苏科版九年级数学下册试题 5.2.1 二次函数的图像与性质（y=ax2、y=ax2 k，a≠0）（含详解）

5.2.1 二次函数的图像与性质（y=ax2、y=ax2+k，a≠0）
一．单选题
1．关于二次函数y＝﹣x2的图象及其性质的说法错误的是（　　）
A．开口向下 B．顶点是原点
C．对称轴是y轴 D．y随x的增大而减小
2．若二次函数y＝ax2的图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（　　）
A．（2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣4，2） D．（4，﹣2）
3．已知抛物线y＝ax2（a＞0）过A（﹣2，y1）、B（﹣1，y2）两点，则下列关系式一定正确的是（　　）
A．y1＞y2＞0 B．y2＞y1＞0 C．y1＞0＞y2 D．y2＞0＞y1
4．已知点（x1，﹣7）和点（x2，﹣7）（其中x1≠x2）均在抛物线y＝ax2上，则当x＝x1+x2时，y值是（　　）
A．0 B．﹣3.5 C．﹣7 D．﹣14
5．如图，ab＞0时，当二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+a的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
6．如图，正方形OABC的顶点B在抛物线y＝x2的第一象限的图象上，若点B的横坐标与纵坐标之和等于6，则对角线AC的长为（　　）
A．2 B．2 C．2 D．
7．二次函数y＝﹣x2+3的图象的顶点坐标是（　　）
A．（0，0） B．（0，3） C．（0，﹣3） D．（3，0）
8．在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝ax+c和二次函数y＝a（x+c）2的图象大致为（　　）
A． B．
C． D．
二．填空题
9．关于二次函数 y＝﹣x2．
（1）其图象开口向　　，对称轴是　　，顶点坐标为　　，当x＞0时，y随x的增大而　　，当x＜0时，y随x的增大而　　，当x＝　　时，y有最　　值，其值是　　．
（2）若A（﹣2，y1），B（﹣1，y2），C（﹣3，y3）为函数图象上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是　　．
10．如图所示四个二次函数的图象中，分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2．则a、b、c、d的大小关系为　　．
11．如图，抛物线y＝x2与矩形ABCD交于E、F两点，y=x2与矩形ABCD交于A、D两点，y=﹣x2与矩形ABCD交于B、C两点，若点A的横坐标为﹣1，则图中阴影部分面积的和为　　．
12．如图，四边形OABC是边长为1的正方形，OC与x轴正半轴的夹角为15°，点B在抛物线y＝ax2（a＜0）的图象上，则a的值为　　．
13．与抛物线y＝﹣x2+3的图象形状相同，但开口方向不同，顶点坐标是（0，﹣2）的抛物线解析式是　　　　．
三．解答题
14．已知函数y＝（m+2）是关于x的二次函数．
求：（1）满足条件的m值；
（2）当m为何值时，抛物线有最低点？求出此最低点，在这种情况下，当x为何值时，y随着x增大而增大？
15．有一座桥，桥孔的形状是一条开口向下的抛物线y＝﹣x2
（1）画出桥孔抛物草图；
（2）利用图象求：当水平线离开抛物线顶点2米时，水面的宽是多少米？
（3）利用图象求：当水面宽为6米时，水平线离顶点的距离为多少米？（精确到0.1米）
16．已知二次函数y＝ax2的图象经过点A（，）、B（3，m）．
（1）求a与m的值；
（2）当﹣2＜x＜4时，函数值y的取值范围．
17．不画函数y＝﹣x2和y＝﹣x2+1的图象，回答下面的问题：
（1）抛物线y＝﹣x2+1经过怎样的平移才能得到抛物线y＝﹣x2？
（2）函数y＝﹣x2+1，当x　　时，y随x的增大而减小；当x　　时，函数y有最大值，最大值y是　　；其图象与y轴的交点坐标是　　；与x轴的交点坐标是　　．
（3）试说出抛物线y＝x2﹣3的开口方向、对称轴和顶点坐标．
18．如图所示，直线l经过点A（4，0）和B（0，4）两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内交于P点，若△AOP的面积为4．
（1）求点P的坐标；
（2）求二次函数的解析式；
（3）能否将抛物线y＝ax2上下平移，使平移后的抛物线经过点A？如果能，请求出平移后的解析式；如果不能，请说明理由．
19．如图，已知抛物线y＝ax2+c过点（﹣2，2），（4，5），过定点F（0，2）的直线l；y＝kx+2与抛物线交于A，B两点，点B在点A的右侧，过点B作x轴的垂线，垂足为点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）当点B在抛物线上运动时，判断线段BF与BC的数量关系，并证明你的判断．
20．如图，垂直于x轴的直线AB分别与抛物线C1：y＝x2（x≥0）和抛物线C2：y＝x2（x≥0）交于A、B两点，过点A作CD∥x轴分别与y轴和抛物线C2交于点C、D，过点B作BE∥x轴分别与y轴和抛物线C1交于点E、F，求S△OFB：S△EAD的值．
21．如图，直线l过x轴上一点A（2，0），且与抛物线y＝ax2相交于B，C两点，B点坐标为（1，1）．
（1）求直线AB的表达式及抛物线y＝ax2的表达式．
（2）求点C的坐标．
（3）点P（m，y1）在直线AB上，点Q（m，y2）在抛物线y＝ax2上．若y2＜y1，直接写出m的取值范围．
（4）若抛物线上有一点D（在第一象限内）使得S△AOD＝S△OBC，求D点坐标．
（5）在x轴上是否存在一点P，使△POC为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
22．如图1，抛物线y＝ax2+b的顶点坐标为（0，﹣1），且经过点A（﹣2，0）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图2，若将抛物线y＝ax2+b中在x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方，x轴上方的图象保持不变，就得到了函数y＝|ax2+b|，P是y＝|ax2+b|图象上的任意一点，直线l是经过（0，1）且平行于x轴的直线，过点P作直线l的垂线，垂足为D，猜想并探究：PO与PD的差是否为定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由．
23．如图，已知抛物线y＝ax2+c过点（﹣4，5），（1，）过定点F（0，2）的直线l：y＝kx+2与抛物线交于A、B两点，点B在点A的右侧，过点B作x轴的垂线，垂足为C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设点D（a，0）在x轴上运动，连接FD，作FD的垂直平分线与过点D作x轴的垂线交于点I，判断点I是否在抛物线y＝ax2+c，并证明你的判断；
（3）若k＝1，设AB的中点为M，抛物线上是否存在点P，使得△PMF周长最小，若存在求出周长的最小值，若不存在说明理由；
（4）若B（2+2，4+2），在抛物线上是否存在点Q，使得△QAB的面积为4，若存在求出点Q的坐标，若不存在说明理由．
答案
一．单选题
1．
【详解】解：A、由a＝﹣＜0知开口向下，此选项正确；
B、顶点坐标为（0，0），此选项正确；
C、对称轴是直线x＝0，即y轴，此选项正确；
D、在y轴的左侧y随x的增大而增大，在y轴的右侧，y随x的增大而减小，此选项错误．
故选：D．
2．
【详解】解：∵二次函数y＝ax2的对称轴为y轴，
∴若图象经过点P（﹣2，4），则该图象必经过点（2，4）．
故选：A．
3．
【详解】解：∵抛物线y＝ax2（a＞0），
∴x＜0时，y随x的增大而减小，
∵﹣2＜﹣1＜0，
∴y1＞y2＞0．
故选：A．
4．
【详解】解：∵抛物线y＝ax2的对称轴为y轴，点（x1，﹣7）和点（x2，﹣7）（x1≠x2）均在抛物线y＝ax2上，
∴x＝x1+x2＝0，
将x＝0代入y＝ax2，则y＝0．
故选：A．
5．
【详解】解：当a＞0时，b＞0，二次函数开口向上，一次函数交y轴的正半轴，且呈上升趋势，没有符合题意的选项；
当a＜0时，b＜0，二次函数开口向下，一次函数交y轴的负半轴，且呈下降趋势，A选项符合，B选项不符合．
故选：A．
6．
【详解】解：设点B的横坐标为为a，
∵点B的横坐标与纵坐标之和等于6，
∴点B的纵坐标为6﹣a，
∵点B在抛物线y＝x2的第一象限的图象上，
∴6﹣a＝a2，
解得：a1＝﹣3（不合题意，舍去），a2＝2，
∴6﹣a＝4，
∴点B的坐标为（2，4），
如图，连接OB，
则OB＝＝2，
∵四边形OABC是正方形，
∴AC＝OB＝2．
故选：C．
7．
【详解】解：∵二次函数的表达式为y＝﹣x2+3，
∴二次函数y＝﹣x2+3的顶点坐标是（0，3）．
故选：B．
8．
【详解】解：A、函数y＝ax+c中，a＞0，c＞0，y＝a（x+c）2中，a＜0，c＜0，故A错误；
B、函数y＝ax+c中，a＜0，c＞0，y＝a（x+c）2中，a＜0，c＞0，故B正确；
C、函数y＝ax+c中，a＞0，c＜0，y＝a（x+c）2中，a＞0，c＞0，故C错误；
D、函数y＝ax+c中，a＜0，c＞0，y＝a（x+c）2中，a＞0，c＜0，故D错误．
故选：B．
二．填空题
9．解：（1）∵ y＝﹣x2，
∴该图象开口向下，对称轴是y轴，顶点坐标为 （0，0），当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大，当x＝0时，y有最小值，其值是0．
故答案为：下，y轴，（0，0），减小，增大，0，小，0；
（2）∵当x＜0时，y随x的增大而增大，﹣3＜﹣2＜﹣1，
∴y3＜y1＜y2．
故答案为：y3＜y1＜y2．
10．
【详解】解：∵直线x＝1与四条抛物线的交点从上到下依次为（1，a），（1，b），（1，d），（1，c），
∴a＞b＞d＞c．
11．
【详解】解：∵点A的横坐标为﹣1，
∴y＝×（﹣1）2＝，y＝﹣×（﹣1）2＝﹣，
∴点A（﹣1，），B（﹣1，﹣），
∴AB＝﹣（﹣）＝，
根据二次函数的对称性，BC＝1×2＝2，
阴影部分的面积＝S矩形ABCD＝×2×＝．
故答案为：．
12．
【详解】解：如图，连接OB，
∵四边形OABC是边长为1的正方形，
∴∠BOC＝45°，OB＝，
过点B作BD⊥x轴于D，
∵OC与x轴正半轴的夹角为15°，
∴∠BOD＝45°﹣15°＝30°，
∴BD＝OB＝，
OD＝＝，
∴点B的坐标为（，﹣），
∵点B在抛物线y＝ax2（a＜0）的图象上，
∴a（）2＝﹣，
解得：a＝﹣．
故答案为：﹣．
13．
【详解】解：∵形状与抛物线y＝﹣x2+3的图象形状相同，但开口方向不同，
∴设抛物线的关系式为y＝x2+k，
将顶点坐标是（0，﹣2）代入，解得：k＝﹣2，
∴y＝x2﹣2．
故答案为：y＝x2﹣2．
三．解答题
14．解：（1）∵函数y＝（m+2）是关于x的二次函数，
∴，解得：m1＝﹣3，m2＝2，
即m的值是﹣3或2；
（2）由（1）知，m＝﹣3或m＝﹣2，
∴m+2＝﹣1或m+2＝4，
∴当m＝2时，y＝4x2，该抛物线有最低点，
在这种情况下，该函数的最低点的坐标为（0，0），当x＞0时，y随x的增大而增大．
15．解：（1）函数图象如图所示：
（2）将y＝﹣2代入解析式得：﹣x2＝﹣2，解得：x1＝﹣2，x2＝2，
故水面的宽度＝2﹣（﹣2）＝4（米）；
（3）由抛物线的对称性可知：x1＝﹣3，x2＝3，
将x＝3代入得：y＝﹣×32＝﹣4.5（米）．
16．解：（1）把A（，）代入y＝ax2得：a×（）2＝，解得：a＝，
∴二次函数的解析式为y＝x2，
把B（3，m）代入函数解析式得：m＝×32＝；
（2）x＝4时，y＝×42＝8，x＝0时，y＝0，
∴当﹣2＜x＜4时，函数值y的取值范围0＜y＜8．
17．解：（1）根据抛物线平移的知识可知：
y＝﹣x2+1向下平移1个单位长度才能得到抛物线y＝﹣x2；
（2）函数y＝﹣x2+1，当x＞0时，y随x的增大而减小；
∵当x＝0时，y＝1，
∵当x＝0时，函数y有最大值，最大值y是1；其图象与y轴的交点坐标是（0，1）；
∵当y＝0时，﹣x2+1＝0，解得：x＝±1，
∴与x轴的交点坐标是（﹣1，0），（1，0）．
故答案为：＞0；＝0；1；（0，1）；（﹣1，0），（1，0）；
（3）抛物线y＝x2﹣3开口向上，对称轴为x＝0即y轴，顶点坐标为（0，﹣3）．
18．解：（1）设直线l的解析式为：y＝kx+b，
∵直线l过点A（4，0）和B（0，4）两点，
∴4k+b＝0，b＝4，
∴k＝﹣1，b＝4，
∴y＝﹣x+4，
∵△AOP的面积为4，
∴×4×yp＝4，
∴yp＝2，
∴2＝﹣x+4，解得：x＝2，
∴点P的坐标为（2，2）；
（2）把点P（2，2）代入y＝ax2得：2＝a×（2）2，解得：a＝，
∴二次函数的解析式为y＝x2；
（3）能，理由如下：
设将抛物线y＝x2上下平移后的解析式为y＝x2+m，
把点A（4，0）代入得：y＝×42+m，解得：m＝﹣8，
∴能将抛物线y＝ax2向下平移8个单位长度，使平移后的抛物线经过点A，
平移后的解析式为：y＝x2﹣8．
19．解：（1）把点（﹣2，2），（4，5）代入y＝ax2+c得：，解得：，
∴抛物线解析式为y＝x2+1；
（2）BF＝BC，
证明：设B（x，x2+1），而BC⊥x轴，F（0，2），
∴BC＝x2+1，BF2＝x2+（x2+1﹣2）2＝x2+（x2﹣1）2＝（x2+1）2，
∴BF＝x2+1，
∴BF＝BC．
20．解：设点A、B横坐标为a，则点A纵坐标为a2，点B的纵坐标为，
∵BE∥x轴，
∴点F纵坐标为，
∵点F是抛物线y＝x2上的点，
∴点F横坐标为x＝＝a，
∵CD∥x轴，
∴点D纵坐标为a2，
∵点D是抛物线y＝上的点，
∴点D横坐标为x＝＝2a，
∴AD＝a，BF＝a，CE＝a2，OE＝a2，
∴S△OFB：S△EAD＝（ BF OE）：（ AD CE）＝×＝．
故答案为：．
21．解：（1）把B（1，1）代入y＝ax2得a＝1，
∴抛物线解析式为y＝x2，
设直线AB的解析式为y＝kx+b，
把A（2，0），B（1，1）代入得：，解得：，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+2；
（2）解方程组得：或，
∴C点坐标为（﹣2，4）；
（3）若y2＜y1，m的取值范围为﹣2＜m＜1；
（4）S△COB＝S△COA﹣S△AOB＝×2×4﹣×2×1＝3．
设D（t，t2）（t＞0），
∵S△AOD＝S△COB，
∴ 2 t2＝3，解得：t＝或t＝﹣（舍去），
∴D（，3）；
（5）由（2）可知：C（﹣2，4）、B（1，1），
∴OC＝＝2．
①当OC＝OP＝2时，P1（﹣2，0），P2（2，0）；
②当OP＝PC时，点P是线段OC的垂直平分线与x轴的交点．
∵C（﹣2，4），
∴OC中点D的坐标是（﹣1，2），
∴直线PD的解析式为：y＝x+，
则易得：P3（﹣5，0）；
③当OC＝PC＝2时，P4（﹣4，0）．
综上，点P的坐标为：P1（﹣2，0），P2（2，0），P3（﹣5，0），P4（﹣4，0）．
22．解：（1）根据题意，设抛物线解析式为y＝ax2﹣1，
将点A（﹣2，0）代入得：4a﹣1＝0，解得：a＝，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣1；
（2）不一定是定值，理由如下：
根据点的对称性，翻折后的抛物线表达式为y＝﹣x2+1，
①设点P（m，﹣m2+1），则点D（m，1），即点P在AB之间的抛物线上时，即﹣2＜m＜2，
由勾股定理得：OP＝＝m2+1，
∵PD＝1﹣（﹣m2+1）＝m2，
∴PO﹣PD＝1；
②设点P（m，m2﹣1），则点D（m，1），即点P在AB两侧的抛物线上，且m＞2或m＜﹣2时，
由勾股定理得：OP＝＝m2+1，
∵PD＝（m2﹣1）﹣1＝m2﹣2，
∴PO﹣PD＝3；
③设点P（m，m2﹣1），则点D（m，1），即点P在AB两侧的抛物线上，且2＜m≤2或﹣2≤m＜﹣2时，
由勾股定理得：OP＝＝m2+1，
∵PD＝1﹣（m2﹣1）＝2﹣m2，
∴PO﹣PD＝m2﹣1，
∴PO﹣PD随着m的变化而变化．
综上：PO﹣PD的值不一定是定值．
23．解：（1）由题意得：，解得：，
∴抛物线解析式为y＝x2+1；
（2）如图1，过I作IH⊥y轴于点H，
设I（a，y），则IH＝a，FH＝y﹣2，IF＝ID＝y，
在Rt△IHF中，IF2＝IH2+FH2，
∴y2＝a2+（y﹣2）2，即y＝a2+1，
∴点I在抛物线y＝x2+1；
（3）存在，最小值为4+2，理由如下：
若k＝1，设AB的中点为M，则，解得中点M的坐标为：（2，4），
∴FM＝2，
由（2）可知，抛物线上的点到点F的距离等于它到x轴的距离，
设抛物线上存在点P，使得△PMF周长最小，如图2，过点P作PP'⊥x轴于点P′，
∵FM+PM+PF＝FM+PM+PP′，
∵FM是定值，PM+PP'≥MP'．
∴当MP⊥x轴时，PM+PP′＝MP′，此时P、M、P′共线，△PMF周长最小，
∴点P（2，2），
∴MP′＝4，
∴△PMF周长最小的最小值为：4+2；
（4）存在，点Q的坐标为（2，2）或（﹣2，2）或（6，10），理由如下：
如图3，设R（x，yR）、Q（x，yQ），A（xA，yA），B（xB，yB），
将点B的坐标代入y＝kx+2得：k＝1，
∴点A（2﹣2，4﹣2），
∴xB﹣xA＝4，
∴S△QAB＝S△AQR+S△BQR＝QR （xR﹣xA）+QR （xB﹣xR）＝QR （xB﹣xA）＝×4×QR＝4，解得：QR＝2，
QR＝|yR﹣yQ|＝|x+2﹣（x2+1）|＝|﹣x2+x+1|＝2，
当﹣x2+x+1＝2时，解得：x＝2，故点Q的坐标为（2，2）；
当﹣x2+x+1＝﹣2时，解得：x＝﹣2或6，故点Q的坐标为（﹣2，2）或（6，10）．
综上，点Q的坐标为（2，2）或（﹣2，2）或（6，10）．