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专题01 集合与常用逻辑用语
考点 1:集合的交并补运算
1．（2024·北京）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·天津）集合，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·全国甲卷）集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|x+1∈A}，则A∩B＝（ ）
A．{1，2，3，4} B．{1，2，3}
C．{3，4} D．{1，2，9}
4．（2024·新高考Ⅰ卷）已知集合A＝{x|﹣5＜x3＜5}，B＝{﹣3，﹣1，0，2，3}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1，0} B．{2，3}
C．{﹣3，﹣1，0} D．{﹣1，0，2}
5．（2024·上海）设全集，集合，则 .
6．（2023·天津卷）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
7．（2023·北京卷）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
8．（2023·全国乙卷）设集合，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2023·全国甲卷）设集合，U为整数集，（ ）
A． B．
C． D．
10．（2023·新高考Ⅰ卷）已知集合M={ 2， 1，0，1，2}，N={x|x2 x 6 0}，则M∩N=（ ）
A．{ 2， 1，0，1} B．{0，1，2}
C．{ 2} D．{2}
11．（2022·新高考Ⅱ卷）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
12．（2022·全国乙卷）集合，则（ ）
A． B．
C． D．
13．（2022·全国甲卷）设全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
14．（2022·浙江）设集合 ，则 （ ）
A．{2} B．
C． D．
15．（2022·北京）已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
考点 2:含参集合以及元素与集合关系
16．（2024·北京）若集合表示的图形中，两点间最大距离为d、面积为S，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
17．（2023·上海卷）已知，若且，则（ ）
A． B． C． D．
18．（2022·全国乙卷）设全集 ，集合M满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
考点 3:充分必要条件的判断
19．（2024·北京）已知向量，，则“”是“或”的（ ）条件．
A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件
C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件
20．（2024·天津）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
21．（2023·天津卷）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
22．（2023·全国甲卷）“”是“”的（ ）
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
23．（2022·北京）设 是公差不为0的无穷等差数列，则“ 为递增数列”是“存在正整数 ，当 时， ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
24．（2022·浙江）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
25．（2022·浙江学考）已知空间中两条不重合的直线 ，则“ 与 没有公共点”是“ ”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
26．（2022·天津市）“为整数”是“为整数”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
考点 4:命题的否定与命题的真假
27．（2024·新课标Ⅱ卷）已知命题；命题．则（ ）．
A．和都是真命题 B．和都是真命题
C．和都是真命题 D．和都是真命题
28．（2023·上海卷）在平面上，若曲线具有如下性质：存在点，使得对于任意点，都有使得.则称这条曲线为"自相关曲线".判断下列两个命题的真假（ ）.
（1）所有椭圆都是“自相关曲线".(2)存在双曲线是“自相关曲线”.
A．(1)假命题；(2)真命题 B．(1)真命题；(2)假命题
C．(1)真命题；(2)真命题 D．(1)假命题；(2)假命题
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专题01 集合与常用逻辑用语
考点 1:集合的交并补运算
1．（2024·北京）已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】解：由题意可得： .
故答案为：A.
【分析】根据题意结合并集运算求解.
2．（2024·天津）集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，所以.
故答案为：B.
【分析】由题意，根据集合的交集运算求解即可.
3．（2024·全国甲卷）集合A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|x+1∈A}，则A∩B＝（ ）
A．{1，2，3，4} B．{1，2，3}
C．{3，4} D．{1，2，9}
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：据题意，A＝{1，2，3，4，5，9}，B＝{x|x+1∈A}
利用赋值法求解：
对于集合B，分别令，
解出x的值分别为：
所以B＝{}，
所以
故答案为：A.
【分析】根据题意利用赋值法求出集合B，进而求出结果.
4．（2024·新高考Ⅰ卷）已知集合A＝{x|﹣5＜x3＜5}，B＝{﹣3，﹣1，0，2，3}，则A∩B＝（ ）
A．{﹣1，0} B．{2，3}
C．{﹣3，﹣1，0} D．{﹣1，0，2}
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由，
∴x的整数解为-1，0，1，
即A∩B＝ {﹣1，0}
故答案为：A.
【分析】由开立方估算或代入估算，结合交集的意义得出结果.
5．（2024·上海）设全集，集合，则 .
【答案】
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】解：因为全集，集合，所以.
故答案为：.
【分析】根据集合的补集运算求解即可.
6．（2023·天津卷）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】并集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】∵，
∴，
∴，
故选：A.
【分析】结合补集和并集对有限集运算.
7．（2023·北京卷）已知集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】 ，
.
故答案为：A
【分析】先化简集合，再求两集合交集。
8．（2023·全国乙卷）设集合，集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】根据题意
对A， ，则，符合题意，
对B， ，则，不符合题意，
对C，，则，不符合题意，
对D， ，则，不符合题意，
故选：A.
【分析】由交、并、补集的定义及运算，逐项判断可得答案.
9．（2023·全国甲卷）设集合，U为整数集，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】由已知 分析可知A为被3除余1整数的集合，B为被3除余2整数的集合，
故当全集为整数，此时 为3的整数倍，即 .
故选：A.
【分析】由分析可将描述法表示的集合转化成被3整除问题，进而分析此时用整数集补的结果.
10．（2023·新高考Ⅰ卷）已知集合M={ 2， 1，0，1，2}，N={x|x2 x 6 0}，则M∩N=（ ）
A．{ 2， 1，0，1} B．{0，1，2}
C．{ 2} D．{2}
【答案】C
【知识点】交集及其运算；一元二次方程的解集
【解析】【解答】∵，∴，∴，即， 则。故选C
【分析】利用一元二次不等求解集合N，进而求集合M与N的交集。
11．（2022·新高考Ⅱ卷）已知集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】 ，故 .
故答案为：B
【分析】先求出集合B，再根据交集的概念求 即可.
12．（2022·全国乙卷）集合，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】因为 ， ，所以 .
故选：A
【分析】根据集合的交集运算即可求解.
13．（2022·全国甲卷）设全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】并集及其运算；补集及其运算；一元二次方程的解集
【解析】【解答】解：由题意得， ，所以A∪B={-1，1，2，3} ，
所以 .
故选：D
【分析】先求解方程求出集合B，再由集合的并集、补集运算即可得解.
14．（2022·浙江）设集合 ，则 （ ）
A．{2} B．
C． D．
【答案】D
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】由并集运算，得.
故答案为：D
【分析】利用并集运算求解即可．
15．（2022·北京）已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】补集及其运算
【解析】【解答】根据题意可得：
故答案为：D
【分析】直接根据补集的概念计算即可.
考点 2:含参集合以及元素与集合关系
16．（2024·北京）若集合表示的图形中，两点间最大距离为d、面积为S，则（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】C
【知识点】集合的表示方法
【解析】【解答】解：因为，则，且，
若把x看成定值，t看成变量，则，
可知所求集合表示的图形即为平面区域，
如图阴影部分所示，其中，
所以；.
故答案为：C.
【分析】把x看成定值，t看成变量，可得，进而可得平面区域，结合图象，数形结合处理问题即可.
17．（2023·上海卷）已知，若且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】元素与集合的关系
【解析】【解答】 ∵，若且
∴只有元素复合集合M，
故选：A
【分析】由元素和集合的关系得出符合条件的集合M.
18．（2022·全国乙卷）设全集 ，集合M满足 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】元素与集合的关系；补集及其运算
【解析】【解答】易知 ，对比选项即可判断，A正确.
故选：A
【分析】先写出集合M，即可判断.
考点 3:充分必要条件的判断
19．（2024·北京）已知向量，，则“”是“或”的（ ）条件．
A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件
C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量数量积的性质；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：因为 ，等价于，等价于，
若，即，例如，满足题意，
但或 均不成立，即充分性不成立；
若或 ，可得，则，即必要性成立；
综上所述：“”是“或”的 必要而不充分条件.
故答案为：A.
【分析】根据数据量分析可知 ，等价于，结合充分、必要条件分析判断.
20．（2024·天津）设，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：若，根据立方的性质，可得，则，故充分性成立；
若，根据指数函数的性质，可得，则，故必要性成立，
故是的充要条件.
故答案为：C.
【分析】根据充分、必要条件的定义判断即可.
21．（2023·天津卷）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】由，，
故由可以推出，
∴“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
【分析】根据已知条件化简结合条件的判断即得答案.
22．（2023·全国甲卷）“”是“”的（ ）
A．充分条件但不是必要条件
B．必要条件但不是充分条件
C．充要条件
D．既不是充分条件也不是必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】若，
∵，
此时，即，
∴当，此时不一定成立，充分性不成立；
反之，当，，此时，必要性成立；
故选：B.
【分析】利用同角三角基本关系可将 化简，结合条件的判断可得出答案.
23．（2022·北京）设 是公差不为0的无穷等差数列，则“ 为递增数列”是“存在正整数 ，当 时， ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】充分性证明：若 为递增数列，则有对 ， ，公差 ，取正整数 （其中 不大于 的最大正整数），则当 时，只要 ，都有 ；
必要性证明：若存在正整数 ，当 时， ，因为 ，所以 ，对 都成立，因为 ，且 ，所以 ，对 ，都有 ， ，即 为递增数列，所以 为递增数列是“存在正整数 ，当 时， ”的充要条件.
故答案为：C
【分析】先证明充分性：若 为递增数列，则 ，公差 ，取正整数 ，则当 时，只要 ，都有 ；再证明必要性：若存在正整数 ，当 ，有 ，因为 ，结合已知条件得 ， ，即 为递增数列，综上即可判断.
24．（2022·浙江）设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】，则；，则，若可推出，充分性成立；反之不成立，必要性不成立，故充分部必要条件.
故答案为：A
【分析】利用同角三角函数间的基本关系，充要条件的定义判定即可．
25．（2022·浙江学考）已知空间中两条不重合的直线 ，则“ 与 没有公共点”是“ ”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】“直线 与 没有公共点”表示两条直线 或者 与 是异面直线，所以“ 与 没有公共点”是“ ”的必要不充分条件。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，从而推出“ 与 没有公共点”是“ ”的必要不充分条件。
26．（2022·天津市）“为整数”是“为整数”的（）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】当 为整数时， 必为整数；
当 为整数时， 比一定为整数，
例如当 时， .
所以“ 为整数”是“ 为整数”的充分不必要条件。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，进而推出“ 为整数”是“ 为整数”的充分不必要条件。
考点 4:命题的否定与命题的真假
27．（2024·新课标Ⅱ卷）已知命题；命题．则（ ）．
A．和都是真命题 B．和都是真命题
C．和都是真命题 D．和都是真命题
【答案】B
【知识点】全称量词命题；存在量词命题；命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：命题，当，原不等式转化为，
不满足，故命题为假命题，即为真命题；
命题，当时，，满足，故命题为真命题，
则和都是真命题.
故答案为：B.
【分析】取特殊值判断命题的真假，从而得的真假，即可得到答案.
28．（2023·上海卷）在平面上，若曲线具有如下性质：存在点，使得对于任意点，都有使得.则称这条曲线为"自相关曲线".判断下列两个命题的真假（ ）.
（1）所有椭圆都是“自相关曲线".(2)存在双曲线是“自相关曲线”.
A．(1)假命题；(2)真命题 B．(1)真命题；(2)假命题
C．(1)真命题；(2)真命题 D．(1)假命题；(2)假命题
【答案】（1）B
【知识点】命题的真假判断与应用；圆锥曲线的综合
【解析】【解答】①在椭圆中，如图，若存在点M，使得对于任意点 ， 都有 使得.
不妨先以点M在x轴上分析，在M点从椭圆左顶点往x负半轴移动时，必然存在，
以此M点为假设存在的点，∵P、Q均在椭圆上，且，，故对于 任意点，都有使得 .
由特殊到一般，由椭圆图形取值为封闭图形，即确定点M的位置后，其最小值与最大值是有限值，故对任意的情形依然存在且符合题意；
故所有的椭圆都是“自相关曲线"为真命题.
②同理，由确定点M位置后，结合双曲线图形特点，其最小值总是有限值，而最大值是无限的，所以不存在双曲线是“自相关曲线”.
【分析】根据圆锥曲线图形特点及取值分析判断可得答案.
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