2023-2024学年湖南省长沙市宁乡市高一下学期期末调研考试数学试卷（含答案）
文档属性
| 名称 | 2023-2024学年湖南省长沙市宁乡市高一下学期期末调研考试数学试卷（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 156.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-08-02 21:00:54 | ||
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文档简介
2023-2024学年湖南省长沙市宁乡市高一下学期期末调研考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.直线，互相平行的一个充分条件是
A. ，都平行于同一个平面 B. ，与同一个平面所成的角相等
C. 平行于所在的平面 D. ，都垂直于同一个平面
3.掷两枚质地均匀的骰子，设事件为掷出的两个骰子点数之和是，则事件发生的概率为( )
A. B. C. D.
4.某校举行演讲比赛，位评委对某选手评分数据如下：若去掉一个最高分和一个最低分，则新数据与原数据相比，一定不变的数字特征是( )
A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 极差
5.已知一个样本有个数据，该组数据的第百分位数是，则下列叙述正确的是( )
A. 把这个数据从小到大排列后，是第个数据和第个数据的 平均数
B. 把这个数据从小到大排列后，小于或等于数据共有个
C. 把这个数据从小到大排列后，小于或等于数据共有个
D. 把这个数据从小到大排列后，是第个数据
6.在半径为的中，弦的长为，则( )
A. B. C. D. 与有关
7.如图，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，求棱锥的体积与剩下的几何体体积的比是( )
A. B. C. D.
8.长方体的一条体对角线与它一个顶点处的三个面所成的角分别为，，，则( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题为真命题的是( )
A. 若复数为纯虚数，则，
B. 复数在复平面内对应的点在第二象限
C. 若为虚数单位，为正整数，则
D. 若，则的最大值是
10.已知，则正确的选项是( )
A. 和都是单位向量 B. 若，则
C. 若，则 D.
11.已知分别为三个内角的对边，且，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.将边长为的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的体积是 ．
13.一个古典概型的样本空间和事件和，其中，，，，则 ．
14.已知某射击运动员在次射击中，命中环数的平均数为，方差为，现增加两次射击，命中环数分别是和，则该射击运动员的这次射击的命中环数的方差为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在一次猜灯谜活动中，共有道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了个，乙同学猜对了个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求：
任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率；
任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率．
16.本小题分
已知分别为三个内角的对边，且满足．
求；
若，求．
17.本小题分
身体质量指数是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准，其计算公式是：中国成人的数值参考标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．某公司为了解公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用分层随机抽样的方法抽取了名男员工，名女员工的身高体重数据，通过计算男女员工的值，整理得到如下的频率分布直方图．
求频率分布直方图中的值，并估计该公司员工为肥胖的百分比；
估计该公司员工的值的众数，中位数；
已知样本中名男员工值的平均数为，根据频率分布直方图，估计样本中名女员工值的平均数．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面是的中点．
求证：平面；
求与底面所成角的正切值；
设平面平面，求二面角的大小．
19.本小题分
如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作在此坐标系中，若，分别是的中点，分别与交于两点．
求：；
求的坐标；
若点在线段上运动，设，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.解：设事件表示“甲猜对”，事件表示“乙猜对”，
则，，
任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为：
．
任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为：
．
16.因为，
由正弦定理得，
在中，，则，得，
而，可．
因，
所以，即，解得，
所以．
则．
17.
由题，，解得：，
由频率分布直方图可得，该公司员工为肥胖的百分比为；
由频率分布直方图可得，众数为，
因为，，
故中位数在，设为，则
设样本平均数为，
则由频率分布直方图可得；
，
又，
即，解得：．
18.
证明：因为侧面是正三角形，是的中点，
所以，
因为底面为正方形，所以，
又侧面底面，侧面底面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又，、平面，
所以平面．
解：取的中点，连接，，
因为侧面是正三角形，所以，
又侧面底面，侧面底面，平面，
所以平面，
所以即为与底面所成角，
设正方形的边长为，则，，
在中，，
所以与底面所成角的正切值为．
解：因为，平面，平面，
所以平面，
又平面平面，平面，
所以，
由知平面，
所以平面，
因为平面，所以，
同理可得，
所以即为二面角的平面角，
又侧面是正三角形，所以，
故二面角的大小为．
19.
依题意，得是 单位向量，且夹角为，
所以，
而，
，
则．
因为，
所以，，
所以，则四边形是平行四边形，
所以，
因为分别是的中点，所以，
所以，，
因为
，
则，
所以，；
由知，，
因为点在线段上运动，所以设，其中，
因为，所以，
所以，
因为不共线，则，解得
所以，
因为，所以当时，取得最大值．
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数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，则的虚部为( )
A. B. C. D.
2.直线，互相平行的一个充分条件是
A. ，都平行于同一个平面 B. ，与同一个平面所成的角相等
C. 平行于所在的平面 D. ，都垂直于同一个平面
3.掷两枚质地均匀的骰子，设事件为掷出的两个骰子点数之和是，则事件发生的概率为( )
A. B. C. D.
4.某校举行演讲比赛，位评委对某选手评分数据如下：若去掉一个最高分和一个最低分，则新数据与原数据相比，一定不变的数字特征是( )
A. 平均数 B. 中位数 C. 方差 D. 极差
5.已知一个样本有个数据，该组数据的第百分位数是，则下列叙述正确的是( )
A. 把这个数据从小到大排列后，是第个数据和第个数据的 平均数
B. 把这个数据从小到大排列后，小于或等于数据共有个
C. 把这个数据从小到大排列后，小于或等于数据共有个
D. 把这个数据从小到大排列后，是第个数据
6.在半径为的中，弦的长为，则( )
A. B. C. D. 与有关
7.如图，将一个长方体沿相邻三个面的对角线截出一个棱锥，求棱锥的体积与剩下的几何体体积的比是( )
A. B. C. D.
8.长方体的一条体对角线与它一个顶点处的三个面所成的角分别为，，，则( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题为真命题的是( )
A. 若复数为纯虚数，则，
B. 复数在复平面内对应的点在第二象限
C. 若为虚数单位，为正整数，则
D. 若，则的最大值是
10.已知，则正确的选项是( )
A. 和都是单位向量 B. 若，则
C. 若，则 D.
11.已知分别为三个内角的对边，且，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.将边长为的正方形以其一边所在直线为旋转轴旋转一周，所得几何体的体积是 ．
13.一个古典概型的样本空间和事件和，其中，，，，则 ．
14.已知某射击运动员在次射击中，命中环数的平均数为，方差为，现增加两次射击，命中环数分别是和，则该射击运动员的这次射击的命中环数的方差为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在一次猜灯谜活动中，共有道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了个，乙同学猜对了个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求：
任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率；
任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率．
16.本小题分
已知分别为三个内角的对边，且满足．
求；
若，求．
17.本小题分
身体质量指数是目前国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准，其计算公式是：中国成人的数值参考标准为：为偏瘦；为正常；为偏胖；为肥胖．某公司为了解公司员工的身体肥胖情况，研究人员从公司员工体检数据中，采用分层随机抽样的方法抽取了名男员工，名女员工的身高体重数据，通过计算男女员工的值，整理得到如下的频率分布直方图．
求频率分布直方图中的值，并估计该公司员工为肥胖的百分比；
估计该公司员工的值的众数，中位数；
已知样本中名男员工值的平均数为，根据频率分布直方图，估计样本中名女员工值的平均数．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为正方形，侧面是正三角形，侧面底面是的中点．
求证：平面；
求与底面所成角的正切值；
设平面平面，求二面角的大小．
19.本小题分
如图，设是平面内相交成角的两条数轴，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作在此坐标系中，若，分别是的中点，分别与交于两点．
求：；
求的坐标；
若点在线段上运动，设，求的最大值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.或
15.解：设事件表示“甲猜对”，事件表示“乙猜对”，
则，，
任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为：
．
任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为：
．
16.因为，
由正弦定理得，
在中，，则，得，
而，可．
因，
所以，即，解得，
所以．
则．
17.
由题，，解得：，
由频率分布直方图可得，该公司员工为肥胖的百分比为；
由频率分布直方图可得，众数为，
因为，，
故中位数在，设为，则
设样本平均数为，
则由频率分布直方图可得；
，
又，
即，解得：．
18.
证明：因为侧面是正三角形，是的中点，
所以，
因为底面为正方形，所以，
又侧面底面，侧面底面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
又，、平面，
所以平面．
解：取的中点，连接，，
因为侧面是正三角形，所以，
又侧面底面，侧面底面，平面，
所以平面，
所以即为与底面所成角，
设正方形的边长为，则，，
在中，，
所以与底面所成角的正切值为．
解：因为，平面，平面，
所以平面，
又平面平面，平面，
所以，
由知平面，
所以平面，
因为平面，所以，
同理可得，
所以即为二面角的平面角，
又侧面是正三角形，所以，
故二面角的大小为．
19.
依题意，得是 单位向量，且夹角为，
所以，
而，
，
则．
因为，
所以，，
所以，则四边形是平行四边形，
所以，
因为分别是的中点，所以，
所以，，
因为
，
则，
所以，；
由知，，
因为点在线段上运动，所以设，其中，
因为，所以，
所以，
因为不共线，则，解得
所以，
因为，所以当时，取得最大值．
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