2023-2024学年四川省眉山市东坡区眉山映天学校等校高二下学期期末联考数学试题（含答案）

2023-2024学年眉山市眉山映天学校等校高二下学期期末联考
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如果函数的图象如图，那么导函数的图象可能是( )
A. B.
C. D.
2.为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”的党史知识竞赛，并将名师生的竞赛成绩满分分，成绩取整数整理成如图所示的频率分布直方图，估计这组数据的第百分位数为分
A. B. C. D.
3.从装有个白球、个红球的箱子中无放回地随机取两次，每次取一个球，表示事件“两次取出的球颜色相同”，表示事件“两次取出的球中至少有个是红球”，则( )
A. B. C. D.
4.下列说法中正确的有( )
在回归分析中，决定系数越大，说明回归模型拟合的效果越好
已知相关变量满足回归方程，则该方程对应于点的残差为
已知随机变量，若，则
以拟合一组数据时，经代换后的经验回归方程为，则
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
5.函数在处有极小值，则的值等于( )
A. B. C. D.
6.若有名女生和名男生到“山东旅发”大会的两个志愿服务站参加服务活动，分配时每个服务站均要求既有女生又有男生，则不同的分配方案种数为( )
A. B. C. D.
7.某地为了了解学生的睡眠时间，根据初中和高中学生的人数比例采用分层抽样，抽取了名初中生和名高中生，调查发现初中生每天的平均睡眠时间为小时，方差为，高中生每天的平均睡眠时间为小时，方差为，根据调查数据，估计该地区中学生睡眠时间的总体方差约为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若，且，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题中，正确的命题是( )
A. 随机变量服从二项分布，若，，则
B. 某投掷类游戏闯关规则是游戏者最多投掷次，只要有一次投中，游戏者即闯关成功，并停止投掷，已知每次投中的概率为，则游戏者闯关成功的概率为
C. 设随机变量服从正态分布，若，
D. 某人在次射击中，击中目标的次数为，，则当且仅当时概率最大
10.某厂生产一批零件，单个零件的尺寸单位：厘米服从正态分布，则附：，，( )
A. B.
C. D.
11.已知展开式的二项式系数和为，，下列选项正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在的二项展开式中，只有第项的二项式系数最大，则展开式中的系数为 用数字作答
13.某学校为普及垃圾分类知识，增强学生的垃圾分类意识，在全校范围内举办垃圾分类知识竞赛通过选拔，仅有甲、乙两名选手进入决赛决赛采用积分制，规则为：抢答道题，每题分，答对得分，答错自己不得分，对方得分选手是否抢到试题是等可能的，且回答对错互不影响，得分高的获胜已知甲、乙两名选手答对每道题的概率分别为，记事件为“答第一道题，甲选手得分”，则 ，记甲选手的得分为单位，分， ．
14.若函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，每小题12分，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.已知函数．
求函数的单调区间．
求函数在上的值域．
16.通过调查，某市小学生、初中生、高中生的肥胖率分别为，，已知该市小学生、初中生、高中生的人数之比为，若从该市中小学生中，随机抽取名学生．
求该学生为肥胖学生的概率
在抽取的学生是肥胖学生的条件下，求该学生为高中生的概率．
17.为了了解高中学生课后自主学习数学时间分钟每天和他们的数学成绩分的关系，某实验小组做了调查，得到一些数据表一．
编号
学习时间
数学成绩
求数学成绩与学习时间的相关系数精确到；
请用相关系数说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求出关于的回归直线方程，并由此预测每天课后自主学习数学时间为分钟时的数学成绩参考数据：，的方差为
基于上述调查，某校提倡学生周末在校自主学习．经过一学期的实施后，抽样调查了位学生．按照是否参与周末在校自主学习以及成绩是否有进步统计，得到列联表表二依据表中数据及小概率值的独立性检验，分析“周末在校自主学习与成绩进步”是否有关．
没有进步 有进步 合计
参与周末在校自主学习
未参与周末不在校自主学习
合计
附：，
．
18.已知函数其中，
当时，求函数的图像在点处的切线方程
当时，若恒成立，求的取值范围．
19.年寒假期间新冠肺炎肆虐，全国人民众志成城抗击疫情．某市要求全体市民在家隔离，同时决定全市所有学校推迟开学．某区教育局为了让学生“停课不停学”，要求学校各科老师每天在网上授课，每天共分钟，请学生自主学习．区教育局为了了解高三学生网上学习情况，上课几天后在全区高三学生中采取随机抽样的方法抽取了名学生进行问卷调查，为了方便表述把学习时间在分钟的学生称为类，把学习时间在分钟的学生称为类，把学习时间在分钟的学生称为类，随机调查的名学生学习时间的人数频率分布直方图如图所示：
以频率估计概率回答下列问题：
求名学生中，，三类学生分别有多少人？
在，，三类学生中，按分层抽样的方法从上述个学生中抽取人，并在这人中任意邀请人电话访谈，求邀请的人中是类的学生人数的分布列和数学期望；
某校高三班有名学生，某天语文和数学老师计划分别在和在线上与学生交流，由于受校园网络平台的限制，每次只能个人同时在线学习交流．假设这两个时间段高三班都有名学生相互独立地随机登录参加学习交流．设有位同学参加语文或数学学习交流，当为多少时，其概率最大．
参考答案
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14.
15.解：函数的定义域为，
又，
由，解得或；由，解得．
故函数 的单调递增区间为和；
函数的单调递减区间为．
由可得在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值即最小值，所以，
又，，所以，
所以函数在上的值域为．

16.解：记“任取名中小学生是肥胖学生”，
“学生为小学生”，“学生为初中生”，“学生为高中生”．
则，且，，两两互斥，
由题意得，，，
，，．
由全概率公式，
得
，
即随机抽取名学生，该学生为肥胖学生的概率为
“抽取的学生是肥胖学生且为高中生”，
则，
所以，
即在抽取的学生是肥胖学生的条件下，该学生为高中生的概率为．
17. 解：，，
又的方差为，
；
由知接近，故与之间具有极强的线性相关关系，
可用线性回归直线方程模型进行拟合，
，
，
故，当时，，
故预测每天课后自主学习数学时间达到分钟时的数学成绩为分；
零假设为：学生周末在校自主学习与成绩进步无关．
根据数据，计算得到：
因为，
所以依据的独立性检验，可以认为“周末自主学习与成绩进步”有关．

18.解：当时，，，则，
而，所以切线方程为，即．
当时，由，得，即恒成立，
设，则，
设，则，故在上单调递增，
又因为，所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
则，
则，即的取值范围为．
19.解：类学生有：人，
类学生有：人，
类学生有：人．
，
故从类中抽人，类中抽人，类中抽人．
设邀请的三人中是类的学生人数为，则可取，，，．
，，
，．
所以的分布列为
所以．
学生随机独立参加语文或数学在线辅导所包含的基本事件总数为，
当时，由韦恩图可知，
只参加语文辅导的人数为，
语文和数学都参加辅导的人数为．
事件所包含的基本事件的总数为，
所以，
则，
所以
．
又因为，所以．
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