25.2 用列举法求概率 同步练习（含答案） 2024—2025学年人教版数学九年级上册

25.2 用列举法求概率
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第1课时 运用直接列举或列表法求概率
A层
知识点一 用直接列举法求概率
1.从长度分别为 1cm、3cm、5cm、6 cm的四条线段中随机取出三条，则能够组成三角形的概率为 ( )
A. B. C. D.
2.小亮、小莹、大刚三位同学随机地站成一排合影留念，小亮恰好站在中间的概率是 ( )
A. B. C. D.
3.一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机选择其中 蚂蚁一条路径，则它遇到食物的概率是 .
4.如图，数轴上的点A，B，C，D 表示的数分别为-3,-1,1,2,从A,B,C,D 四点中任意取两点，求所取两点之间的距离为 2 的概率.
知识点二 用列表法求概率
5.有一枚质地均匀的正方体骰子，六个面上分别刻有1到6 的点数.将它投掷两次，则两次掷得骰子朝上一面的点数之和为5 的概率是 ( )
A. B. C. D.
6.从1，2，3，4 中任取两个不同的数，分别记为a和b,则 的概率是 ( )
A. B. C. D.
7.从-2,4,5这3个数中任取两个数作为点 P 的坐标，则点 P 在第四象限的概率是 .
8.甲、乙两人都握有分别标记为 A，B，C 的三张牌，两人做游戏，游戏规则是：若两人出的牌不同,则 A 胜 B,B 胜C,C 胜A;若两人出的牌相同，则为平局.
(1)用列表法表示出甲、乙两人一次游戏的所有可能的结果；
(2)求出现平局的概率.
B层
9.若十位上的数字比个位上的数字和百位上的数字都大的三位数叫做“中高数”，如796 就是一个“中高数”.若十位上数字为7，则从 3，4，5,6,8,9 中任选不同的两数,与 7 组成“中高数”的概率是 ( )
A. B. C. D.
10.如图，在三条横线和三条竖线组成的图形中，任选两条横线和两条竖线都可以围成一个矩形，从这些矩形中任选一个，则所选矩形含点 A 的概率是 ( )
A. B. C. D.
A
11.看了《田忌赛马》故事后,小杨用数学模型来分析：齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马记分如表，每匹马只赛一场，两数相比，大数为胜，三场两胜则赢.已知齐王的三匹马出场顺序为10，8，6.若田忌的三匹马随机出场，则田忌能赢得比赛的概率为 .
马匹 姓名 下等马 中等马 上等马
齐王 6 8 10
田忌 5 7 9
12.如图所示，甲、乙两人在玩转盘游戏时，分别把转盘A，B 分成3等份和4等份，并在每一份内标上数字.游戏规则：同时转动两个转盘，当转盘停止后，指针所在区域的数字之积为奇数时，甲获胜；当数字之积为偶数时，乙获胜.如果指针恰好在分割线上时，则需重新转动转盘.
(1)利用列表的方法，求甲获胜的概率；
(2)这个游戏规则对甲、乙双方公平吗 若公平，请说明理由；若不公平，请你在转盘A上只修改一个数字使游戏公平(不需要说明理由).
13.图①是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子，每个面上分别标有数字1，2，3，4，图②是一个正六边形棋盘，现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则是：将这枚骰子掷出后，看骰子向上三个面(除底面外)的数字之和是几，就从图②中的A 点开始沿着顺时针方向连续跳动几个顶点，第二次从第一次的终点处开始，按第一次的方法跳动.
(1)随机掷一次骰子，则棋子跳动到点 C 处的概率是 ；
(2)随机掷两次骰子，请用列表的方法，求棋子最终跳动到点 C 处的概率.
第 2 课时 用树状图法求概率
A层
知识点一 用树状图法求概率
1.不透明袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到红球的概率为 ( )
A B. C. D.
2.经过某路口的汽车，可能直行，也可能左拐或右拐.假设这三种可能性相同，现有两车经过该路口，恰好有一车直行，另一车左拐的概率为 ( )
A. B. C. D.
3.有4张看上去无差别的卡片，上面分别写着2，3，4，6，小红随机抽取 1张后，放回并混在一起，再随机抽取 1张，则小红第二次取出的数字能够整除第一次 取 出的数 字的概 率 为
4.甲、乙、丙三人各自随机选择到A，B 两个献血站进行爱心献血.求这三人在同一个献血站献血的概率.
知识点二 树状图法与列表法的灵活运用
5.在排球训练中，甲、乙、丙三人相互传球，由甲开始发球(记为第一次传球)，则经过三次传球后，球仍回到甲手中的概率是 ( )
A. B. C. D.
6.学校团委在“五四”青年节举行“感动校园十大人物”颁奖活动，九(4)班决定从甲、乙、丙、丁四人中随机派两名代表参加此活动，则甲、乙两人恰有一人参加此活动的概率是 ( )
A. B. C. D.
7.点 P 的坐标是(a,b),从-2,-1,0,1,2 这五个数中任取一个数作为a 的值，再从余下的四个数中任取一个数作为b 的值，则点P(a，b)在平面直角坐标系中第二象限内的概率是
8.一张圆桌旁设有 4 个座位，丙先坐在了如图所示的座位上，甲、乙2 人等可能地坐到①、②、③中的2 个座位上.
(1)甲坐在①号座位的概率是 ；
(2)用画树状图或列表的方法，求甲与乙相邻而坐的概率.
B层
9.现有4盒同一品牌的牛奶，其中 2 盒已过期，随机抽取2 盒，至少有一盒过期的概率是 ( )
A. B. C. D.
10.投掷一枚质地均匀的骰子两次(骰子的六个面上分别刻有 1 到6 的点数)，向上一面的点数依次记为a，b，那么方程 有实数解的概率是 ( )
A. B. C. D.
11.一只不透明的袋子中装有1个黄球，现放若干个红球，它们与黄球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出两个球，使得 P(摸出一红一黄)=P(摸出两红)，则放入的红球个数为 .
12.甲口袋中装有 2个相同小球，它们分别写有数字1，2；乙口袋中装有 3个相同小球，它们分别写有数字3，4，5；丙口袋中装有2个相同小球，它们分别写有数字 6，7.从三个口袋各随机取出1个小球.用画树状图或列表法求：
(1)取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率；
(2)取出的3个小球上全是奇数的概率.
C层
13.如图，3×3 的方格分为上、中、下三层，第一层有一枚黑色方块甲，可在方格A，B，C 中移动，第二层有两枚固定不动的黑色方块，第三层有一枚黑色方块乙，可在方格 D，E，F中移动，甲、乙移入方格后，四枚黑色方块构成各种拼图.
(1)若乙固定在 E 处，移动黑色方块甲后构成的拼图是轴对称图形的概率是 ；
(2)若甲、乙均可在本层移动.
①用树状图或列表法求出黑色方块所构拼图是轴对称图形的概率；
②黑色方块所构拼图是中心对称图形的概率是 .
25.2 用列举法求概率
第1课时 运用直接列举或列表法求概率1. A 2. B 3.
4.解:由图可知,任取两点有 AB,BC,CD,AC,BD,AD 共6种情况,其中 AB=BC=2,∴所取两点之间的距离为 2 的概率为
5. A 6. D 7.
8.解:(1)列表如下:
甲乙 A B C
A (A,A) (B,A) (C,A)
B (A,B) (B,B) (C,B)
C (A,C) (B,C) (C,C)
则共有9种等可能的结果.
(2)∵出现平局的有(A,A),(B,B),(C,C)3种情况，∴出现平局的概率为
9. C10. D 11.
12.解:(1)列表如下:
积 -2 --3 2 3
1 -2 --3 2 3
2 --4 --6 4 6
3 --6 --9 6 9
由表可知，共有 12种等可能结果，其中指针所在区域的数字之积为奇数的有4种结果，所以甲获胜的概率为
(2)∵指针所在区域的数字之积为偶数的概率为 ∴这个游戏规则对甲、乙双方不公平.将转盘 A 上的数字 2 改为1，则游戏公平(修改方法不唯一).
13.解:(1)
(2)列表如下:
9 8 7 6
9 (9,9) (8,9) (7,9) (6,9)
8 (9,8) (8,8) (7,8) (6,8)
7 (9,7) (8,7) (7,7) (6,7)
6 (9,6) (8,6) (7,6) (6,6)
共有 16种等可能的情况，和为 14 可以到达点 C，有 3 种情形，所以棋子最终跳动到点C处的概率为 .
第2 课时 用树状图法求概率
1. D 2. A 3.
4.解：画树状图如图所示：
共8种等可能情况，其中这三人在同一个献血站献血的有 2 种结果，所以这三人在同一个献血站献血的概率为
5. B 6. A 7.
8.解:((1)
(2)画树状图如图所示：
共有 6 种等可能的结果，甲与乙两同学恰好相邻而坐的结果有4种，∴甲与乙相邻而坐的概率为
9. D 10. D 1 1.3
12.解:(1)画树状图为:
共有 12 种等可能的结果，其中取出的3 个小球上恰好有一个偶数的结果数为5，所以取出的3个小球上恰好有一个偶数的概率为 .
(2)取出的3个小球上全是奇数的结果数为2，所以取出的3个小球上全是奇数的概率为
13.解:(1)
(2)①画树状图如下：
由树状图可知，一共有9种等可能的结果，其中有 5 种所构拼图是轴对称图形，则黑色方块所构拼图是轴对称图形的概率为 .
②