苏科版八年级数学下册 9.4.5 正方形 同步练习（含解析）

9.4.5 正方形
一、单选题
1．如图，直线l上有三个正方形A、B、C，若正方形A、C的边长分别为4和6，则正方形B的面积为（ ）
A．26 B．49 C．52 D．64
2．正方形具有而矩形不一定有的性质是（　　）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．对角互补 D．四个角相等
3．如图，在正方形ABCD中，，点E在对角线AC上，若，则CDE的面积为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，以点O为顶点的正方形OEGF的两边OE，OF分别交正方形ABCD的两边AB，BC于点M，N，记的面积为，的面积为，若正方形的边长，，则的大小为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
5．如图，四边形ABCD是平行四边形，下列结论中错误的是（ ）
A．当 ABCD是矩形时，∠ABC＝90° B．当 ABCD是菱形时，AC⊥BD
C．当 ABCD是正方形时，AC＝BD D．当 ABCD是菱形时，AB＝AC
6．已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论：①当AB＝BC时，它是菱形；②当AC⊥BD时，它是菱形；③当∠ABC＝90°时，它是矩形；④当AC＝BD时，它是正方形，其中错误的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．下列关于 ABCD的叙述，正确的是（ ）
A．若AB⊥BC，则 ABCD是菱形
B．若AC＝BD，则 ABCD是矩形
C．若AC平分∠BAD，则 ABCD是正方形
D．若AC⊥BD，则 ABCD是正方形
8．如图，要使是正方形，需增加条件．在条件①，②，③，④中选取两个作为条件，不正确的是（ ）
A．①和③ B．②和③ C．①和④ D．③和④
9．对于下列判断：①对角线互相垂直的四边形是矩形；②对角线相等的四边形是矩形；③四边相等的平行四边形是正方形；④对角线互相垂直的矩形是正方形．正确的说法有（　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
10．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的是（　　）
A．若AB＝AD，则 ABCD是矩形
B．若AB＝AD，则 ABCD是正方形
C．若AB⊥BC，则 ABCD是矩形
D．若AC⊥BD，则 ABCD是正方形
二、填空题
11．如图，已知正方形ABCD的边长为6，E为CD边上一点，将绕点A旋转至，连接，若，则的长等于______．
12．如图，已知四边形是面积为50的正方形，平分，点、分别在和上，则的最小值为___________．
13．如图，四边形ABCD是正方形，点G是边BC上一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F．已知DE＝10，BF＝6，则EF的长度为 ___．
14．如图，四边形是正方形，延长到，使，则__________°．
15．如图，正方形ABCD中，点E、F分别是BC、AB边上的点，且AE⊥DF，垂足为点O，△AOD的面积为，则图中阴影部分的面积为_____．
三、解答题
16．如图所示，在正方形中，点在边上，射线交于点，交的延长线于点．求证：
（1）：
（2）若点是上的中点，连接和，求证：．
17．如图，正方形的对角线，交于点，过点作，过点作，与交于点．求证：．
答案
一、单选题
1．C
【分析】
证，推出，，则，，再证，代入求出即可．
【详解】
解：如图，
正方形，的边长分别为4和6，
，，
由正方形的性质得：，，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，，
正方形的面积为，
故选：C．
2．A
【分析】
根据正方形的性质，矩形的性质逐一进行判断即可．
【详解】
解：A中对角线互相垂直，是正方形具有而矩形不具有，故符合题意；
B中对角线相等，正方形具有而矩形也具有，故不符合题意；
C中对角互补，正方形具有而矩形也具有，故不符合题意；
D中四个角相等，正方形具有而矩形也具有，故不符合题意；
故选：A．
3．A
【分析】
根据正方形的性质，全等三角形的性质和三角形的面积公式解答即可．
【详解】
∵正方形ABCD，
∴AB=AD，∠BAC=DAC，
∵AE=AE，∴△ABE≌△ADE，
∴=5，同理△CBE≌△CDE，
∴，
∵，
∴CDE的面积为： =3，
故选A．
4．D
【分析】
由题意依据全等三角形的判定得出△BOM≌△CON，进而根据正方形的性质即可得出的大小.
【详解】
解：∵正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，
∴OC=OD=BO=AO，∠ABO=∠ACB=45°，AC⊥BD．
∵∠MOB+∠BON=90°，∠BON+∠CON=90°
∴∠BOM=∠CON，且OC=OB，∠ABO=∠ACB=45°，
∴△BOM≌△CON（ASA），=S△BOM，
∴，
∵=S正方形ABCD，正方形的边长，，
∴=S正方形ABCD -=.
故选：D.
5．D
【分析】
由矩形的四个角是直角可判断A，由菱形的对角线互相垂直可判断B，由正方形的对角线相等可判断C，由菱形的四条边相等可判断D，从而可得答案.
【详解】
解：当 ABCD是矩形时，∠ABC＝90°，正确，故A不符合题意；
当 ABCD是菱形时，AC⊥BD，正确，故B不符合题意；
当 ABCD是正方形时，AC＝BD，正确，故C不符合题意；
当 ABCD是菱形时，AB＝BC，故D符合题意；
故选D
6．A
【分析】
根据矩形、菱形、正方形的判定可以判断题目中的各个小题的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】
解：四边形是平行四边形，
A、当时，它是菱形，选项不符合题意，
B、当时，它是菱形，选项不符合题意，
C、当时，它是矩形，选项不符合题意，
D、当时，它是矩形，不一定是正方形，选项符合题意，
故选：．
7．B
【分析】
根据菱形的判定方法、矩形的判定方法、正方形的判定方法逐一进行判定即可．
【详解】
解：∵ ABCD中，AB⊥BC，
∴四边形ABCD是矩形，不一定是菱形，选项A不符合题意；
∵ ABCD中，AC=BD，
∴四边形ABCD是矩形，选项B符合题意；
∵ ABCD中，AC平分∠BAD，
∴四边形ABCD是菱形，不一定是正方形，选项C不符合题意；
∵ ABCD中，AC⊥BD，
∴四边形ABCD是菱形，选项D不符合题意；
故选：B．
8．D
【分析】
利用矩形、菱形、正方形之间的关系与区别，结合正方形的判定方法分别判断得出即可．
【详解】
解： A、∵四边形ABCD是平行四边形，
当①时，是菱形，
当③时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；
B、∵四边形ABCD是平行四边形，
当②时，是菱形，
当③时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意；
C、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当①时，是菱形，
当④时，菱形ABCD是正方形，故此选项正确，不合题意．
D、∵四边形ABCD是平行四边形，
∴当④时，是矩形，
当③时，这是矩形的性质，无法得出四边形ABCD是正方形，故此选项错误，符合题意；
故选：D．
9．A
【分析】
根据菱形、矩形、正方形的判定方法分别分析即可求解．
【详解】
解：①对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，故①错误；
②对角线相等的四边形不一定是矩形，故②错误；
③四边相等的平行四边形是菱形，故③错误；
④对角线互相垂直的矩形是正方形，故④正确．
故选：A．
10．C
【分析】
根据矩形和正方形的判定定理逐项判断，即可解答．
【详解】
解：A、因为邻边相等的平行四边形是菱形，故A错误，不符合题意；
B、因为邻边相等的平行四边形是菱形，故B错误，不符合题意；
C、若AB⊥BC，则 ABCD是矩形，故C正确，符合题意；
D、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故D错误，不符合题意；
故选：C．
二、填空题
11．4
【分析】
在正方形ABCD中，BE′＝DE＝2，所以在直角三角形E′CE中，E′C＝8，CE＝4，利用勾股定理求得EE′的长即可．
【详解】
解：在正方形ABCD中，∠C＝90°，
由旋转得，BE′＝DE＝2，
∴E′C＝8，CE＝4，
∴在直角三角形E′CE中，
EE′＝＝＝4．
故答案为4．
12．5
【分析】
连接交于，交于，过作于，则，可得
由角平分线的性质可得到：，继而可得，根据正方形的面积可得，再根据勾股定理计算AC即可求解．
【详解】
解：如图，连接交于，交于，过作于，则，
∵平分，
∴，
∴，
∵四边形是面积为50的正方形，
∴，
∴在中，，
∴，
∴的最小值为5．
13．4
【分析】
因为AF=AE+EF，则可以通过证明△ABF≌△DAE，从而得到AE=BF，AF=DE
便得到了EF=DE - BF．
【详解】
证明：∵ABCD是正方形，
∴AD=AB，∠BAD=90°
∵DE⊥AG，
∴∠AED=90°
∴∠ADE+∠DAE=90°
又∵∠BAF+∠DAE=∠BAD=90°，
∴∠ADE=∠BAF．
∵BF∥DE，
∴∠AFB=∠DEG=∠AED．
在△ABF与△DAE中， ，
∴△ABF≌△DAE（AAS）．
∴BF=AE，AF=DE
∵AF=AE+EF，
∴EF=DE - BF=4，
故答案为：4.
14．22.5
【分析】
根据正方形的性质求出∠CAB=∠ACB=45°，再根据AC=AE求出∠ACE=67.5°，由此即可求出答案.
【详解】
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAB=∠DCB=90°，
∵AC是对角线，
∴∠CAB=∠ACB=45°，
∵AC=AE,
∴∠ACE=67.5°，
∴∠BCE=∠ACE-∠ACB=22.5°，
故答案为：22.5°.
15．
【分析】
先证得△ADF△BAE，再利用等量代换即可求得阴影部分的面积等于△AOD的面积．
【详解】
正方形ABCD中，
∠DAF=∠ABE=90，AD=AB，
∵AE⊥DF，
∴∠DOA=∠DAF =90，
∴∠DAO+∠ADF =∠DAO +∠FAO =90，
∴∠ADF =∠FAO，
在△ADF和△BAE中，
，
∴△ADF△BAE，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
三、解答题
16．
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝CD，∠ADB＝∠CDB＝45°，
在△ADE和△CDE中，
，
∴△ADE≌△CDE（SAS）；
（2）证明：∵△ADE≌△CDE，
∴∠1＝∠2，
∵在Rt△FCG中，点H是FG上的中点，
∴CH＝FG＝GH，
∴∠4＝∠G，
∵ADBG，
∴∠1＝∠G，
∴∠4＝∠1，
∵∠2＝∠1，
∴∠4＝∠2，
∵∠4＋∠3＝90°，
∴∠2＋∠3＝90°，
∴EC⊥CH．
17．
证明：∵，，
∴四边形是平行四边形．
∵四边形是正方形，
∴，，
∴四边形是正方形，
∴．