2023-2024学年河南省驻马店市高二下学期7月期末质量监测数学试题（含答案）

2023-2024学年河南省驻马店市高二下学期7月期末质量监测数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角是( )
A. B. C. D. 不存在
2.函数在处的瞬时变化率为( )
A. B. C. D.
3.设，则( )
A. B. C. D.
4.某学校甲乙两个班级人数之比为，在一次测试中甲班的优秀率为，乙班的优秀率为，现从这两个班级中随机选取一名学生，则该学生优秀的概率为( )
A. B. C. D.
5.如图是边长为的正三角形，取各边的中点构成一个新三角形，依次做下去得到一系列三角形则前个三角形的外接圆面积之和为( )
A. B. C. D.
6.已知，分别是正四面体中棱，的中点，若点满足则与夹角的余弦值为( )
A. B. C. D.
7.已知双曲线的右焦点为，以为圆心，为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于，两点，若，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
8.若函数为定义域内的单调递增函数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.如图为函数的导函数图象，则以下说法正确的是( )
A. 在区间递增 B. 的递减区间是
C. 为函数极大值 D. 的极值点个数为
10.已知事件与发生的概率分别为，则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
11.点是抛物线的焦点，过点的直线与交于两点分别在两点作的切线与，记，则下列选项正确的是( )
A. 为直角三角形
B.
C.
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知等差数列满足，，则通项公式为 ．
13.二项分布和正态分布是两类常见的分布模型，在实际运算中二项分布可以用正态分布近似运算即：若随机变量，当充分大时，可以用服从正态分布的随机变量近似代替，其中的期望值和方差相同，一般情况下当时，就有很好的近似效果该方法也称为棣莫佛拉普拉斯极限定理如果随机抛一枚硬币次，设正面向上的概率为，则“正面向上的次数大于、小于”的概率近似为 结果保留三位小数参考数据：若，则，，
14.如图在四棱柱中，，并且直线的夹角为，距离为，则多面体的体积为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为向右移动的概率为若该质点每次移动一个单位长度，记经过，次移动后，该质点位于的位置．
当时，求，；
当时，求随机变量的分布列及数学期望．
16.本小题分
如图在三棱柱中，
证明：；
求二面角的平面角的正弦值．
17.本小题分
已知函数．
当时，求的单调区间；
若为的极大值点，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知椭圆点为上落在第一象限的动点，关于原点对称的点为，点在上满足．记直线，，的斜率分别为，，且满足．
证明：
求椭圆的离心率；
19.本小题分
将个实数排成行列的数阵形式

当时，若每一行每一列都构成等差数列，且，求该数阵中所有数的和．
已知，且每一行构成以为公差的等差数列，每一列构成为公差的等差数列，求这个数的和；
若且每一列均为公差为的等差数列，每一行均为等比数列已知，设求的值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：
当时，质点所能到达的位置必满足且为偶数，
若“”则表示四次移动中向右次，向左次，
因此．
．
当时，质点所能到达的位置必满足且为奇数，
因此随机变量的所有可能取值为，
因此随机变量的分布列为
，
，
，
，
，
，
因此随机变量的分布列为
所以随机变量的数学期望为
．

16.解：
如图，取的中点，连接，
由，得都是正三角形，
则，因此，又平面平面，
且，于是平面，又平面，
所以．
由知，平面平面，而平面平面，作于，
而平面，则平面，设，则有，
，，，
在平面内过点作，则平面，直线两两垂直，
以点为坐标原点，直线分别为建立空间直角坐标系，如图，
则，由，
得，，，
设平面的法向量，则，令，得
设平面的法向量，则，令，得，
设二面角的平面角为，则，
所以二面角的平面角的正弦值．

17.解：
当时，，定义域为，
则，
由，解得，由，解得，
因此的单调递增区间为，单调递减区间为．
记，，
则原问题等价于为的极大值点，求实数的取值范围．
因，则恒成立，
记，，，
则，
当时，恒成立，在上单调递增，
又因为，则当时，，即，所以单调递减；
当时，，即，所以单调递增，
此情况可得为的极小值点，与题意矛盾；
当时，若，即当时，则存在，使得在上恒成立，
即在上单调递增，也即在上单调递增，
由，从而可得，，单调递减；
，，单调递增，
此情况可得为的极小值点，与题意矛盾；
若，即时，在上单调递减，
，，单调递增；时，，单调递减，
因此恒有，也即恒成立，因此不是的极值点，与题意矛盾；
若，即时，则存在，使得在上恒成立，
在上单调递减，也即在上单调递减，
由，从而可得，，单调递增；
，，单调递减，
此情况可得为的极大值点，符合题意．
综上所述，满足条件的实数的取值范围为．

18.解：
证明：设点，，则，
点，在椭圆上，故满足椭圆的方程，
所以，
，，
，
所以．
因为，，
所以，又，所以，
即，所以，故离心率为．

19.解：
由题意，且每一行都成等差数列则有
，
，
，
设所有数之和为，则有，
又因为每一列成等差数列，故有，即．
设第行的和为，则有；
又因为每一列构成以为公差的等差数列，即有当时，，
即数列构成以为首项，为公差的等差数列，即有
由题意每一行均为等比数列，设第二行的公比为，则有，
又因为，故从而可得第二行的通项公式，
即有，又因为每一列均为公差为的等差数列，且，
可得，即，即有，从而有，
故
．

第1页，共1页