第 12 章 概率初步 单元综合检测
一、填空题
1．笼子中有 4 只鸡和 3 只兔，依次取出一只，直到 3 只兔全部取出.记录剩下动物的脚数.则该试验的样本
空间W = .
【答案】 0,2,4,6,8
【分析】由取动物的次数来确定样本点。
【解析】解析：最少需要取 3 次，最多需要取 7 次，那么剩余鸡的只数最多 4 只，最少 0 只，所以剩余动
物的脚数可能是 8，6，4，2，0.
故答案为： 0,2,4,6,8
【点睛】注意鸡有 2 只脚，兔子有 4 只脚，以免计算错误。
2．假如P A = 0.7 ，P B = 0.8，且A 与 B 相互独立，则P AU B = ．
【答案】 0.94
【分析】根据给定条件求出P(AB)，再借助全概率公式即可计算作答.
【解析】因A 与 B 相互独立，且P A = 0.7 ，P B = 0.8，则P(AB) = P(A) × P(B) = 0.7 0.8 = 0.56，
所以P A B = P(A) + P(B) - P(AB) = 0.7 + 0.8 - 0.56 = 0.94 .
故答案为： 0.94
3．某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：
医生人数 0 1 2 3 4 5 人及以上
概率 0.1 0.16 0.3 0.2 0.2 0.04
则至少派出医生 2 人的概率是 .
【答案】0.74
【解析】从频率分布表中找出至少派出医生 2 人的情况，将其对应概率相加即得结果.
【解析】由题意可知，事件“至少派出医生 2 人”包含“派出的医生数是 2、3、4、5 人及以上”，这几个事件
是互斥的，概率之和为0.3+ 0.2 + 0.2 + 0.04 = 0.74，故至少派出医生 2 人的概率是0.74 .
故答案为：0.74 .
4．甲、乙两人下棋，和棋的概率为 50%，甲不输的概率为 90%，则乙不输的概率为 ．
【答案】60%
【分析】根据题意求得乙赢棋的概率为10% ，进而得到乙不输的概.
【解析】由题意，甲、乙两人下棋，和棋的概率为50%，甲不输的概率为90%，
可得乙赢棋的概率为10% ，所以乙不输的概率为10% + 50% = 60% .
故答案为：60% .
5．同时投掷两颗大小完全相同的骰子，用 x, y 表示结果，记 A 为“所得点数之和小于 6”，则事件 A 包含的
基本事件的个数为 ．
【答案】10
【分析】根据事件 A 的描述直接写出事件 A 的所有可能组合.
【解析】由题设，事件 A 包含的基本事件为 (1, 4)、 (1,3)、 (1, 2)、 (1,1) 、 (2,3) 、 (2, 2)、 (2,1)、 (3, 2) 、
(3,1)、 (4,1)共 10 种.
故答案为：10
6．从应届高中毕业生中选拔飞行员，已知被选拔的这批学生体型合格的概率为 0.7，视力合格的概率为
0.4，其他标准合格的概率为 0.8，从中任选一名学生，则该学生三项均合格的概率为 ．（假设三项标准
互不影响）
【答案】0.224．
【分析】由独立事件的概率公式求解即可
【解析】因为这批学生体型合格的概率为 0.7，视力合格的概率为 0.4，其他标准合格的概率为 0.8，且三项
标准互不影响，
所以从中任选一名学生，则该学生三项均合格的概率为0.7 0.4 0.8 = 0.224，
故答案为：0.224
1
7．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A 和 B ，系统A 和系统 B 在任意时刻发生故障的概率分别为
8
和 p
9
，若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为 ，则 p = ．
40
2
【答案】
15
【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式，列方程即可解得.
1 1 9
【解析】由题意可得： 1- p + 1-
÷ p = ，8 è 8 40
p = 2解得：
15
2
故答案为：
15
8．设同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有 1、2、3、4 的正四面体一次．记事件 A＝{第一个四面体向下
的一面出现偶数}；事件 B＝{第二个四面体向下的一面出现奇数}；事件 C＝{两个四面体向下的一面同时出
1 1 1
现奇数，或者同时出现偶数}．给出下列结论：① P A = ．② P AI B = ．③ P A B C = ．其
2 4 8
中正确结论的序号为 ．
【答案】①②
【分析】根据古典摡型的概率计算公式和独立事件的概率乘法公式，以及互斥事件的概率计算公式，逐项
计算，即可求解.
【解析】由题意，同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有 1、2、3、4 的正四面体一次，
2 1
记事件 A＝{第一个四面体向下的一面出现偶数}，可得P A = = ，所以①正确；
4 2
事件 B＝{第二个四面体向下的一面出现奇数}，可得P B 2 1= = ，
4 2
所以P A B 1 1 1= = ，所以②正确；
2 2 4
由于事件 A B 与 C 为互斥事件，所以P A B C =0，所以③错误．
故应填：①②．
9．先后抛掷两颗质地均匀的骰子，设出现的点数之和是 7、8、9 的概率依次是P1、P2、P3 ，则P1、P2、P3
从小到大的顺序为 ．
【答案】P3 < P2 < P1
【分析】由题设所有可能的基本事件有6 6 = 36种，分别列举出点数之和为 7、8、9 的基本事件，应用古
典概型的概率求法求对应的概率，即可知它们的大小.
【解析】先后抛掷两颗质地均匀的骰子，所有可能的基本事件有6 6 = 36种，且每个基本事件都是等可能
的．
而点数之和为 7 的基本事件 (1,6), (6,1), (2,5), (5, 2), (3, 4), (4,3)有 6 个，点数之和为 8 的基本事件
(2,6), (6, 2), (3,5), (5,3), (4, 4) 有 5 个，点数之和为 9 的基本事件 (3,6), (6,3), (4,5), (5, 4)有 4 个．
P 1 5所以 1 = , P2 = , P
1
6 36 3
= ，故P
9 3
< P2 < P1．
故答案为：P3 < P2 < P1
10．已知 A、B 是随机事件，则下列结论中正确的有 （填写序号）
①若 A、B 是互斥事件，则P A B = P A × P B ；
②若事件 A、B 相互独立，则P AU B = P A + P B ；
③若 A、B 是对立事件，则 A、B 是互斥事件；
④事件 A、B 至少有一个发生的概率不小于 A、B 恰好有一个发生的概率．
【答案】③④/④③
【分析】利用互斥事件、对立事件和独立事件的定义和性质分析判断
【解析】对于①，若 A、B 是互斥事件，则P AB = 0，所以①错误，
对于②，若事件 A、B 相互独立，则P A B = P A × P B ，而当 A、B 是互斥事件时，
P AU B = P A + P B ，所以②错误，
对于③，若 A、B 是对立事件，则 A、B 一定是互斥事件，所以③正确，
对于④，因为事件 A、B 至少有一个发生包含 A、B 恰好有一个发生和 A、B 同时发生两种情况，所以事件
A、B 至少有一个发生的概率不小于 A、B 恰好有一个发生的概率，所以④正确，
故答案为：③④
11．甲乙丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两
个人中的任何一人．则 n 次传球后球在甲手中的概率 pn = ．
1 é
【答案】 ê1+ -1
n 1× ù
3 2n-1 ú
【分析】记 An 表示事件“经过 n次传球后，球再甲的手中”，设 n次传球后球再甲手中的概率为 pn ，得到
1 1 1 1 1
p1 = 0, An+1 = An × An+1 + An × An+1，化简整理得 pn+1 = - pn + , n =1,2,3,L，即 pn+1 - = - ( pn - )，结合等比2 2 3 2 3
数列的通项公式，即可求解.
【解析】解：记 An 表示事件“经过 n次传球后，球再甲的手中”，
设 n次传球后球再甲手中的概率为 pn ,n =1,2,3,L,n ，
则有 p1 = 0, An+1 = An × An+1 + An × An+1，
所以 pn+1 = P(An × An+1 + An × An+1) = P(An × An+1) + P(An × An+1)
= P(An ) × P(An+1 | An ) + P(An ) × P(An+1 | An ) = (1- pn )
1 p 1× + n ×0 = (1- pn )，2 2
p 1 1即 n+1 = - pn + , n =1,2,3,L，2 2
p 1 1 1 1 1所以 n+1 - = - ( pn - )，且 p1 - = - ，3 2 3 3 3
1 1 1
所以数列{pn - }表示以- 为首项，- 为公比的等比数列，3 3 2
1 1 1 1 1 n-1n-1 1 1 é n 1 ù
所以 pn - = - (- ) ，所以 pn = - - ÷ + = ê1+ -1 ×3 3 2 3 è 2 3 3 2n-1 ú
.
1 é 1
即 n 次传球后球在甲手中的概率是 ê1+ -1
n × ù ．
3 2n-1 ú
1 é
故答案为： ê1+
1
-1 n × ù
3 2n-1 ú
.
12．一个三位自然数，百位、十位、个位上的数字依次为 a，b，c，当且仅当 a＞b，b＜c 时称为“凹数”（如
213，312 等），若 a，b，c∈{1，2，3，4}，且 a，b，c 互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率
是 ．
1
【答案】
3
【分析】先确定 a，b，c∈{1，2，3，4}，且 a，b，c 互不相同所组成的三位数的所有可能情况，再确定其中
“凹数”的个数，最后即可运用古典概型的概率计算公式求解即可
【解析】a，b，c∈{1，2，3，4}，且 a，b，c 互不相同所组成的三位数的所有可能情况为：123，132，213，
231，312，321，124，142，214，241，412，421，134，143，314，341，413，431，234，243，324，
342，423，432，共 24 个数字，
其中为“凹数”的有 213，312，214，412，314，413，324，423，共 8 个，
8 1
所以所求概率为 = ，
24 3
1
故答案为：
3
二、单选题
13．“不怕一万，就怕万一”这句民间谚语说明（ ）.
A．小概率事件虽很少发生，但也可能发生，需提防；
B．小概率事件很少发生，不用怕；
C．小概率事件就是不可能事件，不会发生；
D．大概率事件就是必然事件，一定发生．
【答案】A
【分析】理解谚语的描述，应用数学概率知识改写即可.
【解析】“不怕一万，就怕万一” 表示小概率事件很少发生，但也可能发生，需提防；
故选：A
14．若P(AB)
1
= ，P(A)
2
= ，P(B)
1
= ，则事件A 与 B 的关系是（ ）
9 3 3
A．事件A 与 B 互斥 B．事件A 与 B 对立
C．事件A 与 B 相互独立 D．事件A 与 B 既互斥又相互独立
【答案】C
【分析】结合互斥事件、对立事件、相互独立事件的知识求得正确答案.
2 1
【解析】∵ P(A) = 1- P(A) = 1- = ，
3 3
∴ P(AB) = P(A)P(B)
1
= 0，
9
∴事件A 与 B 相互独立、事件A 与 B 不互斥，故不对立.
故选：C
15．甲、乙两位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计赢 3 局者胜，分出胜负即停止比赛.已知前 3 局
3 2
每局甲赢的概率为 ，之后每局甲赢的概率为 ，每局比赛没有平局，则打完第 5 局比赛结束的概率为
5 5
（ ）
162 234 324 396
A． B． C． D．
625 625 625 625
【答案】B
【分析】根据题意可得前 3 局甲赢 2 局，剩下 2 局乙赢，或前 3 局甲赢 1 局，第 4 局甲赢，剩下 2 局乙赢，
再根据概率的乘法公式求解即可
【解析】打完第 5 局比赛结束，则前 4 局甲、乙两位同学各赢 2 局.分两种情况：
3 2 2 3 162
①前 3 局甲赢 2 局，剩下 2 局乙赢，概率为3 5 ÷
= ；
è 5 5 625
3 2 2 2 72②前 3 局甲赢 1 局，第 4 局甲赢，剩下 2 局乙赢，概率为3 = .
5 è 5 ÷ 5 625
162 72 234
故打完第 5 局比赛结束的概率为 + = .
625 625 625
故选：B
16．“沉鱼、落雁、闭月、羞花”是由精彩故事组成的历史典故.“沉鱼”，讲的是西施浣纱的故事；“落雁”，指
的就是昭君出塞的故事；“闭月”，是述说貂蝉拜月的故事；“羞花”，谈的是杨贵妃醉酒观花时的故事.她们分
别是中国古代的四大美女.某艺术团要以四大美女为主题排演一部舞蹈剧，已知乙扮演杨贵妃，甲、丙、丁
三人抽签决定扮演的对象，则甲不扮演貂蝉且丙扮演昭君的概率为（ ）
1
A 1． 2 B． 4
1 1
C． D．
6 12
【答案】C
【分析】列举出所有可能的情况，从中找出满足条件的情况种数，根据古典概型概率公式得到结果.
【解析】由题意可得，甲乙丙扮演角色的所有情况有：（甲—西施，丙—昭君，丁—貂蝉），（甲—西施，丙—
貂蝉，丁—昭君），（甲—昭君，丙—西施，丁—貂蝉），（甲—昭君，丙—貂蝉，丁—西施），（甲—貂蝉，丙—
昭君，丁—西施），（甲—貂蝉，丙—西施，丁—昭君），共6种
其中满足条件的仅有：（甲—西施，丙—昭君，丁—貂蝉），共1种
\ 1所求事件的概率为
6
本题正确选项：C
【点睛】本题考查古典概型概率问题的求解，当基本事件个数较少时，通常采用列举法来进行求解.
三、解答题
17．已知 P（A）＝0.5，P（B）＝0.3．
(1)若 A，B 互斥，求 P（A∪B），P（AB）；
(2)若 A，B 相互独立，求 P（A∪B），P（AB）．
【答案】(1)P（A∪B）＝0.8，P（AB）＝0；
(2)P（A∪B）＝0.65，P（AB）＝0.15．
【分析】（1）利用互斥事件的和事件和积事件的概率公式求解；
（2）利用独立事件的和事件和积事件的概率公式求解.
【解析】（1）解：P（A）＝0.5，P（B）＝0.3，
若 A，B 互斥，P（A∪B）＝P（A）+P（B）＝0.5+0.3＝0.8，
P（AB）＝0.
（2）解：若 A，B 相互独立，P（A∪B）＝P（A）+P（B）﹣P（AB）＝0.5+0.3﹣0.5×0.3＝0.65，
P（AB）＝P（A）P（B）＝0.5×0.3＝0.15．
18．一个学校的足球队、篮球队和乒乓球队分别有 36，11，11 名成员，一些成员参加了不止 1 支球队，具
体情况如图所示，随机选取 1 名成员.
(1)他只属于 1 支球队的概率是多少？
(2)他属于不超过 2 支球队的概率是多少？
6
【答案】(1)
7
47
(2)
49
【分析】（1）根据题干可得 3 支球队的总人数，及只属于 1 支球队的人数，利用古典概型的概率公式即可
求解；
（2）根据题干可得属于 3 支球队的人数，利用对立事件的概率公式即可求解.
【解析】（1）解：设“随机选取 1 名成员，他只属于 1 支球队”为事件A ，
由图可知，3 支球队共有32 + 2 + 2 + 4 + 3 + 6 = 49（名）队员，
其中只属于 1 支球队的有32 + 4 + 6 = 42 （名），
则P(A)
42 6
= = .
49 7
（2）设“随机选取 1 名成员，他属于不超过 2 支球队”为事件 B ，
则它的对立事件是“随机选取 1 名成员，他属于 3 支球队”，这样的队员只有 2 名，
∴ P(B) =1- P(B) 1
2 47
= - = .
49 49
19．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客
的相关数据，如下表所示.
一次购物量 1 至 4 件 5 至 8 件 9 至 12 件 13 至 16 件 17 件及以上
顾客数（人） x 30 25 y 10
结算时间（分钟/人） 1 1.5 2 2.5 3
已知这 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55％.
（Ⅰ）确定 x，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
（Ⅱ）求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率.（将频率视为概率）
1 15 +1.5 30 + 2 25 + 2.5 20 + 3 10
【答案】（1） =1.9
7
（2）
100 10
【解析】（Ⅰ）由已知得 25 + y +10 = 55, x + y = 35,\ x =15, y = 20，该超市所有顾客一次购物的结算时间组成
一个总体，所收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为一个容量为 100 的简单随机样本，顾客一次购
1 15 +1.5 30 + 2 25 + 2.5 20 + 3 10
物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估计值为: =1.9 (分钟).
100
（Ⅱ）记 A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟”， A1, A2 , A3 分别表示事件“该顾客一次购物
的结算时间为 1 分钟”， “该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”， “该顾客一次购物的结算时间为 2 分
钟”.将频率视为概率，得
P(A1)
15 3
= = , P(A ) 30 3 25 1= = , P(A
100 20 2 100 10 3
) = = .Q A = A A A ,且A , A , A 是互斥事件，
100 4 1 2 3 1 2 3
\P(A) = P(A1 A A
3 3 1 7
2 3) = P(A1) + P(A2 ) + P(A3) = + + = .20 10 4 10
7
故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率为 .
10
【点评】本题考查概率统计的基础知识，考查运算能力、分析问题能力.第一问中根据统计表和 100 位顾客
中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55％，知 25 + y +10 =100 55%, x + y = 35,从而解得 x, y，再用样本估计
总体，得出顾客一次购物的结算时间的平均值的估计值；第二问，通过设事件，判断事件之间互斥关系，
从而求得
一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率.
11 4 3
20．在①高一或高二学生的概率为 ② ③14 ； 高二或高三学生的概率为 ； 高三学生的概率为 这三个条7 14
件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.
已知某高中的高一有学生 600 人，高二有学生 500 人，高三有学生 a 人，若从所有学生中随机抽取 1 人，
抽到___________.
(1)求 a 的值；
(2)若按照高一和高三学生人数的比例情况，从高一和高三的所有学生中随机抽取 6 人，再从这 6 人中随机
抽取 2 人，求至少有 1 人是高三学生的概率.
【答案】(1)300
3
(2)
5
600 + 500 11
【分析】（1）若选①，则由题意可得 = ，从而可求出 a的值，若选②，则由题意可得
600 + 500 + a 14
500 + a 4 a 3
= ，从而可求出 a的值，若选③，则由题意可得 = ，从而可求出 a的值，
600 + 500 + a 7 600 + 500 + a 14
（2）根据分层抽样的定义可求得抽取的 6 人中，高一有 4 人，高三有 2 人，然后利用列举法列出这 6 人中
任取 2 人的所有情况，再找出抽取的 2 人中至少有 1 人是高三学生的情况，最后利用古典概型的概率公式
求解即可
【解析】（1）选①.
600 + 500 1100 11
依题意，从所有学生中随机抽取 1 人，抽到高一或高二学生的概率为 = = ，解得
600 + 500 + a 1100 + a 14
a = 300，所以 a 的值为 300.
选②.
500 + a 500 + a 4
依题意，从所有学生中随机抽取 1 人，抽到高一或高三学生的概率为 = = ，解得
600 + 500 + a 1100 + a 7
a = 300，所以 a 的值为 300.
选③.
a 3
依题意，从所有学生中随机抽取 1 人，抽到高三学生的概率为 = ，解得 a = 300，
600 + 500 + a 14
所以 a 的值为 300.
（2）第一步：求出抽取的 6 人中高一 高三学生的人数
由（1）知，高一 高三学生人数比为 2：1，所以抽取的 6 人中，高一有 4 人，高三有 2 人.
第二步：列出从抽取的 6 人中任取 2 人的所有情况
高一的 4 人记为 a，b，c，d，高三的 2 人记为 A，B，
则从这 6 人中任取 2 人的所有情况为{a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，A}，{a，B}，{b，c}，{b，d}，{b，A}，{b，
B}，{c，d}，{c，A}，{c，B}，{d，A}，{d，B}，{A，B}，共 15 种.
第三步：列出至少有 1 人是高三学生的情况
抽取的 2 人中至少有 1 人是高三学生的情况有{a，A}，{a，B}，{b，A}，{b，B}，{c，A}，{c，B}，{d，A}，
{d，B}，{A，B}，共 9 种.
第四步：根据古典概型的概率公式得解
9 3
至少有 1 人是高三学生的概率为 = .
15 5
21．为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从 A, B两地区一年的数据中随机抽取
了相同 20 天的观测数据，得到 A, B两地区的空气质量指数 AQI 如下图所示：
根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级：
空气质量指数AQI 0,100 100,200 200,300
空气质量状况 优良 轻中度污染 重度污染
(1)试估计A 地区当年（365 天）的空气质量状况“优良”的天数；
(2)假设两地区空气质量状况相互独立，记事件C ：“ A 地区空气质量等级优于 B 地区空气质量等级”．根据所
给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C 的概率；
(3)若从空气质量角度选择生活地区居住，你建议选择 A, B两地区哪个地区．（只需写出结论）
【答案】(1) 274
(2) 0.2925
(3)建议选择A 地区居住
5
【分析】（1）从A 地区选出的 20 天中随机选出一天，这一天空气质量状况为“优良”的频率为1- = 0.75，
20
由此估计A 地区当年（365 天）的空气质量状况“优良”的频率为 0.75，从而能求出A 地区当年（365 天）的
空气质量状况“优良”的天数．
（2）记 A1表示事件：“ A 地区空气质量等级为优良”， A2表示事件：“ A 地区空气质量等级为轻中度污染”，B1
表示事件：“ B 地区空气质量等级为轻中度污染”，B2表示事件：“ B 地区空气质量等级为重度污染”，则 A1与
B1独立， A2与B2独立，B1与B2互斥，C = A1B1 U A1B2 U A2B2 ．由此能求出事件C 的概率．
（3）从空气质量角度，建议选择A 地区居住．
5
【解析】（1）从 A 地区选出的 20 天中随机选出一天，这一天空气质量状况为“优良”的频率为1- = 0.75，
20
估计 A 地区当年（365 天）的空气质量状况“优良”的频率为 0.75，
A 地区当年（365 天）的空气质量状况“优良”的天数约为365 0.75 274天．
（2）记 A1表示事件：“A 地区空气质量等级为优良”，
A2表示事件：“A 地区空气质量等级为轻中度污染”，
B1表示事件：“B 地区空气质量等级为轻中度污染”，
B2表示事件：“B 地区空气质量等级为重度污染”，
则 A1与B1独立， A2与B2独立，B1与B2互斥，C = A1B1 U A1B2 U A2B2 ．
所以P C = P A1 P B1 + P A1 P B2 + P A2 P B2 ．
由所给数据得 A1, A2 , B , B
3 1 1 3
1 2发生的频率分别为 , , , ．4 5 5 20
P A 3 , P A 1 1 3故 1 = = , P B = , P B = ，4 2 5 1 5 2 20
P C 3 1 3 1 3所以事件C 的概率 = + ÷ + = 0.2925．4 è 5 20 5 20
（3）从空气质量角度，建议选择 A 地区居住．
【点睛】关键点点睛：第一小问比较常规，第三小问是属于开放性试题言之有理即可，关键是第二问要利
用互斥加法公式以及独立乘法公式.第 12 章 概率初步 单元综合检测
一、填空题
1．笼子中有 4 只鸡和 3 只兔，依次取出一只，直到 3 只兔全部取出.记录剩下动物的脚数.则该试验的样本
空间W = .
2．假如P A = 0.7 ，P B = 0.8，且A 与 B 相互独立，则P AU B = ．
3．某医院一天派出医生下乡医疗，派出医生人数及其概率如下：
医生人数 0 1 2 3 4 5 人及以上
概率 0.1 0.16 0.3 0.2 0.2 0.04
则至少派出医生 2 人的概率是 .
4．甲、乙两人下棋，和棋的概率为 50%，甲不输的概率为 90%，则乙不输的概率为 ．
5．同时投掷两颗大小完全相同的骰子，用 x, y 表示结果，记 A 为“所得点数之和小于 6”，则事件 A 包含的
基本事件的个数为 ．
6．从应届高中毕业生中选拔飞行员，已知被选拔的这批学生体型合格的概率为 0.7，视力合格的概率为
0.4，其他标准合格的概率为 0.8，从中任选一名学生，则该学生三项均合格的概率为 ．（假设三项标准
互不影响）
1
7．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统A 和 B ，系统A 和系统 B 在任意时刻发生故障的概率分别为
8
和 p
9
，若在任意时刻恰有一个系统不发生故障的概率为 ，则 p = ．
40
8．设同时抛掷两个质地均匀的四面分别标有 1、2、3、4 的正四面体一次．记事件 A＝{第一个四面体向下
的一面出现偶数}；事件 B＝{第二个四面体向下的一面出现奇数}；事件 C＝{两个四面体向下的一面同时出
现奇数，或者同时出现偶数}．给出下列结论：① P A 1= ．② P AI B 1 1= ．③ P A B C = ．其
2 4 8
中正确结论的序号为 ．
9．先后抛掷两颗质地均匀的骰子，设出现的点数之和是 7、8、9 的概率依次是P1、P2、P3 ，则P1、P2、P3
从小到大的顺序为 ．
10．已知 A、B 是随机事件，则下列结论中正确的有 （填写序号）
①若 A、B 是互斥事件，则P A B = P A × P B ；
②若事件 A、B 相互独立，则P AU B = P A + P B ；
③若 A、B 是对立事件，则 A、B 是互斥事件；
④事件 A、B 至少有一个发生的概率不小于 A、B 恰好有一个发生的概率．
11．甲乙丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两
个人中的任何一人．则 n 次传球后球在甲手中的概率 pn = ．
12．一个三位自然数，百位、十位、个位上的数字依次为 a，b，c，当且仅当 a＞b，b＜c 时称为“凹数”（如
213，312 等），若 a，b，c∈{1，2，3，4}，且 a，b，c 互不相同，则这个三位数为“凹数”的概率
是 ．
二、单选题
13．“不怕一万，就怕万一”这句民间谚语说明（ ）.
A．小概率事件虽很少发生，但也可能发生，需提防；
B．小概率事件很少发生，不用怕；
C．小概率事件就是不可能事件，不会发生；
D．大概率事件就是必然事件，一定发生．
14．若P(AB)
1 2 1
= ，P(A) = ，P(B) = ，则事件A 与 B 的关系是（ ）
9 3 3
A．事件A 与 B 互斥 B．事件A 与 B 对立
C．事件A 与 B 相互独立 D．事件A 与 B 既互斥又相互独立
15．甲、乙两位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计赢 3 局者胜，分出胜负即停止比赛.已知前 3 局
3 2
每局甲赢的概率为 ，之后每局甲赢的概率为 ，每局比赛没有平局，则打完第 5 局比赛结束的概率为
5 5
（ ）
162 234 324 396
A． B． C． D．
625 625 625 625
16．“沉鱼、落雁、闭月、羞花”是由精彩故事组成的历史典故.“沉鱼”，讲的是西施浣纱的故事；“落雁”，指
的就是昭君出塞的故事；“闭月”，是述说貂蝉拜月的故事；“羞花”，谈的是杨贵妃醉酒观花时的故事.她们分
别是中国古代的四大美女.某艺术团要以四大美女为主题排演一部舞蹈剧，已知乙扮演杨贵妃，甲、丙、丁
三人抽签决定扮演的对象，则甲不扮演貂蝉且丙扮演昭君的概率为（ ）
A 1
1
． 2 B． 4
1 1
C． D．
6 12
三、解答题
17．已知 P（A）＝0.5，P（B）＝0.3．
(1)若 A，B 互斥，求 P（A∪B），P（AB）；
(2)若 A，B 相互独立，求 P（A∪B），P（AB）．
18．一个学校的足球队、篮球队和乒乓球队分别有 36，11，11 名成员，一些成员参加了不止 1 支球队，具
体情况如图所示，随机选取 1 名成员.
(1)他只属于 1 支球队的概率是多少？
(2)他属于不超过 2 支球队的概率是多少？
19．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客
的相关数据，如下表所示.
一次购物量 1 至 4 件 5 至 8 件 9 至 12 件 13 至 16 件 17 件及以上
顾客数（人） x 30 25 y 10
结算时间（分钟/人） 1 1.5 2 2.5 3
已知这 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55％.
（Ⅰ）确定 x，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值；
（Ⅱ）求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率.（将频率视为概率）
11 4 3
20．在①高一或高二学生的概率为 ②14 ； 高二或高三学生的概率为 ；③高三学生的概率为 这三个条7 14
件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.
已知某高中的高一有学生 600 人，高二有学生 500 人，高三有学生 a 人，若从所有学生中随机抽取 1 人，
抽到___________.
(1)求 a 的值；
(2)若按照高一和高三学生人数的比例情况，从高一和高三的所有学生中随机抽取 6 人，再从这 6 人中随机
抽取 2 人，求至少有 1 人是高三学生的概率.
21．为评估大气污染防治效果，调查区域空气质量状况，某调研机构从 A, B两地区一年的数据中随机抽取
了相同 20 天的观测数据，得到 A, B两地区的空气质量指数 AQI 如下图所示：
根据空气质量指数，将空气质量状况分为以下三个等级：
空气质量指数AQI 0,100 100,200 200,300
空气质量状况 优良 轻中度污染 重度污染
(1)试估计A 地区当年（365 天）的空气质量状况“优良”的天数；
(2)假设两地区空气质量状况相互独立，记事件C ：“ A 地区空气质量等级优于 B 地区空气质量等级”．根据所
给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求事件C 的概率；
(3)若从空气质量角度选择生活地区居住，你建议选择 A, B两地区哪个地区．（只需写出结论）
