苏科版九年级数学下册试题 6.4.2 探索三角形相似的条件——两角分别相等的两个三角形相似（含详解）

6.4.2 探索三角形相似的条件——两角分别相等的两个三角形相似
一．单选题
1．下列四组图形中不一定相似的是（　　）
A．有一个角等于40°的两个等腰三角形
B．有一个角为50°的两个直角三角形
C．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形
D．有一个角是60°的两个等腰三角形
2．在△ABC中，∠ACB＝90°，用直尺和圆规在AB上确定点D，使△ACD∽△CBD，根据作图痕迹判断，正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，在△ABC中，BC的垂直平分线MN交AB于点D，CD恰好平分∠ACB．若AD＝2，BD＝3，则AC的长是（　　）
A． B．3 C．2 D．6
4．如图，正方形ABCD中，E是CD的中点，AE、BC的延长线交于点F，AE的垂直平分线分别交AE、BC于点H、G，连接EG，则与△FEC相似的三角形个数为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题
5．如图，D，E分别是△ABC边AB，AC上的点，∠ADE＝∠ACB，若AD＝2，AB＝6，AC＝4，则AE＝　　．
6．如图，已知∠1＝∠2，请添加一个条件后，能够判定△ABC∽△ADE，这个条件可以是　　．（写出一个条件即可）
7．如图，P是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一点，过点P作直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，满足这样条件的直线共有　　条．
8．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝30cm，BC＝25cm，动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2cm/s；动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1cm/s，若P、Q同时出发，点P运动到点A时，P、Q两点同时停止运动，在　　s时，△ABC与△PQC相似．
9．如图，正方形ABCD中，M为BC上一点，ME⊥AM，ME交AD的延长线于点E．若AB＝15，BM＝8，则DE的长为　　．
10．如图，已知半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切，切点分别为D、E、C，半径OC＝1，则AE BE＝　　．
三．解答题
11．如图矩形ABCD中，E为BC上一点，DF⊥AE于F．
（1）求证：△ABE∽△DFA；
（2）若AB＝6，AD＝12，BE＝8，求DF的长．
12．在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点D是BC边上一点，过点D作∠ADE＝45°，DE交AC于点E，求证：△ABD∽△DCE．
13．如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，点P在射线AD上，过P作PF⊥AE于F，设PA＝x．
（1）求证：△PFA∽△ABE；
（2）若以P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似，试求x的值．
14．如图，AD是⊙O的直径，BA＝BC，BD交AC于点E，点F在DB的延长线上，且∠BAF＝∠C．
（1）求证：AF是⊙O的切线；
（2）若BC＝2，BE＝4，求⊙O半径r．
15．如图，△ABC是边长为6cm等边三角形，动点P、Q同时从A、B出发，分别沿AB、BC方向匀速运动，其中点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/s，当点Q到达点C时，P、Q两点停止运动，在运动过程中作QR∥BA交AC于点R，连接PR，设运动的时间为t（s），求当t等于多少s时△APR∽△PRQ．
16．如图，在△ABC纸板中，AC＝8，BC＝4，AB＝10，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，求AP长的取值范围．
17．我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形．若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“内似线”．
（1）等边三角形“内似线”的条数为　　；
（2）如图，△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且AD＝BD＝BC，求证：BD是△ABC的“内似线”；
（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，E、F分别在边AC、BC上，且EF是△ABC的“内似线”，求EF的长．
18．【初步尝试】
（1）如图①，在三角形纸片ABC中，∠ACB＝90°，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，则AM与BM的数量关系为　　；
【思考说理】
（2）如图②，在三角形纸片ABC中，AC＝BC＝6，AB＝10，将△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，求的值；
【拓展延伸】
（3）如图③，在三角形纸片ABC中，AB＝9，BC＝6，∠ACB＝2∠A，将△ABC沿过顶点C的直线折在，使点B落在边AC上的点B'处，折痕为CM．
①求线段AC的长；
②若点O是边AC的中点，点P为线段OB'上的一个动点，将△APM沿PM折叠得到△A'PM，点A的对应点为点A'，A'M与CP交于点F，求的取值范围．
答案
一．单选题
1．
【详解】解：A中可能一个是底角为40°，另一个是顶角为40°，A不一定相似；
B中相当于两个角对应相等，B一定相似；
C中直角三角形，且有一锐角相等，C一定相似；
D中60°的等腰三角形即为等边三角形，D一定相似．
故本题选：A．
2．
【详解】解：当∠A＝∠BCD，∠ACD＝∠B时，△ACD∽△CBD，
∵∠ACB＝90°，
即∠A+∠B＝90°，
∴∠ACD+∠A＝90°，
∴∠ADC＝90°，
∴CD⊥AB．
故本题选：C．
3．
【详解】解：∵BC的垂直平分线MN交AB于点D，
∴CD＝BD＝3，
∴∠B＝∠DCB，AB＝AD+BD＝5，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACD＝∠DCB＝∠B，
∵∠A＝∠A，
∴△ACD∽△ABC，
∴，即，
解得，AC＝．
故本题选：A．
4．
【详解】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴EC∥AB，∠D＝∠DCB＝∠ECF＝90°，
∴△FEC∽△FAB，
∵∠AED＝∠FEC，DE＝CE，∠D＝∠ECF，
∴△ECF≌EDA（ASA），
∴△ECF∽EDA，
∵GH⊥AF，
∴∠FCE＝∠FHG，
∵∠F＝∠F，
∴△FCE∽△FHG．
故本题选：C．
二．填空题
5．
【详解】解：∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB，
∴，
∴，解得：AE＝3．
故本题答案为：3．
6．
【详解】解：∵∠1＝∠2，
∴∠1+∠BAE＝∠2+∠BAE，
∴∠BAC＝∠DAE，
∴添加的条件为∠B＝∠D或∠C＝∠AED或．
故本题答案为：∠B＝∠D或∠C＝∠AED或．
7．
【详解】解：∵△ABC是直角三角形，过P点作直线截△ABC，则截得的三角形与△ABC有一公共角，
∴只要再作一个直角即可使截得的三角形与Rt△ABC相似，
∵如图，过点P可作AB的垂线、AC的垂线、BC的垂线，
∴共3条直线．
故本题答案为：3．
8．
【详解】解：设x秒后△PCQ与△ABC相似，
当△PCQ∽△ACB时，，即，解得：x＝，
当△PCQ∽△BCA时，，即，解得：y＝，
即秒或秒后△PCQ与△ABC相似．
故本题答案为：或．
9．
【详解】解：如图，
∵四边形ABCD是正方形，AB＝15，BM＝8，
∴MC＝15﹣8＝7，
∵ME⊥AM，
∴∠AME＝90°，
∴∠AMB+∠CMG＝90°．
∵∠AMB+∠BAM＝90°，
∴∠BAM＝∠CMG，
∵∠B＝∠C＝90°，
∴△ABM∽△MCG，
∴，
∴，解得：CG＝，
∴DG＝15﹣＝，
∵AE∥BC，
∴∠E＝CMG，∠C＝∠EDG，
∴△MCG∽△EDG，
∴，
∴，
∴DE＝．
故本题答案为：．
10．
【详解】解：如图，连接OE，
∵半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切，切点分别为D、E、C，
∴OE⊥AB，AD⊥CD，BC⊥CD，∠OAD＝∠OAE，∠OBC＝∠OBE，
∴AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC＝180°，
∴∠OAB+∠OBA＝90°，即∠AOB＝90°，
∵∠OAE+∠AOE＝90°，∠AOE+∠BOE＝90°，
∴∠OAE＝∠BOE，
∵∠AEO＝∠OEB＝90°，
∴△AEO∽△OEB，
∴，
∴AE BE＝OE2＝1．
故本题答案为1．
三．解答题
11．（1）证明：∵DF⊥AE，
∴∠AFD＝90°＝∠B，
又∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠DAF，
∴△ABE∽△DFA；
（2）解：∵AB＝6，BE＝8，∠B＝90°，
∴AE＝10．
∵△ABE∽△DFA，
∴，即，
∴DF＝7.2．
12．证明：如图，
∵∠BAC＝90°，AB＝AC，
∴△ABC为等腰直角三角形，
∴∠B＝∠C＝45°，
∴∠1+∠2＝180°﹣∠B＝135°，
∵∠ADE＝45°，
∴∠2+∠3＝135°，
∴∠1＝∠3，
∵∠B＝∠C，
∴△ABD∽△DCE．
13．（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD∥BC，∠B＝90°，
∴∠PAF＝∠AEB，
又∵PF⊥AE，
∴∠PFA＝90°＝∠B，
∴△PFA∽△ABE；
（2）解：情况1，当△EFP∽△ABE，且∠PEF＝∠EAB时，PE∥AB，
∴四边形ABEP为矩形，
∴PA＝EB＝2，即x＝2；
情况2，当△PFE∽△ABE，且∠PEF＝∠AEB时，
∵∠PAF＝∠AEB，
∴∠PEF＝∠PAF，
∴PE＝PA，
∵PF⊥AE，
∴点F为AE的中点．
∵，
∴．
∵，即，
∴PE＝5，即x＝5．
综上，满足条件的x的值为2或5．
14．（1）证明：∵AD是⊙O的直径，
∴∠ABD＝90°，
∴∠BAD+∠D＝90°，
∵∠BAF＝∠C，∠C＝∠D，
∴∠BAF＝∠D，
∴∠BAD+∠BAF＝90°，即∠FAD＝90°，
∴AF⊥AD，
∵AD是⊙O的直径，
∴AF是⊙O的切线；
（2）解：∵BA＝BC，
∴弧BA＝弧BC，
∴∠BAC＝∠C，
∵∠C＝∠D，
∴∠BAC＝∠D，即∠BAE＝∠D，
又∵∠ABE＝∠DBA，
∴△ABE∽△DBA；
∴，
∵AB＝BC＝2，BE＝4，
∴BD＝＝6，
∴AD＝＝＝2，
∴⊙O半径r＝．
15．
解：∵△ABC是边长为6cm等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，
∵QR∥BA，
∴∠CRQ＝∠A＝60°，
∴△CRQ为等边三角形，
∵点P运动的速度是1cm/s，点Q运动的速度是2cm/sv
∴AP＝t，PB＝6﹣t，BQ＝2t，CQ＝CR＝RQ＝6﹣2t，AR＝2t，
∵QR∥BA，
∴∠QRP＝∠APR，
若要△APR∽△PRQ，则需满足∠RPQ＝60°，
∴∠ARP+∠APR＝120°，∠BPQ+∠APR＝120°，
∴∠ARP＝∠BPQ，
又∵∠A＝∠B，
∴△APR∽△BQP，
∴，
∴，解得：t＝1.2．
故本题答案为1.2．
16.解：①如图，过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB，
此时0＜AP＜8；
②如图，过P作∠APF＝∠B交AB于F，则△APF∽△ABC，
此时0＜AP≤8；
③如图，过P作∠CPG＝∠CBA交BC于G，则△CPG∽△CBA，
当点G与点B重合时，CG×CB＝CP×CA，CB2＝CP×CA，即42＝CP×8，
∴CP＝2，AP＝6，
∴此时，6≤AP＜8；
综上，要有4种不同的剪法，使得过点P沿直线剪下一个与△ABC相似，则AP长的取值范围是6≤AP＜8．
故本题答案为：6≤AP＜8．
17.解：（1）等边三角形“内似线”的条数为3条，理由如下：
如图1，过等边三角形的内心分别作三边的平行线，
则△AMN∽△ABC，△CEF∽△CBA，△BGH∽△BAC，
∴MN、EF、GH是等边三角形ABC的内似线”，
故本题答案为：3；
（2）证明：∵AB＝AC，BD＝BC＝AD，
∴∠ABC＝∠C＝∠BDC，∠A＝∠ABD，
∴△BCD∽△ABC，
∴∠CBD＝∠A，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴BD平分∠ABC，即BD过△ABC的内心，
∴BD是△ABC的“内似线”；
（3）解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，BC＝5，由勾股定理可得AB＝13，
设D是△ABC的内心，连接CD，
则CD平分∠ACB，
∵EF是△ABC的“内似线”，
∴△CEF与△ABC相似；
分两种情况：①当时，EF∥AB，
如图2，过点D作DN⊥BC于点N，
∴DN∥AC，且DN是Rt△ABC的内切圆半径，
∴DN＝（AC+BC﹣AB）＝2，
∵CD平分∠ACB，
∴，
∵DN∥AC，
∴，即，解得：CE＝，
∵EF∥AB，
∴△CEF∽△CAB，
∴，即，解得：EF＝；
②当时，同理可得：，解得：EF＝；
综上，EF＝．
18.解：（1）如图①中，
∵△ABC折叠，使点B与点C重合，折痕为MN，
∴MN垂直平分线段BC，
∴CN＝BN，∠MNB＝90°＝∠ACB，
∴MN∥AC，
∵CN＝BN，
∴AM＝BM，
故本题答案为：AM＝BM；
（2）如图②中，
∵CA＝CB＝6，
∴∠A＝∠B，
根据题意，MN垂直平分线段BC，
∴BM＝CM，
∴∠B＝∠BCM，
∴∠BCM＝∠A，
∵∠B＝∠B，
∴△BCM∽△BAC，
∴，
∴，
∴BM＝，
∴AM＝AB﹣BM＝10﹣＝，
∴；
（3）①如图③中，
由折叠的性质可知，CB＝CB′＝6，∠BCM＝∠B′CM，
∵∠ACB＝2∠A，
∴∠BCM＝∠B′CM＝∠A，
∴AM＝CM，
∵∠B＝∠B，
∴△BCM∽△BAC，
∴，
∴，
∴BM＝4，
∴AM＝5＝CM，
∴，
∴AC＝；
②如图③﹣1中，
∵∠A＝∠A′＝∠MCF，∠PFA′＝∠MFC，
∴△PFA′∽△MFC，
∴，
∵CM＝5，
∴，
∵点P在线段OB上运动，OA＝OC＝，AB′＝﹣6＝，PA＝PA′，
∴≤PA′≤，
∴．