12.2 古典概率
分层练习
题型 1：古典概率的有关概念
1．古典概率模型必须满足的两个条件是：
（1）随机试验中所有可能出现的基本事件只有 个；
（2）每个基本事件出现的可能性 .
【答案】 有限 相等
【分析】根据古典概型的定义与性质即可.
【解析】解：古典概型要求随机试验中基本事件有有限个，且每个事件出现的可能性相等.
故答案为：有限；相等.
2．产品中有正品 4 件，次品 3 件，从中任取 2 件，其中事件：
①恰有 1 件次品和恰有 2 件次品；②至少有 1 件次品和全都是次品；③至少有 1 件正品和至少有 1 件次
品；④至少有 1 件次品和全是正品．
4 组中互斥事件的序号是 ，对立事件的序号是 .
【答案】 ①④ ④
【分析】根据互斥事件与对立事件的定义判断即可.
【解析】解：产品中有正品 4 件，次品 3 件，从中任取 2 件，则可能出现 2件正品、 2件次品、1件正品和1
件正品，
故①恰有 1 件次品和恰有 2 件次品为互斥事件；
至少有 1 件次品包含 2件次品、1件正品和1件正品，
故②至少有 1 件次品和全都是次品不是互斥事件；
至少有 1 件正品包含 2件正品、1件正品和1件正品，
至少有 1 件次品包含 2件次品、1件正品和1件正品，
故③至少有 1 件正品和至少有 1 件次品不是互斥事件；
至少有 1 件次品包含 2件次品、1件正品和1件正品，
故④至少有 1 件次品和全是正品是互斥事件且是对立事件．
故答案为：①④；④
3．抛掷两枚硬币，事件 A：至少有一个正面朝上，事件 B：两个正面朝上，则事件 A、B 的关系是 .
【答案】B A
【分析】列举出事件 A 发生的不同结果以及事件 B 发生的不同结果，从而可得答案.
【解析】事件 A：至少有一个正面朝上，事件 A 发生的不同结果是：（正，反），（反，正），（正，正）；
事件 B：：两个正面朝上，事件 B 发生的不同结果是：（正，正）；
所以，事件 A、B 的关系是B A .
故答案为：B A .
题型 2：计算古典概率
4．抛掷一个骰子，它落地时向上的数可能情形是 1，2，3，4，5，6，骰子落地时向上的数是 3 的倍数的概
率是 .
1
【答案】
3
【分析】先得到所有的基本事件的总数，再得到骰子落地时向上的数是 3 的倍数的基本事件的个数，从而
利用古典概型的概率公式即可得解.
【解析】因为抛掷一个骰子，它落地时向上的数可能情形是 1，2，3，4，5，6，
所以其基本事件的总数为 6，
又因为骰子落地时向上的数是 3 的倍数的有 3 和 6 共 2 种情形，
2 1
所以所求概率为 = .
6 3
1
故答案为： .
3
5．某部共有三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册从左到右或从右到左恰好为第 1、2、3 册的
概率为 ．
1
【答案】
3
【分析】应用列举法写出左到右排放的所有可能，进而求从左到右或从右到左恰好为第 1、2、3 册的概率.
【解析】由题设，从左到右排放有{(1,2,3), (1,3, 2), (2,1,3), (2,3,1), (3,1, 2), (3, 2,1)}共 6 种，
而从左到右或从右到左恰好为第 1、2、3 册为{(1,2,3), (3, 2,1)}共 2 种，
1
所以从左到右或从右到左恰好为第 1、2、3 册的概率为 .
3
1
故答案为：
3
6．在 5 瓶饮料中，有 2 瓶已过了保质期，从中任取 2 瓶，取到的全是已过保质期的饮料的概率为 ．
1
【答案】 / 0.1
10
【分析】利用列举法结合古典概型的概率公式求解即可
【解析】设 5 瓶饮料中，过保质期的 2 瓶为 A，B，其余 3 瓶为 C,D,E，
则从 5 瓶饮料中任取 2 瓶，所有的情况为：AB,AC,AD,AE,BC,BD,BE,CD,CE,DE，共 10 种，
其中全已过保质期的有 1 种，
1
所以从 5 瓶饮料中任取 2 瓶，取到的全是已过保质期的饮料的概率为 ,
10
1
故答案为：
10
7．两个袋中各装有写着数字0,1,2,3,4,5的 6 张卡片，若从每个袋中任意取一张卡片，则取出的两张卡片上
数字之和大于 8 的概率为 ．
1
【答案】
12
【分析】先求样本空间，然后列举出所有数字之和大于 8 的样本点，由古典概型概率公式即可求解.
【解析】记从两个袋中取出的卡片上数字分别为 x ， y ，
则样本空间Ω = x, y x, y 0,1,2,3,4,5 ， n W = 36．
其中数字之和大于 8 的有 4,5 ， 5,4 ， 5,5 ，共 3 个，
3 1
故取出的两张卡片上数字之和大于 8 的概率为 = .
36 12
1
故答案为： .
12
8．目前，全国所有省份已经开始了新高考改革.改革后，考生的高考总成绩由语文、数学、外语 3 门全国统
一考试科目成绩和 3 门选择性科目成绩组成.已知某班甲、乙同学都选了物理和地理科目，且甲同学的另一
科目会从化学、生物、政治这 3 科中选 1 科，乙同学的另一科目会从化学、生物这 2 科中选 1 科，则甲、
乙所选科目相同的概率是 .
1
【答案】
3
【分析】利用古典概型概率公式，即可求解.
【解析】甲、乙各选 1 科有3 2 = 6种方法，其中所选科目相同，包含都选化学或都选生物，共 2 种情况，
2 1
所以甲、乙所选科目相同的概率P = = .
6 3
1
故答案为：
3
9．某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾.某班由 4 名男生，2 名女生组成宣传
小组，现从这 6 名同学中选派 2 人到某小区进行宣传活动，则这 2 人中至少有 1 名女生的概率为 .
3
【答案】 / 0.6
5
【分析】根据题意，利用列举法求得基本事件的总数和所求事件所包含的基本事件的个数，结合古典概型
的概率计算公式，即可求解.
【解析】记 4 名男生分别为 a,b,c,d ，两名女生分别为 e, f ，
从 6 名中选出 2 人，有 ab,ac,ad ,ae,af ,bc,bd ,be,bf ,cd ,ce,cf , de, df ,ef ，共有 15 种不同的选法，
其中至少有 1 名女生的有ae,af ,be,bf ,ce,cf ,de,df ,ef ，共有 9 种不同的选法，
9 3
所以这 2 人中至少有 1 名女生的概率为 = .
15 5
3
故答案为： .
5
10．从11至14世纪涌现出一批著名的数学家和其创作的数学著作，如秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆
海镜》，杨辉的《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》．某学校团委为拓展学生课外学习兴趣，现
从上述五部著作中任意选择两部作为学生课外拓展学习的参考书目，则所选的两部中至少有一部是杨辉著
作的概率为 ．
9
【答案】 / 0.9
10
【分析】将著作《数书九章》、《测圆海镜》分别记为 a、b ，将著作《详解九章算法》、《日用算法》、《杨辉
算法》分别记为A 、 B 、C ，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，利用古典概型的
概率公式可求得所求事件的概率.
【解析】将著作《数书九章》、《测圆海镜》分别记为 a、b ，
将著作《详解九章算法》、《日用算法》、《杨辉算法》分别记为A 、 B 、C ，
从上述五部著作中任意选择两部，所有的基本事件有： ab、 aA、 aB、 aC 、bA、
bB、bC 、 AB 、 AC 、BC ，共10个基本事件，
其中，事件“所选的两部中至少有一部是杨辉著作”所包含的基本事件有：
aA、 aB、 aC 、bA、bB、bC 、 AB 、 AC 、BC ，共9个基本事件，
9
故所求概率为 P = .10
9
故答案为： .
10
11．一批产品共 100 件，不合格品率为 0.05.收货方从中不放回地随机抽取产品进行检验，并按以下规则判
断是否接受这批产品：如果抽检的第 1 件产品不合格，则拒绝整批产品；如果抽检的第 1 件产品合格，则
再抽1件，如果抽检的第2件产品合格，则接受整批产品，否则拒绝整批产品.则这批产品被接受的概率为 .
893
【答案】
990
【分析】计算出抽检第 1 件产品不合格的概率和抽检的第 1 件产品合格，第 2 件产品不合格的概率，相加
得到这批产品被拒绝的概率，从而求出这批产品被接受的概率.
5 1
【解析】抽检第 1 件产品不合格的概率为 = ，
100 20
95 5 19
抽检的第 1 件产品合格，第 2 件产品不合格的概率为 = ，
100 99 396
1 19 776 97
所以这批产品被拒绝的概率为 + = = ，
20 396 7290 990
所以被接受的概率为1
97 893
- = .
990 990
893
故答案为：
990
题型 3：小球有无放回问题
12．一个袋子中有大小和质地相同的 5 个小球，其中有 3 个红色球、2 个绿色球，从袋中不放回地依次随机
摸出 2 个球，则两个球颜色相同的概率为 .
2
【答案】 /0.4
5
【分析】根据题意写出从袋中不放回地依次随机摸出 2 个球的所以可能结果结合两个球颜色相同的结果，
利用古典概型概率计算公式计算即可.
【解析】用 1、2、3 表示 3 个红色球，4、5 表示 2 个绿色球，用数组 x, y 表示可能的结果，x 是第一次摸
到球的标号，y 是第二次摸到球的标号，则样本空间所包含的样本点为：
1,2 ， 1,3 ， 1,4 ， 1,5 ， 2,1 ， 2,3 ， 2,4 ， 2,5 ， 3,1 ， 3,2 ， 3,4 ， 3,5 ， 4,1 ， 4,2 ，
4,3 ， 4,5 ， 5,1 ， 5,2 ， 5,3 ， 5,4 ，共 20 个.
其中两个球颜色相同的事件有： 1,2 ， 1,3 ， 2,1 ， 2,3 ， 3,1 ， 3,2 ， 4,5 ， 5,4 ，共 8 种，故所
8 2
求事件的概率为 = .
20 5
13．一个盒子中装有大小和质地相同的 2 个红球和 2 个白球，从盒中不放回地依次随机取出 2 个球，则取
出的 2 个球同色的概率是 ．
1
【答案】
3
【分析】根据互斥事件概率的加法公式和古典概型概率公式可得结果.
2 1 1
【解析】取出的 2 个球都是红色的概率为 = ，
4 3 6
2 1 1
取出的 2 个球都是白色的概率为 = ，
4 3 6
1 1 1
所以取出的 2 个球同色的概率为 + = .
6 6 3
1
故答案为： .
3
14．从含有 2 件正品和 1 件次品的 3 件产品中任取 1 件，每次取出后再放回，连续取两次，取出的两件产
品中恰好有一件次品的概率是 ．
4
【答案】
9
【分析】写出事件总数和满足题意的情况数，即可计算出概率.
【解析】依次抽取的两个产品分别记为 x,y,则(x,y)表示抽取的结果,
设两件正品分别为 a,b，次品为 c，
基本事件为： (a, a), (b,b), (c,c), (a,b), (b, a), (a,c), (c, a), (b,c), (c,b)共 9 个，
事件 A = {两件产品中恰有一件是次品}，包含的基本事件 (a,c), (c,a), (b,c), (c,b)共 4 个，
4
因此P(A) =
9
4
即取出的两件产品中恰有一件是次品的概率为 .
9
4
故答案为： .
9
15．已知红箱内有 3 个红球、2 个白球，白箱内有 2 个红球、3 个白球，所有小球大小、形状完全相同．第
一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回
去，以此类推，第 k +1次从与第 k 次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．则第 3 次取出
的球是红球的概率为 ．
63
【答案】 /0.504
125
【分析】先列出所有 3 次的所有可能，选出符合题意要求的，而后根据题目要求逐一计算概率，即可得到
第 3 次取出的球是红球的概率.
【解析】3 次取出的结果共有 8 种，分别为：（红，红，红）、（红，红，白）、（红，白，红）、
（红，白，白）、（白，红，红）（白，红，白）、（白，白，红）、（白，白，白），
其中第 3 次取出的球是红球的情况为（红，红，红）、（红，白，红）、（白，红，红）、（白，白，红）、共 4
种.
3 3 3 27
根据题意，P(红，红，红) = = ，P
3 2 2 12
5 5 5 125 (红，白，红)
= = ，
5 5 5 125
P 2 2 3 12 P 2 3 2 12(白，红，红) = = ，5 5 5 125 (白，白，红)
= =
5 5 5 125
27 12 12 12 63
所以，第 3 次取出的球是红球的概率P = + + + = .
125 125 125 125 125
63
故答案为：
125
题型 4：事件的关系与运算
16．若事件 A、B 是对立事件，则P A + P B = .
【答案】1
【分析】利用对立事件的概率公式即可得解.
【解析】因为事件 A、B 是对立事件，
所以P A + P B =1 .
故答案为：1.
2 1 3
17．设 A, B是一个随机试验中的两个事件，且P(A) = ，P(B) = ，P(A + B) = ，则P(AB) = .
3 2 4
1
【答案】 /0.25
4
【分析】根据条件，利用和事件的概率公式求出P(AB) ，再利用P(AB) + P(AB) = P(A)即可求出结果.
【解析】因为P(A + B) = P(A) + P(B) - P(AB)
3
= ，又P(A)
2 1
= ，P(B) = ，
4 3 2
得到P(AB)
5 2 5 1
= ，又因为P(AB) + P(AB) = P(A)，所以P AB = - = .
12 3 12 4
1
故答案为： .
4
18．从装有 2个红球和 2个白球的口袋内任取 2个球观察颜色．设事件A 为“所取两个球至少有一个白球”，
事件 B 为“所取两个恰有一个红球”，则 A B 表示的事件为 ．
【答案】恰有一个红球
【分析】用列举法列出样本空间W、A 、 B ，即可求出 A B .
【解析】因为从装有 2个红球和 2个白球的口袋内任取 2个球，
这一随机试验的样本空间W = { ( 白、白 )， ( 白、红 )， ( 红、红 ) }，
且 A = { ( 白、红 )， ( 白、白 ) }，B = { ( 白，红 ) }，
所以 AI B = { ( 白、红 ) }，故 A B 表示的事件为恰有一个红球．
故答案为：恰有一个红球
19．给出如下四对事件：①某人射击 1 次，“射中 7 环”与“射中 8 环”；②甲、乙两人各射击 1 次，“甲射中
7 环”与“乙射中 8 环”；③甲、乙两人各射击 1 次，“两人均射中目标”与“两人均没有射中目标”；④甲、乙
两人各射击 1 次，“至少有 1 人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”，其中属于互斥事件的有 .
【答案】①③
【分析】根据互斥事件的定义，即可判断.
【解析】①某人射击 1 次，“射中 7 环”与“射中 8 环”不可能同时发生，所以是互斥事件，
②甲、乙两人各射击 1 次，“甲射中 7 环”与“乙射中 8 环”可能同时发生，所以不是互斥事件；
③甲、乙两人各射击 1 次，“两人均射中目标”与“两人均没有射中目标”不可能同时发生，所以是互斥事件；
④甲、乙两人各射击 1 次，“至少有 1 人射中目标”，包含甲射中，乙没有射中，或甲没有射中，乙射中，
或是两个人都射中，其中包含了“甲射中，但乙未射中目标”，
所有两个事件不是互斥事件.
故答案为：①③
20．已知P A = 0.4, P B = 0.7，若 A B ，则P(A U B) = ．
7
【答案】0.7/
10
【分析】由事件的包含关系可得P(AU B) = P B ，即可求出答案.
【解析】如果 A B ，那么P A P B ，所以P(AU B) = P B = 0.7 ．
故答案为：0.7.
4
21．同时抛掷两枚骰子，5 点，6 点都没有的概率为 ，则至少掷出一个 5 点或 6 点的概率为 ．
9
5
【答案】
9
【分析】根据对立事件求概率公式进行求解.
【解析】设“既没有 5 点，也没有 6 点”的事件为 A，“至少掷出一个 5 点或 6 点”的事件为 B，
则 A 与 B 是对立事件．所以P B =1- P A 4 5=1- = .
9 9
5
故答案为：
9
22．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概
率分别是 0.05 和 0.03，则抽检一件是甲级品的概率为 ．
【答案】0.92
【分析】根据互斥事件概率的知识求得正确答案.
【解析】依题意可知，抽检一件是甲级品的概率为1- 0.05 - 0.03=0.92 .
故答案为：0.92
题型 5：概率的基本性质
23．已知P A = 0.5，P B = 0.3 .（1）如果B A，那么P AU B = ，P AB = ，P A \ B = ；
（2）如果 A，B 互斥，那么P AU B = ，P AB = ，P A \ B = .
【答案】 0.5 0.3 0.2 0.8 0 0.5
【分析】由事件的关系结合运算求解即可.
【解析】（1）如果B A，那么 A B = A， AI B = B ，所以P(AU B) = P(A) = 0.5，P(AB) = P(B) = 0.3，
P(A \ B) = P(A) - P(AB) = 0.2 .
（2）如果 A，B 互斥，那么 A B = ，则P(AU B) = P(A) + P(B) = 0.5 + 0.3 = 0.8，P(AB) = 0，
P(A \ B) = P(A) - P(AB) = 0.5 .
故答案为：0.5；0.3；0.2；0.8；0；0.5
24．已知A 与 B 为互斥事件，且P AU B = 0.5，P A = 0.2，则P B = ．
3
【答案】0.3/
10
【分析】利用互斥事件的概率公式可求得 P B 的值.
【解析】因为A 与 B 为互斥事件，则P A∪B = P A + P B = 0.5，
因此，P B = 0.5 - P A = 0.5 - 0.2 = 0.3 .
故答案为：0.3 .
25．在抛掷一颗骰子（一种正方体玩具，六个面分别标有 1,2,3,4,5,6 字样）的试验中，事件A 表示 “不大
于 3 的奇数点出现”，事件 B 表示 “小于 4 的点数出现”，则事件 A + B 的概率为 ．
5
【答案】
6
【分析】根据给定条件利用古典概率公式求出事件A 和B 的概率即可计算作答.
【解析】依题意，抛掷一颗骰子的试验有 6 个不同的结果，它们等可能，其中事件A 有 2 个结果，事件B
有 3 结果，
P(A) 2 1于是有 = = ，P(B)
3 1
= = ，而事件A 和B 是互斥的，则P(A + B) = P(A) + P(B)
5
=
6 3 ，6 2 6
5
所以事件 A + B 的概率为 .6
5
故答案为：
6
26．袋中有红球、黑球、黄球、绿球共 12 个，它们除颜色外完全相同，从中任取一球，得到红球的概率是
1 5 5
，得到黑球或黄球的概率是 ，得到黄球或绿球的概率也是 ，则得到黑球、黄球、绿球的概率分别
3 12 12
是 ， ， .
1 1 1
【答案】 /0.25 /0.25
4 6 4
【分析】设事件 A，B，C，D 分别表示事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”，根据题意结合互
斥事件的概率加法公式，列出方程组，即可求得答案.
【解析】设事件 A，B，C，D 分别表示事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”，
则事件 A，B，C，D 两两互斥，
ì
P A
1
=
3
P B + P C 5=
根据题意，得 í 12 ，
5
P C + P D =
12
P A + P B + P C + P D =1
解得P(B)
1 P(C) 1 P(D) 1= ， = ， = ，
4 6 4
1 1 1
故答案为： ， ，
4 6 4
27．2022 年 11 月 8 日至 13 日第十四届中国国际航空航天博览会在珠海国际航展中心举行．歼-20 运-20 和
空警-500 轰-6K 红-9B 等主战装备集中亮相，运油-20 歼-16 攻击-2 无人机首次振翅中国航展，空军八一飞
行表演队和空军航空大学“红鹰”飞行表演队劲舞长空，中国航展成为中国航空航天产业发展和国防实力最重
要的展示平台，更是展示中国力量，彰显中国价值，弘扬中国精神的一个窗口，国产某型防空导弹的单发
命中率为 90%，为了确保对敌机的摧毁效果，实战中往往采取双发齐射的方式，则双发齐射的命中率
为 ．
【答案】99% /0.99
【分析】由对立事件即可求解．
【解析】由题意得，防空导弹单发命中率为 0.9，
设事件A 为发射一枚防空导弹后命中敌机，则 P ( A) = 0.9 ，P(A) = 0.1，
设事件 B 为采取双发齐射后命中敌机，
则P(B) =1- P(B) =1- P(A) × P(A) =1- 0.1 0.1 = 0.99 ，
故答案为：0.99．
一、填空题
1．四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时抛掷自己的硬币.若硬币正面朝
上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着，那么没有相邻的两个人站起来的概率为 .
7
【答案】
16
【分析】首先求样本空间，再分情况求解满足条件的样本点，再结合古典概型求概率.
【解析】每个硬币只有正，反两种情况，所以 4 枚相同的硬币构成24 = 16种情况，
若没有人站起来，即每个硬币都是正面朝下，只有 1 种情况，
若只有 1 人站起来，即 4 枚硬币有 1 枚正面朝上，其余 3 枚正面朝下，有 4 种情况，
若只有 2 人站起来，即相对 2 人的硬币相同，与相邻的人的硬币相反，即有 2 种情况，
7
所以满足条件的情况有 7 种，那么没有相邻的两个人站起来的概率 P = 16 。
7
故答案为：
16
2．在某次国际围棋比赛中，中国派出包含甲、乙在内的 5 位棋手参加比赛，他们分成两个小组，其中一个
小组有 3 位，另外一个小组有 2 位，则甲和乙分在不同小组的概率为 .
3
【答案】 / 0.6
5
【分析】写出所有的样本空间以及满足题意得情况数，根据古典概型的概率计算公式即可得到答案.
【解析】这 5 名棋手分别记为:甲,乙, A , B , C ,
则样本空间W = { (甲乙A ， B C )，(甲乙 B ，A C )，(甲乙C ，A B )，(甲A B ，乙C ),
(甲A C ，乙 B ),(甲 B C ，乙A ),(乙A B ，甲C ),(乙A C ，甲 B ),(乙 B C ，甲A ),( A B C ，甲乙)}
共含有 10 个样本点，
设事件E 表示“甲和乙分在不同小组”,则 n(E) = 6 ,
6 3
所以甲和乙分在不同小组的概率为P = = .
10 5
3
故答案为： .
5
3．据浙江省新高考规则，每名同学在高一学期结束后，需要从七门选考科目中选择其中三门作为高考选考
科目.某同学已经选择了物理、化学两门学科，还需要从生物、技术这两门理科学科和政治、历史、地理这
三门文科学科共五门学科中再选择一门，设事件E = “选择生物学科”，F = “选择一门理科学科”，G = “选择
政治学科”，H = “选择一门文科学科”，现给出以下四个结论：
① G 和 H 是互斥事件但不是对立事件；
② F 和 H 是互斥事件也是对立事件；
③ P F + P G =1；
④ P E H = P E + P H .
其中，正确结论的序号是 .（请把你认为正确结论的序号都写上）
【答案】②④
【分析】根据互斥事件、对立事件的概念与性质逐项判断即可.
【解析】事件H = “选择一门文科学科”，包含“选择政治学科”，“选择历史学科”，“选择地理学科”
所以事件G = “选择政治学科”，包含于事件 H ，故事件G, H 可以同时发生，不是互斥事件，故①不正确；
事件 F = “选择一门理科学科”，与事件 H = “选择一门文科学科”，不能同时发生，且必有一个事件发生，
故F 和 H 是互斥事件也是对立事件，故②正确；
2 1 3
由题意可知P F = , P G = ，所以P F + P G = 1，故③不正确；
5 5 5
事件E = “选择生物学科”，与事件H = “选择一门文科学科”，不能同时发生，故E 和 H 是互斥事件，所以
P E H = P E + P H ，故④正确.
故答案为：②④.
4．从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是 ．
①“至少有一个黑球”与“都是黑球”；
②“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
③“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”；
④“至少有一个黑球”与“都是红球”
【答案】③
【分析】根据红球和黑球的数量，结合互斥事件和对立事件的定义，逐一对题目中的四个结论进行判断，
即可得到结果
【解析】当两个球都为黑球时，“至少有一个黑球”与“都是黑球”同时发生，故①中的两个事件不互斥；当
两个球一个为黑，一个为红时，“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”同时发生，故②中的两个事件不互
斥；“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不可能同时发生，但有可能同时不发生，故③中两个事件互斥
而不对立；“至少有一个黑球”与“都是红球”不可能同时发生，但必然有一种情况发生，故④中两个事件对
立．故答案为③．
【点睛】本题考查了互斥事件与对立事件，熟练运用互斥事件与对立事件的定义是解答本题的关键，本题
较为基础.
5．九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小
明需要在 9 个小格子中填上 1 至 9 中不重复的整数，小明通过推理已经得到了 4 个小格子中的准确数字，
a,b,c, d ,e这 5 个数字未知，且b,d 为奇数，则 a + b > 5的概率为 .
9 a 7
b c d
4 e 5
2
【答案】 3
【分析】根据题意列出这个试验的等可能结果，然后求解概率即可；
【解析】这个试验的等可能结果用下表表示：
a b c d e
2 1 6 3 8
2 1 8 3 6
6 1 2 3 8
6 1 8 3 2
8 1 2 3 6
8 1 6 3 2
2 3 6 1 8
2 3 8 1 6
6 3 2 1 8
6 3 8 1 2
8 3 2 1 6
8 3 6 1 2
共有 12 种等可能的结果，其中 a + b > 5的结果有 8 种，
所以 a + b > 5 8 2的概率为 = .12 3
2
故答案为： .3
6．由 1， 2， 3， …，1000 这个 1000 正整数构成集合A ，先从集合A 中随机取一个数 a，取出后把 a放
a 1
回集合A ，然后再从集合A 中随机取出一个数b ，则 > 的概率为 ．
b 3
1667
【答案】
2000
*
【解析】根据题意， A = x N 1 x 1000 ，且 a,b A a 1，要使得 > ，即： a 1> b ，分类讨论当 a =1,2,3L
b 3 3
时，对应的b
a 1
的值，得出所有取法，即可求出 > 的概率.
b 3
*
【解析】解：由题可知， A = x N 1 x 1000 ，且 a,b A，
a 1 a 1要使得 > ，即： > b ，则有：
b 3 3
当 a =1时，b =1或 2，有 2 种取法；
当 a = 2时，b 的取值增加 3、4、5，有 2+3 种取法；
当 a = 3时，b 的取值增加 6、7、8，有 2 + 2 3种取法；
LL
当 a = 333时，b 有 2 + 332 3种取法；
当334 a 1000时，b 都有 1000 种取法.
P a 1>
2 + 2 + 3 + 2 + 2 3 +L+ 2 + 332 3 + 667 1000
故 ÷ =
è b 3 10002
333 2 +166 3 + 667 1000 1667
= = .
10002 2000
1667
故答案为： .
2000
【点睛】本题考查古典概型求概率，考查分类讨论思想和计算能力.
二、单选题
7．某同学口袋中共有5个大小相同 质地均匀的小球 .其中3个编号为5， 2个编号为10，现从中取出3个小
球，编号之和恰为 20的概率为（ ）
1 4 8 3
A． B． C． D．
15 15 15 5
【答案】D
【分析】先依题意得出满足条件的情况，再根据古典概型公式计算即可.
【解析】编号之和恰为 20 ,则需要 3 个球中 2个编号为5 ,1个编号为10，
设3个编号为5的小球为 ABC， 2个编号为10的小球为 ab，
则从 5 个球中取出 3 个，共有：
ABC, ABa, ABb, ACa, ACb, Aab, BCa, BCb, Bab,Cab，共 10 种，
其中满足题意得情况有： ABa, ABb, ACa, ACb, BCa, BCb,共 6 种，
6 3
则编号之和恰为 20的概率为P = = .
10 5
故选:D.
8．利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的 100 件产品，其中一等品有 20 件，合格品有 70 件，其余为不合
格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件 A 为“是一等品”，B 为“是合格品”，C 为“是不合格品”，则
下列结果错误的是（ ）
A．P B = 7 B．P AI B = 0
10
P B C 7 9C． = D．P A B =
100 10
【答案】C
【分析】根据已知条件，结合互斥事件的定义，以及频率与频数的关系，即可求解．
【解析】解：由题意可知，A，B，C 为互斥事件，
P AI B = 0，P B C = 0，故 B 正确，C 错误，
抽查某工厂的 100 件产品，其中一等品有 20 件，合格品有 70 件，其余为不合格品，
P A 20 1则 = = ，P B 70 7= = ，故 A 正确，
100 5 100 10
P A B P A 1 7 9 = + P B - P AB = + - 0 = ，故 D 正确．
5 10 10
故选：C．
9．设 A, B是同一试验中的两个随机事件，P A 与 P B 分别是事件A ，事件 B 发生的概率，若
P A > 0, P B > 0，则“事件 A, B为对立事件”是“ P A + P B =1”的（ ）
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【分析】根据对立事件的概念及充分条件必要条件的定义分析即可得出答案.
【解析】因为P A > 0, P B > 0，若事件 A, B为对立事件，则P A + P B =1；
但P A + P B =1推不出两个事件 A, B对立；
如掷一颗骰子，事件A 为出现 1 点，2 点，3 点；事件 B 为出现 3 点，4 点，5 点，
3 3
此时P A + P B = + =1，但两个事件不对立，
6 6
所以“事件 A, B为对立事件”是“ P A + P B =1”的充分不必要条件．
故选：A
10．吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟
香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则
吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性
相同，则“口香糖吃完时还剩 2 支香烟”的概率为（ ）
1 8
A． B．
5 15
3 3
C． D．
5 20
【答案】D
【分析】“口香糖吃完时还剩 2 支香烟”即第四次取到的是口香糖且前三次有两次口香糖一次香烟，根据古典
概型计算出其概率即可.
【解析】由题：“口香糖吃完时还剩 2 支香烟”说明：第四次取到的是口香糖，前三次中恰有两次口香糖一次
香烟，记香烟为 A1, A2 , A3 ，口香糖为B1, B2 , B3 ，进行四次取物，
基本事件总数为：6 5 4 3 = 360种
事件“口香糖吃完时还剩 2 支香烟”前四次取物顺序分为以下三种情况：
烟、糖、糖、糖：3 3 2 1 =18种
糖、烟、糖、糖： 3 3 2 1 =18种
糖、糖、烟、糖：3 2 3 1 =18种
包含的基本事件个数为：54，
54 3
所以，其概率为 =
360 20
故选：D
【点睛】此题考查古典概型，解题关键在于弄清基本事件总数，和某一事件包含的基本事件个数，其本质
在于计数原理的应用.
三、解答题
11．尝试使用概率的“可加性”解决下面的问题：
(1)设 A, B是同一样本空间中的两个事件，探索P AU B ，P A ， P B ，P A B 之间的等量关系，并说
明理由.
(2) 1甲、乙各抛郑 n枚硬币，证明：“甲得到的正面数比乙得到的正面数少”这一事件的概率小于 2 .
【答案】(1) P AU B = P(A) + P(B) - P(AI B)
(2)证明见解析
【分析】（1）通过事件间的关系， A B 表示和事件， A B 表示积事件，即可找出关系得到结果；
（2）先设出事件A 事件“甲得到的正面数比乙得到的正面数少”， B 事件“甲得到的正面数比乙得到的正面数
多”，C 事件“甲得到的正面数比乙得到的正面数一样多”，再利用硬币的对称生和P A + P B + P C =1即
可得到证明.
【解析】（1）P AU B = P(A) + P(B) - P(AI B) ，
因为 A B 表示事件A 和事件 B 至少有一个发生， A B 表示事件A 和事件 B 同时发生，所以
P AU B = P(A) + P(B) - P(AI B)
（2）设A 事件“甲得到的正面数比乙得到的正面数少”， B 事件“甲得到的正面数比乙得到的正面数多”，C
事件“甲得到的正面数比乙得到的正面数一样多”，
由硬币的对称性知，P(A) = P(B)，又0 < P C <1，P A + P B + P C =1，
所以P A 1- P(C) 1 1= (0, )，故P A < ，
2 2 2
即“ 1甲得到的正面数比乙得到的正面数少”这一事件的概率小于 2 .
12．某电商平台进行抽奖活动，10000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖 5 个（奖金 2000 元），一等奖 20
个（奖金 500 元），二等奖 100 个（奖金 100 元），三等奖 500 个（奖金 20 元），其余均为不中奖（奖金为
0），设 1 张奖券中特等奖 一等奖 二等奖 三等奖的事件分别为 A B C D ，求：
(1)事件 A B C D 的概率；
(2)1 张奖券的中奖概率；
(3)一张奖券获得的奖金低于 200 元的概率．
【答案】(1) P(A)
1 1 1 1
= , P(B) = P(C) = , P(D) = .
2000 500 100 20
1
(2)
16
399
(3)
400
【分析】（1）根据古典概型概率计算公式计算即可；（2）根据互斥事件的和事件概率计算公式计算即可；
（3）求出所求事件的对立事件，利用对立事件概率计算公式计算即可.
【解析】（1）由题意，每 10000 张奖券中设特等奖 5 个，一等奖 20 个，二等奖 100 个，三等奖 500 个，
P(A) 5 1故 = = , P(B)
20 1
= = ,
10000 2000 10000 500
P(C) 100 1= = , P(D) 500 1= = .
10000 100 10000 20
（2）1 张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖、三等奖，
设“1 张奖券中奖”这个事件为M ，则M = A B C D,
又因为 A、B、C、D 两两互斥，
所以P(M ) = P(A B C D)
= P(A) + P(B) + P(C) + P(D)
5 + 20 +100 + 500 1
= = ,
10000 16
1
故 1 张奖券的中奖概率为 .
16
（3）设“一张奖券获得的奖金低于 200 元”为事件 N ,
则事件 N 与“一张奖券获得的奖金不低于 200 元”为对立事件，
而“一张奖券获得的奖金不低于 200 元”为奖券获得特等奖和一等奖的和事件，
所以P(N ) =1- P(A B)
1 P(A) P(B) 1 1 1 399= - - = - - = .
2000 500 400
399
即一张奖券获得的奖金低于 200 元的概率为 .
400
13．某次茶话会上，共安排 4 个节目，其中有 2 个歌唱节目、1 个舞蹈节目、1 个小品节目，按任意次序排
出一个节目单，试求下列事件的概率：
(1)舞蹈在最前或最后；
(2)舞蹈和小品 1 个在最前、1 个在最后；
(3)舞蹈和小品至少有 1 个在最前或最后；
(4)两个歌唱节目相邻；
(5)舞蹈排在小品之前．
1
【答案】(1) 2
1
(2)
6
5
(3)
6
(4) 12
(5) 12
【分析】利用列举法，结合古典概型的概率公式即可得解.
【解析】（1）依题意，记 2 个歌唱节目为 a,b，记 1 个舞蹈节目为m ，1 个小品节目为 n，
则按任意次序排出一个节目单的基本事件有： abmn, abnm, ambn, amnb, anbm, anmb，
bamn,banm,bman,bmna,bnam,bnma，mabn, manb,mban, mbna, mnab,mnba ，
nabm, namb,nbam, nbma, nmab,nmba ，共 24件，
其中舞蹈在最前或最后的基本事件有 abnm, anbm ，banm,bnam，
mabn, manb,mban, mbna, mnab,mnba ， nabm, nbam ，共12件，
12 1
则其概率为P1 = = ；24 2
（2）其中舞蹈和小品 1 个在最前、1 个在最后的基本事件有mabn, mban ， nabm, nbam ，共 4件，
4 1
则其概率P2 = = ；24 6
（3）因为“舞蹈和小品至少有 1 个在最前或最后”的对立事件为“舞蹈和小品排在中间”，
而舞蹈和小品排在中间的基本事件有 amnb, anmb ，bmna,bnma，共 4件，
所以舞蹈和小品至少有 1 个在最前或最后的基本事件有 24 - 4 = 20件，
20 5
则其概率P2 = = ；24 6
（4）其中两个歌唱节目相邻的基本事件有 abmn, abnm ，bamn,banm，
mabn, mban,mnab, mnba， nabm, nbam, nmab, nmba，共12件，
12 1
则其概率P4 = = ；24 2
（5）其中舞蹈排在小品之前的基本事件有 abmn, ambn, amnb ，bamn,bman,bmna ，
mabn, manb,mban, mbna, mnab,mnba ，共12件，
P 12 1则其概率 5 = = .24 2
14．如图是某班级 50 名学生订阅数学、语文、英语学习资料的情况，其中 A 表示订阅数学学习资料的学生，
B 表示订阅语文学习资料的学生，C 表示订阅英语学习资料的学生
（1）从这个班任意选择一名学生，用自然语言描述 1，4，5，8 各区域所代表的事件；
（2）用 A，B，C 表示下列事件：
①恰好订阅一种学习资料；
②没有订阅任何学习资料.
【答案】（1）区域 1 表示该生数学、语文、英语三种资料部订阅；区域 4 表示该生只订阅数学、语文两种
资料；区域 5 表示该生只订阅了语文资料；区域 8 表示该生三种资料都未订阅. （2）
① ABC + ABC + ABC ；② ABC
【解析】(1)由图可得出 1，4，5，8 各区域所代表的事件；
(2)由事件的关系与运算求解即可.
【解析】(1)由图可知：
区域 1 表示该生数学、语文、英语三种资料部订阅；
区域 4 表示该生只订阅数学、语文两种资料；
区域 5 表示该生只订阅了语文资料；
区域 8 表示该生三种资料都未订阅.
(2) “恰好订阅一种学习资料”包括：只订阅数学为： ABC ；只订阅语文： ABC ；只订阅英语： ABC ，并且
这三种相互互斥
所以“恰好订阅一种学习资料”用 A，B，C 表示为： ABC + ABC + ABC
“没有订阅任何学习资料” 用 A，B，C 表示为： ABC
【点睛】本题主要考查了事件的关系与运算，属于中档题.
15．科学家在 1927 年至 1929 年间发现自然界中的氧含有三种同位素，分别为 16 O， 17 O， 18 O，根据 1940
年比较精确的质谱测定，自然界中这三种同位素的含量比为 16 O占 99.759%， 17 O占 0.037%， 18 O占
0.204%．现有 3 个 16 O，2 个 17 O，n 个 18 O，若从中随机选取 1 个氧元素，这个氧元素不是 17 O的概率为
2
3 ．
(1)求 n；
(2)若从中随机选取 2 个氧元素，求这 2 个氧元素是同一种同位素的概率．
【答案】(1)1；
4
(2) .
15
【分析】（1）求出随机选取 1 个氧元素是 17 O的概率，再利用对立事件概率公式计算作答.
（2）对给定的 16 O， 17 O， 18 O进行编号，列举出选取 2 个氧元素的所有结果，再借助古典概率公式计算作
答.
2
【解析】（1）依题意，从这些氧元素中随机选取 1 个，这个氧元素是 17 O的概率P1 = ，则有n + 5
1 2 2- = ，解得 n=1，
n + 5 3
所以 n=1.
（2）记 3 个 16 O分别为 a，b，c，2 个 17 O分别为 x，y，1 个 18 O为 m，从中随机选取 2 个，所有的情况为：
a,b ， a,c ， a, x ， a, y ， a, m ， b,c ， b, x ， b, y ， b,m ， c, x ， c, y ， c,m ， x, y ，
x,m ， y, m ，共 15 种，它们等可能，
4
其中这 2 个氧元素是同一种同位素的情况有 a,b ， a,c ， b,c ， x, y ，共 4 种，其概率为P2 = ，15
4
所以这 2 个氧元素是同一种同位素的概率是 .
15
16．将连续正整数 1，2，3，L， n n Z+ 从小到大排列构成一个123Ln， F n 为这个数的位数．例如：
当 n =12 时，此时为 123456789101112，共有 15 个数字，则F 12 =15．现从这个数中随机取一个数字，P n
为恰好取到 0 的概率．
(1)求P 100 ；
(2)当 n≤ 2023时，求F n 得表达式；
(3)令 g n 为这个数中数字 0 的个数， f n 为这个数中数字 9 的个数， h n = f n - g n ，
S = n | h n =1, n 100, n Z+ ，求当 n S 时，P n 的最大值．
11
【答案】(1)
192
ì n,1 n 9
2n - 9,10 n 9 (2) F n = í
3n -108,100 n 999
4n -1107,1000 n 2023
1
(3)
19
【分析】（1）计算F 100 = 9 + 90 2 + 3 =192，数字 0 的个数为 11，得到概率.
（2）考虑1≤ n≤9，10 n 99，100 n 999，1000 n 2023四种情况，依次计算得到答案.
（3）考虑 n = b 1< b 9,b N* 时，当 n =10k + b 1 k 9,0 b 9, k N*,b N* 时，当 n =100 时三种情况，
得到 g n 和 f n 的解析式，得到 S = 9,19,29,39,49,59,69,79,89,90 ，再计算概率的最值得到答案.
【解析】（1）当 n =100 时，F 100 = 9 + 90 2 + 3 =192，
即这个数中共有 192 个数字，其中数字 0 的个数为 11，
11
则恰好取到 0 的概率为P 100 = ；
192
（2）当1≤ n≤9时，这个数有 1 位数组成，F n = n ；
当10 n 99时，这个数有 9 个 1 位数组成， n - 9个两位数组成，则F n = 2n - 9；
当100 n 999时，这个数有 9 个 1 位数组成，90 个两位数组成， n - 99个三位数组成，F n = 3n -108；
当1000 n 2023时，这个数有 9 个 1 位数组成，90 个两位数组成，900 个三位数组成 n - 999个四位数组成，
F n = 4n -1107；
ì n,1 n 9
2n - 9,10 n 99
综上所述：F n = í3n 108,100 n 999 ， -
4n -1107,1000 n 2023
（3） n = b 1< b 9,b N* 时， g n = 0，
当 n =10k + b 1 k 9,0 b 9, k N*,b N* 时， g n = k ；
ì0,1 n 9
当 n =100 时， g n =11 ，即 g n = ík, n =10k + b,1 k 9,0 b 9, k N*,b N* ，
11, n =100
ì 0,1 n 8
k, n =10k + b -1,1 k 8,0 b 9, k N
*,b N*
同理有 f n = í
n -80,89 n 98
，
20, n = 99,100
由 h n = f n - g n =1，可知 n = 9,19,29,39,49,59,69,79,89,90，
所以当 n 100时， S = 9,19,29,39,49,59,69,79,89,90 ，
P 9 = 0 P 90 9 1当n = 9 时， ，当 n = 90 时， = = ，
171 19
g n k k
当 n =10k + 9 1 k 8,k N* 时，P n = = =F n 2n 9 20k ，- + 9
y k 1 9 1由 = = - 关于 k 单调递增，
20k + 9 20 20 20k + 9
故当 n =10k + 9 1 k 8,k N* 时，有P n 的最大值为P 89 8= ，
169
8 1 1
又 < ，所以当 n S 时，P n 的最大值为 ．
169 19 19
【点睛】关键点点睛：函数的解析式，概率的计算，最值问题，意在考查学生的计算能力，转化能力和综
合应用能力，其中分类讨论的思想是解题的关键.12.2 古典概率
分层练习
题型 1：古典概率的有关概念
1．古典概率模型必须满足的两个条件是：
（1）随机试验中所有可能出现的基本事件只有 个；
（2）每个基本事件出现的可能性 .
2．产品中有正品 4 件，次品 3 件，从中任取 2 件，其中事件：
①恰有 1 件次品和恰有 2 件次品；②至少有 1 件次品和全都是次品；③至少有 1 件正品和至少有 1 件次
品；④至少有 1 件次品和全是正品．
4 组中互斥事件的序号是 ，对立事件的序号是 .
3．抛掷两枚硬币，事件 A：至少有一个正面朝上，事件 B：两个正面朝上，则事件 A、B 的关系是 .
题型 2：计算古典概率
4．抛掷一个骰子，它落地时向上的数可能情形是 1，2，3，4，5，6，骰子落地时向上的数是 3 的倍数的概
率是 .
5．某部共有三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册从左到右或从右到左恰好为第 1、2、3 册的
概率为 ．
6．在 5 瓶饮料中，有 2 瓶已过了保质期，从中任取 2 瓶，取到的全是已过保质期的饮料的概率为 ．
7．两个袋中各装有写着数字0,1,2,3,4,5的 6 张卡片，若从每个袋中任意取一张卡片，则取出的两张卡片上
数字之和大于 8 的概率为 ．
8．目前，全国所有省份已经开始了新高考改革.改革后，考生的高考总成绩由语文、数学、外语 3 门全国统
一考试科目成绩和 3 门选择性科目成绩组成.已知某班甲、乙同学都选了物理和地理科目，且甲同学的另一
科目会从化学、生物、政治这 3 科中选 1 科，乙同学的另一科目会从化学、生物这 2 科中选 1 科，则甲、
乙所选科目相同的概率是 .
9．某市将垃圾分为四类：可回收物，餐厨垃圾，有害垃圾和其他垃圾.某班由 4 名男生，2 名女生组成宣传
小组，现从这 6 名同学中选派 2 人到某小区进行宣传活动，则这 2 人中至少有 1 名女生的概率为 .
10．从11至14世纪涌现出一批著名的数学家和其创作的数学著作，如秦九韶的《数书九章》，李冶的《测圆
海镜》，杨辉的《详解九章算法》、《日用算法》和《杨辉算法》．某学校团委为拓展学生课外学习兴趣，现
从上述五部著作中任意选择两部作为学生课外拓展学习的参考书目，则所选的两部中至少有一部是杨辉著
作的概率为 ．
11．一批产品共 100 件，不合格品率为 0.05.收货方从中不放回地随机抽取产品进行检验，并按以下规则判
断是否接受这批产品：如果抽检的第 1 件产品不合格，则拒绝整批产品；如果抽检的第 1 件产品合格，则
再抽1件，如果抽检的第2件产品合格，则接受整批产品，否则拒绝整批产品.则这批产品被接受的概率为 .
题型 3：小球有无放回问题
12．一个袋子中有大小和质地相同的 5 个小球，其中有 3 个红色球、2 个绿色球，从袋中不放回地依次随机
摸出 2 个球，则两个球颜色相同的概率为 .
13．一个盒子中装有大小和质地相同的 2 个红球和 2 个白球，从盒中不放回地依次随机取出 2 个球，则取
出的 2 个球同色的概率是 ．
14．从含有 2 件正品和 1 件次品的 3 件产品中任取 1 件，每次取出后再放回，连续取两次，取出的两件产
品中恰好有一件次品的概率是 ．
15．已知红箱内有 3 个红球、2 个白球，白箱内有 2 个红球、3 个白球，所有小球大小、形状完全相同．第
一次从红箱内取出一球后再放回去，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回
去，以此类推，第 k +1次从与第 k 次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后再放回去．则第 3 次取出
的球是红球的概率为 ．
题型 4：事件的关系与运算
16．若事件 A、B 是对立事件，则P A + P B = .
17．设 A, B
2 1 3
是一个随机试验中的两个事件，且P(A) = ，P(B) = ，P(A + B) = ，则P(AB) = .
3 2 4
18．从装有 2个红球和 2个白球的口袋内任取 2个球观察颜色．设事件A 为“所取两个球至少有一个白球”，
事件 B 为“所取两个恰有一个红球”，则 A B 表示的事件为 ．
19．给出如下四对事件：①某人射击 1 次，“射中 7 环”与“射中 8 环”；②甲、乙两人各射击 1 次，“甲射中
7 环”与“乙射中 8 环”；③甲、乙两人各射击 1 次，“两人均射中目标”与“两人均没有射中目标”；④甲、乙
两人各射击 1 次，“至少有 1 人射中目标”与“甲射中，但乙未射中目标”，其中属于互斥事件的有 .
20．已知P A = 0.4, P B = 0.7，若 A B ，则P(A U B) = ．
4
21．同时抛掷两枚骰子，5 点，6 点都没有的概率为 ，则至少掷出一个 5 点或 6 点的概率为 ．
9
22．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概
率分别是 0.05 和 0.03，则抽检一件是甲级品的概率为 ．
题型 5：概率的基本性质
23．已知P A = 0.5，P B = 0.3 .（1）如果B A，那么P AU B = ，P AB = ，P A \ B = ；
（2）如果 A，B 互斥，那么P AU B = ，P AB = ，P A \ B = .
24．已知A 与 B 为互斥事件，且P AU B = 0.5，P A = 0.2，则P B = ．
25．在抛掷一颗骰子（一种正方体玩具，六个面分别标有 1,2,3,4,5,6 字样）的试验中，事件A 表示 “不大
于 3 的奇数点出现”，事件 B 表示 “小于 4 的点数出现”，则事件 A + B 的概率为 ．
26．袋中有红球、黑球、黄球、绿球共 12 个，它们除颜色外完全相同，从中任取一球，得到红球的概率是
1 5 5
，得到黑球或黄球的概率是 ，得到黄球或绿球的概率也是 ，则得到黑球、黄球、绿球的概率分别
3 12 12
是 ， ， .
27．2022 年 11 月 8 日至 13 日第十四届中国国际航空航天博览会在珠海国际航展中心举行．歼-20 运-20 和
空警-500 轰-6K 红-9B 等主战装备集中亮相，运油-20 歼-16 攻击-2 无人机首次振翅中国航展，空军八一飞
行表演队和空军航空大学“红鹰”飞行表演队劲舞长空，中国航展成为中国航空航天产业发展和国防实力最重
要的展示平台，更是展示中国力量，彰显中国价值，弘扬中国精神的一个窗口，国产某型防空导弹的单发
命中率为 90%，为了确保对敌机的摧毁效果，实战中往往采取双发齐射的方式，则双发齐射的命中率
为 ．
一、填空题
1．四个人围坐在一张圆桌旁，每个人面前放着完全相同的硬币，所有人同时抛掷自己的硬币.若硬币正面朝
上，则这个人站起来；若硬币正面朝下，则这个人继续坐着，那么没有相邻的两个人站起来的概率为 .
2．在某次国际围棋比赛中，中国派出包含甲、乙在内的 5 位棋手参加比赛，他们分成两个小组，其中一个
小组有 3 位，另外一个小组有 2 位，则甲和乙分在不同小组的概率为 .
3．据浙江省新高考规则，每名同学在高一学期结束后，需要从七门选考科目中选择其中三门作为高考选考
科目.某同学已经选择了物理、化学两门学科，还需要从生物、技术这两门理科学科和政治、历史、地理这
三门文科学科共五门学科中再选择一门，设事件E = “选择生物学科”，F = “选择一门理科学科”，G = “选择
政治学科”，H = “选择一门文科学科”，现给出以下四个结论：
① G 和 H 是互斥事件但不是对立事件；
② F 和 H 是互斥事件也是对立事件；
③ P F + P G =1；
④ P E H = P E + P H .
其中，正确结论的序号是 .（请把你认为正确结论的序号都写上）
4．从装有两个红球和两个黑球的口袋里任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是 ．
①“至少有一个黑球”与“都是黑球”；
②“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
③“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”；
④“至少有一个黑球”与“都是红球”
5．九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小
明需要在 9 个小格子中填上 1 至 9 中不重复的整数，小明通过推理已经得到了 4 个小格子中的准确数字，
a,b,c, d ,e这 5 个数字未知，且b,d 为奇数，则 a + b > 5的概率为 .
9 a 7
b c d
4 e 5
6．由 1， 2， 3， …，1000 这个 1000 正整数构成集合A ，先从集合A 中随机取一个数 a，取出后把 a放
b a 1回集合A ，然后再从集合A 中随机取出一个数 ，则 > 的概率为 ．
b 3
二、单选题
7．某同学口袋中共有5个大小相同 质地均匀的小球 .其中3个编号为5， 2个编号为10，现从中取出3个小
球，编号之和恰为 20的概率为（ ）
1 4 8 3
A． B． C． D．
15 15 15 5
8．利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的 100 件产品，其中一等品有 20 件，合格品有 70 件，其余为不合
格品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件 A 为“是一等品”，B 为“是合格品”，C 为“是不合格品”，则
下列结果错误的是（ ）
7
A．P B = B．P AI B = 0
10
C．P B C 7 9= D．P A B =
100 10
9．设 A, B是同一试验中的两个随机事件，P A 与 P B 分别是事件A ，事件 B 发生的概率，若
P A > 0, P B > 0，则“事件 A, B为对立事件”是“ P A + P B =1”的（ ）
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
10．吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟
香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则
吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性
相同，则“口香糖吃完时还剩 2 支香烟”的概率为（ ）
1 8
A． B．
5 15
3 3
C． D．
5 20
三、解答题
11．尝试使用概率的“可加性”解决下面的问题：
(1)设 A, B是同一样本空间中的两个事件，探索P AU B ，P A ， P B ，P A B 之间的等量关系，并说
明理由.
(2) 1甲、乙各抛郑 n枚硬币，证明：“甲得到的正面数比乙得到的正面数少”这一事件的概率小于 2 .
12．某电商平台进行抽奖活动，10000 张奖券为一个开奖单位，设特等奖 5 个（奖金 2000 元），一等奖 20
个（奖金 500 元），二等奖 100 个（奖金 100 元），三等奖 500 个（奖金 20 元），其余均为不中奖（奖金为
0），设 1 张奖券中特等奖 一等奖 二等奖 三等奖的事件分别为 A B C D ，求：
(1)事件 A B C D 的概率；
(2)1 张奖券的中奖概率；
(3)一张奖券获得的奖金低于 200 元的概率．
13．某次茶话会上，共安排 4 个节目，其中有 2 个歌唱节目、1 个舞蹈节目、1 个小品节目，按任意次序排
出一个节目单，试求下列事件的概率：
(1)舞蹈在最前或最后；
(2)舞蹈和小品 1 个在最前、1 个在最后；
(3)舞蹈和小品至少有 1 个在最前或最后；
(4)两个歌唱节目相邻；
(5)舞蹈排在小品之前．
14．如图是某班级 50 名学生订阅数学、语文、英语学习资料的情况，其中 A 表示订阅数学学习资料的学生，
B 表示订阅语文学习资料的学生，C 表示订阅英语学习资料的学生
（1）从这个班任意选择一名学生，用自然语言描述 1，4，5，8 各区域所代表的事件；
（2）用 A，B，C 表示下列事件：
①恰好订阅一种学习资料；
②没有订阅任何学习资料.
15．科学家在 1927 年至 1929 年间发现自然界中的氧含有三种同位素，分别为 16 O， 17 O， 18 O，根据 1940
年比较精确的质谱测定，自然界中这三种同位素的含量比为 16 O占 99.759%， 17 O占 0.037%， 18 O占
0.204%．现有 3 个 16 O，2 个 17 O，n 个 18 O，若从中随机选取 1 个氧元素，这个氧元素不是 17 O的概率为
2
3 ．
(1)求 n；
(2)若从中随机选取 2 个氧元素，求这 2 个氧元素是同一种同位素的概率．
16．将连续正整数 1，2，3，L， n n Z+ 从小到大排列构成一个123Ln， F n 为这个数的位数．例如：
当 n =12 时，此时为 123456789101112，共有 15 个数字，则F 12 =15．现从这个数中随机取一个数字，P n
为恰好取到 0 的概率．
(1)求P 100 ；
(2)当 n≤ 2023时，求F n 得表达式；
(3)令 g n 为这个数中数字 0 的个数， f n 为这个数中数字 9 的个数， h n = f n - g n ，
S = n | h n =1, n 100, n Z+ ，求当 n S 时，P n 的最大值．
