第 10 章 空间直线与平面 单元综合检测（难点）
一、填空题
1．不共面的四点可以确定平面的个数是 ．
【答案】4
【分析】根据给定条件，确定四点中任意三点情况，再用列举法求解作答.
【解析】令 A, B,C, D 为不共面的四点，则这 4 点中任意三个点都不在同一条直线上，
因此从四点中任取三个点都可以确定一个平面，
能确定一个平面的三点有：点 A, B,C ，点 A, B, D ，点 A,C , D ，点 B,C , D ，
所以不共面的四点可以确定平面的个数是 4.
故答案为：4
2．命题“如果 A a ， A b ，B a ，B b ，且a 与b 不重合，那么a I b = AB ”是 命题．（填“真”或
“假”）
【答案】真
【分析】由 A a ， A b ，B a ，B b 可得两平面不平行，又题干中a 与b 不重合，故可得a 与b 相交，
交线为 AB.
【解析】因为a 与b 不重合，又 A a ， A b ，B a ，B b ，故a 与b 不平行，
则a 与b 相交，交线为 AB，从而a I b = AB ，
所以此命题是真命题.
故答案为：真
3．若异面直线 a、b 所成的角为80o， P 为空间一定点，则过点 P 且与 a、b 所成的角都是50o的直线有且仅
有 条.
【答案】3
【分析】在空间取一点 P ，经过点 P 分别作a //a，b //b，分析直线PM 满足它的射影 PQ在a 、b 所成角的
平分线上时的情况可得出答案.
【解析】在空间取一点 P ，经过点 P 分别作a //a，b //b，设直线a 、b 确定平面a ，
当直线PM 满足它的射影 PQ在a 、b 所成角的平分线上时，
PM 与a 所成的角等于PM 与b 所成的角，设直线PM 与a 、b 所成角为q ，
因为直线 a、b 所成角为80o，得a 、b 所成锐角为80o，
①当直线PM 的射影 PQ在a 、b 所成锐角的平分线上时，
则PM 与a 、b 所成角的范围是 40o q 90o ，
这种情况下，过 P 点有 2条直线与 a、b 所成角都是50o；
②当直线PM 的射影 PQ在a 、b 所成钝角的平分线上时，
PM 与a 、b 所成角的范围是50o q 90o，
这种情况下，过 P 点有且仅有1条直线（即PM a 时）与 a、b 所成角都是50o .
综上所述，过 P 点且与 a、b 所成角都是50o的直线有3条.
故答案为：3 .
4．a，b 为异面直线，且 a，b 所成角为 40°，过空间一点 P 作直线 c，直线 c 与 a，b 均异面，且所成角均
为q ，若这样的 c 共有四条，则q 的范围为 .
【答案】 (70o ,90o )
【分析】设平面a 上两条直线 m,n 分别满足m∥a, n∥b ，则 m,n 相交，且夹角为 40o ，讨论q 的取值范围，
从而确定 c 的情况以及条数，即可得答案.
【解析】设平面a 上两条直线 m,n 分别满足m∥a, n∥b ，
则 m,n 相交,设交点为 P，且夹角为 40o ，
如图示：
过空间一点 P 作直线 c，若直线 c 与 a，b 均异面，且所成角均为q ，
则直线 c 与直线 m,n 所成角均为q ，
当0o q < 20o 时，不存在这样的直线 c,
当q = 20o时，这样的直线 c 只有一条，
当 20o < q < 70o 时，这样的直线 c 有两条，
当q = 70o时，这样的直线 c 有三条，
当70o < q < 90o 时，这样的直线 c 有四条，
当q = 90o 时，这样的直线 c 只有一条，
故答案为： (70o ,90o )
5．已知a b 是两个相交平面，空间两条直线 l1 l2 在a 上的射影是直线 S1, S2 , l1 l2 在b 上的射影是直线 t1 t2 .用
S1与 S2 ， t1 与 t2 的位置关系，写出一个总能确定 l1与 l2是异面直线的充分条件： .
【答案】
S1∥S2，并且 t1 与 t2 相交
【分析】由异面直线的定义、充要条件的判断结合空间中点线面的位置关系即可得出答案.
【解析】当 l1 l2 异面时， l1 l2 在a 上的射影是直线 S1 S2，可能平行或相交：
l1 l2 过b 上的射影是直线 t1 t2，可能平行或相交：
但当直线 S1∥S2与直线 t1∥t2 ，同时成立时，则 l1∥l2 ：
而当直线 S1与 S2 直线 l1与 l2，均相交时，则 l1与 l2可能相交；
故能确定 l1与 l2是异面直线的充分条件是 S1∥S2，并且 t1 与 t2 相交
（或 t1∥t2 ，并且 S1与 S2 相交）.
故答案为： S1∥S2，并且 t1 与 t2 相交.
6．直三棱柱 A1B1C1 - ABC 中，平面 A1BC ^平面 ABB1A1，且 AC = 3AA1，则 AC 与平面 A1BC 所成的角q 的
取值范围是 .
【答案】0° < q < 30°
【分析】作 AD ^ A1B于 D.判断出 ACD即为 AC 与平面 A1BC 所成的角.设 AA1 = a， AB = x ，利用几何性
ax 2 2
质得到 = 3a ×sinq x2
3a sin q
2 2 ，进而 = .证明出 x < 3a .a + x 1- 3sin2 q
| sinq | 1解得 < ，即可求出q 的取值范围
2
【解析】作 AD ^ A1B于 D.
因为平面 A1BC ^平面 ABB1A1，平面 A1BC 平面 ABB1A1 = A1B ，
所以 AD ^ 平面 A1BC ，所以 ACD即为 AC 与平面 A1BC 所成的角， ACD = q .
设 AA1 = a， AB = x ，则 AC = 3AA1 = 3a .
在直角三角形 ACD中，由正弦的定义： AD = AC ×sinq = 3a ×sinq .
AB × AA1 ax
在直角三角形 ABA1中，由等面积可得： AD = =A B a2 + x2
，
1
AD ax
2
= = 3a ×sinq x2 3a sin
2 q
所以 2 2 ，所以 = .a + x 1- 3sin2 q
在直三棱柱 A1B1C1 - ABC 中， A1A ^ BC .
因为 AD ^ 平面 A1BC ，所以 AD ^ BC .
因为 AA1 平面 AABB1 ， AD 平面 AABB1 ， AA1 AD = A，
所以BC ^平面 AABB1 ，故 CBA = 90° ，从而 AB < AC ，即 x < 3a .
3a2 sin2 q
于是0 2 < 3a
2 , ，解得： | sinq |
1
< .
1- 3sin q 2
又0° < q < 90°，解得：0° < q < 30° .
故答案为：0° < q < 30° .
7．已知VABC 中， AB = AC = 3， BAC =120° ，VABC 所在平面 α 外一点 P 到此三角形三个顶点的距离都
是 6，则点 P 到平面 α 的距离是 ．
【答案】3 3
【分析】过点 P 作VABC 所在平面 α 的垂线，垂足为VABC 的外心，求出VABC 的外接圆的半径OA，再根
据勾股定理求点 P 到平面 α 的距离.
【解析】记点 P 在平面 ABC 上的射影为O，因为PA = PB = PC ，
所以OA = OB = OC ，即O是VABC 的外心，
只需求出VABC 的外接圆的半径OA，记为 R ，
在VABC 中， AB = AC = 3， BAC =120° ，由余弦定理得BC = 3 3 ，
3 3
再由正弦定理得 2R = = 6 ，所以OA = 3，又PA = 6，
sin120°
得PO = PA2 - OA2 = 3 3 ,即点 P 到平面 ABC 的距离为3 3 .
故答案为：3 3 .
8．在棱长为 1 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，E 为D1B1的中点，M 为 AC 上一点，N 为 DE 上一点，MN 的
最小值为 ．
3
【答案】
3
【分析】先仔细审题，抓住题目中的关键信息之后，再画出正方体，把各个点的位置标出，然后在图中找
出各条线段，根据直角三角形的斜边大于直角边可知：最小值就是异面直线的距离，最后在三角形中解出
高即可
【解析】
如图，正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，DD1 ^平面 ABCD,又 AC 平面 ABCD, \DD1 ^ AC ，又 ABCD中
AC ^ BD; DD1 BD = D,\ AC ^ 平面BDD1B1,
AC ^平面BDD B 上所有直线；过O作ON '1 1 ^ DE 于 N '
\ AC ^ ON , AC ^ ON ' ，
\MN ON ON '，\ON '为所求
在Rt△ODE中，OE 2=1,OD = , DE 6= ,
2 2
1 2
\ON 3= 2 = .
6 3
2
3
故答案为：
3
9．如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，M、N、P 分别是 B1C1 、D1D和 AB 的中点，则下列关系：
①BM⊥AB；
②BM∥平面 A1PC1；
③ BM ^ C1P；
④ B1N ⊥平面 A1PC1，
正确的编号为 ．
【答案】①②④
【分析】①，由 AB⊥面BCC1B1，得 AB⊥BM，；
②，取 A1C1的中点 O，可得 PO∥BM BM∥面 A1PC1；
③，若BM ^ C1P，可得 BM⊥面C1PB BM ^ BC1 ，与已知矛盾；
④，取 AA1中点，可得 A1P ^面B1HN ， B1N ^ A1P，即可得B1N ^平面 A1PC1
【解析】对于①，∵AB⊥面BCC1B1，BM 面BCC1B1，∴AB⊥BM，故正确；
对于②，如图 1，取 A1C1的中点 O，连接OM ，又QM 为 B1C1 中点，\OM // A1B1 ,
OM 1 A B A B = AB \ BP//A B BP 1且 = 1 1 ,QP为 AB 中点， A1B1 //AB , ，2 1 1 1 1
，且 = A B ，
2 1 1
\OM //BP ，且OM =BP ，所以四边形OPBM 为平行四边形，
所以PO//BM ，QPO 面 A1PC1， BM 面 A1PC1，\BM // 面 A1PC1，故正确；
对于③，若BM ^ C1P，由①知 AB⊥BM，即BP ^ BM ,
QBP C1P = P ，且BP,C1P 面C1PB ，\BM⊥面C1PB ，QBC1 面C1PB
\ BM ^ BC1，显然与已知矛盾，故错误；
对于④，如图 2，取 AA1中点 H，
根据平面几何关系， tan AA1P = tan A1B1H ，所以 AA1P = A1B1H
Q A1B1H + A1HB = 90
o o
1 ，\ AA1P + A1HB1 = 90 ，得到 A1P ^ B1H ，
Q N 为DD1中点，故得 NH ^面 A1ABB1，Q A1P 面 A1ABB1，\HN ^ A1P
B1H , HN 面B1HN , B1H HN = H ，所以 A1P ^面B1HN ,
而B1N 面B1HN ，所以 A1P ^ B1N
正方体 ABCD - A1B1C1D1 中， A1C1 ^ B1D1，BB1 ^ 面 A1B1C1D1， A1C1 面 A1B1C1D1
\BB1 ^ A1C1，又Q B1D1 BB1 = B1，B1D1, BB1 面DBB1D1 ，
所以 A1C1 ^ 面DBB1D1 ，
而B1N 面DBB1D1 ，所以 A1C1 ^ B1N ，Q A1P, A1C1 面 A1PC1, A1P A1C1 = A1
所以B1N ^面 A1PC1，故正确
故答案为：①②④.
10．如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中， AA1 =1， P 是棱 AB 上任一点，若平面B1DP 和平面 AA1D1D所成的
角为q ，则 tanq 的最小值为 ．
2
【答案】
2
【分析】分类讨论点 P 的位置，当 P 异于 A, B时，先作二面角q 的平面角 PHA，并设 PA = x ，进而转化为
关于 x 的函数，最后求出该函数的最小值即可
【解析】如下图所示：
当 P 与 A, B重合时，可得： tanq =1；
②当 P 异于 A, B时，延长 B1P, A1A交于点Q，连接QD ，则DQ 为平面B1DP 与平面 AA1D1D的交线，由PA ^
平面 AA1D1D，DQ 平面 AA1D1D，可得：PA ^ DQ
过A 作 AH ^ QD于点 H ，连接PH ，可得：DQ ^平面PHA
可得：PH ^ DQ
故 PHA为平面B1DP 与平面 AA1D1D所成的角，即 PHA = q
2 x
设 PA = x(0 < x < 1) AQ
x
= DQ 2x - 2x +1，可得： ， = ， AH =1- x 1- x 2x2 - 2x +1
2
可得： tanq = tan PHA AP = = 2x2 2x 1 2 x 1 1 2- + = - ÷ + AH è 2 2 2
x 1当且仅当 = ，即 P 为 AB 的中点时取等号.
2
2
综上， tanq 的最小值为
2
2
故答案为：
2
【点睛】求二面角方法：
（1）作二面角的平面角可以通过垂线法进行，在一个半平面内找一点作另一个半平面的垂线，再过垂足作
二面角的棱的垂线，两条垂线确定的平面和二面角的棱垂直，由此可得二面角的平面角；
（2）通过向量法：建立空间直角坐标系，然后求出两个平面的法向量，进而根据法向量表示出二面角；
11．在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中，对角线 AC1与棱 AB ， AD ， AA1所成的角分别为a1，a2，a3 ，与平面
ABCD ,平面 ABB1A1，平面 ADD1A1所成的角分别为 b1， b2 ， b3，则下列说法中正确的是 ．
① sin2 a1 + sin2 a2 + sin2 a3 = 1；② sin2 a1 + sin2 a2 + sin2 a3 = 2；
③ cos2 a1 + cos2 a2 + cos2 a3 = 1；④ sin2 b1 + sin2 b2 + sin2 b3 = 1
【答案】②③④
【分析】分别求出角a1，a2，a3 的正弦值和余弦值，求出 b1， b2 ， b3的正弦值，结合所给结论可得答
案.
【解析】设 AB = a, AD = b, AA1 = c，则 AC1 = a
2 +b2 + c2
连接BC ，BC = b2 21 + c ，由长方体性质可知， AB ^ BC1，所以a1 = C1AB1 ，
sina BC1 b
2 + c2
= = sin2 a b
2 + c2
所以 1 ， 1 = ，AC1 a2
2
+ b2 + c2 a + b2 + c2
a2 + c2 a2 + b2
同理可得 sin2 a 22 = 2 2 2 ， sin a = ；a + b + c 3 a2 + b2 + c2
2 2 2 2 2 2
所以 sin2 a sin2 a sin2 a
b + c + a + c + a + b
1 + 2 + 3 = 2 2 2 = 2 ，a + b + c
cos2 a + cos2 a 2 2 2 21 2 + cos a3 = 1- sin a1 +1- sin a2 +1- sin a3 = 3 - 2 = 1；
所以②③正确，①错误.
连接 AC ，由长方体的性质可得 C1AC 为 AC1与平面 ABCD所成角，即 b1 = C1AC ；
sin b CC1 c 2 c
2
1 = =AC a2 + b2 2
， sin b1 = ，
1 + c a2 + b2 + c2
b2 a2
同理可得 sin2 b = 22 a2 + b2 2
， sin b3 = 2 2 ；+ c a + b + c2
2 2
sin2 b sin2 b sin2 b c + b + a
2
所以 1 + 2 + 3 = a2 + b2 + c2
= 1，
所以④正确.
故答案为：②③④
12．如图，矩形 ABCD中， AB = 2, BC = 5, E F 分别为边BC AD上的定点，且 BAE = 45o , DCF = 30o ，
分别将VABE VCDF 沿着 AE CF 向矩形所在平面的同一侧翻折至VAB E 与VCD F 处，且满足B D ^ AB ，分
别将锐二面角B - AE - D与锐二面角D - FC - B记为q1与q2，则 cosq1 + cos
2q2 的最小值为 .
7
【答案】
16
【分析】如图所示，作B P ^ AE 于 P ，B 在底面投影为O1，D Q ^ FC 于Q， D 在底面投影为O2 ，将立体
图形还原到平面图形，设BM = x ，根据相似得到各线段的长度，得到 cosq1 + cos
2 q2 的函数表达式，计算二
次函数的最值得到答案.
PO PO
【解析】如图①，作B P ^ AE 于 P ，B 在底面投影为O1， cosq 11 = = 1 ，PB PB
QO QO
同理，D Q ^ FC Q D 2 2于 ， 在底面投影为O2 ， cosq2 = =D Q DQ ，
B D ^ AB ，故O1O2 ^ AB，还原到平面图形如图②所示：
易知 P 是 AE 中点，G 是 AB 中点，BG =1，
PO1 MG x -1设BM = x ， = = ，
BP BG 1
1
DH 1 QD 1 CD 1
QO NH 2 - x -
同理可求得 = = = ， 2 = = 2 = 3- 2x，
2 4 2 QD HD 1
2
2
cosq1 + cos
2 q2 = x -1+ 3- 2x
2 = 4x2 -11x + 8 4 x 11 7= -
÷ + ，
è 8 16
当且仅当 x
11 7
= 取得最小值 .
8 16
7
故答案为: .
16
【点睛】本题考查了二面角的问题，意在考查学生的计算能力，空间想象能力和转化能力，其中通过立体
和平面的转化，将二面角的三角函数值转化为二次函数是解题的关键.
二、单选题
13．两个平面a 与b 相交但不垂直，直线m 在平面a 内，则在平面b 内（ ）
A．一定存在直线与m 平行，也一定存在直线与m 垂直；
B．一定存在直线与m 平行，不一定存在直线与m 垂直；
C．不一定存在直线与m 平行，一定存在直线与m 垂直；
D．不一定存在直线与m 平行，也不一定存在直线与m 垂直
【答案】C
【分析】根据题意，由条件可得分两种情况：m / /l和m l = A，然后对选项逐一验证即可得到结果.
【解析】设a I b = l ，则有两种情况：m / /l和m l = A，
当m l = A时，在平面b 内不存在直线与m 平行，故 AB 错误；
当m / /l时，在平面b 内一定存在直线与m 平行，也一定存在直线与m 垂直，
当m l = A时，在平面b 内不存在直线与m 平行，由三垂线定理可知，一定存在直线与m 垂直，
综上：不一定存在直线与m 平行，但一定存在直线与m 垂直，故 C 正确，D 错误；
故选：C
14．在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，点P,Q 分别是线段 AB1, A1C1上的点（不为端点），给出如下两个命题：①
对任意点 P ，均存在点Q，使得 PQ ^ CD1；②存在点 P ，对任意的Q，均有PQ ^ DB1则（ ）
A．①②均正确 B．①②均不正确
C．①正确，②不正确 D．①不正确，②正确
【答案】D
【分析】根据正方体的线面关系证明CD1 ^平面 ADC1B1，来验证命题①；求证DB1 ^平面 A1BC1，来验证命
题②即可得结论.
【解析】对于①，如图，连接 AB1,C1D, PC1
在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，有正方形CDD1C1 ，所以C1D ^ CD1，
又 AD / /B1C1, AD = B1C1，所以四边形 ADC1B1为平行四边形，故 A, B1,C1, D确定唯一的平面，
又B1C1 ^平面CDD1C1 ，CD1 平面CDD1C1 ，所以B1C1 ^ CD1
又B1C1 C1D = C1, B1C1,C1D 平面 ADC1B1，所以CD1 ^平面 ADC1B1
因为 PC1 平面 ADC1B1，所以对任意点 P ，都有CD1 ^ PC1 ，只有Q与C1重合才符合题意,与不为端点矛盾，
故对任意点 P ，不存在点Q，使得 PQ ^ CD1，故①不正确；
对于②，如图，连接 AB1, BA1交于M ，连接MQ, BC1, B1C
由①得CD1 ^平面 ADC1B1，又 A1D1 / /BC, A1D1 = BC ，所以四边形 A1D1CB 为平行四边形，所以 A1B / /CD1，
则 A1B ^ 平面 ADC1B1，
因为B1D 平面 ADC1B1，所以 A1B ^ DB1
又因为正方形BCC1B1，所以BC1 ^ B1C ，又CD ^平面BCC1B1，BC1 平面BCC1B1，所以CD ^ BC1 ,
因为B1C CD = C, B1C,CD 平面B1CD，所以BC1 ^ 平面B1CD，又B1D 平面B1CD，所以BC1 ^ DB1 ，
因为 A1B I BC1 = B, A1B, BC1 平面 A1BC1，所以DB1 ^平面 A1BC1，又MQ 平面 A1BC1，所以MQ ^ DB1
于是当点 P 与M 重合时，存在点 P ，对任意的Q，均有PQ ^ DB1，故②正确.
故选：D.
15．如图．△ABD 与△BCD都是等腰直角三角形．其底边分别为 BD 与 BC，点 E、F 分别为线段 BD、AC
的中点．设二面角 A - BD - C 的大小为a ，当a 在区间 (0, π) 内变化时、下列结论正确的是（ ）
A．存在某一a 值．使得 AC ^ BD
B．存在某一a 值．使得EF ^ BD
C．存在某一a 值．使得EF ^ CD
D．存在某一a 值，使得 AB ^ CD
【答案】D
【分析】利用反证法，结合线面垂直的判定地理和性质定理以及面面垂直的判定定理逐项判断.
【解析】如图所示：
在等腰三角形△ABD 中，设 AB = AD =1，则BD = CD = 2 ，E 为 BD 的中点，连接 AE，CE，则
AE ^ BD，
A. 假设存在某一a 值．使得 AC ^ BD ，又 AE ^ BD， AE I AC = A，则BD ^平面 AEC ，则BD ^ EC ，又
BD ^ CD，则EC / /CD，矛盾，故错误；
B.假设存在某一a 值．使得EF ^ BD，又 AE ^ BD, EF AE = E ，则BD ^平面 AEF ，则BD ^ AF ，即
AC ^ BD ，又CD ^ BD ，CD I AC = C ，则BD ^平面 ACD，则平面 AEF / / 平面 ACD，矛盾，故错误；
C.假设存在某一a 值．使得EF ^ CD，又CD ^ BD, EF BD = E ，则CD ^平面BFD ，则CD ^ FD，在△ADC
中， AD =1,CD = 2 ，F 为 AC 的中点，因为VACD为非等腰三角形，所以不成立，故错误；
D.假设存在某一a 值，使得 AB ^ CD ，又CD ^ BD, AB BD = B，则CD ^平面 ABD，则CD ^ AE ，又
AE ^ BD,CD BD = D p，则 AE ^ 平面BCD，因为 AE ABD，则平面 ABD ^平面BCD，所以a = ，故
2
正确，
故选：D
16．如下图，已知四边形 ABCD，ADEF，AFGH 均为正方形，先将矩形 EDHG 沿 AD 折起，使二面角E - AD - B
的大小为 30°，再将正方形 AF G H 沿 AF 折起，使二面角H - AF - D 的大小为 30°，则平面 AF G H 与平
面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值为（ ）
4 3 2
A． B 1． C． D3 ．5 4 2
【答案】B
【分析】根据射影面积法找到平面 ABCD，平面 AF E D ，平面 AF G H 所成的锐二面角的关系，进而求的
结果.
【解析】如图，作H M ^ DE ，G N ^ DE ．
H M ^ DE ü
DE , AD 在平面 AF E D 内，由 AD ^ H M H M ^平面 AF E D ．
DE AD = D
G N ^ DE ü
DE , AD 在平面 AF E D 内，由 AD ^ G N G N ^面 AF E D ．又因为△ADM 与△F E N 全等，
DE AD = D
设平面 ABCD 为平面 α，平面 AF E D 为平面 β，平面 AF G H 为平面 γ.
S S
cos b ,g = 四边形AF NM = 四边形AF E D由面积射影定理知： S四边形AF G H S
，
四边形AF G H
S S
同理可得 cos a , b = 四边形ABCD ， cos a ,g = 四边形ABCDS四边形AF E D S四边形AF G H
所以 cos a , b ×cos b ,g = cos a ,g ，故有 cos a ,g = cos30
3
° ×cos30° = ．
4
故选：B.
【点睛】射影面积法求二面角大小的方法点睛：
凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公
S
式 cosq = 射影 ，求出二面角的大小.
S
三、解答题
17．如图，在四棱锥 P- ABCD中，底面 ABCD为直角梯形， AD//BC ， AB ^ BC ， AB = AD ， BC = 2AB，
E, F 分别为棱BC, BP 中点．
(1)求证：平面 AEF // 平面DCP；
(2)若平面PBC ^平面 ABCD，直线 AP 与平面PBC 所成的角为 45o ，且CP ^ PB ，求二面角P- AB-C 的大
小．
【答案】(1)证明见解析
π
(2)
3
【分析】（1）根据平行四边形性质和三角形中位线性质，结合线面平行的判定可得 AE // 平面DCP，EF //
平面DCP，由面面平行的判定可证得结论；
（2）根据面面垂直的性质可证得 AB ^ 平面PBC ，由线面角定义可知 APB = 45o ，根据二面角平面角的定
义可知所求二面角的平面角为 PBC ，由长度关系可得结果.
【解析】（1）QE 为BC 中点，BC = 2AB = 2AD ， AD//BC ，\ AD//CE ， AD = CE ，
\四边形 AECD为平行四边形，\ AE //CD ，
Q AE 平面DCP，CD 平面DCP，\ AE //平面DCP；
QE, F 分别为BC, BP 中点，\EF //CP，
QEF 平面DCP，CP 平面DCP，\EF //平面DCP；
Q AE I EF = E ， AE, EF 平面 AEF ，\平面 AEF // 平面DCP .
（2）Q平面PBC 平面 ABCD = BC ，平面PBC ^平面 ABCD， AB 平面 ABCD， AB ^ BC ，
\ AB ^平面PBC ，\ APB 即为直线 AP 与平面PBC 所成角，即 APB = 45o ；
设 AB = AD =1，则BC = 2，
Q AB ^平面PBC ，PB 平面PBC ，\ AB ^ PB ，\PB = AB =1；
QBC ^ AB，PB ^ AB，BC 平面 ABC ，PB 平面PAB，平面 ABC 平面PAB = AB，
\ PBC 即为二面角P- AB-C 的平面角，
cos PBC PB 1 πQCP ^ PB，\ = = ，\ PBC = ，
BC 2 3
π
即二面角P- AB-C 的大小为 .
3
V C π18．如图 1，在等腰直角 ABC 中， = ，D，E 分别是 AC ， AB 的中点，F 为线段CD 上一点（不含
2
端点），将VADE 沿DE 翻折到△A1DE 的位置，连接 A1C ， A1B ，得到四棱锥 A1 - BCDE ，如图 2 所示，且
A1F ^ CD ．
(1)证明： A1F ^ 平面BCDE ；
(2)若直线 A1E 与平面BCDE
15
所成角的正切值为 ，求二面角 A1 - BD - C 的平面角的正切值．
5
【答案】(1)证明见解析
(2) 15
2
【分析】（1）根据题意证得DE ^ A1D, DE ^ DC ，利用线面垂直的判定得到DE ^ 平面 A1DC ，得出
DE ^ A1F ，再由 A1F ^ CD ，进而证得 A1F ^ 平面BCDE ；
（2）连接 EF ，得到 A1E 与平面 BCDE 所成的角为 A1EF ，设 DF = x ，结合题意，列出方程求得 A1D = 2x ，
即F 为CD 的中点，过F 作FO ^ BD，得到二面角 A1 - BD - C 的平面角为 A1OF ，在直角△A1OF 中，即可
求解.
π
【解析】（1）证明：因为 C = ，且DE∥BC ，所以DE ^ AD ，所以DE ^ A1D, DE ^ DC ，2
又因为 A1D ICD = D ，且 A1D,CD 平面 A1DC ，所以DE ^ 平面 A1DC ，
因为 A1F 平面 A1DC ，所以DE ^ A1F ，
又因为 A1F ^ CD ，CD I DE = D且CD, DE 平面BCDE ，
所以 A1F ^ 平面BCDE ．
（2）解：如图所示，连接 EF ，
因为D, E 分别是 AC 与 AB 的中点，可得 A1D = CD = DE ，
又因为 A1F ^ 平面BCDE ，所以直线 A1E 与平面BCDE 所成的角为 A1EF ，
15 15
由直线 A1E 与平面BCDE 所成角的正切值为 ，即 tan A1EF = ，5 5
设DF = x ，则 A F = A D2 - DF 2 = A 2 21 1 1D - x ，EF = DE
2 + DF 2 = A 21D + x
2 ，
A D2 - x2
所以 tan A1EF
A1F 1 15= = = ，解得 A D = 2x ，即 为CD 的中点，
EF FA D2 + x2 5
1
1
过F 作FO ^ BD，垂足为O，
因为 A1F ^ 平面BCDE ，BD 平面BCDE ，所以 A1F^BD，
又因为 A1F IOF = F ，且 A1F ,OF 平面 A1OF ，所以BD ^平面 A1OF ，
因为 A1O 平面 A1OF ，所以 A1O ^ BD ，
所以二面角 A1 - BD - C 的平面角为 A1OF ，
由BC = 4x ，CD = 2x ，则BD = BC 2 + CD2 = 2 5x ，
OF 1 CD × BC 2 5所以 = × = x，
2 BD 5
因为 A1F = A D
2
1 - x
2 = 3x，所以 tan A1OF
A
= 1
F 15
= ．
OF 2
19．设四边形 ABCD为矩形，点 P 为平面 ABCD外一点，且PA ^平面 ABCD，若PA = AB =1，BC = 2．
(1)求PC 与平面PAD 所成角的大小；
(2)在BC 边上是否存在一点G ，使得点D到平面PAG 的距离为 2 ，若存在，求出BG 的值，若不存在，请
说明理由．
【答案】(1) arctan 5
5
(2)存在，当BG =1时，使得点D到平面PAG 的距离为 2
【分析】（1）根据线面垂直的性质定理及矩形的性质，利用线面垂直的判定定理及线面角的定义，结合勾
股定理及锐角三角函数即可求解；
（2）根据已知条件做出图形，利用线面垂直的判定定理及点到面的距离的定义即可求解.
【解析】（1）因为PA ^平面 ABCD，CD 平面 ABCD，所以CD ^ PA，
又因为底面 ABCD是矩形，所以CD ^ AD ，
又 AD PA = A， AD, PA 平面PAD ，
所以CD ^平面PAD ，直线PC 在平面PAD 的射影为直线PD，
所以 CPD是直线PC 与平面PAD 所成的角，
因为PA = AB =1， AD = BC = 2 ,
所以PD = PA2 + AD2 = 5,CD = AB =1，
在Rt△PAD中， tan CPD CD 5= = ，
PD 5
5
故直线PC 与平面PAD 所成角的大小为 arctan ；
5
（2）假设BC 边上存在一点G 满足题设条件，作DQ ^ AG，如图所示
因为PA ^平面 ABCD，DQ 平面 ABCD，所以DQ ^ PA，
又 AG PA = A， AG, PA 平面PAG ，
所以DQ ^平面PAG ，故DQ = 2 ，且△DQA∽△ABG，所以BG =1 < 2，
故存在点G ，当BG =1时，使得点D到平面PAG 的距离为 2 ；
20．已知四棱锥 P-ABCD 的底面为直角梯形， AB P DC ， DAB = 90°，PA⊥平面 ABCD，且
1
PA = AD = DC = AB =1，M 是棱 PB 上的动点．
2
(1)求证：CD⊥平面 PAD；
(2)若PC = PM ，求点 M 到平面 ABCD 的距离；
PN
(3)当 M 是 PB 中点时，设平面 ADM 与棱 PC 交于点 N，求 的值及截面 ADNM 的面积．
NC
【答案】(1)证明见解析
(2) 5 - 15
5
(3)2 5，
3
【分析】（1）利用线面垂直的判定定理可得CD ^平面 PAD；
（2）过 M 作 AB 的垂线，垂足为 H，则 MH 和 PA 平行，因为PA ^平面 ABCD，所以MH ^平面 ABCD，
MH BM
点 M 到平面 ABCD 的距离即为 MH，由 = 可得答案；
PA BP
uuur uuur
（3）作点 M 满足MF = AD ，则 A，D，F，M 四点共面，取 AB 的中点 E，则四边形 MFCE 是平行四边形
可得 P，A，C，F 四点共面，则 PC 与平面 ADM 的交点必定在 AF 上，AF 与 PC 的交点即为 PC 与平面 ADM
2
的交点 N，根据比例得出 AN = AF ，由线面垂直的判定定理得出四边形 ADFM 是矩形可得答案．
3
【解析】（1）因为 DAB = 90o ，所以 AB ^ AD ，又 AB//DC ，所以 AD ^ DC ，
因为PA ^平面 ABCD，CD 平面 ABCD，所以PA ^ CD ，又 AD PA = A，
AD、PA 平面 PAD，所以CD ^平面 PAD，
（2）根据勾股定理，PC = PA2 + AC 2 = 3，则PM = 3 ，
过 M 作 AB 的垂线，垂足为 H，则 MH 和 PA 平行，
因为PA ^平面 ABCD，所以MH ^平面 ABCD，
MH BM
即 MH 为所求距离， = ，
PA BP
因为PA ^平面 ABCD， AB, AC 平面 ABCD，所以PA ^ AB ，PA ^ AC ，
所以BP = AB2 + AP2 = 4 +1 = 5 ，
因为 DAB = 90°，所以 AC = 1+1 = 2 ，
PC = AP2 + AC 2 = 1+ 2 = 3 ，所以BM = BP - PM = BP - PC = 5 - 3 ，
MH 5 - 3
即 = 5 - 15，解得：MH = .
1 5 5
uuur uuur
（3）解：作点 F 满足MF = AD ，则 A，D，F，M 四点共面，
uuur uuur
作 AB 的中点 E，则 AD = EC ，
uuur uuur
所以MF = EC ，
所以四边形 MFCE 是平行四边形，则FC∥ME ，又ME∥PA，
所以FC∥PA，即 P，A，C，F 四点共面，平面 ADFM∩平面PACF = AF ，
则 PC 与平面 ADM 的交点必定在 AF 上，
所以 AF 与 PC 的交点即为 PC 与平面 ADM 的交点 N，
PN AN PA PA 2
所以 = = = = 2，所以 AN = AF ，
NC NF CF ME 3
由（1）知 AD ^ DC ，
所以 AD ^ AB，又PA ^ AD，且 AB，PA 平面 PAB， AB I PA = A，
所以 AD⊥平面 PAB， AM 平面 PAB，
所以 AD ^ AM ，所以四边形 ADFM 是矩形，
AD =1 AM 1 PB 1 PA2 AB2 1， = = + = 12 + 22 5= ，
2 2 2 2
所以四边形 ADFM 的面积 S 5 5ADFM =1 = ，四边形 2 2
所以四边形 ADNM AN 2 5 5的面积为 S = = ．
AF 四边形ADFM 3 2 3
21．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍（chú）甍（méng）者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，
草也．甍，窟盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍的字面意思为茅草屋
顶．”现有一个“刍甍”如图所示，四边形 ABCD为正方形，四边形 ABFE 、CDEF 为两个全等的等腰梯形，
EF∥AB， AB = 4 ，EF = 2，EA = ED = FB = FC = 17 ．
(1)设过点F 且与直线 EF 垂直的平面为平面a ，且平面a 与直线 AB 、CD 分别交于 P 、Q两点，求△FPQ
的周长；
(2)求四面体 ABDE 的体积；
AN 1
(3)点 N 在线段 AD 上且满足 = ．试问：在线段CF 上是否存在点M ，使 NF / / 平面BDM ？若存在，
AD 3
CM
求出 的值；若不存在，请说明理由．
CF
【答案】(1)12
(2) 16 3
3
3
(3)
2
【分析】（1）过点F 分别作FQ ^ EF ，FP ^ EF ，连接 PQ，所以平面a 即为平面FPQ ，分别求出
FP, FQ, PQ，即可求出求△FPQ 的周长；
（2）利用等体积转化VA-BDE = VE- ABD ，再求解点E 到平面 ABCD的距离，即可求解体积；
CM
（3）当点 N 在线段 AD 上时，分别利用线线，线面平行关系求得 的值.
MF
【解析】（1）过点F 分别作FQ ^ EF ，FP ^ EF ，分别交 AB ，CD 于 P ，Q，连接 PQ，
所以平面a 即为平面FPQ ，
因为四边形 ABCD为正方形，EF //AB，
所以FP ^ AB，FQ ^ CD，
由已知得FP = FQ = 17 -1 = 4，PQ = BC = 4，
所以△FPQ 的周长为FP + FQ + PQ =12 ．
（2）过点E 作EO ^ GH ，垂足为O．
因为EF //AB，EF / 平面 ABCD， AB 平面 ABCD，
所以EF // 平面 ABCD．因为 AB//CD ，EH ^ CD ，
所以 AB ^ EH ．因为EG EH = E ，EG, EH 平面EGH ，
所以 AB ^ 平面EGH ．因为EO 平面EGH ，所以 AB ^ EO．
因为 AB GH = G ， AB ，GH 平面 ABCD，
所以EO ^平面 ABCD，所以EO为三棱锥VE- ABD 的高，EO = 2 3 ．
因为 S△ABD = 8，所以VA-BDE = VE- ABD ，
V 1 1 16 3所以 A-BDE = VE- ABD = S3 VABD
× EO = 8 2 3 =
3 3
（3）假设存在点M ．
当点 N 在线段 AD 上时，连接CN 交BD于 R ，
AN 1
则△DNR ∽ △BCR，因为 = ，
AD 3
CR BC 1 3
= = =
所以 RN DN 1 1- 2 ．
3
因为FN //平面BDM ，FN 平面CFN ，
平面CFN 平面BDM = MR ，
所以FN //MR ，
CM CR 1 3
= = =
所以 MF RN 1 1- 2 ．
3
CM 3
综上，在直线CF 上存在点M ，使 NF // 平面BDM ， 的值为 ．
MF 2
22．如图，平面 ADEF ^平面 ABCD，四边形 ADEF 为矩形，且M 为线段 EF 上的动点， AB//CD ，
ABC = 90o ， AD = 2DE ， AB = 2CD = 2BC = 2 .
(1)当M 为线段 EF 的中点时，
（i）求证： AM ^ 平面BDM ；
（ii）求直线 AM 与平面MBC 所成角的正弦值；
(2)记直线 AM 与平面MBC 所成角为a ，平面MAD与平面MBC 的夹角为b ，是否存在点M 使得a = b 若
存在，求出 FM ；若不存在，说明理由.
【答案】(1) i 2 22（）证明见解析；（ii）
11
(2)存在， FM 2 6= -
2
【分析】（1）（i）利用面面垂直的性质可推导出BD ^平面 ADM ，可得出 AM ^ BD ，利用勾股定理可得出
AM ^ DM ，再利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；
（ii）取 AD 的中点为 P ，BC 的中点为Q，连接MP 、 PQ、QM ，计算出点A 到平面MBC 的距离以及线段
AM 的长，即可得出直线 AM 与平面MBC 所成角的正弦值；
（2）假设存在点M ，使得a = b ，延长 AD 与BC 交于点G ，连接MG ，根据已知条件得出 AMR 是直线 AM
与平面MBC 所成的角， ATR是二面角 A - MG - B的平面角，计算出VAMF 三边边长，利用勾股定理求出
x 的值，即可得出结论.
【解析】（1）（i）由题意，四边形 ABCD为直角梯形，且 ABC = 90o ， AB//CD ，
所以 BCD = 90o ，所以BD = BC 2 + CD2 = 1+1 = 2 ，
取 AB 的中点 N ，连接DN ，则CD//BN 且CD = BN ，且 BCD = 90o ，
故四边形BCDN 为矩形，
则DN //BC ，且DN = BC ，所以 AD = DN 2 + AN 2 = 1+1 = 2 ，
又由 AB = 2 ，所以BD2 + AD2 = AB2 ，所以BD ^ AD ，
又平面 ADM ^平面 ABCD，平面 ADM I平面 ABCD = AD ，BD 平面 ABCD，
所以BD ^平面 ADM ，
又 AM 平面 ADM ，所以 AM ^ BD ，
因为MD = MA =1， AD = 2 ，则 AM 2 + DM 2 = AD2 ，所以 AM ^ DM ，
又DM I BD = D，DM 、BD 平面BDM ，所以 AM ^ 平面BDM .
（ii）取 AD 的中点为 P ，BC 的中点为Q，连接MP 、 PQ、QM ，
过 P 在平面PQM 内作PO垂直于MQ ，垂足为O，
又平面 ADEF ^平面 ABCD，平面 ADEF I平面 ABCD = AD ， AF ^ AD，
所以 AF ^平面 ABCD，M 为 EF 的中点，
所以MP//AF ，所以MP ^平面 ABCD，BC 平面 ABCD，所以BC ^ PM ，
又因为BC ^ PQ，PQ PM = P ， PQ、 PM 平面PMQ，
所以BC ^平面PMQ，PO 平面PMQ，
所以PO ^ BC ，MQ I BC = O ，MQ, BC 平面BCM ，
得PO
3 π
^平面BCM ，因为MP 2= ，PQ = ， MPO = ，
2 2 2
MQ MP2 1 9 11所以 = + PQ2 = + = ，
2 4 2
3 2
MP × PQ 3 2 3 22
由等面积法可得PO = = 4 = = ，
MQ 11 2 11 22
2
延长 AD 与BC 交于点G ，则D为 AG 的中点，G 为直线 AD 与平面MBC 的交点，
设点A 到平面MBC 的距离为d ，直线 AM 与平面MBC 所成的角为q ，
PO GP 3
= = 4 4 3 22 2 22则 ，所以
d GA 4 d = PO = =
，
3 3 22 11
AM =1 sinq d 2 22由 ，所以， = = ；
AM 11
（2）假设存在点M ，使得a = b ，延长 AD 与BC 交于点G ，连接MG ，
则平面 AMD 平面MBC = MG，
设 AR ^平面MBC ，垂足为 R ，连接MR ， AMR 是直线 AM 与平面MBC 所成的角，
1
因为CD//AB 且CD = AB ，所以，点D为 AG 的中点，则
2 AG = 2AD = 2 2
，
过点 R 作RT 垂直于MG ，垂足为T ，
因为 AR ^平面MBC ，MG 平面MBC ，所以 AR ^ MG，
又因为RT ^ MG， AR I RT = R， AR 、RT 平面 ART ，所以MG ^ 平面 ART ，因为 AT 平面 ART ，所
以 AT ^ MG ，
ATR是二面角 A - MG - B的平面角，
所以 sina
AR AR
= ， sin b = ，
AM AT
由a = b ，得 AM = AT ，所以M 、T 重合，由 AT ^ MG ，得 AM ^ MG ，
设FM = x 20 x 2 2，则 AM = x2 1+ GM 2， = 2 2 - x 1+ ，2 2
由勾股定理可得 AM 2 + GM 2 = AG2，
1 22
即 x + + 2 2 - x 1+ = 8，整理可得2 2 2x2 - 4 2x +1 = 0 ，
x 2 6 x 2 6解得 = - 或 = + （舍），
2 2
所以存在点M ，当FM = 2 6- ，有a = b 成立.
2
【点睛】关键点点睛：第二问的关键点是假设存在点M ，使得a = b ，延长 AD 与BC 交于点G ，根据已知
条件得出 AMR 是直线 AM 与平面MBC 所成的角，考查了学生的空间想象能力、运算能力.第 10 章 空间直线与平面 单元综合检测（难点）
一、填空题
1．不共面的四点可以确定平面的个数是 ．
2．命题“如果 A a ， A b ，B a ，B b ，且a 与b 不重合，那么a I b = AB ”是 命题．（填“真”或
“假”）
3．若异面直线 a、b 所成的角为80o， P 为空间一定点，则过点 P 且与 a、b 所成的角都是50o的直线有且仅
有 条.
4．a，b 为异面直线，且 a，b 所成角为 40°，过空间一点 P 作直线 c，直线 c 与 a，b 均异面，且所成角均
为q ，若这样的 c 共有四条，则q 的范围为 .
5．已知a b 是两个相交平面，空间两条直线 l1 l2 在a 上的射影是直线 S1, S2 , l1 l2 在b 上的射影是直线 t1 t2 .用
S1与 S2 ， t1 与 t2 的位置关系，写出一个总能确定 l1与 l2是异面直线的充分条件： .
6．直三棱柱 A1B1C1 - ABC 中，平面 A1BC ^平面 ABB1A1，且 AC = 3AA1，则 AC 与平面 A1BC 所成的角q 的
取值范围是 .
7．已知VABC 中， AB = AC = 3， BAC =120° ，VABC 所在平面 α 外一点 P 到此三角形三个顶点的距离都
是 6，则点 P 到平面 α 的距离是 ．
8．在棱长为 1 的正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，E 为D1B1的中点，M 为 AC 上一点，N 为 DE 上一点，MN 的
最小值为 ．
9．如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，M、N、P 分别是 B1C1 、D1D和 AB 的中点，则下列关系：
①BM⊥AB；
②BM∥平面 A1PC1；
③ BM ^ C1P；
④ B1N ⊥平面 A1PC1，
正确的编号为 ．
10．如图，在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中， AA1 =1， P 是棱 AB 上任一点，若平面B1DP 和平面 AA1D1D所成的
角为q ，则 tanq 的最小值为 ．
11．在长方体 ABCD - A1B1C1D1 中，对角线 AC1与棱 AB ， AD ， AA1所成的角分别为a1，a2，a3 ，与平面
ABCD ,平面 ABB1A1，平面 ADD1A1所成的角分别为 b1， b2 ， b3，则下列说法中正确的是 ．
① sin2 a1 + sin2 a + sin2 a = 1；② sin2 a + sin22 3 1 a2 + sin2 a3 = 2；
③ cos2 a1 + cos2 a2 + cos2 a3 = 1；④ sin2 b1 + sin2 b2 + sin2 b3 = 1
12．如图，矩形 ABCD中， AB = 2, BC = 5, E F 分别为边BC AD上的定点，且 BAE = 45o , DCF = 30o ，
分别将VABE VCDF 沿着 AE CF 向矩形所在平面的同一侧翻折至VAB E 与VCD F 处，且满足B D ^ AB ，分
2
别将锐二面角B - AE - D与锐二面角D - FC - B记为q1与q2，则 cosq1 + cos q2 的最小值为 .
二、单选题
13．两个平面a 与b 相交但不垂直，直线m 在平面a 内，则在平面b 内（ ）
A．一定存在直线与m 平行，也一定存在直线与m 垂直；
B．一定存在直线与m 平行，不一定存在直线与m 垂直；
C．不一定存在直线与m 平行，一定存在直线与m 垂直；
D．不一定存在直线与m 平行，也不一定存在直线与m 垂直
14．在正方体 ABCD - A1B1C1D1 中，点P,Q 分别是线段 AB1, A1C1上的点（不为端点），给出如下两个命题：①
对任意点 P ，均存在点Q，使得 PQ ^ CD1；②存在点 P ，对任意的Q，均有PQ ^ DB1则（ ）
A．①②均正确 B．①②均不正确
C．①正确，②不正确 D．①不正确，②正确
15．如图．△ABD 与△BCD都是等腰直角三角形．其底边分别为 BD 与 BC，点 E、F 分别为线段 BD、AC
的中点．设二面角 A - BD - C 的大小为a ，当a 在区间 (0, π) 内变化时、下列结论正确的是（ ）
A．存在某一a 值．使得 AC ^ BD
B．存在某一a 值．使得EF ^ BD
C．存在某一a 值．使得EF ^ CD
D．存在某一a 值，使得 AB ^ CD
16．如下图，已知四边形 ABCD，ADEF，AFGH 均为正方形，先将矩形 EDHG 沿 AD 折起，使二面角E - AD - B
的大小为 30°，再将正方形 AF G H 沿 AF 折起，使二面角H - AF - D 的大小为 30°，则平面 AF G H 与平
面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值为（ ）
4 3 2
A． B 1． C． D．
5 4 3 2
三、解答题
17．如图，在四棱锥 P- ABCD中，底面 ABCD为直角梯形， AD//BC ， AB ^ BC ， AB = AD ， BC = 2AB，
E, F 分别为棱BC, BP 中点．
(1)求证：平面 AEF // 平面DCP；
(2)若平面PBC ^平面 ABCD，直线 AP 与平面PBC 所成的角为 45o ，且CP ^ PB ，求二面角P- AB-C 的大
小．
π
18．如图 1，在等腰直角VABC 中， C = ，D，E 分别是 AC ， AB 的中点，F 为线段CD 上一点（不含
2
端点），将VADE 沿DE 翻折到△A1DE 的位置，连接 A1C ， A1B ，得到四棱锥 A1 - BCDE ，如图 2 所示，且
A1F ^ CD ．
(1)证明： A1F ^ 平面BCDE ；
(2) 15若直线 A1E 与平面BCDE 所成角的正切值为 ，求二面角 A1 - BD - C 的平面角的正切值．
5
19．设四边形 ABCD为矩形，点 P 为平面 ABCD外一点，且PA ^平面 ABCD，若PA = AB =1，BC = 2．
(1)求PC 与平面PAD 所成角的大小；
(2)在BC 边上是否存在一点G ，使得点D到平面PAG 的距离为 2 ，若存在，求出BG 的值，若不存在，请
说明理由．
20．已知四棱锥 P-ABCD 的底面为直角梯形， AB P DC ， DAB = 90°，PA⊥平面 ABCD，且
1
PA = AD = DC = AB =1，M 是棱 PB 上的动点．
2
(1)求证：CD⊥平面 PAD；
(2)若PC = PM ，求点 M 到平面 ABCD 的距离；
PN
(3)当 M 是 PB 中点时，设平面 ADM 与棱 PC 交于点 N，求 的值及截面 ADNM 的面积．
NC
21．我国古代数学名著《九章算术》中记载：“刍（chú）甍（méng）者，下有袤有广，而上有袤无广．刍，
草也．甍，窟盖也．”翻译为“底面有长有宽为矩形，顶部只有长没有宽为一条棱．刍甍的字面意思为茅草屋
顶．”现有一个“刍甍”如图所示，四边形 ABCD为正方形，四边形 ABFE 、CDEF 为两个全等的等腰梯形，
EF∥AB， AB = 4 ，EF = 2，EA = ED = FB = FC = 17 ．
(1)设过点F 且与直线 EF 垂直的平面为平面a ，且平面a 与直线 AB 、CD 分别交于 P 、Q两点，求△FPQ
的周长；
(2)求四面体 ABDE 的体积；
AN 1
(3)点 N 在线段 AD 上且满足 = ．试问：在线段CF 上是否存在点M ，使 NF / / 平面BDM ？若存在，
AD 3
CM
求出 的值；若不存在，请说明理由．
CF
22．如图，平面 ADEF ^平面 ABCD，四边形 ADEF 为矩形，且M 为线段 EF 上的动点， AB//CD ，
ABC = 90o ， AD = 2DE ， AB = 2CD = 2BC = 2 .
(1)当M 为线段 EF 的中点时，
（i）求证： AM ^ 平面BDM ；
（ii）求直线 AM 与平面MBC 所成角的正弦值；
(2)记直线 AM 与平面MBC 所成角为a ，平面MAD与平面MBC 的夹角为b ，是否存在点M 使得a = b 若
存在，求出 FM ；若不存在，说明理由.
