苏科版九年级数学下册试题 6.2 黄金分割（含详解）

6.2 黄金分割
一．单选题
1．已知点P是线段AB的黄金分割点，且AP＞BP，则下列比例式能成立的是（　　）
A．＝ B．＝ C．＝ D．＝
2．在设计人体雕像时，使雕像的上部（腰以上）与下部（腰以下）的高度比，等于下部与全部（全身）的高度比，可以增加视觉美感．按此比例，如果雕像的高为3m，那么它的下部应设计为多高？设它的下部设计高度为xm，根据题意，列方程正确的是（　　）
A．x2＝3（x﹣3） B．x2＝3（3﹣x） C．x2＝3 D．x2＝3﹣x
3．已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝6，那么AP的长是（　　）
A．3﹣3 B．2﹣ C．2﹣1 D．﹣2
4．矩形的两条相邻的边的长分别为a、b，下列数据能构成黄金矩形（宽与长的比为黄金比的矩形）的是（　　）
A．a＝4，b＝+2 B．a＝4，b＝﹣2
C．a＝4，b＝2+4 D．a＝4，b＝2﹣2
5．如图，C是AB的黄金分割点（AC＞CB），BG＝AB，以CA为边的正方形的面积为S1，以BC、BG为边的正方形的面积为S2，则S1与S2的关系为（　　）
A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．无法判断
6．如图，点E是正方形ABCD的边AB边上的黄金分割点，且AE＞EB，S1表示AE为边长的正方形面积，S2表示以BC为长，BE为宽的矩形面积，S3表示正方形ABCD除去S1和S2剩余的面积，S3：S2的值为（　　）
A． B． C． D．
7．“双减”期间，某校音乐社团购买了一种乐器，如图．乐器上的一根弦AB＝60cm，两个端点A，B固定在乐器板面上，支撑点C是靠近点B的黄金分割点，支撑点D是靠近点A的黄金分割点，则C，D之间的距离为（　　）
A．（30﹣30）cm B．（60﹣30）cm
C．（100﹣30）cm D．（60﹣120）cm
二．填空题
8．大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”（黄金比为≈0.618），如图，P为AB的黄金分割点（AP＞BP），如果AB的长度为10cm，那么较长线段AP的长度为　　　　cm（结果精确到0.1）．
9．已知点C是线段AB的黄金分割点，若AB＝8，则线段AC的长为　　　　．
10．当一个人的上半身（肚脐以上的高度）与下半身（肚脐以下的高度）的比值越接近黄金分割比0.618时，越给人一种美感．某位参加空姐选拔的选手身高165cm，上半身长65cm，那么她应穿　　　　cm的鞋子才更美？（精确到1cm）．
11．已知线段AB，点P是它的黄金分割点，AP＞BP，设以AP为边的等边三角形的面积为S1，以PB、AB为直角边的直角三角形的面积为S2，则S1与S2的关系是　　　　．
12．实数a，n，m，b满足a＜n＜m＜b，这四个数在数轴上对应的点分别为A，N，M，B，若AM2＝BM AB，BN2＝AN AB，则称m为a，b的“大黄金数”，n为a，b的“小黄金数”，当b﹣a＝4时，m﹣n＝　　　　．
13．黄金分割具有严格的比例性，蕴藏着丰富的美学价值，这一比值能够引起人们的美感．如图，连接正五边形ABCDE的各条对角线围成一个新的五边形MNPQR．图中有很多顶角为36°的等腰三角形，我们把这种三角形称为“黄金三角形”，黄金三角形的底与腰之比为．若DM＝2，则AB＝　　　　．
三．解答题
14．阅读下列材料，并按要求完成相应的任务：
黄金分割：两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯（Eudoxus，约前408年﹣﹣前355年）发现：如图1，将一条线段AB分割成长、短两条线段AP、PB，若短段与长段的长度之比等于长段的长度与全长之比，即＝（此时线段AP叫做线段PB，AB的比例中项），则可得出这一比值等于（0.618…）．这种分割称为黄金分割，这个比值称为黄金比，点P叫做线段AB的黄金分割点．
采用如下方法可以得到黄金分割点：如图2，设AB是已知线段，经过点B作BD⊥AB于点B，且使BD＝AB，连接DA，在DA．上截取DE＝DB，在AB上截取AC＝AE，C就是线段AB的黄金分割点．任务：
（1）求证：C是线段AB的黄金分割点．
（2）若BD＝1，则BC的长为　　　　．
15．再读教材：
宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：MN＝2）
第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．
第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．
第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图③中所示的AD处．
第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DE⊥ND，则图④中就会出现黄金矩形．
问题解决：
（1）图③中AB＝　　（保留根号）；
（2）如图③，判断四边形BADQ的形状，并说明理由；
（3）请写出图④中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由．
16．（如图1），点P将线段AB分成一条较小线段AP和一条较大线段BP，如果＝，那么称点P为线段AB的黄金分割点，设＝＝k，则k就是黄金比，并且k≈0.618．
（1）以图1中的AP为底，BP为腰得到等腰△APB（如图2），等腰△APB即为黄金三角形，黄金三角形的定义为：满足＝≈0.618的等腰三角形是黄金三角形；类似地，请你给出黄金矩形的定义：　　　　　　　　　　　　；
（2）如图1，设AB＝1，请你说明为什么k约为0.618；
（3）由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，类似地给出“黄金分割线”的定义：直线l将一个面积为S的图形分成面积为S1和面积为S2的两部分（设S1＜S2），如果＝，那么称直线l为该图形的黄金分割线．（如图3），点P是线段AB的黄金分割点，那么直线CP是△ABC的黄金分割线吗？请说明理由；
（4）图3中的△ABC的黄金分割线有几条？
17．二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式．
例如：化简：．
解：将分子、分写同乘以+1得＝＝+1．
类比应用：（1）化简：＝　　．
（2）化简：++…+．
拓展延伸：宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，如图①，已知黄金矩形ABCD的宽AB＝1．
（1）黄金矩形ABCD的长BC＝　　　　；
（2）如图②，将图①中的黄金矩形裁剪掉一个以AB为边的正方形ABEF，得到新的矩形DCEF，猜想矩形DCEF是否为黄金矩形，并证明你的结论；
（3）在图②中，连接AE，则点D到线段AE的距离为　　　　．
18．如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠BOC＝108°，过点C作直线CD分别交直线AB和⊙O于点D、E，连接OE，DE＝AB，OD＝2．
（1）求∠CDB的度数；
（2）我们把有一个内角等于36°的等腰三角形称为黄金三角形．它的腰长与底边长的比（或者底边长与腰长的比）等于黄金分割比．
①写出图中所有的黄金三角形，选一个说明理由；
②求弦CE的长；
③在直线AB或CD上是否存在点P（点C、D除外），使△POE是黄金三角形？若存在，画出点P，简要说明画出点P的方法（不要求证明）；若不存在，说明理由．
答案
一．单选题
1．
【详解】解：根据黄金分割定义可知：AP是AB和BP的比例中项，
∴AP2＝AB BP，
∴＝．
故选：C．
2．
【详解】解：设雕像的下部设计高度为xm，
∵雕像的高为3m，
∴雕像上部设计高度为（3﹣x）m，
∵雕像的上部与下部的高度比等于下部与全部的高度比，
∴＝，
∴x2＝3（3﹣x）．
故选：B．
3．
【详解】解：由于P为线段AB＝6的黄金分割点，
且AP是较长线段；
则AP＝6×＝3﹣3．
故选：A．
4．
【详解】解：∵宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，
∴当a＝4，b＝+2时，＝＝4﹣8，故A不合题意；
当a＝4，b＝﹣2时，＝，故B不合题意；
当a＝4，b＝2+4时，＝＝2﹣4，故C不合题意；
当a＝4，b＝2﹣2时，＝＝，故D符合题意．
故选：D．
5．
【详解】解：根据黄金分割的概念和正方形的性质知：AC2＝AB BC，
＝＝＝＝1，即S1＝S2．
故选：C．
6．
【详解】解：设AB＝a，
∵点E是边AB边上的黄金分割点，AE＞EB，
∴AE＝AB＝a，
∴BE＝AB﹣AE＝a﹣a＝a，
∴S3：S2＝＝．
故选：C．
7．
【详解】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，点D是靠近点A的黄金分割点，AB＝60cm，
∴AC＝BD＝AB＝×60＝（30﹣30）（cm），
∴CD＝AC﹣（AB﹣BD）＝2BD﹣AB＝（60﹣120）（cm）．
故选：D．
二．填空题
8．
【详解】解：∵P为AB的黄金分割点（AP＞PB），AB＝10cm，
∴AP＝AB≈0.618×10≈6.2（cm）．
故答案为：6.2．
9．【详解】解：∵点C是线段AB的黄金分割点，AB＝8，
∴AC＝AB＝4﹣4，或AC＝8﹣（4﹣4）＝12﹣4．
故答案为：4﹣4或12﹣4．
10．【详解】解：设某位参加空姐选拔的选手应穿xcm的鞋子才更美，
根据题意，得：≈0.618，解得：x≈5，符合题意，
∴某位参加空姐选拔的选手应穿5cm的鞋子才更美．
故答案为：5．
11．【详解】解：∵点P是它的黄金分割点，AP＞BP，
∴AP：AB＝PB：AP，即AP2＝PB AB，
∵S1＝×AP×AP＝AP2，S2＝AB PB，
∵＜，
∴AP2＜AB PB，
∴S1＜S2．
故答案为：＜．
12．
【详解】解：由题意得：AB＝b﹣a＝4，
设AM＝x，则BM＝4﹣x，
∵AM2＝BM ABx2＝4（4﹣x），
解得：x＝﹣2±2，x1＝﹣2+2，x2＝﹣2﹣2（舍），
∴AM＝BN＝2﹣2，
∴MN＝m﹣n＝AM+BN﹣4＝2AM﹣4＝2（2﹣2）﹣4＝4﹣8．
故答案为：4﹣8．
13．
【详解】解：∵五边形内角和（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠EDC＝108°，∠DCE＝∠DEC＝36°，
∴△CDM为黄金三角形，
∴＝，
∵DM＝2，
∴CD＝+1，
∴AB＝+1．
故答案为：+1．
三．解答题
14．（1）证明：设BD＝x，则AB＝2x，
由勾股定理得：AD＝x，
∵DE＝BD＝x，
∴AC＝AE＝AD﹣DE＝AD﹣BD＝（﹣1）x，
∴＝，
∴C是线段AB的黄金分割点；
（2）解：当BD＝1时，
由（1）知AB＝2，AC＝﹣1，
∴BC＝AB﹣AC＝2﹣（﹣1）＝3﹣，
故答案为：3﹣．
15．解：（1）∵四边形MNCB是正方形，
∴NC＝MN＝2，
由折叠的性质得：AC＝NC＝1，
在Rt△ABC中，AB＝＝＝；
故答案为：；
（2）四边形BADQ是菱形，理由如下：
证明：由折叠可知：AB＝AD，BQ＝BD，∠BAQ＝∠DAQ，
∵BQ∥AD，
∴∠AQB＝∠DAQ，
∴∠AQB＝∠BAQ，
∴AB＝BQ，
即AD＝AB＝BQ＝BD，
∴四边形BADQ为菱形；
（3）图④中的黄金矩形有：矩形BCDE，矩形MNDE，理由如下：
∵AD＝AB＝，AN＝AC＝1，
∴CD＝﹣1，ND＝+1，
∴＝，＝＝，
∴矩形BCDE，矩形MNDE是黄金矩形．
16．解：
（1）满足＝≈0.618的矩形是黄金矩形；
（2）由＝k得：BP＝1×k＝k，则AP＝1﹣k，
由＝得：BP2＝AP×AB，
即k2＝（1﹣k）×1，解得：k＝，
∵k＞0，
∴k＝≈0.618；
（3）∵点P是线段AB的黄金分割点，
∴＝，
设△ABC的AB上的高为h，则＝＝，＝＝，
∴＝，
∴直线CP是△ABC的黄金分割线．
（4）由（3）知，在BC边上也存在这样的黄金分割点Q，则AQ也是黄金分割线，设AQ与CP交于点W，则过点W的直线均是△ABC的黄金分割线，故黄金分割线有无数条．
17．解：类比应用：（1）化简得：＝＝2+，
故答案为：2+；
（2）根据题意可得：
原式＝﹣1+﹣+…+﹣
＝﹣1+3
＝2；
拓展延伸：（1）∵宽与长的比是的矩形叫黄金矩形，
∵黄金矩形ABCD的宽AB＝1，
∴黄金矩形ABCD的长BC为：＝＝，
故答案为：；
（2）矩形DCEF是黄金矩形，理由如下：
由裁剪可知：AB＝AF＝BE＝EF＝CD＝1，
根据黄金矩形的性质可知：AD＝BC＝＝＝，
∴FD＝EC＝AD﹣AF＝﹣1＝，
∴＝＝，
∴矩形DCEF是黄金矩形；
（3）如图，连接AE，DE，过点D作DG⊥AE于点G，
∵AB＝EF＝1，AD＝，
∴AE＝＝，
在△AED中，S△AED＝×AD×EF＝×AE×DG，
即AD×EF＝AE×DG，则×1＝×DG，
解得：DG＝，
∴点D到线段AE的距离为，
故答案为：．
18．解：（1）∵AB是⊙O的直径，DE＝AB，
∴OA＝OC＝OE＝DE，
∴∠EOD＝∠CDB，∠OCE＝∠OEC，
设∠CDB＝x，则∠EOD＝x，∠OCE＝∠OEC＝2x，
又∵∠BOC＝108°，
∴∠CDB+∠OCD＝108°，
∴x+2x＝108，x＝36°，
∴∠CDB＝36°；
（2）①有三个：△DOE，△COE，△COD，理由如下：
∵OE＝DE，∠CDB＝36°，
∴△DOE是黄金三角形；
∵OC＝OE，∠COE＝180°﹣∠OCE﹣∠OEC＝36°．
∴△COE是黄金三角形；
∵∠COB＝108°，
∴∠COD＝72°；
又∵∠OCD＝2x＝72°，
∴∠OCD＝∠COD．
∴OD＝CD，
∴△COD是黄金三角形；
②∵△COD是黄金三角形，
∴＝，
∵OD＝2，
∴OC＝﹣1，
∵CD＝OD＝2，DE＝OC＝﹣1，
∴CE＝CD﹣DE＝2﹣（﹣1）＝3﹣；
③存在，有三个符合条件的点P1、P2、P3，
如图所示：
ⅰ以OE为底边的黄金三角形：作OE的垂直平分线分别交直线AB、CD得到点P1、P2；
ⅱ以OE为腰的黄金三角形：点P3与点A重合．