会做，每题都随机选择其中 1 个选项，则一定有 3
4
道题答对.”这句话（ ）
A．正确 B．错误 C．不一定 D．无法解释
12．某学校共有教职工 120 人，对他们进行年龄结构和受教育程度的调查，其结果如下表：
本科 研究生 合计
35 岁以下 40 30 70
35-50 岁 27 13 40
50 岁以上 8 2 10
现从该校教职工中任取 1 人，则下列结论正确的是（ ）
A．该教职工具有本科学历的概率低于 60％
B．该教职工具有研究生学历的概率超过 50％
C．该教职工的年龄在 50 岁以上的概率超过 10％
D．该教职工的年龄在 35 岁及以上且具有研究生学历的概率超过 10％
三、解答题
13．如下图，从A 地到火车站共有两条路径 L1和 L2，现随机抽取 100 位从A 地到火车站的人进行调查，调
查结果如下表：
所用时间 10,20 20,30 30,40 40,50 50,60
分组/分
选择 L1的人数 6 12 18 12 12
选择 L2的人数 0 4 16 16 4
(1)试估计 40 分钟内不能赶到火车站的概率；
(2)分别求通过路径 L1和 L2所用时间落在上表中各时间段内的频率．
14．为推动文明城市创建，提升城市整体形象，2018 年 12 月 30 日盐城市人民政府出台了《盐城市停车管
理办法》，2019 年 3 月 1 日起施行.这项工作有利于市民养成良好的停车习惯，帮助他们树立绿色出行的意
识，受到了广大市民的一致好评.现从某单位随机抽取 80 名职工，统计了他们一周内路边停车的时间 t（单
位：小时），整理得到数据分组及频率分布直方图如下：
组号 分组 频数
1 2,4 6
2 4,6 8
3 6,8 22
4 8,10 28
5 10,12 12
6 12,14 4
(1)从该单位随机选取一名职工，试估计这名职工一周内路边停车的
时间少于 8 小时的概率；
(2)求频率分布直方图中 a,b的值.
15．某商场计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶 8 元，售价每瓶 10 元，未售出的酸奶
降价处理，以每瓶 4 元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）
有关.如果最高气温不低于 25，需求量为 600 瓶；如果最高气温位于区间[20,25)，需求量为 400 瓶；如果最
高气温低于 20，需求量为 300 瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，
得下面的频数分布表：
最高气温 [10，15） [15，20） [20，25） [25，30） [30，35） [35，40）
天数 1 17 38 22 7 5
以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.
(1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过 400 瓶的概率，并求出前三年六月份这种酸奶每天平均的需求
量；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为 Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天的进货量为 550 瓶时，写出
Y 的所有可能值，并估计 Y 大于零的概率.
