第 10 章 空间直线与平面 单元综合检测（重点）
一、填空题
1．下列四个条件中，能确定一个平面的是 （填编号）
①空间任意三点；②空间两条平行直线；③一条直线和一个点；④两两相交且不共点的三条直线
【答案】②④
【分析】根据确定平面的公理和推论逐一判断即可得解．
【解析】解：对于①：当这三个点共线时经过这三点的平面有无数个，故①错误．
对于②：根据确定平面的公理的推论可知两条平行线可唯一确定一个平面，故②正确；
对于③：如该点在此直线上时有无数个平面经过这条直线和这个点，故③错误．
对于④：两条相交直线唯一确定一个平面，设直线 a Ib = A， a I c = B， c Ib = C ，
则直线 a、b 唯一确定平面a ，即 a a ，b a ，又B a ，C b，
所以B a ，C a ，又B c ，C c，所以c a ，
即两两相交且不共点的三条直线唯一确定一个平面，故④正确；
故答案为：②④．
2．已知平面a / / 平面b ， a a ，b b ，则直线 a与b 的位置关系为 ．
【答案】平行或者异面．
【分析】由a / /b ， a a ，b b ，，可知两条直线没有公共点，因此两条直线平行或者异面．
【解析】解：因为a / /b ， a a ，b b ，
所以两条直线没有公共点，
所以直线 a 与 b 的位置关系平行或异面；
故答案为：平行或者异面．
3．若点 P 在直线b 上，b 在平面b 内，则用符号表示 P b b 之间的关系可记作 .
【答案】P b，b b ， P b
【分析】根据点、线、面的定义，即可得到答案.
【解析】点 P 在直线b 上，b 在平面b 内，则P b，b b ，
故 P b b 之间的关系可记作P b，b b ， P b .
故答案为：P b，b b ， P b
4．如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，异面直线 A1B 和 DC 所成角的大小为
p
【答案】45°/
4
【分析】由分析知异面直线 A1B 和 DC 所成角即异面直线 A1B 和 AB 所成角，即为 A1BA，求解即可.
【解析】因为 AB / /DC ，所以异面直线 A1B 和 DC 所成角即异面直线 A1B 和 AB 所成角，
异面直线 A1B 和 AB 所成角为 A1BA，
在△A1AB中， AA1 ^ AB, AA1 = AB ，
所以 A1BA = 45° .
故答案为：45°
5．m, n是空间两条不同直线，a , b 是两个不同平面，下面有四个命题：
① m ^ a ,n / /b ,a / /b ，则m ^ n，
② m ^ n,a / /b , m ^ a ，则 n / /b ，
③ m ^ n,a / /b , m / /a ，则 n ^ b ，
④ m ^ a , m / /n,a / /b ，则 n ^ b ，
其中真命题的编号是 .（写出所有真命题的编号）
【答案】①④
【分析】根据立体几何相关定理逐项分析.
【解析】对于①，Qn / /b ，必然存在一个平面g 使得 n g ，并且g / /b ，又m ^ a ,a / /b ,\a / /g ,m ^ g ,m ^ n，
正确；
对于②，如果 n b ，则结论不成立，错误；
对于③，如图：
a / /b ，构造平面g ，使得m g ，并且g / /a ，则g / /b ，在g 平面内，作直线 n，使得 n ^ m ，显然 n / /b ，
错误；
对于④，Qm ^ a ,m / /n,\n ^ a ，又a / /b ,\n ^ b ，正确；
故答案为：①④.
6．已知E 是正方体 ABCD - A1B1C1D1 棱CC1 的中点，则直线 A1E 与平面 ABCD所成的角的大小等于 .
【答案】 arcsin
1
3
【分析】根据线面角的定义计算求得正确答案.
【解析】连接 A1C1，如图，
由于CC1 ^ 平面 A1B1C1D1，
所以 EA1C1是直线 A1E 与平面 A1B1C1D1所成角，
设正方体的边长为 2，则C1E =1, A1C1 = 2 2, A1E = 3，
所以 sin EA1C
1
1 = ，3
1
所以直线 A1E 与 A1B1C1D1所成角为 arcsin ，3
又平面 A1B1C1D1 // 平面 ABCD，
1
所以直线 A1E 与平面 ABCD所成的角为 arcsin .3
故答案为： arcsin
1
3
7．已知二面角a - l - b ，若直线 a ^ a ，直线b ^ b ，且直线 a,b所成角的大小为60°，则二面角a - l - b 的
大小为 .
【答案】60°或120°
【分析】作出二面角的平面角，然后利用直线夹角与二面角的平面角的关系求出二面角的大小
【解析】设点 P 是二面角a - l - b 内的一点，过 P 分别作直线 a,b的平行线 PA, PB ，且PA垂直于a 于A ， PB
垂直于b 于 B ，设平面PAB交直线 l于点O，连接OA，OB，由于PA ^ a ，PB ^ b ， l a ， l b ，
故PA ^ l ，PB ^ l ，又PAI PB = P ，PA, PB 平面PAB，
故 l ^平面PAB，又OA，OB 平面PAB，故 l ^ OA， l ^ OB ，
所以 AOB 为二面角a - l - b 的平面角，
因为直线 a,b所成角的大小为60°，所以 APB = 60° 或120°，
当 APB =120°时，如图
因为 APB + AOB = 180°，所以 AOB = 60°；
当 APB = 60° 时，
如图
因为 APB + AOB = 180°，所以 AOB = 120° ;
综上，二面角a - l - b 的大小为60°或120°
故答案为：60°或120°
π
8．已知大小为 的二面角的一个面内有一点，它到二面角的棱的距离为 6，则这个点到另一个面的距离
6
为 ．
【答案】3
【分析】作出图形，根据题意结合直角三角形运算求解.
π
【解析】如图，设二面角a - l - b 为 ，点 A a ，且 AB ^ l, AB = 6，
6
过点 A 作 AC ^平面b ，垂足为C ，连接BC ，
∵ AC ^平面b ， l, BC b ，
∴ AC ^ l, AC ^ BC ，
又∵ AB ^ l, AB I AC = A， AB, AC 平面 ABC，
∴ l ^平面 ABC，
BC 平面 ABC，则 l ^ BC ，
故二面角a - l - b ABC
π
的平面角为 = 6 ，
在 Rt△ABC 中， AC = AB sin ABC = 3，
故点 A 到平面b 的距离为 3.
故答案为：3.
9．如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中正确的序号是 .
①直线 AF 与直线DE 相交；
②直线CN 与直线DE 平行；
③直线 BM 与直线DE 是异面直线；
④直线CN 与直线 BM 成60°角.
【答案】③④.
【分析】将正方体的平面展开图，复原为正方体，确定各点位置，根据异面直线的定义可判断①②③，
根据异面直线所成角的定义，求出直线CN 与直线 BM 所成的角，判断④.
【解析】如图，将正方体的平面展开图，复原为正方体，
对于①，ED 平面 ADNE ， AF 平面 ADNE , AF 平面 ADNE = A ,
故直线 AF 与直线DE 是异面直线，①错误；
对于②，ED 平面 ADNE ，CN 平面 ADNE , CN I 平面 ADNE = N ,
故直线CN 与直线DE 是异面直线，②错误；
对于③，平面 ADNE∥平面BCMF , DE 平面 ADNE , BM 平面BCMF ,
故直线 BM 与直线DE 不相交，连接 AN ,则BM ∥ AN ,而 AN , DE 相交，
故BM , DE 不平行，否则BM ∥DE ，则 AN ∥DE ，不合题意，
故直线 BM 与直线DE 是异面直线，③正确；
对于④，连接 AC ,则VANC 为正三角形，则 ANC = 60o ,
由于BM ∥ AN ，则 ANC 即为直线CN 与直线 BM 所成角，
即直线CN 与直线 BM 成60o 角，④正确，
故答案为：③④.
p p
10．设 l1、 l2、 l3 为空间中三条不同的直线，若 l1与 l2所成角为 ， l1与 l3 所成角为 ，则 l2与 l12 3 所成角的取4
值范围是 .
ép
【答案】 ê ,
p ù
6 3 ú
【分析】不妨设 l1、 l2、 l3 相交于点S ，根据题意构造两个圆锥，结合轴截面可得 l2与 l3 所成角的最小值与最
大值即可.
【解析】不妨设 l1、 l2、 l3 相交于点S ，如图，根据题意构造两个圆锥，
其中底面圆心为O，轴 SO 所在直线为 l1，小圆锥的母线所在直线为 l3 ，轴截面
SCD ；大圆锥的母线所在直线为 l2，轴截面 SAB ，且 A, B,C, D,O 在一条直线上.
OSC π π由题意 = OSD = ， OSA = OSB = ，
12 4
由图可知，当 l3 移动到 SD ， l2移动到 SB 时，可得 l2与 l3 所成角的最小，
最小值为 DSB
π π π
= - = .
4 12 6
当 l3 移动到 SC ， l2移动到 SB 时，可得 l2与 l3 所成角的最大，
CSB π π π最大值为 = + = .
4 12 3
所以 l é
p p ù
2与 l3 所成角的取值范围为 ê , . 6 3 ú
ép
故答案为： ê ,
p ù
6 3 ú
11．如图所示，在直角梯形 ABCD中，BC∥AD ， AD ^ CD ，BC = 2， AD = 3，CD = 3 ，边 AD 上一点
E 满足DE =1．现将VABE 沿 BE 折起到VA1BE 的位置，使平面 A1BE ^平面BCDE ，如图所示，则异面直线
A1C 与 BE 的距离是 ．
6 1
【答案】 / 6
2 2
【分析】作 BE 的中点O，连接 A1O，CO，CE，过O作OH ^ A1C 于点 H ，由条件证明BE ^平面 A1OC ，进
而得到BE ^ OH ，即得出OH 为异面直线 A1C 与 BE 的公垂线段，通过解直角三角形得到OH 的线段长度即
可.
【解析】作 BE 的中点O，连接 A1O，CO，CE，
因为BC = 2， AD = 3，DE =1，所以 AE = BC = 2 ，
又因为 AD∥ BC ，所以 AE∥BC ，
所以四边形 ABCE是平行四边形，
因为CD = 3 ，DE =1， AD ^ CD ，
所以CE = DE2 + CD2 = 2 = BC ，且 DEC = 60°，
所以平行四边形 ABCE为边长为 2 的菱形，且 BAE = BCE = DEC = 60°，
所以VABE 和VBEC 都是正三角形，
所以 A1O ^ BE ，CO ^ BE，
又因为 A1O CO = O ， A1O、CO 平面 A1OC ，
所以BE ^平面 A1OC ，
过O作OH ^ A1C 于点 H ，
因为OH 平面 A1OC ，所以BE ^ OH ，
则OH 为异面直线 A1C 与 BE 的公垂线段，
因为平面 A1BE ^平面BCDE ，
平面 A1BE 平面BCDE = BE ， A1O ^ BE ， A1O 平面 A1BE ，
所以 A1O ^平面BCDE ，OC 平面BCDE ，则 A1O ^ CO，
又因为 A1O = OC = 3 ，所以△ A1OC 为等腰直角三角形，
所以OH = 3 ×sin 45 6° = ，即异面直线 A1C 与 BE
6
的距离为 ，
2 2
6
故答案为： .
2
12．已知棱长为 1 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，点E ，F 分别是棱BB1，DD1上的动点，且 BE = D1F = l
0 < l 1 ÷．设 EF 与 AB 所成的角为a ，与BC 所成的角为b ，则a + b 的最小值为 ．
è 2
【答案】90°
【分析】在 AA1上取M , N ，找出与a 、b 相等的角，进而根据三角形全等证得a = b .在Rt△EMF 中，可求
tana = 1+ (1- 2l)2 1，所以amin = 45° ，即可得出答案.
【解析】
在 AA1上取M , N ，使 AM = BE 、 A1N =FD1 ，连接MF 、 NE .
因为 AM = BE ， AA1 //BB1 ，所以四边形 ABEM 是平行四边形，所以EM / / AB ，且ME=AB =1，所以 MEF
即为 EF 与 AB 所成的角，即 MEF = a ，
同理可得，FN = A1D1 =1， EFN = b .
由已知可得， AB ^ 平面 ADD1A1，FM 平面 ADD1A1，所以 AB ^ FM ，
又EM / / AB ，所以EM ^ FM ，所以VEMF 为直角三角形.
同理可得，△ENF 为直角三角形.
由ME=FN =1，EF = EF ，可得VEMF ≌VFNE ，所以 MEF = EFN ，即a = b ．
又在VMFE 中，ME =1，MF = MN 2 + NF 2 = 1+ (1- 2l)2 .
则在Rt△EMF 中，有 tana MF= = 1+ (1- 2l)2 1，所以amin = 45° ，ME
因此 (a + b )min = (2a )min = 90°．
故答案为：90° .
二、单选题
13．已知 x, y, z是空间的直线或平面，要使命题“若 x ^ z, y ^ z，则 x//y ”是真命题， x, y, z可以是（ ）
A． x, y, z是三个不同的平面 B． x, z 是两条不同的直线， y 是平面
C． x, y, z是三条不同的直线 D． x, y是两条不同的直线， z 是平面
【答案】D
【分析】根据线面、面面的、线线的垂直关系逐项判断，可得出合适的选项.
【解析】对于 A：若 x, y, z是空间中三个不同的平面，且 x ^ z, y ^ z，则平面 x 和平面 y 的位置不确定，故
A 错误；
对于 C：若 x, y, z是空间中三条不同的直线，且 x ^ z, y ^ z，则直线 x 和直线 y 的位置不确定，故 C 错误；
对于 B： x, z 是空间中两条不同的直线， y 是空间的平面，且 x ^ z, y ^ z，
则直线 x 和平面 y 的关系为直线 x// 平面 y 或直线 x 平面 y ，故 B 错误；
对于 D： x, y是空间中两条不同的直线， z 是空间的平面，且 x ^ z, y ^ z，则 x//y ，故 D 正确，
故选：D.
14．若直线 l是平面a 的一条斜线，则在平面a 内与 l垂直的直线（ ）
A．有且只有一条 B．有无数条
C．有且只有两条 D．不存在
【答案】B
【分析】依题意画出图形，即可判断.
【解析】如图设斜线 l与平面a 交于点A ，在平面a 内过点A 作直线 a ^ l ，
则在平面a 内所有与直线 a平行的直线均与直线 l垂直，
故在平面a 内与 l垂直的直线有无数条.
故选：B
15．已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 ，直线BD1与直线 AA1所成角的余弦值是（ ）
1
A 1 B C 6 D 3． 2 ． ． ．3 3 3
【答案】D
【分析】根据线线平行得异面直线所成的角，即可由三角形边角关系求解.
【解析】由于 AA1 / /DD1 ,所以 DD1B即为直线BD1与直线 AA1所成的角或其补角，
不妨设正方体的棱长为 a，则BD = 2a, BD = D D21 1 + BD
2 = 3a，
DD 1 3
所以 cos DD B = 11 = = ,D1B 3 3
故选：D
16．如图，在矩形 ABCD中，E、F 分别为边 AD、BC 上的点，且 AD = 3AE ，BC = 3BF ，设P、Q分别为
线段 AF、CE 的中点，将四边形 ABFE 沿着直线 EF 进行翻折，使得点A 不在平面CDEF 上，在这一过程中，
下列关系不能成立的是（ ）
A．直线 AB//直线CD B．直线 AB ^ 直线 PQ
C．直线PQ// 直线ED D．直线PQ// 平面 ADE
【答案】C
【分析】画出翻折之后的立体图形，根据点线面之间的位置关系以及平行与垂直的相关定理，可以证明或
证伪相关命题.
【解析】翻折之后如图所示：
①因为 AD = 3AE ，BC = 3BF ，所以 AB / /EF 且EF / /CD ，
因此 AB / /CD ，故选项 A 成立；
②连接FD，因为P、Q分别为FA、FD 的中点，所以PQ / / AD ，
又因为 AB ^ AD ，所以 AB ^ PQ ，故选项 B 成立；
③因为PQ / / AD ，ED AD = D ，所以 PQ与ED不平行，故选项 C 不成立；
④因为PQ / / AD ，且PQ 平面 ADE ， AD 平面 ADE ，
所以PQ// 平面 ADE ，故选项 D 成立.
故选：C
三、解答题
17．如图，在四棱锥P- ABCD中，四边形 ABCD为正方形， P 点在平面 ABCD内的射影为 A，且
PA = AB = 2，E 为PD中点.
(1)证明：PB / / 平面 AEC
(2)证明：平面PCD ^平面PAD .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由线线平行证线面平行；
（2）由线面垂直证PA ^ CD ，再证CD ^平面PAD 、平面PCD ^平面PAD .
【解析】（1）连接BD交 AC 于点O，连接EO .
因为O为BD中点，E 为PD中点，所以EO / /PB ，
因为EO 平面 AEC ， PB / 平面 AEC ，所以PB / / 平面 AEC ；
（2）因为 P 点在平面 ABCD内的射影为 A，所以PA ^平面 ABCD，
因为CD 平面 ABCD，所以PA ^ CD .
又在正方形 ABCD中，CD ^ AD 且PA AD = A，所以CD ^平面PAD ，
又CD 平面PCD，所以平面PCD ^平面PAD .
18．如图，矩形 AMND 所在平面与直角梯形 MBCN 所在的平面垂直，MB//NC，MN⊥MB．
(1)求证：平面 AMB//平面 DNC；
(2)若 MC⊥CB，求证：BC⊥AC．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由线面平行的判定可证 MB//面 DNC、MA//面 DNC，再用面面平行的判定证结论；
（2）由面面垂直的性质得 AM⊥平面 MBCN，再由线面垂直的性质、判定证 BC⊥面 AMC，最后由线面垂直
的性质证线线垂直即可.
【解析】（1）因为 MB//NC，MB 面 DNC，NC 面 DNC，所以 MB//面 DNC．
因为 AMND 是矩形，所以 MA//DN，又 MA 面 DNC，DN 面 DNC，所以 MA//面 DNC．
又 MA∩MB=M，且 MA、MB 平面 AMB，所以面 AMB//面 DNC．
（2）因为 AMND 是矩形，所以 AM⊥MN．
因为面 AMND⊥面 MBCN，且面 AMND∩面 MBCN=MN，AM 面 AMND，
所以 AM⊥平面 MBCN，而 BC 平面 MBCN，所以 AM⊥BC．
因为 MC⊥BC，MC∩AM=M，MC、AM 面 AMC，所以 BC⊥面 AMC，
因为 AC 面 AMC，所以 BC⊥AC．
π
19．如图,在正四棱锥P- ABCD中, PAB = .
3
(1)求侧棱PA与底面 ABCD 所成角的大小;
(2)求二面角P- AB-C 的大小.
π
【答案】(1)
4
(2) arccos 3
3
【分析】(1) 设底面正方形 ABCD 的中心为 O,连接 AO,PO,可得PO ^平面 ABCD,则 PAO为侧棱 PA 与底面
ABCD 所成角,设出正四棱锥侧棱,根据角度关系,找到各个长度,求出夹角余弦值,即可求出夹角;
(2) 取 AB 的中点为 E,连接 PE,OE,即可证明 PEO为二面角P- AB-C 的平面角,根据(1)中的数量关系,求出
长度及夹角余弦值,即可得出结果.
【解析】（1）解:由题知正四棱锥P- ABCD ,
设底面正方形 ABCD 的中心为 O,
连接 AO,PO,
所以在正四棱锥P- ABCD中, PO ^平面 ABCD,
即点 P 在平面 ABCD 上的投影为 O,
故 PAO为侧棱 PA 与底面 ABCD 所成角,
π
在VPAB 中, PA = PB , PAB = ,
3
故VPAB 为等边三角形,设其边长为 a a > 0 ,
因为PO ^平面 ABCD, AO 平面 ABCD,
故PO ^ AO ,
1 2
在Rt△PAO 中, PA = a , AO = AC = a ,
2 2
所以 cos PAO AO 2= = ,
PA 2
π
即 PAO = ,
4
π
故侧棱 PA 与底面 ABCD 所成角的大小 ;
4
（2）取 AB 的中点为 E,连接 PE,OE,
在正方形 ABCD 中, OE ^ AB ,
在等边VPAB 中, PE ^ AB ,
故 PEO为二面角P- AB-C 的平面角,
因为PO ^平面 ABCD, EO 平面 ABCD,
故PO ^ EO ,
3 OE 1 BC 1在Rt△PEO 中, PE = a , = = a ,
2 2 2
cos PEO OE 3= = ,
PE 3
即 PEO = arccos 3 ,
3
故二面角P- AB-C 的大小为 arccos 3 .
3
20．如图，在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中， AB = BC = 2， AA1 = 3 .
(1)设 O、E 分别为 A1C 和 AB 中点，求证：OE 平行于平面 ADD1A1；
(2)求异面直线 A1C 与DD1所成角的大小.
【答案】(1)证明见解析
(2) arctan 2 2
3
【分析】（1）首先取 A1D中点F ，连接OF 、 AF ，易证四边形 AEOF 为平行四边形，所以OE //AF ，再利用
线面平行的判定即可得到答案.
（2）连接 A1C1，得到 A1CC1是异面直线 A1C 与DD1所成角，再计算其大小即可.
【解析】（1）取 A1D中点F ，连接OF 、 AF ，如图所示：
1
因为 O 为 A1C 中点，所以OF //CD ，且OF = CD .2
又 ABCD - A1B1C1D1 是长方体，E 为 AB 中点，
1
所以 AE //CD，且 AE = CD，即 AE //OF ，且 AE = OF ，
2
四边形 AEOF 为平行四边形，所以OE //AF .
又 AF 在平面 ADD1A1内，OE在平面 ADD1A1外，因此，OE // 平面 ADD1A1 .
（2）连接 A1C1，如图所示：
因为C1C ^平面 A1B1C1D1， A1C1 平面 A1B1C1D1，
所以 A1C
o
1C = 90 ，又DD1 //CC1，
所以 A1CC1是异面直线 A1C 与DD1所成角（或其补角）.
2 2
tan ACC A1C1 2 + 2 2 2 1 1 = = = ，故 A1CC1 = arctan
2 2 .
CC1 3 3 3
2 2
因此，异面直线 A1C 与DD1所成角的大小为 arctan .
3
21．如图，在四棱锥P - ABCD 中，四边形 ABCD是边长为 2 的菱形，△ PAB是边长为 2 的等边三角形，
PD ^ AB ，PD = 6 ．
(1)设 AB 中点E ，求证：DE ^平面PAB；
(2)求平面PAB和平面PCD所成锐二面角的大小．
【答案】(1)证明见解析；
p
(2) .
4
【分析】（1）根据等边三角形的性质，结合线面垂直的判定定理、勾股定理进行证明即可；
（2）证明 DPE 即为面PAB和平面PCD所成二面角的平面角，再解三角形即可．
【解析】（1）证明：取 AB 中点为E ，连接PE，DE ，如下所示：
则在等边三角形PAB中，PE ^ AB ，
又因为PD ^ AB ，PE PD = P ，PE、PD 面PED ，
所以 AB ^面PED ，因为ED 面PED ，
所以 AB ^ ED ，又DA = AB = 2, AE =1，
所以 DAB = 60°，PE = DE = 3, PD = 6 ，
所以PE2 + DE2 = PD2 ，即PE ^ DE ，
又PE AB = E ，PE、 AB 面PAB，
所以DE ^面PAB；
（2）设平面PAB 平面PDC = l ，又DC // AB ， AB 平面PAB，
DC 平面PAB，所以DC //平面PAB，又DC 平面PDC ，所以DC // l，
所以DC // AB // l，又PD ^ AB ，所以PD ^ l，又PE ^ AB ，所以PE ^ l ，
所以 DPE 即为面PAB和平面PCD所成二面角的平面角，
p
由（1）知， DEP = , DE = PE = 3 ，所以△ DEP 为等腰直角三角形，
2
p
故面PAB和平面PCD所成锐二面角为 ．
4
22．如图，在正四棱锥P- ABCD中， PA = AB = 2 2 ，E F 分别为PB PD 的中点，平面 AEF 与棱PC 的交
点为G .
(1)求异面直线 AE 与PF 所成角的大小；
(2)求平面 AEGF 与平面 ABCD所成锐二面角的大小；
(3)求点G 的位置.
【答案】(1) arccos 3
3
(2) arctan
1
2
(3)点G 的位置为线段 PC 靠近 P 的三等分点.
【分析】（1）作出辅助线，找到异面直线 AE 与PF 所成的角是∠OEA（或补角），利用余弦定理求出
OEA arccos 3 = ；
3
1
（2）作出辅助线，找到平面 AEGF 与平面 ABCD所成锐二面角为 OAQ，经过计算得到 OAQ = arctan ；
2
1
（3）证明出 A、Q、G 三点共线，利用第二问的求出的 tan OAQ = ，和题干中的条件确定点G 的位置.
2
【解析】（1）连接 AC，BD，相交于点 O，
因为四边形 ABCD 是正方形，所以 O 是正方形的中心，连接 PO，
因为四棱锥P- ABCD是正四棱锥，则 PO⊥底面 ABCD，连接 OE，
因为E 为 PB的中点，所以 EO 是△PBD 的中位线，所以 EO∥PD，
∠OEA（或补角）即为异面直线 AE 与PF 所成角的大小，
因为正四棱锥P- ABCD中， PA = AB = 2 2 ，所以△PAB 是等边三角形，
所以 AE = AB sin
π
× = 6 ，由勾股定理得：
3 AC = 8 + 8 = 4
，所以 AO = 2，
1
因为PO ^ BD，E 为 PB 的中点，所以OE = PB = 2 ，
2
2 2 2
△AOE cos OEA OE + AE - AO 2 + 6 - 4 3在 中，由余弦定理得： = = = ，
2OE × AE 2 2 6 3
3
所以异面直线 AE 与PF 所成角的大小为 arccos
3
（2）连接 EF，与 OP 相交于点 Q，则 Q 为 OP，EF 的中点，
因为E F 分别为PB PD 的中点，所以 EF 是三角形 PBD 的中位线，所以 EF∥BD，
因为BD 平面 ABCD，EF 平面 ABCD，所以 EF∥平面 ABCD，
设平面 AEGF 与平面 ABCD相交于直线 l，故 EF∥ l ∥DB，连接 QA，
则因为 AE=AF，所以 AQ⊥EF，又因为 OA⊥BD，
故∠QAO 即为平面 AEGF 与平面 ABCD
1
所成锐二面角，其中OQ = OP =1， AO = 2，所以
2
tan OAQ OQ 1= = ，故 OAQ
1
= arctan ，
AO 2 2
1
即平面 AEGF 与平面 ABCD所成锐二面角的大小为 arctan
2
（3）延长 AQ，则由两平面相交的性质可得 AQ 一定过点 G，
过点 G 作 GM∥PO 交 AC 于点 M，因为 PO⊥底面 ABCD，所以 GM⊥底面 ABCD，
1
设 GM=CM=x，则 AM=4-x，由第二问知： tan OAQ = ，
2
GM 1 x 1 4
所以 = ，即 = ，解得： x = ，
AM 2 4 - x 2 3
4
故 CG GM 2= = 3 = ，所以点G 的位置为线段 PC 靠近 P 的三等分点.
PC OP 2 3第 10 章 空间直线与平面 单元综合检测（重点）
一、填空题
1．下列四个条件中，能确定一个平面的是 （填编号）
①空间任意三点；②空间两条平行直线；③一条直线和一个点；④两两相交且不共点的三条直线
2．已知平面a / / 平面b ， a a ，b b ，则直线 a与b 的位置关系为 ．
3．若点 P 在直线b 上，b 在平面b 内，则用符号表示 P b b 之间的关系可记作 .
4．如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，异面直线 A1B 和 DC 所成角的大小为
5．m, n是空间两条不同直线，a , b 是两个不同平面，下面有四个命题：
① m ^ a ,n / /b ,a / /b ，则m ^ n，
② m ^ n,a / /b , m ^ a ，则 n / /b ，
③ m ^ n,a / /b , m / /a ，则 n ^ b ，
④ m ^ a , m / /n,a / /b ，则 n ^ b ，
其中真命题的编号是 .（写出所有真命题的编号）
6．已知E 是正方体 ABCD - A1B1C1D1 棱CC1 的中点，则直线 A1E 与平面 ABCD所成的角的大小等于 .
7．已知二面角a - l - b ，若直线 a ^ a ，直线b ^ b ，且直线 a,b所成角的大小为60°，则二面角a - l - b 的
大小为 .
π
8．已知大小为 的二面角的一个面内有一点，它到二面角的棱的距离为 6，则这个点到另一个面的距离
6
为 ．
9．如图是一个正方体的平面展开图，在这个正方体中，下列说法中正确的序号是 .
①直线 AF 与直线DE 相交；
②直线CN 与直线DE 平行；
③直线 BM 与直线DE 是异面直线；
④直线CN 与直线 BM 成60°角.
10．设 l1、 l2、 l
p p
3 为空间中三条不同的直线，若 l1与 l2所成角为 ， l1与 l3 所成角为12 ，则
l2与 l4 3
所成角的取
值范围是 .
11．如图所示，在直角梯形 ABCD中，BC∥AD ， AD ^ CD ，BC = 2， AD = 3，CD = 3 ，边 AD 上一点
E 满足DE =1．现将VABE 沿 BE 折起到VA1BE 的位置，使平面 A1BE ^平面BCDE ，如图所示，则异面直线
A1C 与 BE 的距离是 ．
12．已知棱长为 1 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，点E ，F 分别是棱BB1，DD1上的动点，且 BE = D1F = l
1
0 < l ÷．设 EF 与 AB 所成的角为a ，与BC 所成的角为b ，则a + b 的最小值为 ．
è 2
二、单选题
13．已知 x, y, z是空间的直线或平面，要使命题“若 x ^ z, y ^ z，则 x//y ”是真命题， x, y, z可以是（ ）
A． x, y, z是三个不同的平面 B． x, z 是两条不同的直线， y 是平面
C． x, y, z是三条不同的直线 D． x, y是两条不同的直线， z 是平面
14．若直线 l是平面a 的一条斜线，则在平面a 内与 l垂直的直线（ ）
A．有且只有一条 B．有无数条
C．有且只有两条 D．不存在
15．已知正方体 ABCD - A1B1C1D1 ，直线BD1与直线 AA1所成角的余弦值是（ ）
A 1
1
B C 6 D 3． 2 ． ． ．3 3 3
16．如图，在矩形 ABCD中，E、F 分别为边 AD、BC 上的点，且 AD = 3AE ，BC = 3BF ，设P、Q分别为
线段 AF、CE 的中点，将四边形 ABFE 沿着直线 EF 进行翻折，使得点A 不在平面CDEF 上，在这一过程中，
下列关系不能成立的是（ ）
A．直线 AB//直线CD B．直线 AB ^ 直线 PQ
C．直线PQ// 直线ED D．直线PQ// 平面 ADE
三、解答题
17．如图，在四棱锥P- ABCD中，四边形 ABCD为正方形， P 点在平面 ABCD内的射影为 A，且
PA = AB = 2，E 为PD中点.
(1)证明：PB / / 平面 AEC
(2)证明：平面PCD ^平面PAD .
18．如图，矩形 AMND 所在平面与直角梯形 MBCN 所在的平面垂直，MB//NC，MN⊥MB．
(1)求证：平面 AMB//平面 DNC；
(2)若 MC⊥CB，求证：BC⊥AC．
π
19．如图,在正四棱锥P- ABCD中, PAB = .
3
(1)求侧棱PA与底面 ABCD 所成角的大小;
(2)求二面角P- AB-C 的大小.
20．如图，在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中， AB = BC = 2， AA1 = 3 .
(1)设 O、E 分别为 A1C 和 AB 中点，求证：OE 平行于平面 ADD1A1；
(2)求异面直线 A1C 与DD1所成角的大小.
21．如图，在四棱锥P - ABCD 中，四边形 ABCD是边长为 2 的菱形，△ PAB是边长为 2 的等边三角形，
PD ^ AB ，PD = 6 ．
(1)设 AB 中点E ，求证：DE ^平面PAB；
(2)求平面PAB和平面PCD所成锐二面角的大小．
22．如图，在正四棱锥P- ABCD中， PA = AB = 2 2 ，E F 分别为PB PD 的中点，平面 AEF 与棱PC 的交
点为G .
(1)求异面直线 AE 与PF 所成角的大小；
(2)求平面 AEGF 与平面 ABCD所成锐二面角的大小；
(3)求点G 的位置.
