苏科版九年级数学下册 第6章 图形的相似 章节复习卷（含详解）

第6章《图形的相似》章节复习卷
一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．已知，则＝（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在中，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C坐标（　　）
A．（﹣1，﹣1） B．（﹣，﹣1） C．（﹣1，﹣） D．（﹣2，﹣1）
4．如图，在中，点分别在边上，与不平行，那么下列条件中，不能判定的是（ ）
A． B．
C． D．
5．的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的三角形，其最长边为12，则的周长是（ ）
A．54 B．36 C．27 D．21
6．如图，在ABC中，D、E分别为线段BC、BA的中点，设ABC的面积为S，EBD的面积为S．则=（ ）
A． B． C． D．
7．如图，某零件的外径为10cm，用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等）可测量零件的内孔直径AB．如果OA：OC=OB：OD=3，且量得CD=3cm，则零件的厚度x为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在中，，高，正方形一边在上，点分别在上，交于点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，点D为边上任一点，交于点E，连接相交于点F，则下列等式中不成立的是（ ）
A． B． C． D．
10．如图，点，将线段平移得到线段，若，则点D的坐标是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）
11.如图，直线l1∥l2∥l3，分别交直线m、n于点A、B、C、D、E、F，若AB：BC＝5：3，DE＝15，则EF的长为___．
12．如图，圆中扇子对应的圆心角（）与剩余圆心角的比值为黄金比时，扇子会显得更加美观，若黄金比取0.6，则的度数是__________．
13．如图，在中，，点是边上的一点，于，则边的长为_____．
14．如图，在中，，过点B作，垂足为B，且，连接CD，与AB相交于点M，过点M作，垂足为N．若，则MN的长为__________．
15．《墨子·天文志》记载：“执规矩，以度天下之方圆．”度方知圆，感悟数学之美．如图，正方形的面积为4，以它的对角线的交点为位似中心，作它的位似图形，若，则四边形的外接圆的周长为___________．
16．如图，在△ABC中，D在AC边上，AD：DC＝1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于E，则BE：EC＝___．
17．如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，E为CD的中点，连接AE、BD交于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝_____．
18．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，对角线AC，BD交于点O，已知，则_________．
三、解答题（本大题共6小题，共58分）
19．（8分）如图，在△ABC中，BD、CE分别是AC、AB上的中线，BD与CE相交于点O．
（1）利用尺规作图取线段CO的中点．（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）猜想CO与OE的长度有什么关系，并说明理由．
20．（8分）如图，点D是△ABC的边AB上一点，∠ABC＝∠ACD．
求证：△ABC∽△ACD；
当AD＝2，AB＝3时，求AC的长．
21．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，BC=8，点E、F是对角线BD上的两点，且BE=EF=FD，AE的延长线交BC于点G，GF的延长线交AD于点H．
（1）求HD的长；
（2）设的面积为a，求四边形AEFH的面积．（用含a的代数式表示）
22．（10分）如图，利用标杆测量楼高，点A，D，B在同一直线上，，，垂足分别为E，C．若测得，，，楼高是多少？
23．（10分）如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E，点F为BD延长线上一点，∠DAF＝∠B．
求证：AF是⊙O的切线；
若⊙O的半径为5，AD是AEF的中线，且AD＝6，求AE的长．
24．（12分）如图，折叠矩形OABC的一边BC，使点C落在OA边的点D处，已知折痕BE=5，且，以O为原点，OA所在的直线为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，抛物线l：y=－+c经过点E，且与AB边相交于点F．
（1）求证：△ABD∽△ODE；
（2）若M是BE的中点，连接MF，求证：MF⊥BD；
（3）P是线段BC上一点，点Q在抛物线l上，且始终满足PD⊥DQ，在点P运动过程中，能否使得PD=DQ？若能，求出所有符合条件的Q点坐标；若不能，请说明理由．
答案
一、单选题
1．D
【分析】由题意易得，进而问题可求解．
解：由可得：，
∴；
故选D．
2．C
【分析】由，，可得再建立方程即可．
解： ，，
，
解得：经检验符合题意
故选C
3．B
【分析】根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把A点的横纵坐标都乘以即可．
解：∵以点O为位似中心，位似比为，
而A （4，3），
∴A点的对应点C的坐标为（，﹣1）．
故选：B．
4．C
【分析】根据相似三角形的判定定理逐项判断即可求解．
解：根据题意得：∠A=∠A，
A、，可利用两角对应相等的两个三角形相似，故本选项不符合题意；
B、，可利用两角对应相等的两个三角形相似，故本选项不符合题意；
C、，不能判定两个三角形相似，故本选项符合题意；
D、，可利用两边对应成比例，及其夹角对应相等的两个三角形相似，故本选项不符合题意；
故选：C
5．C
【分析】根据相似三角形的性质求解即可．
解：∵△ABC与△DEF相似，△ABC的最长边为4，△DEF的最长边为12，
∴两个相似三角形的相似比为1:3，
∴△DEF的周长与△ABC的周长比为3:1，
∴△DEF的周长为3×（2+3+4）=27，
故选：C．
6．B
【分析】先判定，得到相似比为，再根据两个相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此解题即可．
解：∵D、E分别为线段BC、BA的中点，
∴，
又∵，
∴，相似比为，
∴，
故选：B．
7．B
【分析】求出△AOB和△COD相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算求出AB，再根据外径的长度解答．
解：∵OA：OC=OB：OD=3，∠AOB=∠COD，
∴△AOB∽△COD，
∴AB：CD=3，
∴AB：3=3，
∴AB=9（cm），
∵外径为10cm，
∴19+2x=10，
∴x=0.5（cm）．
故选：B．
8．B
【分析】证明△AEF∽△ABC，根据相似三角形对应边上的高线的比等于相似比即可求得．
解：∵四边形EFGH是正方形，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴．
设AN=x，则EF=FG=DN=60-x，
∴
解得：x=20
所以，AN=20．
故选：B．
9．C
【分析】根据平行线分线段成比例定理即可判断A，根据相似三角形的性质即可判断B、C、D．
解：∵，
∴，△DEF∽△CBF，△ADE∽△ABC，故A不符合题意；
∴，，故B不符合题意，C符合题意；
∴，故D不符合题意；
故选C．
10．D
【分析】先过点C做出轴垂线段CE，根据相似三角形找出点C的坐标，再根据平移的性质计算出对应D点的坐标．
解：
如图过点C作轴垂线，垂足为点E，
∵
∴
∵
∴∠ABO=∠BCE
在和中，
，
∴，
∴ ，
则 ,
∵点C是由点B向右平移6个单位，向上平移2个单位得到，
∴点D同样是由点A向右平移6个单位，向上平移2个单位得到，
∵点A坐标为(0，3)，
∴点D坐标为(6，5)，选项D符合题意，
故答案选D
11．9
【分析】直接根据平行线分线段成比例定理求解即可．
解：∵直线l1∥l2∥l3，
∴根据平行线分线段成比例定理可得：
∴，
解得：，
经检验，是上述分式方程的解，
故答案为：9．
12．90°
【分析】根据题意得出α=0.6β，结合图形得出β=225°，然后求解即可．
解：由题意可得：α：β=0.6，即α=0.6β，
∵α+β=360°，
∴0.6β+β=360°，
解得：β=225°，
∴α=360°-225°=135°，
∴β -α=90°，
故答案为：90°．
13．4.
【分析】根据射影定理列式计算即可．
解：由射影定理得，，
解得：，
故答案为．
14．
【分析】根据MN⊥BC,AC⊥BC,DB⊥BC，得 BNM: BCA, CNM: ABD ,可得,因为,列出关于MN的方程，即可求出MN的长．
解：∵MN⊥BC，DB⊥BC,
∴AC∥MN∥DB，
∴ BNM: BCA, CNM: ABD ，
∴
即,
又∵，
∴，
解得,
故填：．
15．
【分析】根据正方形ABCD的面积为4，求出，根据位似比求出，周长即可得出；
解：正方形ABCD的面积为4，
，
，
，
，
所求周长；
故答案为：．
16．1：3
【分析】作DFAE交BC于F，如图，利用OE∥DF得到＝1，所以BE＝EF，利用DFAE得到＝，所以CF＝2EF，然后计算BE：EC．
解：作DFAE交BC于F，如图，
∵OEDF，
∴＝1，
即BE＝EF，
∵DFAE，
∴＝，
∴CF＝2EF，
∴BE：EC＝BE：3BE＝1：3
故答案为1：3．
17．
【分析】根据矩形的性质得到AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝90°，根据线段中点的定义得到DE＝CD＝AB，根据相似三角形的判定证明△ABP∽△EDP，再利用相识三角形的性质和判定即可得到结论．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝90° ，
∵E为CD的中点，
∴DE＝CD＝AB，
∴△ABP∽△EDP，
∴＝，
∴＝，
∴＝，
∵PQ⊥BC，
∴PQ∥CD，
∴△BPQ∽△DBC，
∴＝＝，
∵CD＝2，
∴PQ＝，
故答案为：．
18．
【分析】先根据等高的两个三角形的面积比等于边长比，得出，再根据△AOD∽△COB得出，再根据等高的两个三角形的面积比等于边长比计算即可
解：作AE⊥BC，CF⊥BD
∵
∴△ABD和△BCD等高，高均为AE
∴
∵AD∥BC
∴△AOD∽△COB
∴
∵△BOC和△DOC等高，高均为CF
∴
∴
故答案为：
三、解答题
19．
解：（1）如图，点即为所求；
（2）．
理由：连接．如图，
、分别是、上的中线，
为的中位线，
，，
，
．
20．
（1）证明：∵∠ABC=∠ACD，∠A=∠A，
∴△ABC∽△ACD；
（2）解：∵△ABC∽△ACD，
∴，即，
∴AC=(负值已舍)．
∴AC的长为．
21．
解：（1）∵平行四边形ABCD，BC=8，
∴，=8，
∴，，
∴，，
∵BE=EF=FD，
∴，，
∴BG=AD=4，HD=BG，
∴HD=2；
（2）∵BE=EF，
∴=a，
∴，
∵，，，，
∴，，
∴四边形AEFH的面积=-=．
22．
解：∵，，
∴m，
∵，，
∴∥，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵，
∴，
∴；
∴楼高是9米．
23．
（1）证明：∵AC是直径，
∴∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠DAC=90°，
∵∠ACD=∠B，∠B=∠DAF，
∴∠DAF=∠ACD，
∴∠DAF+∠DAC=90°，
∴，
∵AC是直径，
∴AF是⊙O的切线；
（2）
解：作于点H，
∵⊙O的半径为5，
∴AC=10，
∵∠AHD=∠ADC=90°，∠DAH=∠CAD，
∴△ADH～△ACD，
∴，
∴，
∵AD＝6，
∴，
∵AD是△AEF的中线，∠EAF=90°，
∴AD=ED，
．
24．
（1）证明：∵四边形ABCO为矩形，且由折叠的性质可知△BCE≌△BDE，
∴∠BDE=∠BCE=90°，
∵∠BAD=90°，
∴∠EDO+∠BDA=∠BDA+∠DAB=90°，
∴∠EDO=∠DBA，且∠EOD=∠BAD=90°，
∴△ABD∽△ODE；
（2）证明：∵，
∴设OD=4x，OE=3x，则DE=5x，
∴CE=DE=5x，
∴AB=OC=CE+OE=8x，
又∵△ABD∽△ODE，
∴，
∴DA=6x，
∴BC=OA=10x，
在Rt△BCE中，由勾股定理可得，即，解得x=1，
∴OE=3，OD=4，DA=6，AB=8，OA=10，∴抛物线解析式为y=﹣+3，
当x=10时，代入可得y=，
∴AF=，BF=AB﹣AF=8﹣=，
在Rt△AFD中，由勾股定理可得DF=
∴BF=DF，
又M为Rt△BDE斜边上的中点，
∴MD=MB，
∴MF为线段BD的垂直平分线，
∴MF⊥BD；
（3）解：由（2）可知抛物线解析式为y=﹣+3，设抛物线与x轴的两个交点为M、N，
令y=0，可得0=﹣+3，解得x=﹣4或x=12，
∴M（﹣4，0），N（12，0），
过D作DG⊥BC于点G，如图所示，
则DG=DM=DN=8，
∴点M、N即为满足条件的Q点，
∴存在满足条件的Q点，其坐标为（﹣4，0）或（12，0）．