中小学教育资源及组卷应用平台
专题 02 函数的概念与基本初等函数 I
考点 1:已知奇偶性求参数
1．（2023·全国乙卷）已知是偶函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】D
【解析】【解答】是偶函数，
恒成立，
不恒为0，
，解得.
当时定义域为关于原点对称，又满足，为偶函数。
故选：D
【分析】根据偶函数定义进行计算，再验证。
2．（2021·新高考Ⅰ）已知函数f(x)= 是偶函数，则a=
【答案】1
【解析】【解答】解：设 ，则题意可知函数g(x)为奇函数，则g(0)=a·20-2-0=a-1=0，故a=1
故答案为：1
【分析】根据函数的奇偶性的判定，结合奇函数的性质求解即可.
考点 2:函数图像的识别
3．（2024·全国甲卷）函数f（x）＝﹣x2+（ex﹣e﹣x）sinx的区间[﹣2.8，2.8]的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：由f（x）＝﹣x2+（ex﹣e﹣x）sinx ，
则，
所以f(x)为偶函数，根据图象排除AC选项，
利用特殊值：当x=1时，
，所以B符合.
故答案为：B.
【分析】先判断函数奇偶性，接着利用特殊值x=1，进而得到结果.
4．（2022·全国乙卷）如图是下列四个函数中的某个函数在区间 的大致图像，则该函数是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】设 ，则 ，故排除B；
设 ，当 时， ，
所以 ，故排除C；
设 ，则 ，故排除D.
故选：A
【分析】由函数图象的特征结合函数的性质逐项排除即可.
5．（2021·浙江）已知函数 ，则图象为如图的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】显然，图中函数是奇函数，
对于A，显然 ，该函数为非奇非偶函数，所以与图不符合，排除A；
对于B， ，该函数也是为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；
对于C， ，则 ，
当 时， ，与图象不符，排除C.
对于D，将代入可计算得y/<0，满足该图象在该点附近递减的性质，故D正确.
故答案为：D.
【分析】由A，B解析式都是非奇非偶函数，可以判断A，B错；
对于C，先对 求导，然后计算当 时，ｆ'（ ）＞0，与图不符合，所以C错，故选D.
考点 3:基本初等函数的性质:单调性、奇偶性
6．（2024·天津）下列函数是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、令，定义域为，但，
则不是偶函数，故A不符合；
B、令，定义域为，且，则为偶函数，故B符合；
C、令，定义域为，定义域不关于原点对称， 则为非奇非偶函数函数，故C不符合；
D、令，定义域为，但，则不是偶函数，故D不符合.
故答案为：B.
【分析】根据偶函数的定义逐项分析判断即可.
7．（2024·上海）已知，若是奇函数，， .
【答案】0
【解析】【解答】解：因为函数为奇函数，所以，
解得.
故答案为：0.
【分析】根据奇函数的定义列式求解即可.
8．（2023·新高考Ⅰ卷）设函数在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是（ ）
A．( ∞， 2] B．[ 2，0) C．(0，2] D．[2，+∞)
【答案】D
【解析】【解答】∵为增函数，令
由复合函数单调性可知，若 在区间(0，1)单调递减
只需在区间(0，1)单调递减
由二次函数易得在为减函数，在为增函数，
所以在为减函数，在为增函数，
故，
即.
故选：D
【分析】根据复合函数单调性，分别分析外函数指数函数的单调性和内函数二次函数单调性即得答案。
9．（2022·浙江学考）已知函数 （ ），则此函数是（）
A．偶函数且在（-∞，+∞）上单调递减
B．偶函数且在（-∞，+∞）上单调递增
C．奇函数且在（-∞，+∞）上单调递减
D．奇函数且在（-∞，+∞）上单调递增
【答案】D
【解析】【解答】令 ，则函数 的定义域为R，且 ，
所以函数 是奇函数，
又因为 ，所以函数 在（-∞，+∞）上单调递增。
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合奇函数的定义和增函数的定义，进而判断出函数的奇偶性和单调性。
10．（2021·全国乙卷）设函数f(x)= ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．f(x-1)-1 B．f(x-1)+1 C．f(x+1)-1 D．f(x+1)+1
【答案】B
【解析】【解答】因为 f(x)= ，所以函数的对称中心是(-1,-1)，所以函数f(x)向右平移1 个单位，再向上平移1个单位后关于（0，0）中心对称，而四个选项中只有B满足条件，
故答案为：B。
【分析】将 函数变形为f(x)= 后，判断。
11．（2020·新课标Ⅰ·理）若 ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】设 ，则 为增函数，因为
所以 ，
所以 ，所以 .
，
当 时， ，此时 ，有
当 时， ，此时 ，有 ，所以C、D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】设 ，利用作差法结合 的单调性即可得到答案.
12．（2020·浙江）函数y＝xcosx+sinx在区间[﹣π，+π]的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：y＝f（x）＝xcosx+sinx，
则f（﹣x）＝﹣xcosx﹣sinx＝﹣f（x），
∴f（x）为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除B，D，
当x＝π时，y＝f（π）＝πcosπ+sinπ＝﹣π＜0，故排除B，
故答案为：A．
【分析】先判断函数的奇偶性，再判断函数值的特点．
考点 4:分段函数问题
13．（2023·上海卷）已知，则的值域是 ；
【答案】
【解析】【解答】当即
故，即
故答案为：
【分析】由指数函数易得x>0的值域，结合x≤0可得分段函数值域.
14．（2022·浙江）已知函数 则 ；若当 时， ，则 的最大值是 ．
【答案】；
【解析】【解答】∵函数∴
∴
作出函数f（x）的图象如图：
当，解得，由 ，可知，则 的最大值是
故答案为：；
【分析】直接由分段函数解析式求；画出函数f（x）的图象，数形结合得答案．
15．（2022·北京）设函数 ，若 存在最小值，则 的一个取值为 ； 的最大值为 ．
【答案】0（答案不唯一）；1
【解析】【解答】由题意知，函数的最值与函数的单调性相关，故考虑0，2为分界点研究函数的性质，当 时， ，该段的值域为 ，故整个函数没有最小值；当 时， 该段的值域为 ，而 的值域为 ，故此时函数 的值域为 ，即存在最小值0，故第一个空可填写0；当 时， ，该段的值域为 ，而 的值域为 ，若存在最小值，则需满足 ，于是可得 ；当 时， ，该段的值域为 ，而 的值域为 ，若存在最小值，则需满足 ，此时不等式无解.综上， 的最大值为1.
【分析】根据题意考虑0，2为分界点研究函数的单调性和最值，分 、 、 、 四种情况讨论函数 的值域结合函数存在最小值列关于 的不等关系从而求解 的取值范围.
考点 5:函数的定义域、值域、最值问题
16．（2024·新课标Ⅱ卷）设函数，若，则的最小值为（ ）．
A． B． C． D．1
【答案】C
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
令，解得；令，解得；
当时，，要使成立，则，故；
当时，，要使成立，则，故；
故， 则，当且仅当时等号成立，
则的最小值为.
故答案为：C.
【分析】根据对数函数的性质分析的符号，再由成立确定的符号，即可得，代入结合二次函数的性质求最值即可.
17．（2024·上海）log2x的定义域 ．
【答案】（0，+∞）
【解析】【解答】解：由对数函数的真数大于零可得，所以 log2x的定义域为（0，+∞）.
故答案为：（0，+∞）.
【分析】利用对数函数的定义即可.
18．（2022·北京）函数 的定义域是 ．
【答案】
【解析】【解答】依题意 ，解得 .
【分析】根据分式和根式成立的条件建立不等式关系进行求解即可.
19．（2022·浙江学考）函数 的定义域是（ ）
A． B． C．R D．
【答案】D
【解析】【解答】 ，
，
即函数 的定义域为 。
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合分式函数求定义域的方法，进而得出函数 的定义域。
20．（2021·天津）函数 的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：，则函数是偶函数，排除A，C，
当x∈(0，1)时，ln|x|<0，x2+2>0，则f(x)<0，排除D.
故答案为：B
【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由x∈(0，1)时，f(x)<0，排除D，即可得解.
21．（2021·浙江）函数 的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】【解答】根据题意可得 ，所以 。
故答案为：C.
【分析】利用偶次根式函数求定义域的方法结合分式函数求定义域的方法，从而结合交集的运算法则，进而求出函数 的定义域 。
22．（2020·北京）函数 的定义域是 ．
【答案】
【解析】【解答】由题意得 ，
故答案为：
【分析】根据分母不为零、真数大于零列不等式组，解得结果.
23．（2020·新课标Ⅱ·文）设函数 ,则 （ ）
A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增
B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增
D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
【答案】A
【解析】【解答】因为函数 定义域为 ，其关于原点对称，而 ，
所以函数 为奇函数．
又因为函数 在 上单调递增，在 上单调递增，
而 在 上单调递减，在 上单调递减，
所以函数 在 上单调递增，在 上单调递增．
故答案为：A．
【分析】根据函数的解析式可知函数的定义域为 ，利用定义可得出函数 为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．
考点6:函数性质(对称性周期性、奇偶性)的综合运用
24．（2024·上海）定义集合，在使得的所有中，下列成立的是( )
A．是偶函数 B．在处取最大值
C．严格增 D．在处取到极小值
【答案】B
【解析】【解答】解：A、若存在 是偶函数， 取 ，
则对 ， 但 ， 与题干矛盾，故A错误；
B、构造函数，满足集合，
当时，，当时，，当时，，
则该函数的最大值是，故B正确；
C、假设存在，使得函数严格增，则，与题干矛盾，故C错误；
D、假设存在，使得在处取极小值，则在的左侧附近存在，使得，与题干矛盾，故D错误.
故答案为：B.
【分析】利用反证法并结合函数奇偶性、单调性以及极小值的概念即可判断ACD；构造函数即可判断B.
25．（2024·上海）现定义如下：当x∈（n，n+1）时（n∈N），若f（x+1）＝f'（x），则称f（x）为延展函数．现有，当x∈（0，1）时，g（x）＝ex与h（x）＝x10均为延展函数，则以下结论（ ）
①存在y＝kx+b（k，b∈R；k，b≠0）与y＝g（x）有无穷个交点
②存在y＝kx+b（k，b∈R；k，b≠0）与y＝h（x）有无穷个交点
A．①②都成立 B．①②都不成立
C．①成立②不成立 D．①不成立②成立
【答案】D
【解析】【解答】解：由题意可得g（x）＝ex与h（x）＝x10均为延展函数，
对于①，对于g（x）＝ex，
则g（x）是周期为1的周期函数，其值域为（1，e），
因为k≠0，y＝kx+b与y＝g（x）不会有无穷个交点，所以（1）错；
对于②，当k＝10时，存在b使得直线y＝kx+b可以与h（x）在区间（9，10）的函数部分重合，因而有无穷个交点，所以（2）正确．
故答案为：D.
【分析】利用延展函数的定义，结合周期函数的定义即可.
26．（2022·新高考Ⅰ卷）已知函数 及其导函数 的定义域均为R，记 若 均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B,C
【解析】【解答】解：由为偶函数可知函数f(x)关于直线对称，
由g(2+x)为偶函数可知：g(x)关于直线x=2对称，
结合g(x)=f'(x)，根据g(x)关于直线x=2对称可知f(x)关于点(2，t)对称，
根据f(x)关于直线对称可知：g(x)关 于点(，0)对称，
综上，函数f(x)与g(x)均是周期为2的周期函数，
所以有f(0)= f(2)=t，所以A不正确；
f(-1)= f(1)， f(4)=f(2)， f(1)= f(2)，故f(-1)= f(4)，所以C正确，
，g(-1)=g(1)，故B正确；
又g(1)+g(2)=0，所以g(-1)+g(2)=0，故D错误.
故选：BC
【分析】根据函数的奇偶性与对称性，可判定f(x)与g(x)均是周期为2的周期函数，再由函数的值，逐项判断即可.
27．（2021·新高考Ⅱ卷）已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：因为 为偶函数， 则有f(2+x)=f(2-x)，可得f(x+3)=f(1-x)，
又因为 为奇函数， 则有f(1-2x)=-f(2x-1)，可得f(1-x)=-f(x+1)，
所以f(x+3)=-f(x+1)=f(x-1)，即f(x)=f(x+4)
故函数f(x)的周期为T=4
又因为函数F(x)=f(2x+1)是奇函数，则F(0)=f(1)=0
故f(-1)=-f(1)=0
故答案为：B
【分析】推导出函数f(x)是以4为周期的周期函数，由已知条件得出f(1)=0，结合已知条件可得出结论.
考点7:指对幂运算
28．（2024·北京）记水的质量为，并且d越大，水质量越好．若S不变，且，，则与的关系为（ ）
A．
B．
C．若，则；若，则；
D．若，则；若，则；
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意可得：，整理得，
因为在定义域内单调递增，
若，则，可得，所以；
若，则，可得，所以；
结合选项可知：C正确；ABD错误.
故答案为：C.
【分析】根据题可得，分和两种情况，结合指数函数单调性分析求解.
29．（2024·天津）若，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a
【答案】B
【解析】【解答】解：指数函数在上单调递增，因为，所以，
所以，所以，
对数函数在上单调递增，因为，所以，
所以，综上：.
故答案为：B.
【分析】根据指数函数和对数函数的单调性判断即可.
30．（2024·全国甲卷）已知a＞1，，则a＝ ．
【答案】64
【解析】【解答】解：由，利用换底公式将式子化成以2为底，
即，对式子进行化简得：，
即，
利用因式分解得，
所以或，
因为a＞1，所以，
所以，即，
故答案为：64.
【分析】将利用换底公式转化成，接着化简式子，得到进而因式分解得到即可得到结果.
31．（2023·天津卷）若，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】由指数函数在R上单调递增，
故，即，
由幂函数在上单调递增，
故，即，
∴，
故选：D.
【分析】由a、b同一底数结构可利用指数函数单调性比较大小，结合特殊值1即可得出答案.
32．（2023·北京卷）已知函数，则 ．
【答案】1
【解析】【解答】 ，.
故答案为：1
【分析】将代入函数解析式计算求解 。
33．（2022·上海）下列幂函数中，定义域为R的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：对于A， 的定义域为{x|x≠0}，故A错误；
对于B， 的定义域为{x|x>0}，故B错误；
对于C， 的定义域为R，故C正确；
对于D， 的定义域为{x|x>0}，故D错误.
故答案为：C
【分析】根据函数的定义域，结合幂函数的定义求解即可.
34．（2022·浙江）已知 ，则 （ ）
A．25 B．5 C． D．
【答案】C
【解析】【解答】将转化为指数，得到.再结合指数的运算性质，，因此，所以.
故答案为：C
【分析】直接利用指数、对数的运算性质求解即可．
35．（2022·天津市）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】因为，故.
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合指数函数的单调性和对数函数的单调性，从而比较出a，b，c的大小。
36．（2021·新高考Ⅱ卷）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ．
① ；②当 时， ；③ 是奇函数．
【答案】 答案不唯一
【解析】【解答】解：取f(x)=x2，则f(x1x2)=x12x22=f(x1)f(x2)，满足①；
当x>0时，f'(x)=2x>0，满足②；
f'(x)=2x的定义域为R，且f'(-x)=2(-x)=-f'(x)，故f'(x)=2x是奇函数，满足③.
故答案为：f(x)=x2（x∈R）
【分析】根据幂函数的性质直接求解即可.
37．（2020·天津）设 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】因为 ，
，
，
所以 .
故答案为：D.
【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出 的大小关系.
38．（2020·新课标Ⅲ·文）设a=log32，b=log53，c= ，则（ ）
A．a
【答案】A
【解析】【解答】因为 ， ，
所以 .
故答案为：A
【分析】分别将a,b改写为 ， ，再利用单调性比较即可.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题 02 函数的概念与基本初等函数 I
考点 1:已知奇偶性求参数
1．（2023·全国乙卷）已知是偶函数，则（ ）
A． B． C．1 D．2
2．（2021·新高考Ⅰ）已知函数f(x)= 是偶函数，则a=
考点 2:函数图像的识别
3．（2024·全国甲卷）函数f（x）＝﹣x2+（ex﹣e﹣x）sinx的区间[﹣2.8，2.8]的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2022·全国乙卷）如图是下列四个函数中的某个函数在区间 的大致图像，则该函数是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021·浙江）已知函数 ，则图象为如图的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
考点 3:基本初等函数的性质:单调性、奇偶性
6．（2024·天津）下列函数是偶函数的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·上海）已知，若是奇函数，， .
8．（2023·新高考Ⅰ卷）设函数在区间(0，1)单调递减，则a的取值范围是（ ）
A．( ∞， 2] B．[ 2，0) C．(0，2] D．[2，+∞)
9．（2022·浙江学考）已知函数 （ ），则此函数是（）
A．偶函数且在（-∞，+∞）上单调递减
B．偶函数且在（-∞，+∞）上单调递增
C．奇函数且在（-∞，+∞）上单调递减
D．奇函数且在（-∞，+∞）上单调递增
10．（2021·全国乙卷）设函数f(x)= ，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．f(x-1)-1 B．f(x-1)+1 C．f(x+1)-1 D．f(x+1)+1
11．（2020·新课标Ⅰ·理）若 ，则（ ）
A． B． C． D．
12．（2020·浙江）函数y＝xcosx+sinx在区间[﹣π，+π]的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
考点 4:分段函数问题
13．（2023·上海卷）已知，则的值域是 ；
14．（2022·浙江）已知函数 则 ；若当 时， ，则 的最大值是 ．
15．（2022·北京）设函数 ，若 存在最小值，则 的一个取值为 ； 的最大值为 ．
考点 5:函数的定义域、值域、最值问题
16．（2024·新课标Ⅱ卷）设函数，若，则的最小值为（ ）．
A． B． C． D．1
17．（2024·上海）log2x的定义域 ．
18．（2022·北京）函数 的定义域是 ．
19．（2022·浙江学考）函数 的定义域是（ ）
A． B． C．R D．
20．（2021·天津）函数 的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
21．（2021·浙江）函数 的定义域是（ ）
A． B．
C． D．
22．（2020·北京）函数 的定义域是 ．
23．（2020·新课标Ⅱ·文）设函数 ,则 （ ）
A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增
B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减
C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增
D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减
考点6:函数性质(对称性周期性、奇偶性)的综合运用
24．（2024·上海）定义集合，在使得的所有中，下列成立的是( )
A．是偶函数 B．在处取最大值
C．严格增 D．在处取到极小值
25．（2024·上海）现定义如下：当x∈（n，n+1）时（n∈N），若f（x+1）＝f'（x），则称f（x）为延展函数．现有，当x∈（0，1）时，g（x）＝ex与h（x）＝x10均为延展函数，则以下结论（ ）
①存在y＝kx+b（k，b∈R；k，b≠0）与y＝g（x）有无穷个交点
②存在y＝kx+b（k，b∈R；k，b≠0）与y＝h（x）有无穷个交点
A．①②都成立 B．①②都不成立
C．①成立②不成立 D．①不成立②成立
26．（2022·新高考Ⅰ卷）已知函数 及其导函数 的定义域均为R，记 若 均为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
27．（2021·新高考Ⅱ卷）已知函数 的定义域为 ， 为偶函数， 为奇函数，则（ ）
A． B． C． D．
考点7:指对幂运算
28．（2024·北京）记水的质量为，并且d越大，水质量越好．若S不变，且，，则与的关系为（ ）
A．
B．
C．若，则；若，则；
D．若，则；若，则；
29．（2024·天津）若，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a>b>c B．b>a>c C．c>a>b D．b>c>a
30．（2024·全国甲卷）已知a＞1，，则a＝ ．
31．（2023·天津卷）若，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
32．（2023·北京卷）已知函数，则 ．
33．（2022·上海）下列幂函数中，定义域为R的是（ ）
A． B． C． D．
34．（2022·浙江）已知 ，则 （ ）
A．25 B．5 C． D．
35．（2022·天津市）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
36．（2021·新高考Ⅱ卷）写出一个同时具有下列性质①②③的函数 ．
① ；②当 时， ；③ 是奇函数．
37．（2020·天津）设 ，则 的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
38．（2020·新课标Ⅲ·文）设a=log32，b=log53，c= ，则（ ）
A．a21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)