苏科版九年级数学下册试题 5.2.2 二次函数的图像与性质（y=a(x-h)2、y=a(x-h)2 k，a≠0）（含详解）

5.2.2 二次函数的图像与性质（y=a(x-h)2、y=a(x-h)2+k，a≠0）
一．单选题
1．某抛物线满足：当x＞3时，y随x的增大而增大；当x＜3时，y随x的增大而减小，则该抛物线可能为（　　）
A．y＝（x+3）2 B．y＝﹣（x+3）2 C．y＝（x﹣3）2 D．y＝﹣（x﹣3）2
2．已知二次函数y＝2（x﹣3）2+1，下列说法错误的是（　　）
A．开口向上 B．顶点坐标为（3，1）
C．最小值为1 D．与y轴交点为（0，1）
3．若二次函数y＝2（x﹣1）2﹣1的图象如图所示，则坐标原点可能是（　　）
A．点M B．点N C．点P D．点Q
4．抛物线y＝2（x﹣1）2+c过（﹣2，y1），（0，y2），（，y3）三点，则y1，y2，y3的大小关系是（　　）
A．y2＞y3＞y1 B．y1＝y3＞y2 C．y1＞y3＞y2 D．y3＞y1＞y2
5．二次函数y＝﹣（x+a）2﹣2的最大值是（　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
6．抛物线y＝﹣2（x+1）2+3向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式（　　）
A．y＝﹣2（x﹣2）2+1 B．y＝﹣2（x+4）2+1
C．y＝﹣2（x+4）2+5 D．y＝﹣2（x﹣2）2+5
7．将函数y＝﹣（x﹣2）2+3的图象绕原点O旋转180°，得到新的二次函数解析式为（　　）
A．y＝﹣（x+2）2﹣3 B．y＝（x+2）2﹣3
C．y＝（x﹣2）2﹣3 D．y＝﹣（x﹣2）2﹣3
8．已知一个二次函数y＝a（x﹣h）2+k（a≠0）的图象经过点（2，2），顶点为（﹣1，﹣1），将该函数图象向右平移，当他再次经过点（2，2）时，所得抛物线表达式为（　　）
A．y＝﹣（x﹣5）2+1 B．y＝（x﹣5）2﹣1
C．y＝（x+4）2﹣10 D．y＝3（x﹣7）2﹣1
9．已知二次函数y＝（x﹣a）2+a﹣1（a为常数），则对如下两个结论的判断正确的是（　　）
①不论a为何值，函数图像的顶点始终在一条直线上；
②当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围为a≥2．
A．两个都对 B．两个都错 C．①对②错 D．①错②对
10．已知，抛物线y＝a（x+1）2的顶点为A，图象与y轴负半轴交点为B，且OB＝OA，若点C（﹣4，b）在抛物线上，则△ABC的面积为（　　）
A．6 B．7 C．8 D．9
二．填空题
11．已知二次函数y＝3（x﹣5）2，当x分别取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x＝时，函数值为　　．
12．在平面直角坐标系中，二次函数y＝（x﹣3）2图象的顶点为A，与y轴交于点B，若在该二次函数图象上取点C，在x轴上取点D，使得四边形ABCD为平行四边形，则点D的坐标为　　．
13．如图，已知正方形ABCD中，A（1，1），B（1，2），C（2，2），D（2，1），有一抛物线y＝﹣（x+1）2向上平移m个单位（m＞0）与正方形ABCD的边（包括四个顶点）有交点，则m的取值范围是　　．
14．二次函数y＝﹣4（x+3）2﹣1中，图象是　　，开口　　，对称轴是直线　　，顶点坐标是　　，当x　　时，函数y随着x的增大而增大，当x　　时，函数y随着x的增大而减小．当x＝　　时，函数y有最　　值是　　．
15．已知二次函数y＝﹣（x﹣5）2+1，当﹣1≤x≤6时，函数的最小值为　　．
16．已知二次函数y＝3（x﹣a）2+k，若当x＞3时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是　　．
17．已知二次函数y＝（x﹣h）2+1（h为常数），在自变量x的值满足0≤x≤2的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为　　．
18．当1≤x≤4时，直线y＝m与抛物线y＝（x﹣2）2﹣3在自变量x取值范围内的图象有两个交点，则m的取值范围是　　．
三．解答题
19．已知函数y＝4x2，y＝4（x+1）2和y＝4（x﹣1）2．
（1）在同一平面直角坐标系中画出它们的图象；
（2）分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标；
（3）试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数y＝4x2的图象得到函数y＝4（x+1）2和函数y＝4（x﹣1）2的图象；
（4）分别说出各个函数的性质．
20．如图，将抛物线y＝x2向右平移a个单位长度，顶点为A，与y轴交于点B，且△AOB为等腰直角三角形．
（1）求a的值；
（2）在图中的抛物线上是否存在点C，使△ABC为等腰直角三角形？若存在，直接写出点C的坐标，并求S△ABC；若不存在，请说明理由．
21．已知抛物线y＝a（x﹣3）2+2的图象经过点（1，﹣6）．
（1）求a的值及顶点坐标；
（2）若点A（m，y1）、B（n，y2）（m＜n＜3）都在该抛物线上，请直接写出y1与y2的大小．
22．把二次函数y＝a（x﹣h）2+k的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数y＝﹣（x+1）2﹣1的图象．
（1）试确定a，h，k的值；
（2）指出二次函数y＝a（x﹣h）2+k图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
答案
一．单选题
1．
【详解】解：∵由当x＞3时，y随x的增大而增大；当x＜3时，y随x的增大而减小，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝3．
故选：C．
2．
【详解】解：抛物线y＝2（x﹣3）2+1中a＞0，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（3，1），
∴当x＝3时，y有最小值1，
∵当x＝0时，y＝19，
∴抛物线与y轴交点为（0，19），故D错误．
故选：D．
3．
【详解】解：∵y＝2（x﹣1）2﹣1，
∴抛物线顶点坐标为（1，﹣1），
∴坐标原点可能是点M．
故选：A．
4．
【详解】解：∵二次函数y＝2（x﹣1）2+c，开口向上，对称轴x＝1，
在图象上的三点（﹣2，y1），（0，y2），（，y3），点（﹣2，y1）离对称轴的距离最远，点（0，y2）离对称轴的距离最近，
∴y1＞y3＞y2．
故选：C．
5．
【详解】解：∵二次函数y＝﹣（x+a）2﹣2，
∴抛物线开口向下，顶点是抛物线的最高点，
∴当x＝﹣a时，y有最大值是﹣2．
故选：A．
6．
【详解】解：将抛物线y＝﹣2（x+1）2+3向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为：y＝﹣2（x+1﹣3）2+3﹣2，即y＝﹣2（x﹣2）2+1．
故选：A．
7．
【详解】解：二次函数y＝﹣（x﹣2）2+3的顶点坐标为（2，3），点（2，3）关于原点对称的点的坐标为（﹣2，﹣3），所以新抛物线的解析式为y＝（x+2）2﹣3．
故选：B．
8．
【详解】解：∵顶点为（﹣1，﹣1），
∴抛物线解析式为：y＝a（x+1）2﹣1（a≠0）．
把P（2，2）代入得：2＝a（2+1）2﹣1，解得：a＝．
∴原来的抛物线解析式是：y＝（x+1）2﹣1．
设平移后的抛物线解析式为：y＝（x﹣b）2﹣1．
把点（2，2）代入得：2＝（2﹣b）2﹣1，解得：b＝﹣1（舍去）或b＝5．
∴平移后抛物线的解析式是：y＝（x﹣5）2﹣1．
故选：B．
9．
【详解】解：∵y＝（x﹣a）2+a﹣1，
∴抛物线顶点坐标为（a，a﹣1），
∴抛物线顶点在直线y＝x﹣1上，①正确；
∵抛物线开口向上，顶点坐标为（a，a﹣1），
∴x＜a时，y随x增大而减小，x＞a时，y随x增大而增大，
∵当﹣1＜x＜2时，y随x的增大而增大，
∴a≤﹣1，②不正确．
故选：C．
10．
【详解】解：∵y＝a（x+1）2的顶点为（﹣1，0），
∴OA＝OB＝1，
∴点B坐标为（0，﹣1），
把（0，﹣1）代入y＝a（x+1）2得：﹣1＝a，
∴y＝﹣（x+1）2，
把（﹣4，b）代入y＝﹣（x+1）2得：b＝﹣9，
∴点C坐标为（﹣4，﹣9），
∴S△ABC＝S△AOC+S△BOC﹣S△ABO＝OA |yC|+OB |xC|﹣AO BO＝×1×9+×1×4﹣×1×1＝6．
故选：A．
二．填空题
11．
【详解】解：∵二次函数y＝3（x﹣5）2，
∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x＝5，
∵当x分别取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，
∴当x＝＝5时，此时函数值为0．
故答案为：0．
12．【详解】解：∵二次函数y＝（x﹣3）2，
∴该函数的顶点坐标为（3，0），
∴点A的坐标（3，0），
∵当x＝0时，y＝9，
∴点B的坐标为（0，9），
∵四边形ABCD为平行四边形，点C在二次函数图象上，点D在x轴上，
∴点C（6，9），BC＝AD，
∴BC＝6，
∴AD＝6，
∴点D的横坐标为：3+6＝9，
∴点D的坐标为（9，0）．
故答案为：（9，0）．
13．
【详解】解：设平移后的解析式为y＝﹣（x+1）2+m，
将A点坐标代入得：﹣4+m＝1，解得：m＝5，
将C点坐标代入得：﹣9+m＝2，解得：m＝11，
∵y＝﹣（x+1）2向上平移m个单位（m＞0）与正方形ABCD的边（包括四个顶点）有交点，
∴m的取值范围是5≤m≤11．
故答案为：5≤m≤11．
14．
【详解】解：∵二次函数y＝﹣4（x+3）2﹣1，
∴图象是抛物线，开口方向向下，
对称轴为x＝﹣3，顶点坐标为（﹣3，﹣1），
当x＜﹣3时，函数y随着x的增大而增大，
当x＞﹣3时，函数y随着x的增大而减小，
当x＝﹣3时，函数y有最大值是﹣1．
故答案为：抛物线、向下、x＝﹣3、（﹣3，﹣1）、＜﹣3、＞﹣3、﹣3、大、﹣1．
15．
【详解】解：∵抛物线开口向下，对称轴为直线x＝5，抛物线顶点坐标为（5，1），
∴在﹣1≤x≤6范围内，当x＝﹣1时，函数有最小值：y＝﹣36+1＝﹣35．
故答案为：﹣35．
16．
【详解】解：二次函数y＝3（x﹣a）2+k的对称轴为直线x＝a，
∴当x＞a时，y的值随x值的增大而增大，
∵当x＞3时，y随x的增大而增大，
∴a≤3．
故答案为：a≤3．
17．
【详解】解：∵当x＞h时，y随x的增大而增大，当x＜h时，y随x的增大而减小，
∴①若h＜0≤x≤2，x＝0时，y取得最小值5，
可得：（0﹣h）2+1＝5，
解得：h＝﹣2或h＝2（舍）；
②若0≤x≤2＜h，当x＝2时，y取得最小值5，
可得：（2﹣h）2+1＝5，
解得：h＝4或h＝0（舍）；
③若0＜h＜2时，当x＝h时，y取得最小值为1，不是5，
∴此种情况不符合题意，舍去．
综上，h的值为﹣2或4．
故答案为：﹣2或4．
18．
【详解】解：∵抛物线y＝（x﹣2）2﹣3，
∴抛物线开口向上，对称轴是直线x＝2，顶点坐标为（2，﹣3），
令x＝0，则y＝1，
令y＝0，则（x﹣2）2﹣3＝0，解得：x1＝2﹣，x2＝2+，
∴抛物线与x轴的交点为（2﹣，0）和（2+，0），与y轴交点为（0，1），
∵当x＝1时，y＝﹣2，当x＝4时，y＝1，
∴抛物线的图象如图所示：
由图象知：当﹣3＜m≤﹣2时，直线y＝m与抛物线y＝（x﹣2）2﹣3在1≤x≤4内图象有两个交点．
故答案为：﹣3＜m≤﹣2．
三．解答题
19．解：（1）如图所示：
（2）y＝4x2开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为（0，0），
y＝4（x+1）2开口向上，对称轴为x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，0），
y＝4（x﹣1）2开口向上，对称轴为x＝1，顶点坐标为（1，0）；
（3）y＝4（x+1）2由抛物线y＝4x2向左平移1个单位，
y＝4（x﹣1）2由抛物线y＝4x2向右平移1个单位；
（4）y＝4x2当x＜0时y随着x的增大而减小，当x＞0时y随着x的增大而增大，
y＝4（x+1）2当x＜﹣1时y随着x的增大而减小，当x＞﹣1时y随着x的增大而增大，
y＝4（x﹣2）2当x＜1时y随着x的增大而减小，当x＞1时y随着x的增大而增大．
20．解：（1）平移后的抛物线的解析式为y＝（x﹣a）2，顶点坐标A（a，0），
令y＝（x﹣a）2中x＝0，则y＝a2，
∴B（0，a2）．
∵△AOB为等腰直角三角形，
∴a＝a2，解得：a＝1或a＝0（舍去），
故a的值为1；
（2）存在，理由如下：
如图，作点B关于抛物线对称轴对称的点C，连接BC，交抛物线的对称轴于点D，
∵△AOB为等腰直角三角形，
∴△ABD为等腰直角三角形，
∴∠BAD＝45°，
∵AD为抛物线的对称轴，
∴AB＝AC，∠CAD＝∠BAD＝45°，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∵点B（0，1），抛物线对称轴为x＝1，
∴点C的坐标为（2，1），
此时，S△ABC＝AB AC＝××＝1，
故在图中的抛物线上存在点C，使△ABC为等腰直角三角形，点C的坐标为（2，1）且S△ABC＝1．
21．解：（1）∵y＝a（x﹣3）2+2，
∴抛物线顶点坐标为（3，2），
将（1，﹣6）代入y＝a（x﹣3）2+2得：﹣6＝4a+2，
解得：a＝﹣2；
（2）∵y＝﹣2（x﹣3）2+2，
∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝3，
∴x＜3时，y随x增大而增大，
∵m＜n＜3，
∴y1＜y2．
22．解：（1）∵二次函数y＝﹣（x+1）2﹣1的图象的顶点坐标为（﹣1，﹣1），
把点（﹣1，﹣1）先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到点的坐标为（1，﹣5），
∴原二次函数的解析式为y＝﹣（x﹣1）2﹣5，
∴a＝﹣，h＝1，k＝﹣5；
（2）二次函数y＝a（x﹣h）2+k，即y＝﹣（x﹣1）2﹣5的图象开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣5）．