2022-2023学年广东省湛江市第一中学高一上学期期末考试数学试卷（含答案）

2022-2023学年广东省湛江市第一中学高一上学期期末考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为( )
A. B. C. D.
2.设，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.函数的单调递减区间为( )
A. B. C. D.
5.已知函数，则其图象大致是( )
A. B.
C. D.
6.已知函数，若，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知函数是上的增函数其中且，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.函数的定义域为，若满足：在内是单调函数；存在，使得在上的值域也是，则称为高斯函数．若是高斯函数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列函数在区间上存在唯一零点的是( )
A. B.
C. D.
10.设正实数，满足，则下列说法正确的是( )
A. 的最小值为 B. 的最小值为
C. 的最大值为 D. 的最小值为
11.已知为锐角，角的终边上有一点，轴的正半轴和以坐标原点为圆心的单位圆的交点为，则( )
A. 若，则
B. 劣弧的长度为
C. 劣弧所对的扇形的面积为是
D.
12.设函数的定义域为，对于任一给定的正数，定义函数则称为的“界函数”，若函数，则下列结论：的值域为在上单调递减函数为偶函数其中正确的结论有( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.函数的定义域为 ．
14.已知幂函数在上为减函数，则 ．
15.定义在上的奇函数满足，且函数在上单调递减，则不等式的解集为 ．
16.已知函数，若关于的方程有个解，分别为，，，，其中，则 ，的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知，
若，求的值；
若，且，求实数的值．
18.本小题分
已知函数的最小正周期为，其中．
求的值；
当时，求函数的单调区间；
求函数在区间上的值域．
19.本小题分
已知函数且．
求的定义域，判断的奇偶性并给出证明；
若，求实数的取值范围．
20.本小题分
已知函数的部分图象如图所示，点为函数的图象与轴的一个交点，点为函数图象上的一个最高点，且点的横坐标为，点为函数的图象与轴的一个交点．
求函数的解析式；
已知函数的值域为，求，的值．
21.本小题分
已知函数是定义域为的奇函数．
若集合，，求
设，且在上的最小值为，求实数的值．
22.本小题分
已知函数
当时，求函数的单调区间；
当时，若存在，使得成立，求实数的取值范围．
参考答案
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17.解：，
，
，即．
或，
而，，
．
18.解：由题意可得，解得；
由知，
由可得，．
时，单调增区间为：，单调减区间为：，
，，
，
，
函数在区间上的值域为．
19.解：令，解得，则的定义域为
因为，
所以为奇函数；
，即
因为
令，易得在上单调递增．
当时，在上单调递减，
则，解得；
当时，在上单调递增，
则，解得
综上，当时，实数的取值范围是；
当时，实数的取值范围是．

20.解：
由函数的部分图象可知，函数的周期，
可得，
由五点画图法可知，可得，
有，
又由，可得，
故有函数的解析式为；
由知，
函数的值域为
当时，解得；
当时，解得．
由上知或．

21.解：因为是定义域为的奇函数，所以，可得，
当时，，所以，，
所以为奇函数，所以
由，得，即，因为，所以，
所以，即
由，且，得，即，
所以，
所以
因为，
令，因为，所以，
所以，
当时，在上为减函数，在上为增函数，
所以，即，所以，
解得，或舍去
当时，在上为增函数，所以，
即，所以，解得舍去，
所以．
22.解：
函数的定义域为，
当时，；
；
故当时，在上恒成立；
故函数在上是减函数，
当，当时，；
当时，；
故在上是 减函数，在上是增函数；
综上，当时，的单调递减区间为，无递增区间；
当时，的单调递减区间为，单调递增区间为．
当时，，
，
当时，，故在上是减函数，
故存在，使得成立，
只需，解得，
当，令得，令得，
故在上是减函数，在上是增函数，
若，则在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极小值，也是最小值，，
要想存在，使得成立，只需，
解得，
当时，则在上单调递减，在处取得最小值，
，令，无解，
故实数的取值范围为．

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