2023-2024学年贵州省安顺市高一下学期期末教学质量监测考试数学试题（含答案）

2023-2024学年贵州省安顺市高一下学期期末教学质量监测考试
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则( )
A. B. C. D.
2.在复平面中，复数对应的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.已知是两个不共线的向量，，若与是共线向量，则实数的值为( )
A. B. C. D.
4.下面的折线图展示了我国年某种疫苗进出口均价随时间的变化情况，则下列结论正确的是( )
A. 疫苗进口均价的中位数小于美元千克
B. 疫苗出口均价的极差大于美元千克
C. 疫苗进口均价逐年递增
D. 疫苗出口均价的方差大于疫苗进口均价的方差
5.已知为单位向量，则“”是“与的夹角是钝角”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知球的体积为，球被一个平面所截得的截面面积为，则球心到该截面的距离为( )
A. B. C. D.
7.若将函数的图象向右平移个单位，所得图象关于原点对称，则的最小正值为( )
A. B. C. D.
8.某高校的入学面试中有道难度相当的题目，李华答对每道题目的概率都是，若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第次为止，假设对抽到的不同题目能否答对是独立的，则李华最终通过面试的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，是相互独立事件，且，则下列说法一定正确的是( )
A. 与可能互斥
B. 因为，所以与可能相互对立
C.
D.
10.已知平面，且，则下列结论正确的是( )
A. 与可能是异面直线
B. 若，则
C. 若，则
D. 若两两垂直，则，，也两两垂直
11.如图，在平面四边形中，下列结论一定正确的是( )
A.
B.
C.
D. 若，则四边形为平行四边形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设为虚数单位，已知是关于的方程的一个根，其中，则 ．
13.设是与方向相同的单位向量，若在上的投影向量为，且，则 ．
14.如图，透明塑料制成的四棱锥密闭容器内装有一定量的水容器的厚度忽略不计，底面为平行四边形，固定容器底面一边于地上，再将容器从图的位置倾斜到图的位置，图的水面恰好经过，其中分别为棱的中点，则该容器中有水的部分与没有水的部分的体积之比为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图所示，已知中，为上一点，．

求；
若，求的长．
16.本小题分
柜子里有双不同的鞋，记第双鞋左右脚编号为，，记第双鞋左右脚编号为，，记第双鞋左右脚编号为，如果从中随机取出只，那么
写出试验的样本空间，并求恰好取到两双鞋的概率；若取到，，，，则样本点记为，其余同理记之
求事件“取出的鞋子中至少有两只左脚，且不能凑两双鞋”的概率．
17.本小题分
树人中学为了学生的身心健康，加强食堂用餐质量简称“美食”的过程中，后勤部门需了解学生对“美食”工作的认可程度，若学生认可系数不低于、“美食”工作按原方案继续实施，否则需进一步整改．为此后勤部门随机调查了该校名学生，根据这名学生对“美食”工作认可程度给出的评分，分成五组，得到如图所示的频率分布直方图．
求频率分布直方图中的值和第百分位数结果保留两位小数；
为了解部分学生给“美食”工作评分较低的原因，后勤部门从评分低于分的学生中，按照调查评分的分组，分为层，通过分层随机抽样抽取人进行座谈，求应选取评分在的学生人数；
根据你所学的统计知识，结合认可系数，判断“美食”工作是否需要进一步整改，并说明理由．
18.本小题分
如图，圆的圆心在坐标原点，半径为，动点从处开始在圆上按逆时针方向以的角速度作匀速圆周运动，则秒之后，点的纵坐标可以表示为．
写出和的值；
若函数在上恰有两个零点，求的取值范围；
若函数的最小正周期为，求在上的值域．
19.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，，分别为棱的中点．
判断点是否在平面内，并说明理由；
求平面与平面所成的锐二面角的正切值；
求点到平面的距离．
参考答案
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14.或
15.
在中，由正弦定理可得，
所以，
又因为，
所以；
因为，所以，所以，
由结论，计算可得，
法：由正弦定理可知，又，
所以，
由余弦定理可得，
化简整理得，
解得．
法：因为且，
所以，
由题意可得，所以，
所以
，
在中，由正弦定理可得，
所以．

16.解：由题意得，试验的样本空间为：
，
设表示事件“恰好取到两双鞋”，则，
所以，，故事件“恰好取到两双鞋”的概率为；
由知，事件“取出的鞋子中至少有两只左脚”为：
2,
，
所以，，故事件“取出的鞋子中至少有两只左脚”的概率为．
17.
由图可知：，所以；
评分在内的频率为，内的频率为，
则第百分位数位
所以第百分位数为．
低于分的学生中三组学生的人数比例为，
则应选取评分在的学生人数为：人．
由图可知，认可程度平均分为：
，
显然认可系数低于，所以“美食”工作需要进一步整改．

18.
依题意，，由，得，即，而，
所以．
由知，，当时，，
由函数在上恰有两个零点，得，解得，
所以的取值范围是．
由知，，即，
，
当时，，则，
所以的取值范围是．

19.
点在平面内，理由如下：
在正方体中，连接，，
则四边形是平行四边形，，由，分别为棱的中点，
得，所以点在 平面内
连接，由平面，平面，得，
过作于，连接，平面，
则平面，而平面，于是，
是平面与平面所成的锐二面角，
，，
则，，
所以平面与平面所成的锐二面角的正切值．
连接，则与互相平分，即的中点在平面上，
因此点到平面的距离等于点到平面的距离，
由知，平面，而平面，则平面平面，
而平面平面，于是点在平面上的射影在上，
因此点到平面的距离等于斜边上的高，
所以点到平面的距离为．

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