6.4.2 探索三角形相似的条件——两角分别相等的两个三角形相似
一.单选题
1.下列四组图形中不一定相似的是( )
A.有一个角等于40°的两个等腰三角形
B.有一个角为50°的两个直角三角形
C.直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形
D.有一个角是60°的两个等腰三角形
2.在△ABC中,∠ACB=90°,用直尺和圆规在AB上确定点D,使△ACD∽△CBD,根据作图痕迹判断,正确的是( )
A. B.
C. D.
3.如图,在△ABC中,BC的垂直平分线MN交AB于点D,CD恰好平分∠ACB.若AD=2,BD=3,则AC的长是( )
A. B.3 C.2 D.6
4.如图,正方形ABCD中,E是CD的中点,AE、BC的延长线交于点F,AE的垂直平分线分别交AE、BC于点H、G,连接EG,则与△FEC相似的三角形个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二.填空题
5.如图,D,E分别是△ABC边AB,AC上的点,∠ADE=∠ACB,若AD=2,AB=6,AC=4,则AE= .
6.如图,已知∠1=∠2,请添加一个条件后,能够判定△ABC∽△ADE,这个条件可以是 .(写出一个条件即可)
7.如图,P是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一点,过点P作直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似,满足这样条件的直线共有 条.
8.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=30cm,BC=25cm,动点P从点C出发,沿CA方向运动,速度是2cm/s;动点Q从点B出发,沿BC方向运动,速度是1cm/s,若P、Q同时出发,点P运动到点A时,P、Q两点同时停止运动,在 s时,△ABC与△PQC相似.
9.如图,正方形ABCD中,M为BC上一点,ME⊥AM,ME交AD的延长线于点E.若AB=15,BM=8,则DE的长为 .
10.如图,已知半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切,切点分别为D、E、C,半径OC=1,则AE BE= .
三.解答题
11.如图矩形ABCD中,E为BC上一点,DF⊥AE于F.
(1)求证:△ABE∽△DFA;
(2)若AB=6,AD=12,BE=8,求DF的长.
12.在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D是BC边上一点,过点D作∠ADE=45°,DE交AC于点E,求证:△ABD∽△DCE.
13.如图,正方形ABCD的边长为4,E是BC边的中点,点P在射线AD上,过P作PF⊥AE于F,设PA=x.
(1)求证:△PFA∽△ABE;
(2)若以P,F,E为顶点的三角形也与△ABE相似,试求x的值.
14.如图,AD是⊙O的直径,BA=BC,BD交AC于点E,点F在DB的延长线上,且∠BAF=∠C.
(1)求证:AF是⊙O的切线;
(2)若BC=2,BE=4,求⊙O半径r.
15.如图,△ABC是边长为6cm等边三角形,动点P、Q同时从A、B出发,分别沿AB、BC方向匀速运动,其中点P运动的速度是1cm/s,点Q运动的速度是2cm/s,当点Q到达点C时,P、Q两点停止运动,在运动过程中作QR∥BA交AC于点R,连接PR,设运动的时间为t(s),求当t等于多少s时△APR∽△PRQ.
16.如图,在△ABC纸板中,AC=8,BC=4,AB=10,P是AC上一点,过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板,如果有4种不同的剪法,求AP长的取值范围.
17.我们知道,三角形的内心是三条角平分线的交点,过三角形内心的一条直线与两边相交,两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形.若有一个图形与原三角形相似,则把这条线段叫做这个三角形的“内似线”.
(1)等边三角形“内似线”的条数为 ;
(2)如图,△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且AD=BD=BC,求证:BD是△ABC的“内似线”;
(3)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=5,E、F分别在边AC、BC上,且EF是△ABC的“内似线”,求EF的长.
18.【初步尝试】
(1)如图①,在三角形纸片ABC中,∠ACB=90°,将△ABC折叠,使点B与点C重合,折痕为MN,则AM与BM的数量关系为 ;
【思考说理】
(2)如图②,在三角形纸片ABC中,AC=BC=6,AB=10,将△ABC折叠,使点B与点C重合,折痕为MN,求的值;
【拓展延伸】
(3)如图③,在三角形纸片ABC中,AB=9,BC=6,∠ACB=2∠A,将△ABC沿过顶点C的直线折在,使点B落在边AC上的点B'处,折痕为CM.
①求线段AC的长;
②若点O是边AC的中点,点P为线段OB'上的一个动点,将△APM沿PM折叠得到△A'PM,点A的对应点为点A',A'M与CP交于点F,求的取值范围.
答案
一.单选题
1.
【详解】解:A中可能一个是底角为40°,另一个是顶角为40°,A不一定相似;
B中相当于两个角对应相等,B一定相似;
C中直角三角形,且有一锐角相等,C一定相似;
D中60°的等腰三角形即为等边三角形,D一定相似.
故本题选:A.
2.
【详解】解:当∠A=∠BCD,∠ACD=∠B时,△ACD∽△CBD,
∵∠ACB=90°,
即∠A+∠B=90°,
∴∠ACD+∠A=90°,
∴∠ADC=90°,
∴CD⊥AB.
故本题选:C.
3.
【详解】解:∵BC的垂直平分线MN交AB于点D,
∴CD=BD=3,
∴∠B=∠DCB,AB=AD+BD=5,
∵CD平分∠ACB,
∴∠ACD=∠DCB=∠B,
∵∠A=∠A,
∴△ACD∽△ABC,
∴,即,
解得,AC=.
故本题选:A.
4.
【详解】解:∵四边形ABCD是正方形,
∴EC∥AB,∠D=∠DCB=∠ECF=90°,
∴△FEC∽△FAB,
∵∠AED=∠FEC,DE=CE,∠D=∠ECF,
∴△ECF≌EDA(ASA),
∴△ECF∽EDA,
∵GH⊥AF,
∴∠FCE=∠FHG,
∵∠F=∠F,
∴△FCE∽△FHG.
故本题选:C.
二.填空题
5.
【详解】解:∵∠ADE=∠ACB,∠A=∠A,
∴△ADE∽△ACB,
∴,
∴,解得:AE=3.
故本题答案为:3.
6.
【详解】解:∵∠1=∠2,
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE,
∴∠BAC=∠DAE,
∴添加的条件为∠B=∠D或∠C=∠AED或.
故本题答案为:∠B=∠D或∠C=∠AED或.
7.
【详解】解:∵△ABC是直角三角形,过P点作直线截△ABC,则截得的三角形与△ABC有一公共角,
∴只要再作一个直角即可使截得的三角形与Rt△ABC相似,
∵如图,过点P可作AB的垂线、AC的垂线、BC的垂线,
∴共3条直线.
故本题答案为:3.
8.
【详解】解:设x秒后△PCQ与△ABC相似,
当△PCQ∽△ACB时,,即,解得:x=,
当△PCQ∽△BCA时,,即,解得:y=,
即秒或秒后△PCQ与△ABC相似.
故本题答案为:或.
9.
【详解】解:如图,
∵四边形ABCD是正方形,AB=15,BM=8,
∴MC=15﹣8=7,
∵ME⊥AM,
∴∠AME=90°,
∴∠AMB+∠CMG=90°.
∵∠AMB+∠BAM=90°,
∴∠BAM=∠CMG,
∵∠B=∠C=90°,
∴△ABM∽△MCG,
∴,
∴,解得:CG=,
∴DG=15﹣=,
∵AE∥BC,
∴∠E=CMG,∠C=∠EDG,
∴△MCG∽△EDG,
∴,
∴,
∴DE=.
故本题答案为:.
10.
【详解】解:如图,连接OE,
∵半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切,切点分别为D、E、C,
∴OE⊥AB,AD⊥CD,BC⊥CD,∠OAD=∠OAE,∠OBC=∠OBE,
∴AD∥BC,
∴∠DAB+∠ABC=180°,
∴∠OAB+∠OBA=90°,即∠AOB=90°,
∵∠OAE+∠AOE=90°,∠AOE+∠BOE=90°,
∴∠OAE=∠BOE,
∵∠AEO=∠OEB=90°,
∴△AEO∽△OEB,
∴,
∴AE BE=OE2=1.
故本题答案为1.
三.解答题
11.(1)证明:∵DF⊥AE,
∴∠AFD=90°=∠B,
又∵AD∥BC,
∴∠AEB=∠DAF,
∴△ABE∽△DFA;
(2)解:∵AB=6,BE=8,∠B=90°,
∴AE=10.
∵△ABE∽△DFA,
∴,即,
∴DF=7.2.
12.证明:如图,
∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴△ABC为等腰直角三角形,
∴∠B=∠C=45°,
∴∠1+∠2=180°﹣∠B=135°,
∵∠ADE=45°,
∴∠2+∠3=135°,
∴∠1=∠3,
∵∠B=∠C,
∴△ABD∽△DCE.
13.(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AD∥BC,∠B=90°,
∴∠PAF=∠AEB,
又∵PF⊥AE,
∴∠PFA=90°=∠B,
∴△PFA∽△ABE;
(2)解:情况1,当△EFP∽△ABE,且∠PEF=∠EAB时,PE∥AB,
∴四边形ABEP为矩形,
∴PA=EB=2,即x=2;
情况2,当△PFE∽△ABE,且∠PEF=∠AEB时,
∵∠PAF=∠AEB,
∴∠PEF=∠PAF,
∴PE=PA,
∵PF⊥AE,
∴点F为AE的中点.
∵,
∴.
∵,即,
∴PE=5,即x=5.
综上,满足条件的x的值为2或5.
14.(1)证明:∵AD是⊙O的直径,
∴∠ABD=90°,
∴∠BAD+∠D=90°,
∵∠BAF=∠C,∠C=∠D,
∴∠BAF=∠D,
∴∠BAD+∠BAF=90°,即∠FAD=90°,
∴AF⊥AD,
∵AD是⊙O的直径,
∴AF是⊙O的切线;
(2)解:∵BA=BC,
∴弧BA=弧BC,
∴∠BAC=∠C,
∵∠C=∠D,
∴∠BAC=∠D,即∠BAE=∠D,
又∵∠ABE=∠DBA,
∴△ABE∽△DBA;
∴,
∵AB=BC=2,BE=4,
∴BD==6,
∴AD===2,
∴⊙O半径r=.
15.
解:∵△ABC是边长为6cm等边三角形,
∴∠A=∠B=∠C=60°,
∵QR∥BA,
∴∠CRQ=∠A=60°,
∴△CRQ为等边三角形,
∵点P运动的速度是1cm/s,点Q运动的速度是2cm/sv
∴AP=t,PB=6﹣t,BQ=2t,CQ=CR=RQ=6﹣2t,AR=2t,
∵QR∥BA,
∴∠QRP=∠APR,
若要△APR∽△PRQ,则需满足∠RPQ=60°,
∴∠ARP+∠APR=120°,∠BPQ+∠APR=120°,
∴∠ARP=∠BPQ,
又∵∠A=∠B,
∴△APR∽△BQP,
∴,
∴,解得:t=1.2.
故本题答案为1.2.
16.解:①如图,过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E,则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB,
此时0<AP<8;
②如图,过P作∠APF=∠B交AB于F,则△APF∽△ABC,
此时0<AP≤8;
③如图,过P作∠CPG=∠CBA交BC于G,则△CPG∽△CBA,
当点G与点B重合时,CG×CB=CP×CA,CB2=CP×CA,即42=CP×8,
∴CP=2,AP=6,
∴此时,6≤AP<8;
综上,要有4种不同的剪法,使得过点P沿直线剪下一个与△ABC相似,则AP长的取值范围是6≤AP<8.
故本题答案为:6≤AP<8.
17.解:(1)等边三角形“内似线”的条数为3条,理由如下:
如图1,过等边三角形的内心分别作三边的平行线,
则△AMN∽△ABC,△CEF∽△CBA,△BGH∽△BAC,
∴MN、EF、GH是等边三角形ABC的内似线”,
故本题答案为:3;
(2)证明:∵AB=AC,BD=BC=AD,
∴∠ABC=∠C=∠BDC,∠A=∠ABD,
∴△BCD∽△ABC,
∴∠CBD=∠A,
∴∠ABD=∠CBD,
∴BD平分∠ABC,即BD过△ABC的内心,
∴BD是△ABC的“内似线”;
(3)解:在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=12,BC=5,由勾股定理可得AB=13,
设D是△ABC的内心,连接CD,
则CD平分∠ACB,
∵EF是△ABC的“内似线”,
∴△CEF与△ABC相似;
分两种情况:①当时,EF∥AB,
如图2,过点D作DN⊥BC于点N,
∴DN∥AC,且DN是Rt△ABC的内切圆半径,
∴DN=(AC+BC﹣AB)=2,
∵CD平分∠ACB,
∴,
∵DN∥AC,
∴,即,解得:CE=,
∵EF∥AB,
∴△CEF∽△CAB,
∴,即,解得:EF=;
②当时,同理可得:,解得:EF=;
综上,EF=.
18.解:(1)如图①中,
∵△ABC折叠,使点B与点C重合,折痕为MN,
∴MN垂直平分线段BC,
∴CN=BN,∠MNB=90°=∠ACB,
∴MN∥AC,
∵CN=BN,
∴AM=BM,
故本题答案为:AM=BM;
(2)如图②中,
∵CA=CB=6,
∴∠A=∠B,
根据题意,MN垂直平分线段BC,
∴BM=CM,
∴∠B=∠BCM,
∴∠BCM=∠A,
∵∠B=∠B,
∴△BCM∽△BAC,
∴,
∴,
∴BM=,
∴AM=AB﹣BM=10﹣=,
∴;
(3)①如图③中,
由折叠的性质可知,CB=CB′=6,∠BCM=∠B′CM,
∵∠ACB=2∠A,
∴∠BCM=∠B′CM=∠A,
∴AM=CM,
∵∠B=∠B,
∴△BCM∽△BAC,
∴,
∴,
∴BM=4,
∴AM=5=CM,
∴,
∴AC=;
②如图③﹣1中,
∵∠A=∠A′=∠MCF,∠PFA′=∠MFC,
∴△PFA′∽△MFC,
∴,
∵CM=5,
∴,
∵点P在线段OB上运动,OA=OC=,AB′=﹣6=,PA=PA′,
∴≤PA′≤,
∴.